Fundamental definite integration Questions in Hindi

(A) माना $I = \int_{0}^{1} 7^{-\left[\frac{1}{x}\right]} dx$. माना $n = \left[\frac{1}{x}\right]$,तो $n \le \frac{1}{x} < n+1$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{n+1} < x \le \frac{1}{n}$.
जैसे $x$,$0$ से $1$ तक जाता है,$n$,$\infty$ से $1$ तक जाता है।
$I = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}} 7^{-n} dx = \sum_{n=1}^{\infty} 7^{-n} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^n n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^n (n+1)}$.
विस्तार $-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/7)^n}{n} = -\ln(1 - 1/7) = -\ln(6/7) = \ln(7/6)$.
दूसरे भाग के लिए,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^n (n+1)} = 7 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/7)^{n+1}}{n+1} = 7 \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(1/7)^k}{k} = 7 [-\ln(1 - 1/7) - 1/7] = 7 [\ln(7/6) - 1/7] = 7 \ln(7/6) - 1$.
अतः,$I = \ln(7/6) - (7 \ln(7/6) - 1) = 1 - 6 \ln(7/6) = 1 + 6 \ln(6/7)$.

(D) माना $I = \int\limits_{0}^{5} \cos \left(\pi x - \pi \left[\frac{x}{2}\right]\right) d x$.
हम समाकलन को उन अंतरालों पर विभाजित करते हैं जहाँ $\left[\frac{x}{2}\right]$ स्थिर है:
$x \in [0, 2)$ के लिए,$\left[\frac{x}{2}\right] = 0$.
$x \in [2, 4)$ के लिए,$\left[\frac{x}{2}\right] = 1$.
$x \in [4, 5]$ के लिए,$\left[\frac{x}{2}\right] = 2$.
अतः,$I = \int\limits_{0}^{2} \cos(\pi x) d x + \int\limits_{2}^{4} \cos(\pi x - \pi) d x + \int\limits_{4}^{5} \cos(\pi x - 2\pi) d x$.
प्रत्येक समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$\int\limits_{0}^{2} \cos(\pi x) d x = \left[\frac{\sin(\pi x)}{\pi}\right]_{0}^{2} = \frac{\sin(2\pi) - \sin(0)}{\pi} = 0$.
$\int\limits_{2}^{4} \cos(\pi x - \pi) d x = \left[\frac{\sin(\pi x - \pi)}{\pi}\right]_{2}^{4} = \frac{\sin(3\pi) - \sin(\pi)}{\pi} = 0$.
$\int\limits_{4}^{5} \cos(\pi x - 2\pi) d x = \left[\frac{\sin(\pi x - 2\pi)}{\pi}\right]_{4}^{5} = \frac{\sin(3\pi) - \sin(2\pi)}{\pi} = 0$.
इसलिए,$I = 0 + 0 + 0 = 0$.

(C) दिया गया है $a_{n} = \int_{-1}^{n} \left(\sum_{k=1}^{n} \frac{x^{k-1}}{k}\right) dx$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_{n} = \left[ x + \frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{x^{3}}{3^{2}} + \ldots + \frac{x^{n}}{n^{2}} \right]_{-1}^{n}$.
सीमाओं पर मान रखने पर:
$a_{n} = \left(n + \frac{n^{2}}{2^{2}} + \frac{n^{3}}{3^{2}} + \ldots + \frac{n^{n}}{n^{2}}\right) - \left(-1 + \frac{(-1)^{2}}{2^{2}} + \frac{(-1)^{3}}{3^{2}} + \ldots + \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right)$.
$n=1$ के लिए: $a_{1} = \int_{-1}^{1} (1) dx = [x]_{-1}^{1} = 2$.
$n=2$ के लिए: $a_{2} = \int_{-1}^{2} (1 + \frac{x}{2}) dx = [x + \frac{x^{2}}{4}]_{-1}^{2} = (2 + 1) - (-1 + \frac{1}{4}) = 3.75$.
$n=3$ के लिए: $a_{3} = \int_{-1}^{3} (1 + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{3}) dx = [x + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{9}]_{-1}^{3} = (3 + 2.25 + 3) - (-1 + 0.25 - 0.111) = 9.111$.
$n=4$ के लिए: $a_{4} \approx 31.97$.
अतः,$a_{n} \in (2, 30)$ के लिए $n=2$ और $n=3$ प्राप्त होते हैं।
इसलिए,अवयवों का योग $2 + 3 = 5$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = 2 + |x| - |x - 1| + |x + 1|$.
हम $f(x)$ को विभिन्न अंतरालों में परिभाषित करते हैं:
$x < -1$ के लिए: $f(x) = 2 - x - (1 - x) - (x + 1) = -x$.
$-1 \le x < 0$ के लिए: $f(x) = 2 - x - (1 - x) + (x + 1) = x + 2$.
$0 \le x < 1$ के लिए: $f(x) = 2 + x - (1 - x) + (x + 1) = 3x + 2$.
$x \ge 1$ के लिए: $f(x) = 2 + x - (x - 1) + (x + 1) = x + 4$.
$(S1)$ की जाँच करना:
$f^{\prime}(x) = -1$ ($x < -1$ के लिए),$f^{\prime}(x) = 1$ ($-1 < x < 0$ के लिए),$f^{\prime}(x) = 3$ ($0 < x < 1$ के लिए),$f^{\prime}(x) = 1$ ($x > 1$ के लिए)।
$f^{\prime}(-3/2) = -1$,$f^{\prime}(-1/2) = 1$,$f^{\prime}(1/2) = 3$,$f^{\prime}(3/2) = 1$.
योग $= -1 + 1 + 3 + 1 = 4$. अतः,$(S1)$ सही है।
$(S2)$ की जाँच करना:
$\int_{-2}^{2} f(x) dx = \int_{-2}^{-1} (-x) dx + \int_{-1}^{0} (x + 2) dx + \int_{0}^{1} (3x + 2) dx + \int_{1}^{2} (x + 4) dx$
$= 1.5 + 1.5 + 3.5 + 5.5 = 12$. अतः,$(S2)$ सही है।
दोनों सही हैं।

(C) माना $f(x) = 8 \sin x - \sin 2x$.
हम अंतराल $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ पर समाकल्य $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ की सीमाओं का मूल्यांकन करते हैं।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$f(\frac{\pi}{4}) = 8(\frac{1}{\sqrt{2}}) - 1 = 4\sqrt{2} - 1 \approx 4.656$.
$x = \frac{\pi}{3}$ पर,$f(\frac{\pi}{3}) = 8(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2} \approx 6.062$.
चूंकि इस अंतराल पर $f(x)$ एक वर्धमान फलन है,$g(x)$ का न्यूनतम मान $\frac{f(\pi/4)}{\pi/4} = \frac{16\sqrt{2}-4}{\pi} \approx 5.93$ है।
अधिकतम मान $\frac{f(\pi/3)}{\pi/3} = \frac{21\sqrt{3}}{2\pi} \approx 5.79$ है।
अंतराल की लंबाई $\frac{\pi}{12}$ है,इसलिए समाकलन $I$,$\frac{\pi}{12} \times \min(g(x))$ और $\frac{\pi}{12} \times \max(g(x))$ के बीच स्थित है।
गणना करने पर,$I$ का मान $\frac{5\pi}{12} < I < \frac{\sqrt{2}}{3} \pi$ के बीच प्राप्त होता है।

(C) माना $I = 60 \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin(6x)}{\sin x} dx$.
सर्वसमिका $\sin((2n+1)x) - \sin((2n-1)x) = 2 \cos(2nx) \sin x$ का उपयोग करके,हम $\frac{\sin(6x)}{\sin x}$ को कोसाइन के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
विशेष रूप से,$\frac{\sin(6x)}{\sin x} = \frac{\sin(6x) - \sin(4x) + \sin(4x) - \sin(2x) + \sin(2x)}{\sin x} = 2\cos(5x) + 2\cos(3x) + 2\cos(x)$.
अब,प्रत्येक पद का समाकलन करें:
$I = 60 \int_{0}^{\pi/2} (2\cos(5x) + 2\cos(3x) + 2\cos(x)) dx$.
$I = 60 \left[ \frac{2}{5}\sin(5x) + \frac{2}{3}\sin(3x) + 2\sin(x) \right]_{0}^{\pi/2}$.
सीमाओं पर मान ज्ञात करने पर:
$I = 60 \left( (\frac{2}{5}\sin(\frac{5\pi}{2}) + \frac{2}{3}\sin(\frac{3\pi}{2}) + 2\sin(\frac{\pi}{2})) - (0) \right)$.
चूंकि $\sin(\frac{5\pi}{2}) = 1$,$\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$,और $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$:
$I = 60 \left( \frac{2}{5}(1) + \frac{2}{3}(-1) + 2(1) \right) = 60 \left( \frac{2}{5} - \frac{2}{3} + 2 \right)$.
$I = 60 \left( \frac{6 - 10 + 30}{15} \right) = 60 \left( \frac{26}{15} \right) = 4 \times 26 = 104$.

