First Order reaction Questions in Hindi

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समाकलित वेग समीकरण इस प्रकार है:
$k = \frac{2.303}{t} \log \left(\frac{a}{a-x}\right)$
समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$kt = 2.303 \log a - 2.303 \log (a-x)$
$2.303 \log (a-x) = 2.303 \log a - kt$
$\log (a-x) = \log a - \frac{kt}{2.303}$
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \log(a-x)$,$x = t$,और $c = \log a$,ढाल $m = -\frac{k}{2.303}$ प्राप्त होता है।

(A) $1^{st}$ कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $K$ का सूत्र है:
$K = \frac{2.303}{t} \log_{10} \left( \frac{[A]_0}{[A]_t} \right)$
यहाँ $t = 570 \ s$ और $[A]_t = 32 \%$ of $[A]_0$,इसलिए $\frac{[A]_0}{[A]_t} = \frac{100}{32} = 3.125$.
$K = \frac{2.303}{570} \log_{10} (3.125)$
$\log_{10} (3.125) = \log_{10} (100/32) = 2 - 5 \log_{10} 2 = 2 - 5(0.301) = 0.495$.
$K = \frac{2.303 \times 0.495}{570} \approx 0.002 \ s^{-1} = 2 \times 10^{-3} \ s^{-1}$.
निकटतम पूर्णांक में मान $2$ है।

(B) दिया गया है $(t_{1/2})_A = 54 \, min$ और $(t_{1/2})_B = 18 \, min$।
सममोलर सांद्रता से शुरू करते हुए,मान लीजिए $[A]_0 = [B]_0 = x$।
प्रथम कोटि की बलगतिकी के लिए,समय $t$ पर सांद्रता $[A]_t = [A]_0 \times (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = t / t_{1/2}$ है।
हमें $[A]_t = 16 \times [B]_t$ चाहिए।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $x \times (1/2)^{t/54} = 16 \times x \times (1/2)^{t/18}$।
$(1/2)^{t/54} = 2^4 \times (1/2)^{t/18}$।
$(1/2)^{t/54} = (1/2)^{-4} \times (1/2)^{t/18}$।
$(1/2)^{t/54} = (1/2)^{(t/18) - 4}$।
घातांकों की तुलना करने पर: $t/54 = (t/18) - 4$।
$4 = t/18 - t/54 = (3t - t) / 54 = 2t / 54 = t / 27$।
$t = 4 \times 27 = 108 \, min$।

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$n \%$ पूर्णता के लिए आवश्यक समय $t = \frac{1}{k} \ln \frac{[A]_0}{[A]_t}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $t_{1/2} = 1 \, \text{min}$,इसलिए $k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0.69}{1} = 0.69 \, \text{min}^{-1}$।
$99.9 \, \%$ पूर्णता के लिए,$[A]_t = [A]_0 - 0.999[A]_0 = 0.001[A]_0$।
$t_{99.9} = \frac{1}{k} \ln \frac{[A]_0}{0.001[A]_0} = \frac{1}{k} \ln 1000 = \frac{1}{k} \ln 10^3 = \frac{3 \ln 10}{k}$।
मान रखने पर: $t_{99.9} = \frac{3 \times 2.3}{0.69} = \frac{6.9}{0.69} = 10 \, \text{min}$।

(C) यह अभिक्रिया एक प्रथम कोटि की प्रक्रिया है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए समाकलित दर समीकरण इस प्रकार है:
$Kt = \ln \frac{[A]_{0}}{[A]_{t}}$
यह दिया गया है कि अभिक्रिया $40\%$ पूर्ण हो जाती है,इसलिए शेष सांद्रता $[A]_{t}$ प्रारंभिक सांद्रता $[A]_{0}$ का $60\%$ है।
अतः,$[A]_{t} = 0.60 [A]_{0}$ या $\frac{[A]_{0}}{[A]_{t}} = \frac{100}{60} = \frac{5}{3}$ है।
मान रखने पर:
$3.3 \times 10^{-4} \ s^{-1} \times t = \ln \left(\frac{100}{60}\right)$
$3.3 \times 10^{-4} \times t = \ln(1.6667)$
$3.3 \times 10^{-4} \times t = 0.5108$
$t = \frac{0.5108}{3.3 \times 10^{-4}} \ s$
$t = 1547.95 \ s$
समय को मिनटों में बदलने पर:
$t = \frac{1547.95}{60} \ min$
$t = 25.799 \ min$
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,हमें $26 \ min$ प्राप्त होता है।

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{3.33 \ h} = \frac{0.693}{10/3 \ h} = 0.2079 \ h^{-1}$ है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए समाकलित दर समीकरण $\log_{10} \frac{[A]_0}{[A]_t} = \frac{kt}{2.303}$ है।
चूंकि शेष सुक्रोज का अंश $f = \frac{[A]_t}{[A]_0}$ है,इसलिए $\frac{1}{f} = \frac{[A]_0}{[A]_t}$ होगा।
मान रखने पर: $\log_{10} (\frac{1}{f}) = \frac{0.2079 \times 9}{2.303} = \frac{0.693 \times 3 \times 9}{10 \times 2.303} = 0.81243$ प्राप्त होता है।
अतः,$\log_{10} (\frac{1}{f}) = 81.24 \times 10^{-2}$ है।
निकटतम पूर्णांक में,उत्तर $81$ है।

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ है।
$50 \% $ पूर्णता के लिए,$t_{50 \%} = \frac{2.303}{k} \log \frac{100}{50} = \frac{2.303}{k} \log 2$.
$75 \% $ पूर्णता के लिए,$t_{75 \%} = \frac{2.303}{k} \log \frac{100}{25} = \frac{2.303}{k} \log 4 = 2 \times \frac{2.303}{k} \log 2$.
अतः,अनुपात $\frac{t_{75 \%}}{t_{50 \%}} = 2$.

