Work Done by Constant Force Questions in Hindi

(B) विस्थापन सदिश $\Delta\vec{r}$ को $\Delta\vec{r} = \vec{r_2} - \vec{r_1}$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta\vec{r} = (14\,\hat{i} + 13\,\hat{j} + 9\,\hat{k}) - (3\,\hat{i} + 2\,\hat{j} - 6\,\hat{k}) = 11\,\hat{i} + 11\,\hat{j} + 15\,\hat{k}$.
किया गया कार्य $W$ बल और विस्थापन का अदिश गुणनफल है: $W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r}$.
$W = (4\,\hat{i} + \hat{j} + 3\,\hat{k}) \cdot (11\,\hat{i} + 11\,\hat{j} + 15\,\hat{k})$.
$W = (4 \times 11) + (1 \times 11) + (3 \times 15) = 44 + 11 + 45 = 100\,J$.

(D) बल $\vec{F}$ द्वारा विस्थापन $\vec{S}$ के दौरान किया गया कार्य $W$ अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है: $W = \vec{F} \cdot \vec{S}$.
चूंकि किया गया कार्य शून्य है,इसलिए $\vec{F} \cdot \vec{S} = 0$ होगा।
दिए गए सदिशों के मान रखने पर: $(6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (2\hat{i} - 3\hat{j} + x\hat{k}) = 0$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(6 \times 2) + (2 \times -3) + (-3 \times x) = 0$.
$12 - 6 - 3x = 0$.
$6 - 3x = 0$.
$3x = 6$.
अतः,$x = 2$.

(C) माना रस्सी में तनाव $T$ ऊपर की ओर कार्य कर रहा है और ब्लॉक का भार $Mg$ नीचे की ओर कार्य कर रहा है।
ब्लॉक $a = g/2$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर गति कर रहा है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम को लागू करने पर: $Mg - T = Ma$
$a = g/2$ का मान रखने पर: $Mg - T = M(g/2)$
$T = Mg - Mg/2 = Mg/2$
विस्थापन $x$ नीचे की ओर है,जबकि तनाव $T$ ऊपर की ओर कार्य करता है।
इसलिए,बल $T$ और विस्थापन $x$ के बीच का कोण $180^{\circ}$ है।
रस्सी द्वारा किया गया कार्य $W = T \cdot x \cdot \cos(180^{\circ}) = (Mg/2) \cdot x \cdot (-1) = -\frac{1}{2}Mgx$.

(D) कुल द्रव्यमान $M = (50 + 20) \ kg = 70 \ kg$ है।
कुल ऊँचाई $h = 20 \times 0.25 \ m = 5 \ m$ है।
गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W = Mgh$ द्वारा दिया जाता है।
$g = 9.8 \ m/s^2$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$W = 70 \times 9.8 \times 5 = 3430 \ J$.

(B) एक स्थिर बल $\vec{F}$ द्वारा किसी कण पर किया गया कार्य $W$,जब कण का विस्थापन $\vec{r}$ हो,बल और विस्थापन सदिशों के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है:
$W = \vec{F} \cdot \vec{r}$
दिया गया है:
$\vec{F} = (5\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}) \ N$
$\vec{r} = (2\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k}) \ m$
मान रखने पर:
$W = (5\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (2\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k})$
अदिश गुणनफल के गुणधर्म $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1, \hat{j} \cdot \hat{j} = 1, \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ और अन्य पदों का मान $0$ होने का उपयोग करते हुए:
$W = (5 \times 2) + (3 \times -1) + (2 \times 0)$
$W = 10 - 3 + 0$
$W = 7 \ J$
अतः,किया गया कार्य $7 \ J$ है।

(D) एक स्थिर बल द्वारा किए गए कार्य का सूत्र $W = \vec{F} \cdot \vec{S} = FS \cos \theta$ है।
दिए गए मान हैं:
बल $F = 50 \, N$
विस्थापन $S = 10 \, m$
कोण $\theta = 60^\circ$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = 50 \times 10 \times \cos 60^\circ$
चूंकि $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$W = 500 \times \frac{1}{2} = 250 \, J$.
अतः,किया गया कार्य $250 \, J$ है।

(A) विस्थापन सदिश $\vec{S}$,अंतिम स्थिति सदिश $\vec{r_2}$ और प्रारंभिक स्थिति सदिश $\vec{r_1}$ का अंतर है।
$\vec{S} = \vec{r_2} - \vec{r_1} = (14\hat i + 13\hat j + 9\hat k) - (3\hat i + 2\hat j - 6\hat k) = 11\hat i + 11\hat j + 15\hat k \, m$.
किया गया कार्य $W$,बल $\vec{F}$ और विस्थापन $\vec{S}$ का अदिश गुणनफल है।
$W = \vec{F} \cdot \vec{S} = (4\hat i + \hat j + 3\hat k) \cdot (11\hat i + 11\hat j + 15\hat k)$.
$W = (4 \times 11) + (1 \times 11) + (3 \times 15) = 44 + 11 + 45 = 100 \, J$.