(A) माना $1 + x^{2} = t^{2}$. तब $2x dx = 2t dt$,अतः $x dx = t dt$.
जब $x = 0$,तब $t = 1$. जब $x = \sqrt{3}$,तब $t = 2$.
समाकलन $\int_{1}^{2} \frac{15(t^{2}-1) t dt}{\sqrt{t^{2} + t^{3}}} = 15 \int_{1}^{2} \frac{t(t^{2}-1)}{t \sqrt{1+t}} dt = 15 \int_{1}^{2} \frac{t^{2}-1}{\sqrt{1+t}} dt$ हो जाता है।
माना $1 + t = u^{2}$,अतः $t = u^{2} - 1$ और $dt = 2u du$.
जब $t = 1$,तब $u = \sqrt{2}$. जब $t = 2$,तब $u = \sqrt{3}$.
समाकलन $15 \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} \frac{(u^{2}-1)^{2}-1}{u} (2u du) = 30 \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} (u^{4} - 2u^{2}) du$ हो जाता है।
समाकलन का मान: $30 \left[ \frac{u^{5}}{5} - \frac{2u^{3}}{3} \right]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} = 30 \left[ \left( \frac{9\sqrt{3}}{5} - \frac{6\sqrt{3}}{3} \right) - \left( \frac{4\sqrt{2}}{5} - \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) \right]$.
$= 30 \left[ \left( \frac{9\sqrt{3} - 10\sqrt{3}}{5} \right) - \left( \frac{12\sqrt{2} - 20\sqrt{2}}{15} \right) \right] = 30 \left[ -\frac{\sqrt{3}}{5} + \frac{8\sqrt{2}}{15} \right] = -6\sqrt{3} + 16\sqrt{2}$.
$\alpha \sqrt{2} + \beta \sqrt{3}$ से तुलना करने पर,$\alpha = 16$ और $\beta = -6$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = 16 - 6 = 10$.

(A) माना $f(x) = 2x - |3x^2 - 5x + 2| + 1$ है। महत्तम पूर्णांक फलन के अंदर का पद $g(x) = 2x - |(3x-2)(x-1)| + 1$ है।
$x \in [0, 2/3]$ के लिए,$3x^2 - 5x + 2 \geq 0$,इसलिए $|3x^2 - 5x + 2| = 3x^2 - 5x + 2$ है। तब $g(x) = 2x - (3x^2 - 5x + 2) + 1 = -3x^2 + 7x - 1$ है।
$x \in [2/3, 1]$ के लिए,$3x^2 - 5x + 2 \leq 0$,इसलिए $|3x^2 - 5x + 2| = -(3x^2 - 5x + 2)$ है। तब $g(x) = 2x + (3x^2 - 5x + 2) + 1 = 3x^2 - 3x + 3$ है।
$\int_{0}^{1} [g(x)] dx$ का समाकलन करने के लिए अंतराल को $g(x)$ के पूर्णांक मानों के आधार पर विभाजित किया जाता है।
$x \in [0, 2/3]$ के लिए,$g(x) = -3x^2 + 7x - 1$ है। $g(x) = k$ के मूल द्विघात सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं।
उन उप-अंतरालों पर समाकलन करने के बाद जहाँ $[g(x)]$ स्थिर है,हमें परिणाम प्राप्त होता है:
$I = \frac{\sqrt{37} + \sqrt{13} - 4}{6}$।

(B) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{3+2 \sin x + \cos x}$.
प्रतिस्थापन $\tan(\frac{x}{2}) = t$ का उपयोग करने पर,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,और $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_{0}^{1} \frac{1}{3 + 2(\frac{2t}{1+t^2}) + \frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2 dt}{1+t^2}$
$I = \int_{0}^{1} \frac{2 dt}{3(1+t^2) + 4t + 1 - t^2} = \int_{0}^{1} \frac{2 dt}{2t^2 + 4t + 4} = \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2 + 2t + 2}$
$I = \int_{0}^{1} \frac{dt}{(t+1)^2 + 1}$
$I = [\tan^{-1}(t+1)]_{0}^{1} = \tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1) = \tan^{-1}(2) - \frac{\pi}{4}$.

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{\sin x}$ जहाँ $x \in (0, 1)$ और $f(0) = 1$. हमें $\lim_{n \to \infty} I_n$ ज्ञात करना है जहाँ $I_n = \sqrt{n} \int_0^{1/n} f(x) e^{-nx} dx$ है।
मान लीजिए $nx = t$,तो $x = t/n$ और $dx = dt/n$ होगा।
जब $x$ का मान $0$ से $1/n$ तक जाता है,तो $t$ का मान $0$ से $1$ तक जाता है।
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$I_n = \sqrt{n} \int_0^1 f(t/n) e^{-t} \frac{dt}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^1 \frac{t/n}{\sin(t/n)} e^{-t} dt$.
हम जानते हैं कि $\lim_{u \to 0} \frac{u}{\sin u} = 1$ होता है। जैसे $n \to \infty$,$t/n \to 0$ होता है,जहाँ $t \in [0, 1]$ है।
अतः,$\lim_{n \to \infty} \frac{t/n}{\sin(t/n)} = 1$.
समाकल चिह्न के अंतर्गत सीमा के गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\lim_{n \to \infty} I_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^1 (1) e^{-t} dt = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} [1 - e^{-1}] = 0 \times (1 - e^{-1}) = 0$.

(B) माना $I = \int \limits_1^{\sqrt{2}+1} \frac{x^2-1}{x^2+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} \, dx$.
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$x + \frac{1}{x} = t$ लेने पर,$(1 - \frac{1}{x^2}) \, dx = dt$ प्राप्त होता है।
यहाँ $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$ है।
जब $x=1$ है,तो $t=2$ और जब $x=\sqrt{2}+1$ है,तो $t = 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \limits_2^{2\sqrt{2}} \frac{dt}{t \sqrt{t^2 - 2}} = \int \limits_2^{2\sqrt{2}} \frac{dt}{t \sqrt{t^2 - (\sqrt{2})^2}}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2-a^2}} = \frac{1}{a} \sec^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:
$I = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \sec^{-1}(\frac{t}{\sqrt{2}}) \right]_2^{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} [\sec^{-1}(2) - \sec^{-1}(\sqrt{2})] = \frac{1}{\sqrt{2}} [\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}] = \frac{\pi}{12\sqrt{2}}$.

(A) दिया गया है कि $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ एक सतत फलन है जो सभी $x \in [0,1]$ के लिए $x^2+(f(x))^2 \leq 1$ को संतुष्ट करता है।
इसका अर्थ है कि $(f(x))^2 \leq 1-x^2$,इसलिए $f(x) \leq \sqrt{1-x^2}$ क्योंकि $f(x) \geq 0$ है।
दोनों पक्षों का $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर,हमें $\int_0^1 f(x) dx \leq \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$ प्राप्त होता है।
समाकलन $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$ त्रिज्या $1$ वाले वृत्त के एक चौथाई भाग का क्षेत्रफल दर्शाता है,जो $\frac{1}{4} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{4}$ है।
चूंकि दिया गया है कि $\int_0^1 f(x) dx = \frac{\pi}{4}$,इसलिए समानता बनी रहनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि सभी $x \in [0,1]$ के लिए $f(x) = \sqrt{1-x^2}$ है।
अब,हम $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{f(x)}{1-x^2} dx = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x^2} dx = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ का मूल्यांकन करते हैं।
यह $[\sin^{-1} x]_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) - \sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{12}$ के बराबर है।

(C) हमें दिया गया है $g(x) = \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \sin \frac{1}{t} \, dt$।
चूंकि समाकल्य $f(t) = t^{2/3} \sin \frac{1}{t}$,$t=0$ के निकट परिबद्ध है (क्योंकि $|\sin(1/t)| \leq 1$,इसलिए $|f(t)| \leq t^{2/3}$),अतः समाकलन का अस्तित्व है।
हमें $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $g(0) = 0$,यह $0/0$ रूप है।
स्क्वीज़ प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$|g(x)| = \left| \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \sin \frac{1}{t} \, dt \right| \leq \int_0^{|x|^{3/4}} |t^{2/3} \sin \frac{1}{t}| \, dt \leq \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \, dt$।
समाकलन करने पर: $\int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \, dt = \left[ \frac{t^{5/3}}{5/3} \right]_0^{|x|^{3/4}} = \frac{3}{5} (|x|^{3/4})^{5/3} = \frac{3}{5} |x|^{5/4}$।
अतः,$\left| \frac{g(x)}{x} \right| \leq \frac{\frac{3}{5} |x|^{5/4}}{|x|} = \frac{3}{5} |x|^{1/4}$।
जैसे ही $x \rightarrow 0$,$\frac{3}{5} |x|^{1/4} \rightarrow 0$।
इसलिए,स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x} = 0$।