(A) चूंकि दर स्थिरांक की इकाई $min^{-1}$ है,इसलिए यह प्रथम कोटि की अभिक्रिया है।
समाकलित दर समीकरण $K \times t = 2.303 \log(A_0 / A_t)$ है।
यह दिया गया है कि $1 \ min$ में $10 \%$ वायरस निष्क्रिय हो जाता है,इसलिए $A_0 = 100$ और $A_t = 90$ है।
मान रखने पर: $K \times 1 = 2.303 \times \log(100 / 90)$.
$K = 2.303 \times (\log 10 - 2 \log 3) = 2.303 \times (1 - 2 \times 0.477) = 2.303 \times 0.046 = 0.105938$.
$K = 105.938 \times 10^{-3} \ min^{-1}$.
निकटतम पूर्णांक में,उत्तर $106 \times 10^{-3} \ min^{-1}$ है।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $K$ का सूत्र:
$K = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_{0}}{[A]_{t}}$
दिया गया है:
$[A]_{0} = 50 \ mol \ L^{-1}$
$[A]_{t} = 10 \ mol \ L^{-1}$
$t = 120 \ min$
मान रखने पर:
$K = \frac{2.303}{120} \log \frac{50}{10}$
$K = \frac{2.303}{120} \times \log 5$
$K = \frac{2.303}{120} \times 0.6989$
$K \approx 0.013413 \ min^{-1}$
$K \approx 1.34 \times 10^{-2} \ min^{-1}$
$X \times 10^{-2} \ min^{-1}$ से तुलना करने पर,$X = 1.34$ प्राप्त होता है। निकटतम पूर्णांक में,$X = 1$।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k$ इस प्रकार है:
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_{0}}{[A]_{t}}$
दिया गया है:
$[A]_{0} = 2.40 \times 10^{-2} \ mol \ L^{-1}$
$[A]_{t} = 1.60 \times 10^{-2} \ mol \ L^{-1}$
$t = 1 \ hour = 60 \ min$
मान रखने पर:
$k = \frac{2.303}{60} \log \left( \frac{2.40 \times 10^{-2}}{1.60 \times 10^{-2}} \right)$
$k = \frac{2.303}{60} \log (1.5)$
$k = \frac{2.303}{60} \times 0.1761$
$k \approx 0.00676 \ min^{-1} = 6.76 \times 10^{-3} \ min^{-1}$
निकटतम पूर्णांक में,हमें $7 \times 10^{-3} \ min^{-1}$ प्राप्त होता है।

(NONE) अभिक्रिया $A \rightarrow 2B$ के लिए:
$t=0$ पर,$[A]_0 = 1 \ mol$ और $[B] = 0$ है।
$t=100 \ min$ पर,माना $A$ की $x$ मात्रा अभिक्रिया करती है। अतः $[A]_t = 1-x$ और $[B] = 2x$ है।
दिया गया है $2x = 0.2 \ mol$,इसलिए $x = 0.1 \ mol$ है।
अतः,$[A]_t = 1 - 0.1 = 0.9 \ mol$ है।
वेग स्थिरांक $k = \frac{1}{t} \ln \frac{[A]_0}{[A]_t} = \frac{1}{100} \ln \frac{1}{0.9} = \frac{1}{100} \ln(1.111)$ है।
$\ln(1.111) \approx 0.105$ का उपयोग करने पर,$k \approx 0.00105 \ min^{-1}$ प्राप्त होता है।
अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k} = \frac{0.69}{0.00105} \approx 657 \ min$ है।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $K$ का सूत्र है:
$K = \frac{2.303}{t} \log \left(\frac{[A]_0}{[A]_t}\right)$
दिया गया है:
प्रारंभिक सांद्रता $[A]_0 = 0.1 \, M$
समय $t$ के बाद सांद्रता $[A]_t = 0.001 \, M$
समय $t = 5 \, \min$
मान रखने पर:
$K = \frac{2.303}{5} \log \left(\frac{0.1}{0.001}\right)$
$K = \frac{2.303}{5} \log(100)$
चूँकि $\log(100) = 2$:
$K = \frac{2.303 \times 2}{5} = \frac{4.606}{5} = 0.9212 \, \min^{-1}$

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $K = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$90 \%$ अभिक्रिया पूर्ण होने के लिए आवश्यक समय $t_{90\%} = \frac{2.303}{K} \log \left( \frac{100}{100 - 90} \right) = \frac{2.303}{K} \log 10 = \frac{2.303}{K}$ है।
$K = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ को समीकरण में रखने पर:
$t_{90\%} = \frac{2.303}{0.693} \times t_{1/2} = \frac{1}{0.3010} \times t_{1/2} \approx 3.32 \times t_{1/2}$।
अतः,$x = 3.32$।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रियाओं के लिए वेग स्थिरांक $k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$k_{A} = \frac{\ln 2}{100} \, s^{-1}$ और $k_{B} = \frac{\ln 2}{50} \, s^{-1}$.
समय $t$ पर सांद्रता $[A]_t = [A]_0 e^{-k_A t}$ और $[B]_t = [B]_0 e^{-k_B t}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $[A]_0 = [B]_0$,इसलिए $[A]_t = 4[B]_t$ रखने पर।
$[A]_0 e^{-k_A t} = 4 [A]_0 e^{-k_B t}$.
$e^{(k_B - k_A)t} = 4$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $(k_B - k_A)t = \ln 4 = 2 \ln 2$.
$(\frac{\ln 2}{50} - \frac{\ln 2}{100})t = 2 \ln 2$.
$(\frac{2 \ln 2 - \ln 2}{100})t = 2 \ln 2$.
$(\frac{\ln 2}{100})t = 2 \ln 2$.
$t = 200 \, s$.