(C) किया गया कार्य $W$,बल $\vec{F}$ और विस्थापन $\vec{r}$ का अदिश गुणनफल (dot product) होता है।
$W = \vec{F} \cdot \vec{r}$
यहाँ $\vec{F} = (5\hat{i} + 3\hat{j}) \ N$ और $\vec{r} = (2\hat{i} - 1\hat{j}) \ m$ दिया गया है।
$W = (5\hat{i} + 3\hat{j}) \cdot (2\hat{i} - 1\hat{j})$
अदिश गुणनफल के गुणधर्म $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ और $\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$ का उपयोग करने पर,जबकि $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$:
$W = (5 \times 2) + (3 \times -1)$
$W = 10 - 3$
$W = +7 \ J$.

(A) दिया गया है: बल $F = 5 \ N$, वेग $v = 2 \ m/s$, समय $t = 1 \ \text{मिनट} = 60 \ s$।
चूंकि वेग स्थिर है, इसलिए समय $t$ में विस्थापन $d = v \times t$ होगा।
$d = 2 \ m/s \times 60 \ s = 120 \ m$।
बल द्वारा किया गया कार्य $W = F \times d$ है।
$W = 5 \ N \times 120 \ m = 600 \ J$।

(D) पिंड विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
त्वरण $a = \frac{v - u}{t_1} = \frac{v}{t_1}$ है।
$t$ समय में तय की गई दूरी $s = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2$ है।
किया गया कार्य $W = F \cdot s = (ma) \cdot (\frac{1}{2}at^2) = \frac{1}{2}ma^2t^2$ है।
$a = \frac{v}{t_1}$ का मान रखने पर,$W = \frac{1}{2}m \left( \frac{v}{t_1} \right)^2 t^2 = \frac{1}{2}m \frac{v^2}{t_1^2} t^2$ प्राप्त होता है।
अतः,किया गया कार्य $\frac{1}{2}m \frac{v^2}{t_1^2} t^2$ के समानुपाती है।

(D) माना कुल द्रव्यमान $M$ और कुल लंबाई $L$ है। लटके हुए भाग की लंबाई $l = \frac{L}{3}$ है।
टके हुए भाग का द्रव्यमान $m = \frac{M}{L} \times l = \frac{M}{L} \times \frac{L}{3} = \frac{M}{3}$ है।
टके हुए भाग का द्रव्यमान केंद्र मेज की सतह से $h = \frac{l}{2} = \frac{L/3}{2} = \frac{L}{6}$ की गहराई पर है।
चेन को मेज पर खींचने के लिए किया गया कार्य लटके हुए भाग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,जो $W = mgh$ है।
मान रखने पर: $W = (\frac{M}{3}) \times g \times (\frac{L}{6}) = \frac{MgL}{18}$।

(D) लटके हुए भाग का द्रव्यमान $m = \frac{M}{n}$ है,जहाँ $M = 4 \ kg$ कुल द्रव्यमान है और $n = 4$ लटकी हुई लंबाई का अंश है।
अतः,$m = \frac{4}{4} = 1 \ kg$.
लटके हुए भाग की लंबाई $l = \frac{L}{n} = \frac{2}{4} = 0.5 \ m$ है।
लटके हुए भाग का द्रव्यमान केंद्र मेज के किनारे से $h = \frac{l}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25 \ m$ नीचे है।
लटके हुए भाग को मेज पर खींचने के लिए किया गया कार्य लटके हुए भाग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = mgh$.
मान रखने पर: $W = 1 \ kg \times 10 \ m/s^2 \times 0.25 \ m = 2.5 \ J$.

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 3\, kg$,विस्थापन $s = \frac{1}{3}t^2$.
सबसे पहले,$s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करके वेग $v$ ज्ञात करें:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{3}t^2) = \frac{2}{3}t$.
इसके बाद,$v$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करके त्वरण $a$ ज्ञात करें:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{2}{3}t) = \frac{2}{3}\, m/s^2$.
वस्तु पर कार्य करने वाला बल $F = m \times a = 3 \times \frac{2}{3} = 2\, N$.
किया गया कार्य $W = \int F \, ds$ है। चूँकि $ds = v \, dt$,इसलिए $W = \int_0^2 F \cdot v \, dt$.
$W = \int_0^2 2 \cdot (\frac{2}{3}t) \, dt = \frac{4}{3} \int_0^2 t \, dt$.
$W = \frac{4}{3} [\frac{t^2}{2}]_0^2 = \frac{4}{3} \times \frac{4}{2} = \frac{8}{3}\, J$.

