माना n in N के लिए a_{n} = int_{-1}^{n} left( | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $a_{n} = \int_{-1}^{n} \left(\sum_{k=1}^{n} \frac{x^{k-1}}{k}\right) dx$. प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $a_{n} =

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(C) दिया गया है $a_{n} = \int_{-1}^{n} \left(\sum_{k=1}^{n} \frac{x^{k-1}}{k}\right) dx$. प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $a_{n} = \left[ x + \frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{x^{3}}{3^{2}} + \ldots + \frac{x^{n}}{n^{2}} \right]_{-1}^{n}$. सीमाओं पर मान रखने पर: $a_{n} = \left(n + \frac{n^{2}}{2^{2}} + \frac{n^{3}}{3^{2}} + \ldots + \frac{n^{n}}{n^{2}}\right) - \left(-1 + \frac{(-1)^{2}}{2^{2}} + \frac{(-1)^{3}}{3^{2}} + \ldots + \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right)$. $n=1$ के लिए: $a_{1} = \int_{-1}^{1} (1) dx = [x]_{-1}^{1} = 2$. $n=2$ के लिए: $a_{2} = \int_{-1}^{2} (1 + \frac{x}{2}) dx = [x + \frac{x^{2}}{4}]_{-1}^{2} = (2 + 1) - (-1 + \frac{1}{4}) = 3.75$. $n=3$ के लिए: $a_{3} = \int_{-1}^{3} (1 + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{3}) dx = [x + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{9}]_{-1}^{3} = (3 + 2.25 + 3) - (-1 + 0.25 - 0.111) = 9.111$. $n=4$ के लिए: $a_{4} \approx 31.97$. अतः,$a_{n} \in (2, 30)$ के लिए $n=2$ और $n=3$ प्राप्त होते हैं। इसलिए,अवयवों का योग $2 + 3 = 5$ है।

माना $n \in N$ के लिए $a_{n} = \int_{-1}^{n} \left(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{3} + \ldots + \frac{x^{n-1}}{n}\right) dx$ है। तो समुच्चय $\{n \in N : a_{n} \in (2, 30)\}$ के सभी अवयवों का योग $...........$ है।

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