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,पूर्णता के लिए आवश्यक समय $t = \frac{1}{k} \ln \left(\frac{[A]_0}{[A]_t}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
$67 \, \%$ पूर्णता के लिए,$[A]_t = [A]_0 - 0.67[A]_0 = 0.33[A]_0 \approx \frac{1}{3}[A]_0$.
अतः,$t_{67 \, \%} = \frac{1}{k} \ln \left(\frac{1}{1/3}\right) = \frac{\ln 3}{k}$.
अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$ है।
इसलिए,$\frac{t_{67 \, \%}}{t_{1/2}} = \frac{\ln 3}{\ln 2} \approx \frac{1.0986}{0.6931} \approx 1.585$.
दिया गया है कि $t_{67 \, \%} = (x \times 10^{-1}) \times t_{1/2}$,इसलिए $x \times 10^{-1} = 1.585$,जिसका अर्थ है $x = 15.85$.
निकटतम पूर्णांक में,$x = 16$.

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समाकलित दर समीकरण $\ln(P/P_0) = -kt$ है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \ln(P/P_0)$ और $x = t$ है,ढाल $m = -k$ प्राप्त होता है।
दिए गए ग्राफ से,ढाल $-3.465 \times 10^4 \ s^{-1}$ है।
अतः,$-k = -3.465 \times 10^4 \ s^{-1}$,जिससे $k = 3.465 \times 10^4 \ s^{-1}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $k = x \times 10^4 \ s^{-1}$,इसलिए $x = 3.465 \approx 3$ (विकल्पों के अनुसार निकटतम पूर्णांक में)।

(D) $n$ कोटि की अभिक्रिया के लिए अर्ध-आयु काल का संबंध $t_{1/2} \propto \frac{1}{P_0^{n-1}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P_0$ प्रारंभिक दाब है।
दिया गया है: $(t_{1/2})_1 = 240 \ s = 4 \ min$ जब $P_1 = 500 \ Torr$ है।
दिया गया है: $(t_{1/2})_2 = 4 \ min$ जब $P_2 = 250 \ Torr$ है।
चूँकि प्रारंभिक दाब में परिवर्तन के बावजूद अर्ध-आयु काल स्थिर $(4 \ min)$ रहता है,इसलिए अर्ध-आयु काल प्रारंभिक दाब से स्वतंत्र है।
$t_{1/2}$ के $P_0$ से स्वतंत्र होने के लिए,घातांक $(n-1)$ का मान शून्य होना चाहिए।
अतः,$n-1 = 0$,जिसका अर्थ है $n = 1$ है।
यह अभिक्रिया $1^{st}$ कोटि की है।

(C) चूंकि अर्ध-आयु प्रारंभिक सांद्रता से स्वतंत्र है,यह $1^{st}$ कोटि की अभिक्रिया है।
$k = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{200} = 3.465 \times 10^{-3} \, s^{-1}$.
$80\%$ अपघटन के लिए,शेष सांद्रता प्रारंभिक सांद्रता का $20\%$ है $(A = 0.2 A_{0})$।
दर समीकरण $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{A_{0}}{A}$ है।
$t = \frac{2.303}{3.465 \times 10^{-3}} \log \frac{A_{0}}{0.2 A_{0}} = \frac{2.303}{3.465 \times 10^{-3}} \log 5$.
$\log 5 = 0.70$ और $\frac{2.303}{k} = \frac{200}{0.693} \approx 288.66$ का उपयोग करते हुए।
$t = 288.66 \times 0.70 \approx 466.67 \, s \approx 467 \, s$.

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $t_{1/2} = 70 \ min$ दी गई है।
समय को सेकंड में बदलने पर: $t_{1/2} = 70 \times 60 \ s = 4200 \ s$.
दर स्थिरांक $k$ की गणना:
$k = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{4200} \ s^{-1}$.
$k = \frac{693}{4200000} \ s^{-1} = \frac{693}{42} \times 10^{-6} \ s^{-1}$.
$k = 165 \times 10^{-6} \ s^{-1}$.
अतः,$x$ का मान $165$ है।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $K = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $t_{1/2} = 0.3010 \ min$,इसलिए $K = \frac{0.693}{0.3010} \approx 2.303 \ min^{-1}$।
समाकलित दर समीकरण $\ln \frac{[A]_0}{[A]_t} = Kt$ है,जिसे $\log \frac{[A]_0}{[A]_t} = \frac{Kt}{2.303}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान रखने पर: $\log \frac{[A]_0}{[A]_t} = \frac{2.303 \times 2.0}{2.303} = 2.0$।
अतः,$\frac{[A]_0}{[A]_t} = 10^2 = 100$।

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $t_{1/2} = 1 \, h$ दी गई है। इसका अर्थ है कि $50 \, \%$ अभिक्रिया $1 \, h$ में पूर्ण होती है।
$87.5 \, \%$ पूर्णता के लिए,शेष मात्रा $100 \, \% - 87.5 \, \% = 12.5 \, \%$ है।
हम अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ को शेष अंश से संबंधित कर सकते हैं: $\frac{[A]_t}{[A]_0} = (\frac{1}{2})^n$.
यहाँ,$\frac{12.5}{100} = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$.
अतः,$n = 3$ अर्ध-आयु की आवश्यकता है।
कुल समय $t = n \times t_{1/2} = 3 \times 1 \, h = 3 \, h$.