(A) दिया गया बल $\vec{F} = (3\hat{i} + \hat{j}) \text{ N}$.
प्रारंभिक स्थिति $\vec{r}_1 = (2\hat{i} + \hat{k}) \text{ m}$.
अंतिम स्थिति $\vec{r}_2 = (4\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) \text{ m}$.
विस्थापन $\vec{d} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (4\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) - (2\hat{i} + \hat{k}) = (2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) \text{ m}$.
किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (3\hat{i} + \hat{j}) \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k})$.
$W = (3 \times 2) + (1 \times 3) + (0 \times -2) = 6 + 3 = 9 \text{ J}$.

(A) एक स्थिर बल $\vec{F}$ द्वारा विस्थापन $\vec{d}$ के दौरान किया गया कार्य $W$,डॉट प्रोडक्ट द्वारा दिया जाता है: $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$।
यहाँ,प्रारंभिक स्थिति $\vec{r}_1 = -2\hat i + 5\hat j$ है और अंतिम स्थिति $\vec{r}_2 = 4\hat j + 3\hat k$ है।
विस्थापन सदिश $\vec{d} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (4\hat j + 3\hat k) - (-2\hat i + 5\hat j) = 2\hat i - \hat j + 3\hat k$ है।
बल $\vec{F} = 4\hat i + 3\hat j$ है।
अतः,$W = (4\hat i + 3\hat j) \cdot (2\hat i - \hat j + 3\hat k) = (4 \times 2) + (3 \times -1) + (0 \times 3) = 8 - 3 = 5 \ J$।

(A) वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बल $\vec{F}_{net} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (2\hat i - 3\hat j + 3\hat k) + (\hat i + \hat j - 2\hat k) = 3\hat i - 2\hat j + \hat k$ $(N)$ है।
वस्तु का विस्थापन $\vec{d} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (7\hat i + 10\hat j + 5\hat k) - (\hat i + 2\hat j - 2\hat k) = 6\hat i + 8\hat j + 7\hat k$ $(m)$ है।
किया गया कार्य कुल बल और विस्थापन का अदिश गुणनफल है: $W = \vec{F}_{net} \cdot \vec{d}$।
$W = (3\hat i - 2\hat j + \hat k) \cdot (6\hat i + 8\hat j + 7\hat k) = (3 \times 6) + (-2 \times 8) + (1 \times 7) = 18 - 16 + 7 = 9$ $J$।

(A) किसी वस्तु पर कार्य करने वाले एक स्थिर बल $\vec{F}$ द्वारा किया गया कार्य $W$,जब वस्तु का विस्थापन $\vec{s}$ होता है,निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F s \cos \theta$
दिया गया है:
बल $F = 40 \,N$
विस्थापन $s = 8 \,m$
कोण $\theta = 60^\circ$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = 40 \times 8 \times \cos 60^\circ$
चूंकि $\cos 60^\circ = 0.5$ है:
$W = 320 \times 0.5 = 160 \,J$
अतः,खिंचाव बल द्वारा किया गया कार्य $160 \,J$ है।

(A) दिया गया है:
बल $F = 5 \,N$
वेग $v = 2 \,m/s$
समय $t = 1 \,minute = 60 \,s$
चूंकि वेग स्थिर है,इसलिए समय $t$ में विस्थापन $s = v \times t$ द्वारा दिया जाता है।
$s = 2 \,m/s \times 60 \,s = 120 \,m$.
बल द्वारा किया गया कार्य $W = F \times s$ है।
$W = 5 \,N \times 120 \,m = 600 \,J$.

(A) पिंड विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
चूंकि त्वरण $a$ समान है,$a = \frac{v_0 - u}{t_0} = \frac{v_0}{t_0}$।
पिंड पर कार्य करने वाला बल $F = ma = m \left( \frac{v_0}{t_0} \right)$ है।
समय $t$ में तय की गई दूरी $S = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \left( \frac{v_0}{t_0} \right) t^2$ द्वारा दी जाती है।
किया गया कार्य $W$ बल और विस्थापन का गुणनफल है: $W = F \cdot S = \left( m \frac{v_0}{t_0} \right) \left( \frac{1}{2} \frac{v_0}{t_0} t^2 \right)$।
इसे सरल करने पर,हमें $W = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( \frac{t^2}{t_0^2} \right)$ प्राप्त होता है।

(C) पर्यवेक्षक $B$ जमीन पर (जड़त्वीय निर्देश तंत्र) है।
पर्यवेक्षक $B$ के लिए,ब्लॉक विरामावस्था से शुरू होता है और $a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करता है।
$t_0$ समय में ब्लॉक का विस्थापन $s$,गति के समीकरण द्वारा दिया जाता है: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$।
चूंकि प्रारंभिक वेग $u = 0$ है,इसलिए विस्थापन $s = \frac{1}{2}at_0^2$ (नीचे की ओर) होगा।
ब्लॉक पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = mg$ (नीचे की ओर) है।
चूंकि बल और विस्थापन दोनों नीचे की दिशा में हैं,इसलिए गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य धनात्मक होगा।
किया गया कार्य $W = F_g \cdot s = (mg) \cdot (\frac{1}{2}at_0^2) = \frac{1}{2}mgat_0^2$।