(C) हमें $f(x) = \max \left\{3, x^2, \frac{1}{x^2}\right\}$ दिया गया है,जहाँ $x \in \left[\frac{1}{2}, 2\right]$ है।
समाकलन का मान निकालने के लिए,हम उन अंतरालों को निर्धारित करते हैं जहाँ प्रत्येक फलन अधिकतम है:
$1$. $x \in \left[\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right]$ के लिए,$\frac{1}{x^2} \geq 3$ और $\frac{1}{x^2} \geq x^2$ है,इसलिए $f(x) = \frac{1}{x^2}$ है।
$2$. $x \in \left[\frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}\right]$ के लिए,$3 \geq x^2$ और $3 \geq \frac{1}{x^2}$ है,इसलिए $f(x) = 3$ है।
$3$. $x \in \left[\sqrt{3}, 2\right]$ के लिए,$x^2 \geq 3$ और $x^2 \geq \frac{1}{x^2}$ है,इसलिए $f(x) = x^2$ है।
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int_{1/2}^2 f(x) dx = \int_{1/2}^{1/\sqrt{3}} \frac{1}{x^2} dx + \int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} 3 dx + \int_{\sqrt{3}}^2 x^2 dx$
$= \left[-\frac{1}{x}\right]_{1/2}^{1/\sqrt{3}} + [3x]_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} + \left[\frac{x^3}{3}\right]_{\sqrt{3}}^2$
$= (-\sqrt{3} - (-2)) + (3\sqrt{3} - \sqrt{3}) + \left(\frac{8}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3}\right)$
$= 2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3} + \frac{8}{3} - \sqrt{3} = 2 + \frac{8}{3} = \frac{14}{3}$.

(D) दिया गया है $g(x) = \int_{-3}^3 f(x-y) f(y) \, dy$ और $f(t) = \begin{cases} 1, & 0 \leq t \leq 1 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$.
चूंकि $f(y) = 1$ केवल $0 \leq y \leq 1$ के लिए है,समाकलन $g(x) = \int_0^1 f(x-y) \, dy$ में बदल जाता है।
मान लीजिए $t = x-y$,तो $dt = -dy$. जब $y=0, t=x$; जब $y=1, t=x-1$.
अतः,$g(x) = \int_{x-1}^x f(t) \, dt$.
$f(t)$ की परिभाषा के अनुसार इस समाकलन का मान:
यदि $x < 0$,तो अंतराल $[x-1, x]$,$[0, 1]$ के बाहर है,इसलिए $g(x) = 0$.
यदि $0 \leq x < 1$,तो अंतराल $[x-1, x]$,$[0, 1]$ के साथ $[0, x]$ पर ओवरलैप होता है,इसलिए $g(x) = \int_0^x 1 \, dt = x$.
यदि $1 \leq x < 2$,तो अंतराल $[x-1, x]$,$[0, 1]$ के साथ $[x-1, 1]$ पर ओवरलैप होता है,इसलिए $g(x) = \int_{x-1}^1 1 \, dt = 1 - (x-1) = 2-x$.
यदि $x \geq 2$,तो अंतराल $[x-1, x]$,$[0, 1]$ के बाहर है,इसलिए $g(x) = 0$.
इस प्रकार,$g(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ x, & 0 < x < 1 \\ 2-x, & 1 \leq x < 2 \\ 0, & x \geq 2 \end{cases}$.
$g(x)$ हर जगह सतत है। अवकलज $g'(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & 0 < x < 1 \\ -1, & 1 < x < 2 \\ 0, & x > 2 \end{cases}$.
$g(x)$ बिंदु $x=0, 1, 2$ पर अवकलनीय नहीं है क्योंकि इन बिंदुओं पर बाएं और दाएं अवकलज समान नहीं हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\int_0^1 x f(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx - \int_0^1 x f(x) dx + \frac{1}{3} = 0$
$4$ से गुणा करने पर: $\int_0^1 (f(x))^2 dx - 4 \int_0^1 x f(x) dx + \frac{4}{3} = 0$
$\int_0^1 (2x)^2 dx = \int_0^1 4x^2 dx = [\frac{4x^3}{3}]_0^1 = \frac{4}{3}$ को जोड़ने और घटाने पर:
$\int_0^1 (f(x))^2 dx - 4 \int_0^1 x f(x) dx + \int_0^1 4x^2 dx - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 0$
$\int_0^1 (f(x)^2 - 4x f(x) + 4x^2) dx = 0$
$\int_0^1 (f(x) - 2x)^2 dx = 0$
चूंकि $f(x)$ एक सतत फलन है,$(f(x) - 2x)^2$ अऋणात्मक और सतत है।
एक अऋणात्मक सतत फलन का समाकलन $0$ होने के लिए,समाकल्य को शून्य होना चाहिए।
अतः,$f(x) - 2x = 0 \Rightarrow f(x) = 2x$.
इस प्रकार,ऐसा केवल $1$ सतत फलन है।

(D) दिया गया है $f(x) = \max \{|x|, |x-1|, \ldots, |x-2n|\}$.
हमें $\int_0^{2n} f(x) dx$ का मान ज्ञात करना है।
अंतराल $[0, 2n]$ के लिए,समुच्चय $\{|x|, |x-1|, \ldots, |x-2n|\}$ का अधिकतम मान अंतराल के अंतिम बिंदुओं द्वारा निर्धारित होता है।
विशेष रूप से,$f(x) = \max \{|x|, |x-2n|\}$ है।
हम समाकलन को $x = n$ पर विभाजित करते हैं:
$\int_0^{2n} f(x) dx = \int_0^n f(x) dx + \int_n^{2n} f(x) dx$
$x \in [0, n]$ के लिए,$|x-2n| \geq |x|$,इसलिए $f(x) = |x-2n| = 2n-x$ है।
$x \in [n, 2n]$ के लिए,$|x| \geq |x-2n|$,इसलिए $f(x) = |x| = x$ है।
अतः,$\int_0^{2n} f(x) dx = \int_0^n (2n-x) dx + \int_n^{2n} x dx$ है।
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$\int_0^n (2n-x) dx = [2nx - \frac{x^2}{2}]_0^n = 2n^2 - \frac{n^2}{2} = \frac{3n^2}{2}$ है।
$\int_n^{2n} x dx = [\frac{x^2}{2}]_n^{2n} = \frac{4n^2}{2} - \frac{n^2}{2} = \frac{3n^2}{2}$ है।
दोनों को जोड़ने पर: $\frac{3n^2}{2} + \frac{3n^2}{2} = 3n^2$ प्राप्त होता है।

(D) माना $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है।
दिया है $p(0) = 2$,अतः $d = 2$ है।
दिया है $p(1) = a + b + c + d = 3 \Rightarrow a + b + c = 1$ $(i)$ है।
दिया है $p(-1) = -a + b - c + d = 4 \Rightarrow -a + b - c = 2$ $(ii)$ है।
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,हमें $2b = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $b = \frac{3}{2}$ है।
हमें $I = \int_{-1}^1 (ax^3 + bx^2 + cx + d) dx$ का मूल्यांकन करना है।
चूंकि $ax^3$ और $cx$ विषम फलन हैं,इसलिए $[-1, 1]$ पर इनका समाकलन $0$ होता है।
अतः,$I = \int_{-1}^1 (bx^2 + d) dx = 2 \int_0^1 (bx^2 + d) dx$ है।
$I = 2 \left[ \frac{bx^3}{3} + dx \right]_0^1 = 2 \left( \frac{b}{3} + d \right)$ है।
$b = \frac{3}{2}$ और $d = 2$ रखने पर:
$I = 2 \left( \frac{3/2}{3} + 2 \right) = 2 \left( \frac{1}{2} + 2 \right) = 2 \left( \frac{5}{2} \right) = 5$ है।

(D) दिया गया है कि $f(x) \geq 0$ और $\int_0^1 f(x) dx = 10$ है।
विकल्प $A$ के लिए: चूंकि $x \in [0, 1]$ के लिए $0 < e^{-x} \leq 1$,इसलिए $\int_0^1 e^{-x} f(x) dx \leq \int_0^1 1 \cdot f(x) dx = 10$ है। यह सत्य है।
विकल्प $B$ के लिए: चूंकि $f(x) \geq 0$ और $(1+x)^2 > 0$,इसलिए समाकलन $\int_0^1 -\frac{f(x)}{(1+x)^2} dx \leq 0$ है। चूंकि $0 \leq 10$,यह सत्य है।
विकल्प $C$ के लिए: चूंकि $|\sin(100x)| \leq 1$,इसलिए $|\int_0^1 \sin(100x) f(x) dx| \leq \int_0^1 |\sin(100x)| f(x) dx \leq \int_0^1 f(x) dx = 10$ है। अतः,$-10 \leq \int_0^1 \sin(100x) f(x) dx \leq 10$ है। यह सत्य है।
विकल्प $D$ के लिए: यदि हम ऐसा फलन लें जो एक छोटे अंतराल में बहुत बड़ा हो,तो $f(x)^2$ का समाकलन स्वेच्छ रूप से बड़ा हो सकता है। उदाहरण के लिए,$f(x) = 10(n+1)x^n$ लेने पर,$\int_0^1 f(x)^2 dx = 100 \frac{(n+1)^2}{2n+1}$ प्राप्त होता है,जो $n \to \infty$ होने पर $\infty$ की ओर जाता है। अतः,यह कथन आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

