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Question

(A) वक्र के लिए अभिलंब की लंबाई $L = |y| \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$ द्वारा दी जाती है।यह दिया गया है कि अभिलंब की लंबाई त्रिज्या सदिश $r = \sqrt{x^

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${y^2} \pm {x^2} = k$

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(A) वक्र के लिए अभिलंब की लंबाई $L = |y| \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$ द्वारा दी जाती है।यह दिया गया है कि अभिलंब की लंबाई त्रिज्या सदिश $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ के बराबर है,इसलिए:$|y| \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:$y^2 (1 + (\frac{dy}{dx})^2) = x^2 + y^2$$y^2 + y^2 (\frac{dy}{dx})^2 = x^2 + y^2$$y^2 (\frac{dy}{dx})^2 = x^2$दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:$y \frac{dy}{dx} = \pm x$चरों को अलग करने पर:$y \, dy = \pm x \, dx$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int y \, dy = \pm \int x \, dx$$\frac{y^2}{2} = \pm \frac{x^2}{2} + C$$y^2 = \pm x^2 + 2C$माना $2C = k$,तो समीकरण ${y^2} \mp {x^2} = k$ प्राप्त होता है,जो ${y^2} \pm {x^2} = k$ के समतुल्य है।

वक्रों के उस परिवार का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके लिए अभिलंब की लंबाई त्रिज्या सदिश (radius vector) के बराबर है।

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वक्रों के उस कुल का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके लिए किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर सबनॉर्मल की लंबाई हमेशा एक अचर $(k)$ होती है।

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