(B) पर्यवेक्षक $B$ जमीन पर है (जड़त्वीय फ्रेम)।
पर्यवेक्षक $B$ के लिए,ब्लॉक $a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करता है।
ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण ($mg$ नीचे की ओर) और अभिलंब बल ($N$ ऊपर की ओर) हैं।
गति के समीकरण से: $mg - N = ma$,इसलिए $N = m(g - a)$।
ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = mg - N = ma$ (नीचे की ओर) है।
$t_0$ समय में ब्लॉक का विस्थापन $s = \frac{1}{2}at_0^2$ (नीचे की ओर) है।
पर्यवेक्षक $B$ के अनुसार ब्लॉक पर किया गया कुल कार्य $W = F_{net} \cdot s = (ma) \cdot (\frac{1}{2}at_0^2) = \frac{1}{2}ma^2t_0^2$ है।

(A) किसी बल द्वारा किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d cos( \theta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ बल और विस्थापन सदिश के बीच का कोण है।
डोरी से जुड़ी गेंद के मामले में,तनाव बल त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर घूर्णन केंद्र की ओर कार्य करता है।
गेंद का वेग (और इसलिए तात्कालिक विस्थापन) हमेशा वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखीय होता है।
चूंकि त्रिज्या हमेशा स्पर्शरेखा के लंबवत होती है,इसलिए तनाव बल और विस्थापन के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है।
इसलिए,तनाव द्वारा किया गया कार्य $W = T d cos(90^{\circ}) = 0$ है।

(A) एक अचर बल द्वारा किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{S}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि बल गति की दिशा में कार्य करता है,इसलिए $W = F \cdot S$ होगा।
कुल कार्य $W_{total} = 300 \ J$ और बल $F = 50 \ N$ दिया गया है,इसलिए कुल दूरी $S_{total} = \frac{W_{total}}{F} = \frac{300}{50} = 6 \ m$ है।
गति समान दूरी के तीन चरणों $d$ में होती है। अतः,$3d = 6 \ m$,जिसका अर्थ है कि $d = 2 \ m$ है।
कण $x$-अक्ष के अनुदिश $2 \ m$,$y$-अक्ष के समांतर $2 \ m$ और $z$-अक्ष के समांतर $2 \ m$ चलता है।
अतः,अंतिम निर्देशांक $(2, 2, 2) \ m$ होंगे।

(C) बल सदिश $\vec{F}$ का मान उसके परिमाण और $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ की दिशा में इकाई सदिश के गुणनफल के बराबर है।
इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\vec{F} = 50 \times \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})\, N$.
विस्थापन सदिश $\vec{d} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (4-5)\hat{i} + (8-9)\hat{j} + (6-7)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}\, m$.
किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = \left[ \frac{50}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \right] \cdot (-\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$.
$W = \frac{50}{\sqrt{3}} (-1 - 1 - 1) = \frac{50}{\sqrt{3}} (-3) = -50\sqrt{3}\, J$.

(C) गतिज ऊर्जा $K$ को $K = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यह दिया गया है कि गतिज ऊर्जा समय के साथ समान रूप से बढ़ती है,इसलिए $K = kt$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
अतः,$\frac{1}{2}mv^2 = kt$,जिसका अर्थ है $v^2 \propto t$,या $v \propto t^{1/2}$।
त्वरण $a$ वेग के परिवर्तन की दर है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(ct^{1/2}) = \frac{1}{2}ct^{-1/2}$।
इसलिए,$a \propto \frac{1}{\sqrt{t}}$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,नेट बल $F = ma$ होता है।
चूँकि $m$ स्थिर है,$F \propto a$,जिसका अर्थ है कि $F \propto \frac{1}{\sqrt{t}}$।

(A) बक्से को एक समान वेग से धकेला जा रहा है,इसलिए लगाया गया बल $F$ घर्षण बल $f$ को संतुलित करेगा।
घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $\mu = 0.4$,$m = 40\, kg$,$g = 10\, m/s^2$.
$f = 0.4 \times 40 \times 10 = 160\, N$.
चूंकि बक्सा एक समान गति से धकेला जा रहा है,इसलिए लगाया गया बल $F = f = 160\, N$ है।
कुलियों द्वारा किया गया कार्य $W = F \cdot s = 160\, N \times 20\, m = 3200\, J$ है।

