x- अक्ष,वक्र y = f(x) और रेखाओं x = 1 तथा x = | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि वक्र $y = f(x)$,$x-$ अक्ष और रेखाओं $x = 1$ तथा $x = b$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल $\int_1^b f(x) \, dx = \sqrt{b^2 + 1} - \sqrt{2}$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि वक्र $y = f(x)$,$x-$ अक्ष और रेखाओं $x = 1$ तथा $x = b$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल $\int_1^b f(x) \, dx = \sqrt{b^2 + 1} - \sqrt{2}$ है।हम इस व्यंजक को $\int_1^b f(x) \, dx = \sqrt{b^2 + 1} - \sqrt{1^2 + 1}$ के रूप में लिख सकते हैं।यह $\int_1^b f(x) \, dx = [\sqrt{x^2 + 1}]_1^b$ के बराबर है।कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,यदि $\int_1^b f(x) \, dx = F(b) - F(1)$ है,तो $f(x) = F'(x)$ होता है।यहाँ,$F(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ है।इसलिए,$f(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 + 1})$ होगा।श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ प्राप्त होता है।

$x-$ अक्ष,वक्र $y = f(x)$ और रेखाओं $x = 1$ तथा $x = b$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल सभी $b > 1$ के लिए $\sqrt{b^2 + 1} - \sqrt{2}$ है,तो $f(x)$ क्या है?

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