(B)
प्रश्न में दिए गए अनुसार,पदार्थ की सांद्रता अपने मूल मान की आधी हो जाती है,जो अर्ध-आयु काल $(t_{1/2})$ को संदर्भित करता है।
अर्ध-आयु काल वह समय है जो प्रारंभिक सांद्रता को उसके मान के आधे तक कम करने के लिए आवश्यक होता है।
$zero$ कोटि की अभिक्रिया के लिए,$t_{1/2} = \frac{[A]_0}{2k}$।
$first$ कोटि की अभिक्रिया के लिए,$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$।
$second$ कोटि की अभिक्रिया के लिए,$t_{1/2} = \frac{1}{k[A]_0}$।
$third$ कोटि की अभिक्रिया के लिए,$t_{1/2} = \frac{1}{2k[A]_0^2}$।
यहाँ,$[A]_0$ प्रारंभिक सांद्रता है।
चूँकि $first$ कोटि की अभिक्रिया की अर्ध-आयु प्रारंभिक सांद्रता पर निर्भर नहीं करती है,इसलिए सही विकल्प $(b)$ है।

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया $R \longrightarrow P$ के लिए,वेग नियम है: $\text{Rate} = -\frac{d[R]}{dt} = k[R]$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{d[R]}{[R]} = -k dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{d[R]}{[R]} = -\int k dt \Rightarrow \ln[R] = -kt + C$.
जब $t = 0$,$[R] = [R_0]$,इसलिए $\ln[R_0] = C$.
$C$ का मान समीकरण में रखने पर: $\ln[R] = -kt + \ln[R_0]$.
व्यवस्थित करने पर: $\ln \frac{[R]}{[R_0]} = -kt$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\frac{[R]}{[R_0]} = e^{-kt}$.
अतः,समय $t$ पर सांद्रता: $[R] = [R_0] e^{-kt}$ है।

(B)
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ होता है।
दिया गया है $t_{1/2} = 30 \, min$,अतः $k = \frac{0.693}{30} \, min^{-1}$।
$75 \, \%$ पूर्ण होने के लिए आवश्यक समय $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$75 \, \%$ पूर्णता के लिए,$[A]_t = 0.25[A]_0$।
अतः,$t = \frac{2.303}{0.693/30} \log \frac{[A]_0}{0.25[A]_0} = \frac{2.303 \times 30}{0.693} \log 4 = 30 \times 2 = 60 \, min$।

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = 30 \ min$ है।
$75 \%$ पूर्णता के लिए आवश्यक समय $(T_{75\%})$ दो अर्ध-आयु के बराबर होता है।
$T_{75\%} = 2 \times t_{1/2} = 2 \times 30 \ min = 60 \ min$.

(D) $A.$ गलत। प्रथम कोटि की अभिक्रिया सैद्धांतिक रूप से पूर्ण होने में अनंत समय लेती है।
$B.$ गलत। $t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693}{4.6 \times 10^{-3}} \approx 150.65 \ s$.
$C.$ गलत। $t_{10\%} = \frac{1}{k} \ln(\frac{100}{90}) \approx \frac{0.105}{k}$ और $t_{90\%} = \frac{2.303}{k}$। अतः $t_{90\%} \approx 22 \times t_{10\%}$।
$D.$ सही। प्रथम कोटि के लिए,वियोजन की मात्रा $\alpha = 1 - e^{-kt}$ होती है।
$E.$ गलत। प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए वेग की इकाई $M \ s^{-1}$ है और वेग स्थिरांक की इकाई $s^{-1}$ है।
केवल कथन $D$ सही है। सही कथनों की संख्या $1$ है।

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समय $t$ इस प्रकार दिया जाता है:
$t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
दिया गया है:
$k = 2.011 \times 10^{-3} \ s^{-1}$
$[A]_0 = 7 \ g$
$[A]_t = 2 \ g$
$\log 7 = 0.845$
$\log 2 = 0.301$
मान रखने पर:
$t = \frac{2.303}{2.011 \times 10^{-3}} \log \left( \frac{7}{2} \right)$
$t = \frac{2.303}{2.011 \times 10^{-3}} (\log 7 - \log 2)$
$t = \frac{2.303}{2.011 \times 10^{-3}} (0.845 - 0.301)$
$t = \frac{2.303 \times 0.544}{2.011} \times 10^3$
$t = \frac{1.252832}{2.011} \times 1000$
$t \approx 622.989 \ s$
निकटतम पूर्णांक $623$ है।

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k = \frac{1}{t} \ln \frac{a_0}{a_t}$ है।
$60 \%$ विघटन के लिए,$a_t = 0.4 a_0$ और $t_1 = 540 \ s$.
$k = \frac{1}{540} \ln \frac{1}{0.4} = \frac{0.92}{540}$.
$90 \%$ विघटन के लिए,$a_t = 0.1 a_0$.
$t_2 = \frac{1}{k} \ln \frac{1}{0.1} = \frac{1}{k} \ln 10 = \frac{540}{0.92} \times 2.3 = 1350 \ s$.