(D) बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W$ बल और विस्थापन के अदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}$.
चूंकि तात्क्षणिक वेग $\vec{v}$ हमेशा वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखा होता है और बल $\vec{F}$ (अभिकेंद्र बल) हमेशा केंद्र की ओर निर्देशित होता है,इसलिए $\vec{F}$ और विस्थापन $d\vec{s}$ (जो $\vec{v}$ की दिशा में है) के बीच का कोण $\theta$ हमेशा $90^{\circ}$ होता है।
इसलिए,सूक्ष्म विस्थापन के लिए किया गया कार्य $dW = F \cdot ds \cdot \cos(90^{\circ}) = 0$ है।
एक पूर्ण घूर्णन के लिए इसका समाकलन करने पर,कुल कार्य $W = 0$ प्राप्त होता है।

(C) जंजीर के प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{4\,kg}{2\,m} = 2\,kg/m$ है।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान $m = \lambda \times \ell = 2\,kg/m \times 0.6\,m = 1.2\,kg$ है।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान केंद्र मेज के किनारे से $h = \frac{\ell}{2} = \frac{0.6\,m}{2} = 0.3\,m$ नीचे है।
लटकते हुए भाग को मेज पर खींचने के लिए किया गया कार्य $W$,लटकते हुए भाग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,जो $W = mgh = (1.2\,kg) \times (10\,m/s^2) \times (0.3\,m) = 3.6\,J$ है।

(C) जमीन के सापेक्ष बॉक्स का विस्थापन,ट्रेन के सापेक्ष उसके विस्थापन और जमीन के सापेक्ष ट्रेन के विस्थापन का सदिश योग होता है।
इसलिए,कुल विस्थापन $\vec{S}_{total} = \vec{s} + \vec{s}_0$ है।
किया गया कार्य,लगाए गए बल और संदर्भ फ्रेम में कुल विस्थापन का अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) होता है।
$W = \vec{F} \cdot \vec{S}_{total} = \vec{F} \cdot (\vec{s} + \vec{s}_0)$.

(A) दिया गया है,गतिज ऊर्जा $K = as^2$ है।
हम जानते हैं कि $K = \frac{1}{2}mv^2$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ कण का वेग है।
अतः,$\frac{1}{2}mv^2 = as^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^2) = \frac{d}{dt}(as^2)$
$\frac{1}{2}m(2v \frac{dv}{dt}) = a(2s \frac{ds}{dt})$
चूंकि $F = m \frac{dv}{dt}$ और $v = \frac{ds}{dt}$ होता है,हम इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$mv \frac{dv}{dt} = 2as \frac{ds}{dt}$
$F \cdot v = 2as \cdot v$
$F = 2as$.

(A) दिया गया बल $\vec{F} = (3\hat{i} + 4\hat{j})$ एक नियत बल है।
एक नियत बल हमेशा एक संरक्षी बल होता है।
संरक्षी बल के लिए,किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है और केवल कण की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है।
चूंकि दोनों पथ $(0, 0)$ से शुरू होते हैं और $(a, a)$ पर समाप्त होते हैं,इसलिए दोनों स्थितियों में किया गया कार्य समान होना चाहिए।
अतः,$W_1 = W_2$।

(D) दिया गया है,प्रारंभिक वेग $u = 0$,$t_1$ समय में अंतिम वेग $v$ है।
त्वरण $a = \frac{v - u}{t_1} = \frac{v}{t_1}$.
$t$ समय में किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन या $F \times s$ के बराबर होता है।
$s = \frac{1}{2} a t^2$ और $F = ma$ का उपयोग करने पर:
$W = F \times s = (ma) \times (\frac{1}{2} a t^2) = \frac{1}{2} m a^2 t^2$.
$a = \frac{v}{t_1}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$W = \frac{1}{2} m \left(\frac{v}{t_1}\right)^2 t^2 = \frac{1}{2} m \frac{v^2}{t_1^2} t^2$.

(D) कार्य को बल और विस्थापन के अदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है,जो $W = \vec{F} \cdot \vec{s} = Fs \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ बल और विस्थापन सदिशों के बीच का कोण है।
समान वृत्तीय गति में,अभिकेंद्र बल वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है,जबकि तात्कालिक विस्थापन वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखा के अनुदिश होता है।
चूंकि त्रिज्या हमेशा स्पर्शरेखा के लंबवत होती है,इसलिए अभिकेंद्र बल और विस्थापन के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$W = Fs \cos(90^{\circ}) = Fs(0) = 0$.
इस प्रकार,अभिकेंद्र बल द्वारा कोई कार्य नहीं किया जाता है।

