Work Done by Constant Force Questions in Hindi

(D) एक स्थिर बल $\overrightarrow{F}$ द्वारा किया गया कार्य $W$ जो विस्थापन $\overrightarrow{S}$ उत्पन्न करता है,अदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{S} = FS \cos \theta$.
दिया गया है: बल $F = 50 \, N$,विस्थापन $S = 10 \, m$,और कोण $\theta = 60^\circ$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $W = 50 \times 10 \times \cos 60^\circ$.
चूंकि $\cos 60^\circ = 0.5$,इसलिए $W = 500 \times 0.5 = 250 \, J$.

(A) विस्थापन सदिश $\vec{S}$,अंतिम स्थिति सदिश $\vec{r_2}$ और प्रारंभिक स्थिति सदिश $\vec{r_1}$ के बीच के अंतर द्वारा दिया जाता है।
$\vec{S} = \vec{r_2} - \vec{r_1} = (14\hat i + 13\hat j + 9\hat k) - (3\hat i + 2\hat j - 6\hat k) = 11\hat i + 11\hat j + 15\hat k \, m$.
किया गया कार्य $W$,बल $\vec{F}$ और विस्थापन $\vec{S}$ का अदिश गुणनफल है।
$W = \vec{F} \cdot \vec{S} = (4\hat i + \hat j + 3\hat k) \cdot (11\hat i + 11\hat j + 15\hat k)$.
$W = (4 \times 11) + (1 \times 11) + (3 \times 15) = 44 + 11 + 45 = 100 \, J$.

(C) एक नियत बल $\vec F$ द्वारा विस्थापन $\vec r$ के दौरान किया गया कार्य $W$,बल और विस्थापन सदिशों के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है:
$W = \vec F \cdot \vec r$
यहाँ $\vec F = (5\hat i + 3\hat j) \text{ N}$ और $\vec r = (2\hat i - 1\hat j) \text{ m}$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$W = (5\hat i + 3\hat j) \cdot (2\hat i - 1\hat j)$
इकाई सदिशों के गुणों का उपयोग करते हुए $(\hat i \cdot \hat i = 1, \hat j \cdot \hat j = 1, \hat i \cdot \hat j = 0)$:
$W = (5 \times 2) + (3 \times -1)$
$W = 10 - 3$
$W = 7 \text{ J}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) एक स्थिर बल $\overrightarrow{F}$ द्वारा किया गया कार्य $W$,बल सदिश और विस्थापन सदिश $\overrightarrow{S}$ के अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) द्वारा दिया जाता है।
$W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{S}$
यहाँ $\overrightarrow{F} = 5\hat{i} + 6\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\overrightarrow{S} = 6\hat{i} + 0\hat{j} - 5\hat{k}$ दिया गया है।
$W = (5\hat{i} + 6\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (6\hat{i} + 0\hat{j} - 5\hat{k})$
इस गुणधर्म का उपयोग करते हुए कि $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,$\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ और अन्य पद $0$ हो जाते हैं:
$W = (5 \times 6) + (6 \times 0) + (4 \times -5)$
$W = 30 + 0 - 20$
$W = 10 \ J$.

(B) एक अचर बल $\vec{F}$ द्वारा विस्थापन $\vec{r}$ के दौरान किया गया कार्य $W$ अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है: $W = \vec{F} \cdot \vec{r}$।
दिया गया बल $\vec{F} = (-2\hat{i} + 15\hat{j} + 6\hat{k})\,N$ है।
विस्थापन $Y$-अक्ष के अनुदिश $10\,m$ है,इसलिए $\vec{r} = 10\hat{j}\,m$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = (-2\hat{i} + 15\hat{j} + 6\hat{k}) \cdot (10\hat{j})$
$W = (-2 \times 0) + (15 \times 10) + (6 \times 0)$
$W = 0 + 150 + 0 = 150\,J$।
अतः,किया गया कार्य $150\,J$ है।