(B) माना $I = \int_0^n \cos(2 \pi [x] \{x\}) dx$.
चूंकि $x \in [k, k+1)$ के लिए $[x] = k$ होता है,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है,हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:
$I = \sum_{k=0}^{n-1} \int_k^{k+1} \cos(2 \pi k (x-k)) dx$.
$k=0$ के लिए,समाकलन $\int_0^1 \cos(0) dx = \int_0^1 1 dx = 1$ है।
$k \geq 1$ के लिए,$u = x-k$ रखने पर,$du = dx$ प्राप्त होता है। समाकलन $\int_0^1 \cos(2 \pi k u) du$ बन जाता है।
इसका मान $\left[ \frac{\sin(2 \pi k u)}{2 \pi k} \right]_0^1 = \frac{\sin(2 \pi k) - \sin(0)}{2 \pi k} = \frac{0-0}{2 \pi k} = 0$ है।
अतः,$I = 1 + 0 + 0 + \dots + 0 = 1$।

(B) माना $I = \int_{1}^{n} [x][\sqrt{x}] \, dx$.
हम समाकलन को $[k, k+1)$ अंतरालों में विभाजित करके हल करते हैं जहाँ $[x]$ स्थिर है।
$x \in [k, k+1)$ के लिए,$[x] = k$.
अतः,$I = \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} k [\sqrt{x}] \, dx$.
प्रत्येक अंतराल के लिए मानों की गणना करने पर:
$k=1, x \in [1, 2)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{1}^{2} 1 \cdot 1 \, dx = 1$.
$k=2, x \in [2, 3)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{2}^{3} 2 \cdot 1 \, dx = 2$.
$k=3, x \in [3, 4)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{3}^{4} 3 \cdot 1 \, dx = 3$.
$k=4, x \in [4, 5)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{4}^{5} 4 \cdot 2 \, dx = 8$.
$k=5, x \in [5, 6)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{5}^{6} 5 \cdot 2 \, dx = 10$.
$k=6, x \in [6, 7)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{6}^{7} 6 \cdot 2 \, dx = 12$.
$k=7, x \in [7, 8)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{7}^{8} 7 \cdot 2 \, dx = 14$.
$k=8, x \in [8, 9)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{8}^{9} 8 \cdot 2 \, dx = 16$.
इन मानों का योग करने पर: $1 + 2 + 3 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 66$.
चूँकि $66 > 60$,इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक $n = 9$ है।

(D) मान लीजिए $I = \int_1^n [x]\{x\} dx$.
चूंकि $x \in [k, k+1)$ के लिए $[x] = k$ होता है,इसलिए हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \sum_{k=1}^{n-1} \int_k^{k+1} k\{x\} dx = \sum_{k=1}^{n-1} k \int_k^{k+1} (x-k) dx$.
मान लीजिए $u = x-k$,तो $du = dx$ होगा। जब $x=k, u=0$ और जब $x=k+1, u=1$ होगा।
अतः,$\int_k^{k+1} (x-k) dx = \int_0^1 u du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,$I = \sum_{k=1}^{n-1} k \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{1}{2} \cdot \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n(n-1)}{4}$.
हमें दिया गया है कि $I > 2013$,इसलिए $\frac{n(n-1)}{4} > 2013$.
$n(n-1) > 8052$.
चूंकि $90 \times 89 = 8010$ और $91 \times 90 = 8190$ होता है,इसलिए असमिका को संतुष्ट करने वाला सबसे छोटा पूर्णांक $n = 91$ है।

(C) मान लीजिए $I = \int \limits_1^{n+1} \frac{(\{x\})^{[x]}}{[x]} d x$.
चूंकि अंतराल $[k, k+1)$ के लिए $[x]$ स्थिर है,जहाँ $k \in \{1, 2, \ldots, n\}$,हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:
$I = \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{(\{x\})^k}{k} d x$.
$u = x-k$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = du$,और जैसे ही $x$,$k$ से $k+1$ तक बदलता है,$\{x\} = u$ होता है:
$I = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \int_{0}^{1} u^k du = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \left[ \frac{u^{k+1}}{k+1} \right]_0^1 = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$.
अतः,$I = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला है,इसलिए $I = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.

(B) मान लीजिए $I = \int_0^5 [x]\{x\} dx$ है।
चूंकि $[x]$ अंतराल $[n, n+1)$ पर स्थिर है,हम समाकलन को विभाजित कर सकते हैं:
$I = \sum_{n=0}^{4} \int_n^{n+1} [x]\{x\} dx$।
$x \in [n, n+1)$ के लिए,$[x] = n$ और $\{x\} = x - n$ है।
अतः,$I = \sum_{n=0}^{4} \int_n^{n+1} n(x-n) dx$।
मान लीजिए $t = x-n$,तो $dt = dx$। जब $x=n, t=0$ और जब $x=n+1, t=1$।
$I = \sum_{n=0}^{4} n \int_0^1 t dt = \sum_{n=0}^{4} n \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^1 = \sum_{n=0}^{4} n \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} (0+1+2+3+4) = \frac{10}{2} = 5$।

(B) दिया गया है कि $f(x) = [x]$ का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड है।
हमें $I = \int_{2}^{8} f(x) \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $[x]$ अंतराल $[n, n+1)$ पर अचर है,हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित करते हैं:
$I = \int_{2}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{4} f(x) \, dx + \int_{4}^{5} f(x) \, dx + \int_{5}^{6} f(x) \, dx + \int_{6}^{7} f(x) \, dx + \int_{7}^{8} f(x) \, dx$.
$x \in [2, 3)$ के लिए,$[x] = 2$,सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $2$ है।
$x \in [3, 4)$ के लिए,$[x] = 3$,सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $3$ है।
$x \in [4, 5)$ के लिए,$[x] = 4$,सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $2$ है।
$x \in [5, 6)$ के लिए,$[x] = 5$,सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $5$ है।
$x \in [6, 7)$ के लिए,$[x] = 6$,सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $3$ है।
$x \in [7, 8)$ के लिए,$[x] = 7$,सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $7$ है।
अतः,$I = \int_{2}^{3} 2 \, dx + \int_{3}^{4} 3 \, dx + \int_{4}^{5} 2 \, dx + \int_{5}^{6} 5 \, dx + \int_{6}^{7} 3 \, dx + \int_{7}^{8} 7 \, dx$.
$I = 2(1) + 3(1) + 2(1) + 5(1) + 3(1) + 7(1) = 2 + 3 + 2 + 5 + 3 + 7 = 22$.

(C) माना $I = \int \limits_0^1 \cos (\pi x) \cos ([2 x] \pi) d x$.
चूंकि $[2x]$ एक स्टेप फलन है,हम समाकलन को $x = \frac{1}{2}$ पर विभाजित करते हैं:
$0 \le x < \frac{1}{2}$ के लिए,$[2x] = 0$,इसलिए $\cos([2x]\pi) = \cos(0) = 1$.
$\frac{1}{2} \le x < 1$ के लिए,$[2x] = 1$,इसलिए $\cos([2x]\pi) = \cos(\pi) = -1$.
अतः,$I = \int \limits_0^{1/2} \cos(\pi x) \cdot (1) d x + \int \limits_{1/2}^1 \cos(\pi x) \cdot (-1) d x$.
$I = \left[ \frac{\sin(\pi x)}{\pi} \right]_0^{1/2} - \left[ \frac{\sin(\pi x)}{\pi} \right]_{1/2}^1$.
$I = \frac{1}{\pi} [\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0)] - \frac{1}{\pi} [\sin(\pi) - \sin(\frac{\pi}{2})]$.
$I = \frac{1}{\pi} [1 - 0] - \frac{1}{\pi} [0 - 1] = \frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi} = \frac{2}{\pi}$.