(D) पिंड का त्वरण $a = \frac{v}{t_1}$ है।
पिंड पर कार्य करने वाला बल $F = m \cdot a = m \cdot \frac{v}{t_1}$ है।
विरामावस्था से शुरू होकर $t$ समय में पिंड द्वारा तय की गई दूरी $s = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{v}{t_1} \right) t^2$ है।
किया गया कार्य $W = F \cdot s$ के रूप में परिभाषित है।
मान रखने पर,$W = \left( m \cdot \frac{v}{t_1} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{v}{t_1} \cdot t^2 \right)$.
व्यंजक को सरल करने पर,$W = \frac{1}{2} m \left( \frac{v}{t_1} \right)^2 t^2 = \frac{1}{2} m \frac{v^2}{t_1^2} t^2$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि चेन की कुल लंबाई $L = 2 \, m$ है और इसका कुल द्रव्यमान $M = 4 \, kg$ है।
मेज से लटकने वाली चेन की लंबाई $l = 60 \, cm = 0.6 \, m$ है।
चेन के प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{4}{2} = 2 \, kg/m$ है।
लटकने वाले भाग का द्रव्यमान $m = \lambda \times l = 2 \times 0.6 = 1.2 \, kg$ है।
लटकने वाले भाग का द्रव्यमान केंद्र मेज के किनारे से $h = \frac{l}{2} = \frac{0.6}{2} = 0.3 \, m$ नीचे है।
चेन को मेज पर खींचने के लिए किया गया कार्य लटकने वाले भाग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,जो $W = mgh$ है।
मान रखने पर: $W = 1.2 \times 10 \times 0.3 = 3.6 \, J$.

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,कण की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उस पर कार्य करने वाले कुल बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है।
$\Delta K = W = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r}$
दिया गया है:
$\vec{F} = (7\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}) \text{ N}$
$\Delta \vec{r} = (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) \text{ m}$
अदिश गुणनफल (dot product) की गणना करने पर:
$W = (7 \times 2) + (4 \times 3) + (3 \times 4)$
$W = 14 + 12 + 12$
$W = 38 \text{ J}$
अतः,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $38 \text{ J}$ है।

(B) कुल कार्य बाल्टी,पानी और रस्सी को ऊपर उठाने में किए गए कार्य का योग है।
बाल्टी का द्रव्यमान $(m_b)$ = $2\,kg$.
पानी का द्रव्यमान $(m_w)$ = $8\,litre \times 1\,kg/litre = 8\,kg$.
रस्सी का द्रव्यमान $(m_r)$ = $1\,kg$.
गहराई $(h)$ = $5\,m$.
बाल्टी पर किया गया कार्य: $W_b = m_b \cdot g \cdot h = 2 \times 10 \times 5 = 100\,J$.
पानी पर किया गया कार्य: $W_w = m_w \cdot g \cdot h = 8 \times 10 \times 5 = 400\,J$.
रस्सी पर किया गया कार्य: चूंकि रस्सी एकसमान है,इसका द्रव्यमान केंद्र $h/2 = 2.5\,m$ पर है। अतः,$W_r = m_r \cdot g \cdot (h/2) = 1 \times 10 \times 2.5 = 25\,J$.
कुल कार्य $W = W_b + W_w + W_r = 100 + 400 + 25 = 525\,J$.

(C) कण पर कार्य करने वाला बल $F = \frac{K}{v}$ द्वारा दिया गया है।
हम जानते हैं कि कार्य $W$ को $W = \int F \cdot dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए हम $dx = v \cdot dt$ लिख सकते हैं।
इस मान को कार्य के समीकरण में रखने पर:
$W = \int F \cdot (v \cdot dt)$
अब $F = \frac{K}{v}$ का मान समीकरण में रखने पर:
$W = \int \left(\frac{K}{v}\right) \cdot v \cdot dt$
$W = \int K \cdot dt$
चूंकि $K$ एक नियतांक है,इसलिए समय $t$ में किया गया कार्य होगा:
$W = K \int_{0}^{t} dt = Kt$.

(A) एक स्थिर बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W$ सूत्र $W = F \cdot S \cdot \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $S$ विस्थापन है और $\theta$ बल और विस्थापन सदिश के बीच का कोण है।
दिया गया है:
बल $F = 40\, N$
विस्थापन $S = 8\, m$
कोण $\theta = 60^{\circ}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = 40 \times 8 \times \cos 60^{\circ}$
चूँकि $\cos 60^{\circ} = 0.5$ या $\frac{1}{2}$ है,इसलिए:
$W = 40 \times 8 \times 0.5$
$W = 320 \times 0.5 = 160\, J$
अतः,किया गया कार्य $160\, J$ है।

(B) वस्तु पर कार्य करने वाला बल $\vec{F} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \text{ N}$ है।
चूंकि वस्तु $y$-अक्ष पर $4 \text{ m}$ की दूरी तय करती है,इसलिए विस्थापन सदिश $\vec{d} = 4\hat{j} \text{ m}$ होगा।
एक स्थिर बल द्वारा किया गया कार्य $W$,बल सदिश और विस्थापन सदिश का अदिश गुणनफल होता है: $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$.
मान रखने पर: $W = (-\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (4\hat{j})$.
अदिश गुणनफल के गुणों का उपयोग करते हुए ($\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,$\hat{k} \cdot \hat{j} = 0$):
$W = (-1 \times 0) + (2 \times 4) + (3 \times 0) = 8 \text{ J}$.
अतः,किया गया कार्य $8 \text{ J}$ है।