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ होता है।
दिया गया है $[A]_t = \frac{[A]_0}{32}$ और $k = 20 \, min^{-1}$।
मान रखने पर: $20 = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_0 / 32} = \frac{2.303}{t} \log 32$।
चूंकि $32 = 2^5$,$\log 32 = 5 \log 2 = 5 \times 0.3010 = 1.505$।
$t = \frac{2.303 \times 1.505}{20} = \frac{3.466}{20} = 0.1733 \, min$।
$10^{-2} \, min$ में बदलने पर: $0.1733 \, min = 17.33 \times 10^{-2} \, min$।
निकटतम पूर्णांक $17$ है।

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना $n = \frac{t}{t_{1/2}} = \frac{8000}{2000} = 4$ के रूप में की जाती है।
$n$ अर्ध-आयु के बाद,शेष सांद्रता $[A]_t$ को $[A]_t = \frac{[A]_0}{2^n}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
मान रखने पर: $0.02 = \frac{[A]_0}{2^4}$.
$0.02 = \frac{[A]_0}{16}$.
$[A]_0 = 0.02 \times 16 = 0.32 \, M$.

(B) समांतर प्रथम कोटि की अभिक्रियाओं के लिए,प्रभावी दर स्थिरांक $k_{eff}$ व्यक्तिगत दर स्थिरांकों का योग होता है: $k_{eff} = k_1 + k_2$.
चूंकि $k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$,हमारे पास $\frac{\ln 2}{t_{eff}} = \frac{\ln 2}{t_1} + \frac{\ln 2}{t_2}$ है।
यह $\frac{1}{t_{eff}} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$ में सरल हो जाता है।
$t_1 = 12 \ min$ और $t_2 = 3 \ min$ दिए गए हैं,इसलिए $\frac{1}{t_{eff}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{3} = \frac{1+4}{12} = \frac{5}{12}$.
अतः,$t_{eff} = \frac{12}{5} \ min = 2.4 \ min$.
निकटतम पूर्णांक $2 \ min$ है।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$50 \%$ पूर्णता के लिए आवश्यक समय अर्ध-आयु है,$t_{50} = t_{1/2}$।
$87.5 \%$ पूर्णता पर,अभिकारक की शेष मात्रा $A_t = A_0 - 0.875 A_0 = 0.125 A_0 = \frac{A_0}{8}$ है।
अर्ध-आयु अवधारणा का उपयोग करते हुए:
$A_0$ $\xrightarrow{t_{1/2}} \frac{A_0}{2}$ $\xrightarrow{t_{1/2}} \frac{A_0}{4}$ $\xrightarrow{t_{1/2}} \frac{A_0}{8}$।
यह दर्शाता है कि $t_{87.5} = 3 \times t_{1/2}$।
चूंकि $t_{50} = t_{1/2}$,इसलिए $t_{87.5} = 3 \times t_{50}$।
अतः,$x = 3$।

(D) अभिक्रिया $A ( g ) \rightarrow 2 B ( g ) + C ( g )$ के लिए,मान लीजिए $A$ का प्रारंभिक दाब $P_0 = 800 \ mm \ Hg$ है।
$t = 10 \ min$ पर,कुल दाब $P_t = P_0 - x + 2x + x = P_0 + 2x = 1600 \ mm \ Hg$ है।
$P_0 = 800$ रखने पर,हमें $800 + 2x = 1600$ प्राप्त होता है,इसलिए $2x = 800$,जिसका अर्थ है $x = 400 \ mm \ Hg$ है।
$t = 10 \ min$ पर शेष $A$ का दाब $P_0 - x = 800 - 400 = 400 \ mm \ Hg$ है।
चूंकि प्रारंभिक दाब $800 \ mm \ Hg$ था और यह $10 \ min$ में $400 \ mm \ Hg$ हो गया,इसलिए अर्ध-आयु $t_{1/2} = 10 \ min$ है।
$30 \ min$ $(3 \times t_{1/2})$ के बाद,$A$ का शेष दाब $P_A = P_0 \times (1/2)^3 = 800 \times (1/8) = 100 \ mm \ Hg$ है।
अभिक्रिया करने वाले $A$ की मात्रा $800 - 100 = 700 \ mm \ Hg$ है।
स्टोइकियोमेट्री के अनुसार,$A \rightarrow 2B + C$,उत्पन्न $B$ का दाब $2 \times 700 = 1400 \ mm \ Hg$ और $C$ का दाब $700 \ mm \ Hg$ है।
$t = 30 \ min$ पर कुल दाब $P_A + P_B + P_C = 100 + 1400 + 700 = 2200 \ mm \ Hg$ है।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समय $t = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{a}{a-x} \right)$ होता है।
$99.9 \%$ पूर्णता के लिए,$x = 0.999a$,इसलिए $a-x = 0.001a = \frac{a}{1000}$.
अतः,$t_{99.9 \%} = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{a}{a/1000} \right) = \frac{2.303}{k} \log(10^3) = \frac{2.303 \times 3}{k}$.
अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{2.303 \times 0.301}{k}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{t_{99.9 \%}}{t_{1/2}} = \frac{2.303 \times 3 / k}{2.303 \times 0.301 / k} \approx \frac{3}{0.3} = 10$.