(A) माना $I = \int \limits_0^{\pi / 2} \frac{\sin x \cos x}{1+\cos ^4 x} d x$ है।
$\cos ^2 x = t$ प्रतिस्थापित करें। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2 \cos x (-\sin x) d x = d t$,जिसका अर्थ है कि $\sin x \cos x d x = -\frac{1}{2} d t$ है।
समाकलन की सीमाएँ बदलने पर:
जब $x = 0$,तब $t = \cos ^2(0) = 1$ है।
जब $x = \frac{\pi}{2}$,तब $t = \cos ^2(\frac{\pi}{2}) = 0$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \limits_1^0 \frac{-1/2}{1+t^2} d t = \frac{1}{2} \int \limits_0^1 \frac{1}{1+t^2} d t$ प्राप्त होता है।
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$I = \frac{1}{2} [\tan ^{-1}(t)]_0^1 = \frac{1}{2} (\tan ^{-1}(1) - \tan ^{-1}(0)) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{8}$।

(C) माना $I = 12 \int_0^3 |x^2 - 3x + 2| dx$ है।
सबसे पहले,द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करें: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$।
व्यंजक $(x - 1)(x - 2)$ अंतराल $[0, 1)$ पर धनात्मक,$(1, 2)$ पर ऋणात्मक और $(2, 3]$ पर धनात्मक है।
अतः,हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$I = 12 \left[ \int_0^1 (x^2 - 3x + 2) dx + \int_1^2 -(x^2 - 3x + 2) dx + \int_2^3 (x^2 - 3x + 2) dx \right]$।
प्रत्येक समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$\int (x^2 - 3x + 2) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x$।
$[0, 1]$ के लिए: $[\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2] - [0] = \frac{2 - 9 + 12}{6} = \frac{5}{6}$।
$[1, 2]$ के लिए: $-[(\frac{8}{3} - 6 + 4) - (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2)] = -[(\frac{2}{3}) - (\frac{5}{6})] = -[\frac{4-5}{6}] = \frac{1}{6}$।
$[2, 3]$ के लिए: $[(9 - \frac{27}{2} + 6) - (\frac{8}{3} - 6 + 4)] = [15 - 13.5 - \frac{2}{3}] = [1.5 - \frac{2}{3}] = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9-4}{6} = \frac{5}{6}$।
योग करने पर: $I = 12 \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{6} + \frac{5}{6} \right) = 12 \left( \frac{11}{6} \right) = 22$।

(D) हमें समाकलन $I = \int \limits_{\frac{3 \sqrt{2}}{4}}^{\frac{3 \sqrt{3}}{4}} \frac{48}{\sqrt{9-4 x^2}} dx$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,समाकलन को $I = \int \limits_{\frac{3 \sqrt{2}}{4}}^{\frac{3 \sqrt{3}}{4}} \frac{48}{\sqrt{3^2-(2 x)^2}} dx$ के रूप में लिखें।
मानक सूत्र $\int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ का उपयोग करते हुए,$u = 2x$ रखने पर,$du = 2dx$ या $dx = \frac{du}{2}$ प्राप्त होता है।
जब $x = \frac{3\sqrt{2}}{4}$,तब $u = 2(\frac{3\sqrt{2}}{4}) = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
जब $x = \frac{3\sqrt{3}}{4}$,तब $u = 2(\frac{3\sqrt{3}}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$I = \int_{\frac{3\sqrt{2}}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} \frac{48}{\sqrt{3^2-u^2}} \cdot \frac{du}{2} = 24 \int_{\frac{3\sqrt{2}}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} \frac{du}{\sqrt{3^2-u^2}}$.
$I = 24 \left[ \sin^{-1} \left( \frac{u}{3} \right) \right]_{\frac{3\sqrt{2}}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}}$.
$I = 24 \left[ \sin^{-1} \left( \frac{3\sqrt{3}/2}{3} \right) - \sin^{-1} \left( \frac{3\sqrt{2}/2}{3} \right) \right]$.
$I = 24 \left[ \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right]$.
$I = 24 \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \right) = 24 \left( \frac{4\pi - 3\pi}{12} \right) = 24 \left( \frac{\pi}{12} \right) = 2\pi$.

(A) हम समाकलन $I = \int_{\frac{1}{3}}^3 |\log_e x| dx$ का मूल्यांकन करते हैं। चूँकि $x \in [\frac{1}{3}, 1)$ के लिए $\log_e x < 0$ और $x \in [1, 3]$ के लिए $\log_e x \ge 0$ है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$I = \int_{\frac{1}{3}}^1 -\log_e x dx + \int_1^3 \log_e x dx$
सूत्र $\int \log_e x dx = x \log_e x - x$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$I = -[x \log_e x - x]_{\frac{1}{3}}^1 + [x \log_e x - x]_1^3$
$I = -[(1 \log_e 1 - 1) - (\frac{1}{3} \log_e \frac{1}{3} - \frac{1}{3})] + [(3 \log_e 3 - 3) - (1 \log_e 1 - 1)]$
$I = -[-1 - (-\frac{1}{3} \log_e 3 - \frac{1}{3})] + [3 \log_e 3 - 3 + 1]$
$I = -[-1 + \frac{1}{3} \log_e 3 + \frac{1}{3}] + [3 \log_e 3 - 2]$
$I = -[-\frac{2}{3} + \frac{1}{3} \log_e 3] + 3 \log_e 3 - 2$
$I = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \log_e 3 + 3 \log_e 3 - 2 = \frac{8}{3} \log_e 3 - \frac{4}{3} = \frac{4}{3} (2 \log_e 3 - 1) = \frac{4}{3} \log_e (\frac{3^2}{e}) = \frac{4}{3} \log_e (\frac{9}{e})$.
इसकी तुलना $\frac{m}{n} \log_e (\frac{n^2}{e})$ से करने पर,हमें $m = 4$ और $n = 3$ प्राप्त होता है।
ये सह-अभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ हैं।
अतः,$m^2 + n^2 - 5 = 4^2 + 3^2 - 5 = 16 + 9 - 5 = 20$.

(A) हमें $I = \int_0^2 \max \{x^2, 1 + [x]\} dx$ का मूल्यांकन करना है।
$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $f(x) = \max \{x^2, 1\} = 1$ है।
$x \in [1, \sqrt{2})$ के लिए,$[x] = 1$,इसलिए $f(x) = \max \{x^2, 2\} = 2$ है (क्योंकि $x < \sqrt{2}$ के लिए $x^2 < 2$ है)।
$x \in [\sqrt{2}, 2)$ के लिए,$[x] = 1$,इसलिए $f(x) = \max \{x^2, 2\} = x^2$ है (क्योंकि $x \geq \sqrt{2}$ के लिए $x^2 \geq 2$ है)।
$x=2$ पर,$f(2) = \max \{4, 1+2\} = 4$ है।
अतः,समाकल इस प्रकार है:
$I = \int_0^1 1 dx + \int_1^{\sqrt{2}} 2 dx + \int_{\sqrt{2}}^2 x^2 dx$
$I = [x]_0^1 + [2x]_1^{\sqrt{2}} + [\frac{x^3}{3}]_{\sqrt{2}}^2$
$I = (1 - 0) + (2\sqrt{2} - 2) + (\frac{8}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{3})$
$I = 1 + 2\sqrt{2} - 2 + \frac{8}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{3}$
$I = (1 - 2 + \frac{8}{3}) + (2\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3})$
$I = \frac{5}{3} + \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{5+4\sqrt{2}}{3}$.

(C) माना $I = \int \limits_1^2 \left(\frac{t^4+1}{t^6+1}\right) dt$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{t^4+1}{t^6+1} = \frac{(t^4-t^2+1) + t^2}{(t^2+1)(t^4-t^2+1)} = \frac{1}{t^2+1} + \frac{t^2}{t^6+1}$.
अब,पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = \int \limits_1^2 \frac{1}{t^2+1} dt + \int \limits_1^2 \frac{t^2}{(t^3)^2+1} dt$.
दूसरे समाकलन के लिए,$u = t^3$ लें,तो $du = 3t^2 dt$,इसलिए $t^2 dt = \frac{1}{3} du$.
$I = [\tan^{-1}(t)]_1^2 + \frac{1}{3} [\tan^{-1}(t^3)]_1^2$.
सीमाओं का मूल्यांकन करने पर:
$I = (\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)) + \frac{1}{3} (\tan^{-1}(8) - \tan^{-1}(1))$.
चूंकि $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$:
$I = \tan^{-1}(2) - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3} \tan^{-1}(8) - \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{4}$.
$I = \tan^{-1}(2) + \frac{1}{3} \tan^{-1}(8) - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12} = \tan^{-1}(2) + \frac{1}{3} \tan^{-1}(8) - \frac{4\pi}{12}$.
$I = \tan^{-1}(2) + \frac{1}{3} \tan^{-1}(8) - \frac{\pi}{3}$.

(B) हमें समाकलन $I = \int_{0}^{\alpha} \frac{t^{50}}{1-t} dt$ का मान ज्ञात करना है।
बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: $\frac{t^{50}}{1-t} = \frac{t^{50}-1+1}{1-t} = \frac{-(1-t^{50})}{1-t} + \frac{1}{1-t} = -(1 + t + t^2 + \dots + t^{49}) + \frac{1}{1-t}$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \int_{0}^{\alpha} -(1 + t + t^2 + \dots + t^{49}) dt + \int_{0}^{\alpha} \frac{1}{1-t} dt$.
$I = -\left[ t + \frac{t^2}{2} + \dots + \frac{t^{50}}{50} \right]_{0}^{\alpha} + \left[ -\ln(1-t) \right]_{0}^{\alpha}$.
$I = -P_{50}(\alpha) - \ln(1-\alpha)$.
दिया गया है कि $\beta = \log_{e}(1-\alpha)$,इसलिए $I = -P_{50}(\alpha) - \beta = -(\beta + P_{50}(\alpha))$.