(C) कण पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $\vec{F} = -mg \hat{j}$ है।
उच्चतम बिंदु पर,कण का ऊर्ध्वाधर विस्थापन अधिकतम ऊँचाई $H$ के बराबर होता है।
अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}$ है।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य बल और ऊर्ध्वाधर विस्थापन का गुणनफल है: $W = \vec{F} \cdot \vec{S} = (-mg) \times H$.
$H$ का मान रखने पर: $W = -mg \left( \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g} \right)$.
समीकरण को सरल करने पर,हमें $W = -\frac{m u^2 \sin^2 \alpha}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) पिंड पर कार्य करने वाला बल अभिकेंद्री बल है,जो हमेशा वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
किसी भी क्षण पर पिंड का विस्थापन वृत्त के उस बिंदु पर स्पर्शरेखा की दिशा में होता है।
चूंकि त्रिज्या (और इसलिए अभिकेंद्री बल) हमेशा स्पर्शरेखा (विस्थापन) के लंबवत होती है,इसलिए बल सदिश $\vec{F}$ और विस्थापन सदिश $d\vec{s}$ के बीच का कोण $\theta$ हमेशा $90^{\circ}$ होता है।
किया गया कार्य $W$,बल और विस्थापन का अदिश गुणनफल है: $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s} = \int F \cos(90^{\circ}) ds$.
चूंकि $\cos(90^{\circ}) = 0$ होता है,इसलिए अभिकेंद्री बल द्वारा किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है,चाहे परिधि पर कितनी भी दूरी तय की गई हो।

(B) एक नियत बल $\vec F$ द्वारा विस्थापन $\vec S$ के दौरान किया गया कार्य $W$,बल और विस्थापन सदिशों के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है:
$W = \vec F \cdot \vec S$
दिया गया है कि $\vec F = 2\hat i - 3\hat j + 7\hat k$ और $\vec S = 7\hat i + 3\hat j - 2\hat k$ है।
$W = (2\hat i - 3\hat j + 7\hat k) \cdot (7\hat i + 3\hat j - 2\hat k)$
$W = (2 \times 7) + (-3 \times 3) + (7 \times -2)$
$W = 14 - 9 - 14$
$W = -9 \text{ J}$

(A) किसी बल द्वारा किया गया कार्य $W = F \cdot d \cdot \cos(\theta)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ बल है,$d$ विस्थापन है,और $\theta$ बल सदिश और विस्थापन सदिश के बीच का कोण है।
इस मामले में,भार (गुरुत्वाकर्षण बल) लंबवत नीचे की ओर कार्य करता है,अर्थात $F = Mg$ (नीचे की ओर)।
विस्थापन $x$ क्षैतिज मेज के अनुदिश है,अर्थात क्षैतिज दिशा में है।
नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल और क्षैतिज विस्थापन के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।
इसलिए,भार द्वारा किया गया कार्य $W = Mg \cdot x \cdot \cos(90^{\circ})$ है।
चूंकि $\cos(90^{\circ}) = 0$ होता है,इसलिए किया गया कार्य $W = 0$ होगा।

(C) किया गया कार्य $W$,बल सदिश $\vec F$ और विस्थापन सदिश $\vec s$ के अदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित है,जो $W = \vec F \cdot \vec s = Fs \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ दोनों सदिशों के बीच का कोण है।
दिया गया है कि $W = 0$,$F \neq 0$,और $s \neq 0$,इसलिए $Fs \cos \theta = 0$ होगा।
चूंकि $F$ और $s$ शून्य नहीं हैं,इसलिए $\cos \theta = 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\theta = 90^\circ$ या $\pi/2$ रेडियन है।
अतः,बल सदिश $\vec F$,विस्थापन सदिश $\vec s$ के लंबवत है।

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी पिंड पर बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta KE = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$.
वेग बढ़ने के लिए,अंतिम गतिज ऊर्जा प्रारंभिक गतिज ऊर्जा से अधिक होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि किया गया कार्य $W$ धनात्मक होना चाहिए।
किया गया कार्य डॉट प्रोडक्ट द्वारा दिया जाता है: $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d \cos \theta$,जहाँ $\theta$ बल सदिश $\vec{F}$ और विस्थापन सदिश $\vec{d}$ के बीच का कोण है।
यदि $\hat{F} \parallel \hat{d}$ है,तो कोण $\theta = 0^\circ$ होगा,और $\cos 0^\circ = 1$ होगा।
इस प्रकार,$W = F d > 0$,जिसके परिणामस्वरूप गतिज ऊर्जा में वृद्धि होती है और फलस्वरूप पिंड का वेग बढ़ जाता है।
इसलिए,सही स्थिति $\hat{F} \parallel \hat{d}$ है।