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग $r = k[A]_t = k[A]_0 e^{-kt}$ होता है।
$t_1 = 10 \ min$ पर $r_1 = 0.04 \ mol \ L^{-1} \ s^{-1}$ और $t_2 = 20 \ min$ पर $r_2 = 0.03 \ mol \ L^{-1} \ s^{-1}$ दिया गया है।
$\frac{r_1}{r_2} = e^{k(t_2 - t_1)} \implies \frac{0.04}{0.03} = e^{10k}$.
$\frac{4}{3} = e^{10k} \implies 10k = \ln(\frac{4}{3}) = 2.303 \times (2 \log 2 - \log 3)$.
$10k = 2.303 \times (0.6020 - 0.4771) = 2.303 \times 0.1249 \approx 0.2876$.
$k = 0.02876 \ min^{-1}$.
अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693}{0.02876} \approx 24.09 \ min$.
अतः,अर्ध-आयु लगभग $24 \ \text{मिनट}$ है।

(A) अभिक्रिया $A(g) \rightarrow B(g) + C(g)$ के लिए:

समय $t=0$	$P_i$	$0$	$0$
समय $t$	$P_i - x$	$x$	$x$

समय $t$ पर कुल दाब $P_t = (P_i - x) + x + x = P_i + x$ है।
अतः,$x = P_t - P_i$ है।
समय $t$ पर अभिकारक $A$ का आंशिक दाब $P_A = P_i - x = P_i - (P_t - P_i) = 2 P_i - P_t$ है।
प्रथम कोटि के वेग समीकरण $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{P_i}{P_A}$ में मान रखने पर:
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{P_i}{2 P_i - P_t}$।

(B) दर नियम $r = k[A]$ दर्शाता है कि अभिक्रिया प्रथम कोटि की है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = 120 \ \text{min}$ है।
अतः,$k = \frac{0.693}{120} \ \text{min}^{-1}$ है।
$90 \%$ अपघटन के लिए,शेष सांद्रता $100 - 90 = 10 \%$ है।
समय $t$ के लिए सूत्र $t = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{[A]_0}{[A]_t} \right)$ है।
मान रखने पर: $t = \frac{2.303}{(0.693 / 120)} \log \left( \frac{100}{10} \right)$.
$t = \frac{2.303 \times 120}{0.693} \times \log(10) = 399 \ \text{minutes}$.

(B) अभिक्रिया $A_{(g)} \rightarrow 2 B_{(g)} + C_{(g)}$ के लिए:
माना $A$ का प्रारंभिक दाब $P_0 = 0.1 \ atm$ है।
समय $t = 115 \ s$ पर,माना $A$ के दाब में कमी $x$ है।
तब,दाब: $P_A = P_0 - x$,$P_B = 2x$,और $P_C = x$ होंगे।
कुल दाब $P_t = (P_0 - x) + 2x + x = P_0 + 2x$ है।
दिया गया है कि $t = 115 \ s$ पर $P_t = 0.28 \ atm$,इसलिए $0.1 + 2x = 0.28$,जिसका अर्थ है $2x = 0.18$,अर्थात $x = 0.09 \ atm$ है।
$t = 115 \ s$ पर $A$ का दाब $P_A = 0.1 - 0.09 = 0.01 \ atm$ है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k = \frac{1}{t} \ln \frac{P_0}{P_A} = \frac{1}{115} \ln \frac{0.1}{0.01} = \frac{1}{115} \ln(10)$ है।
$\ln(10) \approx 2.303$ लेने पर,$k = \frac{2.303}{115} \approx 0.02002 \ s^{-1} = 2.002 \times 10^{-2} \ s^{-1}$ है।
निकटतम पूर्णांक $2$ है।

(A) दी गई अभिक्रिया $A + B \rightarrow C$ और दर नियम $\text{rate} = k[A]^{1/2}[B]^{1/2}$ है।
चूंकि प्रारंभिक सांद्रता $[A]_0 = [B]_0 = 1 \ M$ है,इसलिए किसी भी समय $t$ पर,$[A] = [B]$ होगा।
दर नियम में यह मान रखने पर: $\text{rate} = k[A]^{1/2}[A]^{1/2} = k[A]$।
यह पुष्टि करता है कि अभिक्रिया $A$ के संबंध में प्रथम कोटि की गतिज ऊर्जा का पालन करती है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए समाकलित दर समीकरण $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ है।
यहाँ $k = 4.6 \times 10^{-2} \ s^{-1}$,$[A]_0 = 1 \ M$,और $[A]_t = 0.1 \ M$ दिया गया है।
मान रखने पर: $4.6 \times 10^{-2} = \frac{2.303}{t} \log \frac{1}{0.1}$।
$4.6 \times 10^{-2} = \frac{2.303}{t} \times 1$।
$t = \frac{2.303}{4.6 \times 10^{-2}} \approx 50.06 \ s$।
निकटतम पूर्णांक में,$t = 50 \ s$।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $K = \frac{2.303}{t} \log \left(\frac{[A]_0}{[A]_t}\right)$ है।
$99.9 \%$ पूर्णता के लिए,$[A]_t = 0.001 [A]_0$,अतः $t_{99.9 \%} = \frac{2.303}{K} \log(10^3) = \frac{2.303}{K} \times 3$.
$90 \%$ पूर्णता के लिए,$[A]_t = 0.1 [A]_0$,अतः $t_{90 \%} = \frac{2.303}{K} \log(10) = \frac{2.303}{K} \times 1$.
अनुपात लेने पर,$\frac{t_{99.9 \%}}{t_{90 \%}} = 3$.
अतः,$99.9 \%$ पूर्णता के लिए आवश्यक समय $90 \%$ पूर्णता के लिए आवश्यक समय का $3$ गुना है।