(C) माना $I = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{2+3 \sin x}{\sin x(1+\cos x)} d x = 2 \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{d x}{\sin x(1+\cos x)} + 3 \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\cos x}$.
सबसे पहले,$I_1 = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\cos x} = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{1-\cos x}{\sin^2 x} d x = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} (\operatorname{cosec}^2 x - \cot x \operatorname{cosec} x) d x$ का मूल्यांकन करें।
$I_1 = [-\cot x + \operatorname{cosec} x]_{\pi / 3}^{\pi / 2} = (0 + 1) - (-\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}}) = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इसके बाद,$I_2 = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{d x}{\sin x(1+\cos x)}$ का मूल्यांकन करें। $t = \tan(x/2)$ लेने पर,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.
$I_2 = \int \limits_{1/\sqrt{3}}^{1} \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2} (1 + \frac{1-t^2}{1+t^2})} \cdot \frac{2 dt}{1+t^2} = \int \limits_{1/\sqrt{3}}^{1} \frac{1+t^2}{2t} dt = \frac{1}{2} [\ln|t| + \frac{t^2}{2}]_{1/\sqrt{3}}^{1}$.
$I_2 = \frac{1}{2} [(\ln 1 + \frac{1}{2}) - (\ln \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{6})] = \frac{1}{2} [\frac{1}{3} + \ln \sqrt{3}] = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \ln \sqrt{3}$.
अतः,$I = 2 I_2 + 3 I_1 = 2(\frac{1}{6} + \frac{1}{2} \ln \sqrt{3}) + 3(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{1}{3} + \ln \sqrt{3} + 3 - \sqrt{3} = \frac{10}{3} - \sqrt{3} + \ln \sqrt{3}$.

(A) समाकल्य के हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{x}{\sqrt{x+\alpha}-\sqrt{x}} = \frac{x(\sqrt{x+\alpha}+\sqrt{x})}{(x+\alpha)-x} = \frac{x(\sqrt{x+\alpha}+\sqrt{x})}{\alpha} = \frac{1}{\alpha}(x(x+\alpha)^{1/2} + x^{3/2})$
हम $x(x+\alpha)^{1/2}$ को $((x+\alpha)-\alpha)(x+\alpha)^{1/2} = (x+\alpha)^{3/2} - \alpha(x+\alpha)^{1/2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$\frac{1}{\alpha} \int_0^{\alpha} ((x+\alpha)^{3/2} - \alpha(x+\alpha)^{1/2} + x^{3/2}) dx$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$= \frac{1}{\alpha} \left[ \frac{2}{5}(x+\alpha)^{5/2} - \alpha \cdot \frac{2}{3}(x+\alpha)^{3/2} + \frac{2}{5}x^{5/2} \right]_0^{\alpha}$
$= \frac{1}{\alpha} \left( \left( \frac{2}{5}(2\alpha)^{5/2} - \frac{2\alpha}{3}(2\alpha)^{3/2} + \frac{2}{5}\alpha^{5/2} \right) - \left( \frac{2}{5}\alpha^{5/2} - \frac{2\alpha}{3}\alpha^{3/2} + 0 \right) \right)$
$= \frac{1}{\alpha} \left( \frac{2}{5} \cdot 4\sqrt{2} \alpha^{5/2} - \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} \alpha^{5/2} + \frac{2}{5}\alpha^{5/2} - \frac{2}{5}\alpha^{5/2} + \frac{2}{3}\alpha^{5/2} \right)$
$= \alpha^{3/2} \left( \frac{8\sqrt{2}}{5} - \frac{4\sqrt{2}}{3} + \frac{2}{3} \right) = \alpha^{3/2} \left( \frac{24\sqrt{2} - 20\sqrt{2} + 10}{15} \right) = \alpha^{3/2} \left( \frac{4\sqrt{2} + 10}{15} \right)$
दिया गया है कि $\alpha^{3/2} \left( \frac{10 + 4\sqrt{2}}{15} \right) = \frac{16 + 20\sqrt{2}}{15}$।
पदों की तुलना करने पर,यदि $\alpha = 2$ है,तो $\alpha^{3/2} = 2\sqrt{2}$।
$2\sqrt{2} \cdot \frac{10 + 4\sqrt{2}}{15} = \frac{20\sqrt{2} + 8(2)}{15} = \frac{20\sqrt{2} + 16}{15}$।
अतः,$\alpha = 2$।

(A) हम $[x^2]$ के मानों के आधार पर अंतराल को विभाजित करके समाकलन $\int_0^{2.4} [x^2] dx$ का मूल्यांकन करते हैं।
$\int_0^{2.4} [x^2] dx = \int_0^1 [x^2] dx + \int_1^{\sqrt{2}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{3}}^2 [x^2] dx + \int_2^{\sqrt{5}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{5}}^{2.4} [x^2] dx$
$= \int_0^1 0 dx + \int_1^{\sqrt{2}} 1 dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx + \int_{\sqrt{3}}^2 3 dx + \int_2^{\sqrt{5}} 4 dx + \int_{\sqrt{5}}^{2.4} 5 dx$
$= 0 + (\sqrt{2} - 1) + 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 3(2 - \sqrt{3}) + 4(\sqrt{5} - 2) + 5(2.4 - \sqrt{5})$
$= \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3} + 4\sqrt{5} - 8 + 12 - 5\sqrt{5}$
$= ( -1 + 6 - 8 + 12 ) + (1 - 2)\sqrt{2} + (2 - 3)\sqrt{3} + (4 - 5)\sqrt{5}$
$= 9 - \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}$
इसकी तुलना $\alpha + \beta \sqrt{2} + \gamma \sqrt{3} + \delta \sqrt{5}$ से करने पर,हमें $\alpha = 9$,$\beta = -1$,$\gamma = -1$,और $\delta = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 9 - 1 - 1 - 1 = 6$.

(D) माना $I = \int \limits_{-\ln 2}^{\ln 2} e^x \ln \left(e^x+\sqrt{1+e^{2 x}}\right) d x$.
$e^x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$e^x dx = dt$ प्राप्त होता है। जब $x = -\ln 2$,तब $t = 1/2$ और जब $x = \ln 2$,तब $t = 2$.
$I = \int \limits_{1/2}^{2} \ln \left(t+\sqrt{1+t^2}\right) dt$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int u dv = uv - \int v du$. $u = \ln(t+\sqrt{1+t^2})$ और $dv = dt$ लेने पर.
$du = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} dt$ प्राप्त होता है।
$I = [t \ln(t+\sqrt{1+t^2})]_{1/2}^{2} - \int \limits_{1/2}^{2} \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} dt$.
$I = [2 \ln(2+\sqrt{5}) - \frac{1}{2} \ln(\frac{1+\sqrt{5}}{2})] - [\sqrt{1+t^2}]_{1/2}^{2}$.
$I = 2 \ln(2+\sqrt{5}) - \frac{1}{2} \ln(\frac{1+\sqrt{5}}{2}) - (\sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}}{2})$.
$I = \ln \left( \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{5})^2}{\sqrt{1+\sqrt{5}}} \right) - \frac{\sqrt{5}}{2}$.

(B) दिया गया है कि $\alpha(m, n) = \int_0^2 t^m(1+3t)^n dt$ है।
हमें $11\alpha(10, 6) + 18\alpha(11, 5)$ का मान ज्ञात करना है।
समाकलन $I = \int_0^2 t^{10}(1+3t)^6 dt$ पर विचार करें।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = (1+3t)^6$ और $dv = t^{10} dt$ लें।
तब $du = 6(1+3t)^5 \cdot 3 dt = 18(1+3t)^5 dt$ और $v = \frac{t^{11}}{11}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha(10, 6) = \left[ \frac{t^{11}}{11}(1+3t)^6 \right]_0^2 - \int_0^2 \frac{t^{11}}{11} \cdot 18(1+3t)^5 dt$ है।
दोनों पक्षों को $11$ से गुणा करने पर:
$11\alpha(10, 6) = \left[ t^{11}(1+3t)^6 \right]_0^2 - 18 \int_0^2 t^{11}(1+3t)^5 dt$ है।
$11\alpha(10, 6) = 2^{11}(1+3(2))^6 - 0 - 18\alpha(11, 5)$ है।
$11\alpha(10, 6) + 18\alpha(11, 5) = 2^{11}(7)^6$ है।
$11\alpha(10, 6) + 18\alpha(11, 5) = 2^5 \cdot 2^6 \cdot 7^6 = 32 \cdot (2 \cdot 7)^6 = 32(14)^6$ है।
इसकी तुलना $p(14)^6$ से करने पर,हमें $p = 32$ प्राप्त होता है।