(C) भौतिकी में,कार्य को बल और बल की दिशा में विस्थापन के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है $(W = Fs \cos \theta)$।
$(i)$ जब भारोत्तोलक वजन उठाता है,तो लगाए गए बल की दिशा में विस्थापन $(s > 0)$ होता है। इसलिए,कार्य किया जाता है $(W = Fs > 0)$।
$(ii)$ जब भारोत्तोलक वजन को स्थिर पकड़े रखता है,तो विस्थापन शून्य $(s = 0)$ होता है। चूंकि कार्य के लिए विस्थापन आवश्यक है,इसलिए वजन पकड़े रखने के दौरान किया गया कार्य शून्य है $(W = F \times 0 = 0)$।

(A) विस्थापन की दिशा में कार्य करने वाले नियत बल द्वारा किया गया कार्य $W = F \cdot d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ तय की गई दूरी है।
चूँकि बल $F = 50 \, N$ प्रत्येक खंड में गति की दिशा में कार्य करता है,इसलिए प्रत्येक खंड में किया गया कार्य $W_i = F \cdot d$ है।
दिया गया है कि कुल कार्य $W_{total} = 300 \, J$ है और तीनों खंडों में किया गया कार्य समान है,इसलिए प्रत्येक खंड में किया गया कार्य $W_i = \frac{300}{3} = 100 \, J$ है।
$W_i = F \cdot d$ का उपयोग करते हुए,हम प्रत्येक खंड के लिए दूरी $d$ ज्ञात करते हैं: $100 = 50 \cdot d$,जिससे $d = 2 \, m$ प्राप्त होता है।
कण $x$-अक्ष पर $2 \, m$,फिर $y$-अक्ष के समांतर $2 \, m$,और अंत में $z$-अक्ष के समांतर $2 \, m$ चलता है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से शुरू करते हुए,अंतिम निर्देशांक $(2, 2, 2) \, m$ होंगे।

(B) ब्लॉक $m$ वेज के साथ समान क्षैतिज त्वरण $a = 5\,m/s^2$ से गति करता है क्योंकि यह वेज पर फिसलता नहीं है।
चूंकि सतहें घर्षण रहित हैं,ब्लॉक पर क्षैतिज दिशा में कार्य करने वाला एकमात्र बल अभिलंब बल $N$ का क्षैतिज घटक है।
मान लीजिए $N$ वेज द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब बल है। $N$ का क्षैतिज घटक ब्लॉक को त्वरण $a$ प्रदान करता है: $N \sin \theta = ma$.
$N$ का ऊर्ध्वाधर घटक भार को संतुलित करता है: $N \cos \theta = mg$.
हालाँकि,हम कार्य-ऊर्जा प्रमेय का सीधे उपयोग कर सकते हैं। ब्लॉक पर सभी बलों द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
क्षैतिज दिशा में ब्लॉक पर कार्य करने वाला एकमात्र बल अभिलंब बल $N$ है। चूंकि ब्लॉक केवल क्षैतिज रूप से त्वरण $a$ के साथ गति करता है,इसलिए $t = 2\,s$ पर उसका वेग $v = at = 5 \times 2 = 10\,m/s$ होगा।
प्रारंभिक वेग $0$ है। गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta KE = \frac{1}{2}mv^2 - 0 = \frac{1}{2} \times 1 \times (10)^2 = 50\,J$.
चूंकि गति की दिशा में कार्य करने वाला एकमात्र बल अभिलंब बल है (गुरुत्वाकर्षण ऊर्ध्वाधर रूप से कार्य करता है और विस्थापन क्षैतिज है),इसलिए अभिलंब बल द्वारा किया गया कार्य $50\,J$ है।

(C) बल सदिश $\vec{F}$ को उसके परिमाण और $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ की दिशा में इकाई सदिश के गुणनफल द्वारा प्राप्त किया जाता है।
इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\vec{F} = 30 \times \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})\, N$.
विस्थापन सदिश $\vec{S}$ अंतिम और प्रारंभिक स्थिति सदिशों का अंतर है:
$\vec{S} = (3-2)\hat{i} + (5-4)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}\, m$.
किया गया कार्य $W$,$\vec{F}$ और $\vec{S}$ का अदिश गुणनफल है:
$W = \vec{F} \cdot \vec{S} = [10\sqrt{3}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})] \cdot [\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}]$
$W = 10\sqrt{3} (1 \times 1 + 1 \times 1 + 1 \times 1) = 10\sqrt{3} \times 3 = 30\sqrt{3}\, J$.