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु काल $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\frac{(t_{1/2})_1}{(t_{1/2})_2} = \frac{k_2}{k_1} = \frac{5}{2}$।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$x$ भाग पूर्ण करने में लगा समय $t = \frac{1}{k} \ln \frac{1}{1-x}$ होता है।
अभिक्रिया $1$ के लिए,$t_1 = \frac{1}{k_1} \ln \frac{1}{1 - 2/3} = \frac{1}{k_1} \ln 3$।
अभिक्रिया $2$ के लिए,$t_2 = \frac{1}{k_2} \ln \frac{1}{1 - 4/5} = \frac{1}{k_2} \ln 5$।
अनुपात लेने पर: $\frac{t_1}{t_2} = \frac{k_2}{k_1} \times \frac{\ln 3}{\ln 5} = \frac{5}{2} \times \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 5}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{t_1}{t_2} = \frac{5}{2} \times \frac{0.477}{0.699} = 2.5 \times 0.6824 = 1.706$।
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,$1.706 \approx 1.7 = 17 \times 10^{-1}$।

(A) अभिक्रिया $A_{(g)} \rightarrow 2B_{(g)} + C_{(g)}$ के लिए,मान लीजिए $A$ का प्रारंभिक दबाव $P_0$ है।
$t = 0$ पर: $P_A = P_0, P_B = 0, P_C = 0, P_{total} = P_0$.
$t = 23 \ s$ पर: $P_A = P_0 - x, P_B = 2x, P_C = x, P_{total} = P_0 + 2x = 200 \ torr$.
$t = \infty$ पर: $P_A = 0, P_B = 2P_0, P_C = P_0, P_{total} = 3P_0 = 300 \ torr$.
अतः,$P_0 = 100 \ torr$.
$P_{total} = P_0 + 2x = 200$ में $P_0$ रखने पर,$100 + 2x = 200$,इसलिए $x = 50 \ torr$.
$t = 23 \ s$ पर $A$ का दबाव $P_A = P_0 - x = 100 - 50 = 50 \ torr$ है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{P_0}{P_A} = \frac{2.303}{23} \log \frac{100}{50} = \frac{2.303}{23} \log(2) = \frac{2.303 \times 0.301}{23} \approx 0.0301 \ s^{-1} = 3.01 \times 10^{-2} \ s^{-1}$.
निकटतम पूर्णांक $3$ है।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$t$ समय पर सांद्रता $C_t = C_0 e^{-kt}$ है,जो चरघातांकीय क्षय को दर्शाती है। अतः,कथन $A$ सही है।
अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$ है। आर्हेनियस समीकरण के अनुसार तापमान बढ़ने पर दर स्थिरांक $k$ बढ़ता है,इसलिए $t_{1/2}$ कम हो जाता है। अतः,कथन $B$ सही है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$,जो प्रारंभिक सांद्रता $C_0$ से स्वतंत्र है। अतः,कथन $C$ गलत है।
$n$ अर्ध-आयु के बाद,शेष अभिकारक $C_t = \frac{C_0}{2^n}$ है। $n = 8$ के लिए,$C_t = \frac{C_0}{2^8} = \frac{C_0}{256}$।
पूर्णता का प्रतिशत = $\frac{C_0 - C_t}{C_0} \times 100 = (1 - \frac{1}{256}) \times 100 \approx 99.6 \%$. अतः,कथन $D$ सही है।
इस प्रकार,कथन $A, B,$ और $D$ सही हैं।

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $K = \frac{1}{t} \ln \left( \frac{C_0}{C_t} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
$t_{1/8}$ के लिए,सांद्रता $C_t = C_0 / 8$ है,इसलिए $K t_{1/8} = \ln(8) = 3 \ln(2)$.
$t_{1/10}$ के लिए,सांद्रता $C_t = C_0 / 10$ है,इसलिए $K t_{1/10} = \ln(10)$.
अनुपात लेने पर: $\frac{t_{1/8}}{t_{1/10}} = \frac{3 \ln(2)}{\ln(10)} = 3 \log_{10} 2$.
दिया गया है $\log_{10} 2 = 0.3$,इसलिए $\frac{t_{1/8}}{t_{1/10}} = 3 \times 0.3 = 0.9$.
अतः,$\frac{t_{1/8}}{t_{1/10}} \times 10 = 0.9 \times 10 = 9$.

(A) अभिक्रिया $A_{(g)} \rightarrow 2B_{(g)} + C_{(g)}$ के लिए:
$t=0$ पर,$A$ का दाब $P_0$ है और कुल दाब $P_0$ है।
समय $t$ पर,मान लीजिए $A$ का $x$ दाब खर्च हुआ है। तो $P_A = P_0 - x$,$P_B = 2x$,और $P_C = x$ है।
कुल दाब $P_t = (P_0 - x) + 2x + x = P_0 + 2x$ है।
अतः,$x = \frac{P_t - P_0}{2}$ है।
समय $t$ पर $A$ का आंशिक दाब $P_A = P_0 - \frac{P_t - P_0}{2} = \frac{3P_0 - P_t}{2}$ है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$k = \frac{1}{t} \ln \left( \frac{P_0}{P_A} \right) = \frac{1}{t} \ln \left( \frac{P_0}{(3P_0 - P_t)/2} \right) = \frac{1}{t} \ln \left( \frac{2P_0}{3P_0 - P_t} \right)$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $\ln(3P_0 - P_t) = \ln(2P_0) - kt$ प्राप्त होता है। यह ऋणात्मक ढाल $(-k)$ वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है,जो ग्राफ $A$ से मेल खाता है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k$ प्रारंभिक सांद्रता $[A]_0$ से स्वतंत्र होता है,जो ग्राफ $D$ से मेल खाता है।
साथ ही,$t_{1/3}$ ($A$ के अपने प्रारंभिक मान का $1/3$ होने का समय) $\frac{\ln 3}{k}$ है,जो $[A]_0$ से स्वतंत्र है।