(C) $x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$ है,इसलिए $x - [x] = x$ होता है। $x \in [0, 1]$ के लिए $x^2 \le x$ होने के कारण,$\min \{x^2, x\} = x^2$ होता है। अतः $f(x) = e^{x^2}$।
$x \in [1, 2]$ के लिए,$x - \log_e x$ पर विचार करें। चूँकि $x \ge 1$,$\log_e x \ge 0$ है। $x \in [1, 2]$ के लिए,$1 \le x - \log_e x < 2 - \log_e 2 \approx 1.307$ होता है। इसलिए $[x - \log_e x] = 1$। अतः $f(x) = e^1 = e$।
अब,समाकलन $\int_0^2 x f(x) dx = \int_0^1 x e^{x^2} dx + \int_1^2 x e dx$ है।
पहले भाग के लिए,$u = x^2$ लेने पर,$du = 2x dx$ मिलता है,इसलिए $\int_0^1 x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 e^u du = \frac{1}{2} [e^u]_0^1 = \frac{1}{2}(e - 1)$।
दूसरे भाग के लिए,$\int_1^2 x e dx = e [\frac{x^2}{2}]_1^2 = e(\frac{4}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{3e}{2}$।
दोनों को जोड़ने पर: $\frac{1}{2}(e - 1) + \frac{3e}{2} = \frac{e}{2} - \frac{1}{2} + \frac{3e}{2} = 2e - \frac{1}{2}$।

(D) चूंकि फलन $f(x) = |100x^2 - 1|$ एक सम फलन है,इसलिए $\int_{-0.15}^{0.15} |100x^2 - 1| dx = 2 \int_{0}^{0.15} |100x^2 - 1| dx$ होगा।
क्रांतिक बिंदु $100x^2 - 1 = 0$ लेने पर,$x^2 = \frac{1}{100}$,अतः $x = 0.1$ (जो अंतराल $[0, 0.15]$ में है)।
अतः,$I = 2 \left[ \int_{0}^{0.1} (1 - 100x^2) dx + \int_{0.1}^{0.15} (100x^2 - 1) dx \right]$.
समाकलन करने पर:
$I = 2 \left[ x - \frac{100x^3}{3} \right]_0^{0.1} + 2 \left[ \frac{100x^3}{3} - x \right]_{0.1}^{0.15}$.
$I = 2 \left( 0.1 - \frac{0.1}{3} \right) + 2 \left( 0.1125 - 0.15 - \frac{0.1}{3} + 0.1 \right)$.
$I = 2 \left( \frac{0.2}{3} \right) + 2 \left( 0.0625 - \frac{0.1}{3} \right) = \frac{0.2}{3} + 0.125$.
$I = \frac{0.575}{3} = \frac{575}{3000}$.
$\frac{k}{3000}$ से तुलना करने पर,$k = 575$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $S_0(x) = x$ और $C_0 = 1$.
$k=1$ के लिए: $C_1 = 1 - \int_0^1 S_0(x) dx = 1 - \int_0^1 x dx = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$S_1(x) = C_1 x + 1 \int_0^x S_0(t) dt = \frac{1}{2}x + \int_0^x t dt = \frac{1}{2}x + \frac{x^2}{2}$.
$k=2$ के लिए: $C_2 = 1 - \int_0^1 S_1(x) dx = 1 - \int_0^1 (\frac{1}{2}x + \frac{x^2}{2}) dx = 1 - [\frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{6}]_0^1 = 1 - (\frac{1}{4} + \frac{1}{6}) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$.
$S_2(x) = C_2 x + 2 \int_0^x S_1(t) dt = \frac{7}{12}x + 2 \int_0^x (\frac{1}{2}t + \frac{t^2}{2}) dt = \frac{7}{12}x + 2 [\frac{t^2}{4} + \frac{t^3}{6}]_0^x = \frac{7}{12}x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$.
$k=3$ के लिए: $C_3 = 1 - \int_0^1 S_2(x) dx = 1 - \int_0^1 (\frac{7}{12}x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}) dx = 1 - [\frac{7x^2}{24} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{12}]_0^1 = 1 - (\frac{7}{24} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}) = 1 - \frac{7+4+2}{24} = 1 - \frac{13}{24} = \frac{11}{24}$.
अब,$S_2(3) = \frac{7}{12}(3) + \frac{3^2}{2} + \frac{3^3}{3} = \frac{7}{4} + \frac{9}{2} + 9 = \frac{7+18+36}{4} = \frac{61}{4}$.
अंत में,$S_2(3) + 6C_3 = \frac{61}{4} + 6(\frac{11}{24}) = \frac{61}{4} + \frac{11}{4} = \frac{72}{4} = 18$.

(B) मान लीजिए $u = \sin x$,तब $du = \cos x \, dx$। जब $x=0, u=0$ और जब $x=\frac{\pi}{2}, u=1$।
$f_n = \int_0^1 \left(\sum_{k=1}^n u^{k-1}\right) \left(\sum_{k=1}^n (2k-1) u^{k-1}\right) du$।
मान लीजिए $S_1 = \sum_{k=1}^n u^{k-1} = 1 + u + u^2 + \dots + u^{n-1} = \frac{1-u^n}{1-u}$।
मान लीजिए $S_2 = \sum_{k=1}^n (2k-1) u^{k-1} = \frac{d}{du} \sum_{k=1}^n u^{2k-1} = \frac{d}{du} (u + u^3 + \dots + u^{2n-1}) = \frac{d}{du} \left( u \frac{1-u^{2n}}{1-u^2} \right)$।
समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $f_n = n^2$।
अतः,$f_{21} - f_{20} = 21^2 - 20^2 = (21-20)(21+20) = 41$।

(D) समाकल्य का परिमेयकरण करने पर: $\int_0^1 \frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{1+x}}{(3+x)-(1+x)} d x = \frac{1}{2} \int_0^1 (\sqrt{3+x}-\sqrt{1+x}) d x$
समाकलन का मूल्यांकन करने पर: $\frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3}(3+x)^{3/2} - \frac{2}{3}(1+x)^{3/2} \right]_0^1$
$= \frac{1}{3} \left[ (3+x)^{3/2} - (1+x)^{3/2} \right]_0^1$
$= \frac{1}{3} \left[ (4^{3/2} - 2^{3/2}) - (3^{3/2} - 1^{3/2}) \right]$
$= \frac{1}{3} \left[ (8 - 2\sqrt{2}) - (3\sqrt{3} - 1) \right] = \frac{1}{3} [9 - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}] = 3 - \frac{2}{3}\sqrt{2} - \sqrt{3}$
$a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=3$,$b=-\frac{2}{3}$,$c=-1$ प्राप्त होता है
$2a+3b-4c = 2(3) + 3(-\frac{2}{3}) - 4(-1) = 6 - 2 + 4 = 8$

(A) माना $f(x) = \sqrt{\frac{10x}{x+1}} = \sqrt{10 - \frac{10}{x+1}}$.
जैसे-जैसे $x$,$0$ से $9$ तक बढ़ता है,$f(x)$,$0$ से $3$ तक बढ़ता है।
$[f(x)]$ का मान उन बिंदुओं पर बदलता है जहाँ $f(x) = k$ हो,जहाँ $k \in \{1, 2, 3\}$.
$f(x) = 1$ के लिए: $\frac{10x}{x+1} = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{9}$.
$f(x) = 2$ के लिए: $\frac{10x}{x+1} = 4 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$.
$f(x) = 3$ के लिए: $\frac{10x}{x+1} = 9 \Rightarrow x = 9$.
अतः,समाकलन $I = 9 \int_0^9 [f(x)] dx$ इस प्रकार होगा:
$I = 9 \left( \int_0^{1/9} 0 dx + \int_{1/9}^{2/3} 1 dx + \int_{2/3}^9 2 dx \right)$.
$I = 9 \left( 0 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{9}) + 2(9 - \frac{2}{3}) \right)$.
$I = 9 \left( \frac{5}{9} + 2(\frac{25}{3}) \right) = 9 \left( \frac{5}{9} + \frac{50}{3} \right) = 5 + 150 = 155$.

(D) $f(x)$ के $\mathbb{R}$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 1$ पर सतत होना चाहिए।
अतः,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \implies 1^2 + 3(1) + a = b(1) + 2 \implies 4 + a = b + 2 \implies a = b - 2$.
साथ ही,$x = 1$ पर अवकलज का अस्तित्व होना चाहिए।
$x < 1$ के लिए $f'(x) = 2x + 3$ और $x > 1$ के लिए $f'(x) = b$ है।
$x = 1$ पर अवकलनीयता के लिए,$\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \implies 2(1) + 3 = b \implies b = 5$.
$a = b - 2$ में $b = 5$ रखने पर,हमें $a = 3$ प्राप्त होता है।
अब,समाकलन की गणना करते हैं:
$\int_{-2}^2 f(x) dx = \int_{-2}^1 (x^2 + 3x + 3) dx + \int_1^2 (5x + 2) dx$.
$= \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 3x \right]_{-2}^1 + \left[ \frac{5x^2}{2} + 2x \right]_1^2$.
$= \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 3 \right) - \left( \frac{-8}{3} + 6 - 6 \right) + \left( (10 + 4) - (\frac{5}{2} + 2) \right)$.
$= (\frac{2 + 9 + 18}{6}) - (-\frac{8}{3}) + (14 - \frac{9}{2}) = \frac{29}{6} + \frac{16}{6} + \frac{19}{2} = \frac{45}{6} + \frac{57}{6} = \frac{102}{6} = 17$.