(B) अभिक्रिया $2N_2O_{5(g)} \rightarrow 2N_2O_{4(g)} + O_{2(g)}$ के लिए स्थिर $V$ और $T$ पर:
$t = 0$ पर,$P_{N_2O_5} = 1 \ atm$,$P_{N_2O_4} = 0$,$P_{O_2} = 0$.
$t = Y \times 10^3 \ s$ पर,मान लीजिए $O_2$ का दबाव $P$ है। तब $P_{N_2O_5} = 1 - 2P$,$P_{N_2O_4} = 2P$,और $P_{O_2} = P$.
कुल दबाव $P_T = (1 - 2P) + 2P + P = 1 + P = 1.45 \ atm$.
अतः,$P = 0.45 \ atm$.
$N_2O_5$ का प्रारंभिक दबाव $P_0 = 1 \ atm$ है और समय $t$ पर दबाव $P_t = 1 - 2P = 1 - 2(0.45) = 0.1 \ atm$ है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$k = \frac{2.303}{t} \log \left(\frac{P_0}{P_t}\right)$.
मान रखने पर: $5 \times 10^{-4} = \frac{2.303}{Y \times 10^3} \log \left(\frac{1}{0.1}\right)$.
$5 \times 10^{-4} = \frac{2.303}{Y \times 10^3} \times 1$.
$0.5 = \frac{2.303}{Y} \implies Y = \frac{2.303}{0.5} = 4.606$.

(A) यह अभिक्रिया एक $SN^1$ अभिक्रिया है,जो प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करती है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए:
$1$. अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ प्रारंभिक सांद्रता $[P]_0$ से स्वतंत्र है। अतः,$t_{1/2}$ बनाम $[P]_0$ का आलेख एक क्षैतिज रेखा है।
$2$. अभिक्रिया की दर $rate = k[P]$ द्वारा दी जाती है। प्रारंभिक दर $rate_0 = k[P]_0$ है। अतः,प्रारंभिक दर बनाम $[P]_0$ का आलेख मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
$3$. समय $t$ पर उत्पाद $Q$ की सांद्रता $[Q] = [P]_0 - [P] = [P]_0(1 - e^{-kt})$ है। अतः,$\frac{[Q]}{[P]_0} = 1 - e^{-kt}$। यह आलेख एक चरघातांकीय वृद्धि वक्र है।
$4$. प्रथम कोटि की बलगतिकी के लिए,$\ln(\frac{[P]}{[P]_0}) = -kt$। $\ln(\frac{[P]}{[P]_0})$ बनाम समय का आलेख मूल बिंदु से गुजरने वाली $-k$ ढाल वाली एक सीधी रेखा है।

(D) अभिक्रिया $2N_2O_{5(g)} \rightarrow 2N_2O_{4(g)} + O_{2(g)}$ है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{P_0}{P_t}$ है,जहाँ $P_0$ $N_2O_5$ का प्रारंभिक दाब है और $P_t$ समय $t$ पर दाब है।
दिया गया है $k = 4.606 \times 10^{-2} \ s^{-1}$ और $t = 100 \ s$.
$4.606 \times 10^{-2} = \frac{2.303}{100} \log \frac{0.6}{P_{N_2O_5}}$
$2 = \log \frac{0.6}{P_{N_2O_5}} \Rightarrow \frac{0.6}{P_{N_2O_5}} = 10^2 = 100$.
$P_{N_2O_5} = \frac{0.6}{100} = 0.006 \ atm$.
माना $x$ $N_2O_5$ का अपघटित दाब है। अतः $0.6 - x = 0.006 \Rightarrow x = 0.594 \ atm$.
कुल दाब $P_{total} = (0.6 - x) + x + \frac{x}{2} = 0.6 + \frac{x}{2}$.
$P_{total} = 0.6 + \frac{0.594}{2} = 0.6 + 0.297 = 0.897 \ atm$.
$P_{total} = 897 \times 10^{-3} \ atm$.
निकटतम पूर्णांक में,$X = 897$.

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ है।
दिया गया है $[A]_0 = 16 \ mg/mL$,$[A]_t = 4 \ mg/mL$,और $t = 12 \ months$.
$k = \frac{2.303}{12} \log \frac{16}{4} = \frac{2.303}{12} \log 4 = \frac{2.303 \times 0.602}{12} \approx 0.1155 \ month^{-1}$.
दवा $50 \%$ अपघटन के बाद अप्रभावी हो जाती है,जिसका अर्थ है कि $50 \%$ शेष रहती है। अतः,$[A]_t = 0.5 \times [A]_0$.
$50 \%$ अपघटन के लिए लिया गया समय अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ है।
$t_{1/2} = \frac{0.693}{0.1155} = 6 \ months$.