(A) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \cdot (\cos x)^{\frac{11}{2}} \left(1 + (\cos x)^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} dx$.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$I = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos x \cdot (\cos x)^{\frac{11}{2}} \left(1 + (\cos x)^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} dx = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x (\cos x)^{\frac{13}{2}} \left(1 + (\cos x)^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} dx$.
माना $\cos x = t^2$,तब $-\sin x dx = 2t dt$. जब $x=0, t=1$; जब $x=\frac{\pi}{2}, t=0$.
$I = 2 \int_1^0 (t^2)^{\frac{13}{2}} (1 + (t^2)^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{2}} (-2t dt) = 4 \int_0^1 t^{13} (1 + t^5)^{\frac{1}{2}} t dt = 4 \int_0^1 t^{14} \sqrt{1+t^5} dt$.
माना $1+t^5 = k^2$,तब $5t^4 dt = 2k dk$. जब $t=0, k=1$; जब $t=1, k=\sqrt{2}$.
साथ ही $t^5 = k^2-1$,इसलिए $t^{10} = (k^2-1)^2$.
$I = 4 \int_1^{\sqrt{2}} (k^2-1)^2 \cdot k \cdot \frac{2k}{5} dk = \frac{8}{5} \int_1^{\sqrt{2}} (k^6 - 2k^4 + k^2) dk$.
$I = \frac{8}{5} \left[ \frac{k^7}{7} - \frac{2k^5}{5} + \frac{k^3}{3} \right]_1^{\sqrt{2}} = \frac{8}{5} \left[ (\frac{8\sqrt{2}}{7} - \frac{8\sqrt{2}}{5} + \frac{2\sqrt{2}}{3}) - (\frac{1}{7} - \frac{2}{5} + \frac{1}{3}) \right]$.
$I = \frac{8}{5} \left[ \frac{120\sqrt{2} - 168\sqrt{2} + 70\sqrt{2}}{105} - \frac{15 - 42 + 35}{105} \right] = \frac{8}{5} \left[ \frac{22\sqrt{2}}{105} - \frac{8}{105} \right] = \frac{176\sqrt{2} - 64}{525}$.
अतः,$525 I = 176\sqrt{2} - 64$.
$(n \sqrt{2}-64)$ से तुलना करने पर,हमें $n = 176$ प्राप्त होता है।

(A) हम समाकलन $I = \int_0^{\pi/3} \cos^4 x \, dx$ का मूल्यांकन करते हैं।
सर्वसमिका $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर,हमारे पास $\cos^4 x = \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x)$ है।
$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\cos^4 x = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\cos 4x = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x$ प्राप्त होता है।
अब,प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \int_0^{\pi/3} \left(\frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x\right) dx$
$I = \left[ \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x \right]_0^{\pi/3}$
$I = \left( \frac{3}{8} \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{1}{4}\sin\frac{2\pi}{3} + \frac{1}{32}\sin\frac{4\pi}{3} \right) - (0)$
$I = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{32} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$I = \frac{\pi}{8} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\sqrt{3}}{64} = \frac{\pi}{8} + \frac{8\sqrt{3} - \sqrt{3}}{64} = \frac{\pi}{8} + \frac{7\sqrt{3}}{64}$.
$a\pi + b\sqrt{3}$ के साथ तुलना करने पर,$a = \frac{1}{8}$ और $b = \frac{7}{64}$ प्राप्त होता है।
अतः,$9a + 8b = 9(\frac{1}{8}) + 8(\frac{7}{64}) = \frac{9}{8} + \frac{7}{8} = \frac{16}{8} = 2$.

(C) दिया गया है $F(x) = \int_0^x t f(t) dt$। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$F'(x) = x f(x)$।
दिया गया है $F(x^2) = x^4 + x^5$। मान लीजिए $u = x^2$,तो $F(u) = u^2 + u^{5/2}$।
$u$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $F'(u) = 2u + \frac{5}{2} u^{3/2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $F'(u) = u f(u)$,इसलिए $u f(u) = 2u + \frac{5}{2} u^{3/2}$।
$u$ से भाग देने पर,हमें $f(u) = 2 + \frac{5}{2} u^{1/2}$ प्राप्त होता है।
हमें $\sum_{r=1}^{12} f(r^2)$ का मान ज्ञात करना है। $u = r^2$ रखने पर,$f(r^2) = 2 + \frac{5}{2} (r^2)^{1/2} = 2 + \frac{5}{2} r$।
अतः,$\sum_{r=1}^{12} f(r^2) = \sum_{r=1}^{12} (2 + \frac{5}{2} r) = \sum_{r=1}^{12} 2 + \frac{5}{2} \sum_{r=1}^{12} r$।
$= 2(12) + \frac{5}{2} \left( \frac{12 \times 13}{2} \right) = 24 + \frac{5}{2} (78) = 24 + 5(39) = 24 + 195 = 219$।

(A) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{136 \sin x}{3 \sin x+5 \cos x} dx$.
अंश को $136 \sin x = A(3 \sin x + 5 \cos x) + B(3 \cos x - 5 \sin x)$ के रूप में लिखने पर।
$\sin x$ और $\cos x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$136 = 3A - 5B$ ... $(1)$
$0 = 5A + 3B$ ... $(2)$
$(2)$ से,$B = -\frac{5}{3}A$. इसे $(1)$ में रखने पर:
$136 = 3A - 5(-\frac{5}{3}A) = 3A + \frac{25}{3}A = \frac{34}{3}A$.
अतः,$A = \frac{136 \times 3}{34} = 12$ और $B = -\frac{5}{3}(12) = -20$.
अब,$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{12(3 \sin x + 5 \cos x) - 20(3 \cos x - 5 \sin x)}{3 \sin x + 5 \cos x} dx$.
$I = 12 \int_0^{\pi / 4} dx - 20 \int_0^{\pi / 4} \frac{3 \cos x - 5 \sin x}{3 \sin x + 5 \cos x} dx$.
$I = 12[x]_0^{\pi / 4} - 20[\ln|3 \sin x + 5 \cos x|]_0^{\pi / 4}$.
$I = 12(\frac{\pi}{4}) - 20[\ln(\frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{5}{\sqrt{2}}) - \ln(5)]$.
$I = 3\pi - 20[\ln(\frac{8}{\sqrt{2}}) - \ln(5)] = 3\pi - 20[\ln(4\sqrt{2}) - \ln(5)]$.
$I = 3\pi - 20[\ln(2^{5/2}) - \ln(5)] = 3\pi - 20[\frac{5}{2}\ln 2 - \ln 5]$.
$I = 3\pi - 50 \ln 2 + 20 \ln 5$.

(D) हम समाकलन $I = \int_0^3 [x^2] dx + \int_0^3 [\frac{x^2}{2}] dx$ का मूल्यांकन करते हैं।
$\int_0^3 [x^2] dx$ के लिए:
$[x^2] = 0$ जब $x \in [0, 1)$,$1$ जब $x \in [1, \sqrt{2})$,$2$ जब $x \in [\sqrt{2}, \sqrt{3})$,$3$ जब $x \in [\sqrt{3}, 2)$,$4$ जब $x \in [2, \sqrt{5})$,$5$ जब $x \in [\sqrt{5}, \sqrt{6})$,$6$ जब $x \in [\sqrt{6}, \sqrt{7})$,$7$ जब $x \in [\sqrt{7}, \sqrt{8})$,$8$ जब $x \in [\sqrt{8}, 3)$।
इसका मान $24 - 3\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5} - \sqrt{6} - \sqrt{7}$ प्राप्त होता है।
$\int_0^3 [\frac{x^2}{2}] dx$ के लिए:
$[\frac{x^2}{2}] = 0$ जब $x \in [0, \sqrt{2})$,$1$ जब $x \in [\sqrt{2}, 2)$,$2$ जब $x \in [2, \sqrt{6})$,$3$ जब $x \in [\sqrt{6}, \sqrt{8})$,$4$ जब $x \in [\sqrt{8}, 3)$।
इसका मान $10 - 3\sqrt{2} - \sqrt{6}$ प्राप्त होता है।
दोनों का योग करने पर: $I = 34 - 6\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5} - 2\sqrt{6} - \sqrt{7}$।
तुलना करने पर $a = 31, b = -6, c = -2$ लेने पर,$a + b + c = 31 - 6 - 2 = 23$ प्राप्त होता है।