(A) किया गया कार्य $W$, बल $\overrightarrow F$ और विस्थापन $\overrightarrow s$ का अदिश गुणनफल (dot product) होता है।
$W = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow s$
दिया गया है $\overrightarrow F = 4\hat i + 5\hat j$ और $\overrightarrow s = 3\hat i + 6\hat k$।
$W = (4\hat i + 5\hat j) \cdot (3\hat i + 6\hat k)$
इकाई सदिशों के गुणों का उपयोग करते हुए: $\hat i \cdot \hat i = 1$, $\hat j \cdot \hat j = 1$, $\hat k \cdot \hat k = 1$, और $\hat i \cdot \hat j = \hat j \cdot \hat k = \hat k \cdot \hat i = 0$:
$W = (4 \times 3)(\hat i \cdot \hat i) + (4 \times 6)(\hat i \cdot \hat k) + (5 \times 3)(\hat j \cdot \hat i) + (5 \times 6)(\hat j \cdot \hat k)$
$W = 12(1) + 0 + 0 + 0 = 12 \text{ J}$।

(A) बल $\vec F$ द्वारा विस्थापन $\vec S$ के दौरान किया गया कार्य $W$ अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है: $W = \vec F \cdot \vec S$.
दिया गया है $\vec F = 3\hat i + c\hat j + 2\hat k$ और $\vec S = -4\hat i + 2\hat j - 3\hat k$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $W = (3\hat i + c\hat j + 2\hat k) \cdot (-4\hat i + 2\hat j - 3\hat k)$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $W = (3)(-4) + (c)(2) + (2)(-3) = -12 + 2c - 6 = 2c - 18$.
चूंकि किया गया कार्य $W = 6 \ J$ है,इसलिए समीकरण होगा: $2c - 18 = 6$.
दोनों पक्षों में $18$ जोड़ने पर: $2c = 24$.
$2$ से भाग देने पर: $c = 12$.

(B) एक नियत बल $\vec F$ द्वारा विस्थापन $\vec s$ के दौरान किया गया कार्य $W$,बल और विस्थापन सदिशों के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है:
$W = \vec F \cdot \vec s$
यहाँ $\vec F = (5\hat i + 3\hat j) \ N$ और $\vec s = (2\hat i - 1\hat j) \ m$ दिया गया है।
$W = (5\hat i + 3\hat j) \cdot (2\hat i - 1\hat j)$
अदिश गुणनफल के गुणों $\hat i \cdot \hat i = 1$,$\hat j \cdot \hat j = 1$,और $\hat i \cdot \hat j = 0$ का उपयोग करने पर:
$W = (5 \times 2) + (3 \times -1)$
$W = 10 - 3$
$W = 7 \ J$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) क्षैतिज वृत्तीय गति में,अभिकेंद्र बल हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है,जबकि किसी भी क्षण पर गोले का विस्थापन वृत्ताकार पथ की स्पर्शरेखा की दिशा में होता है।
चूंकि अभिकेंद्र बल हमेशा विस्थापन की दिशा (वेग सदिश) के लंबवत होता है,इसलिए बल और विस्थापन के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ होता है।
किया गया कार्य $W$ सूत्र $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\cos(90^{\circ}) = 0$ होता है,इसलिए एक पूर्ण क्षैतिज वृत्त में अभिकेंद्र बल द्वारा किया गया कार्य $0$ है।

(D) किसी बल द्वारा किया गया कार्य सूत्र $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
एकसमान वृत्तीय गति में,अभिकेंद्री बल वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है,जबकि तात्कालिक विस्थापन वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखा के अनुदिश होता है।
चूंकि त्रिज्या सदिश हमेशा स्पर्शरेखा के लंबवत होता है,इसलिए अभिकेंद्री बल और विस्थापन के बीच का कोण हमेशा $90^\circ$ होता है।
इसलिए,किसी भी छोटे विस्थापन में किया गया कार्य $dW = F \cdot ds \cdot \cos(90^\circ) = 0$ होता है।
परिणामस्वरूप,एक पूर्ण चक्कर में किया गया कुल कार्य $0 \, J$ है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 3 \times 10^7 \, kg$,बल $F = 5 \times 10^4 \, N$,दूरी $s = 3 \, m$,प्रारंभिक वेग $u = 0$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{5 \times 10^4}{3 \times 10^7} = \frac{5}{3} \times 10^{-3} \, m/s^2$.
गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करने पर:
$v^2 = 0^2 + 2 \times \left( \frac{5 \times 10^4}{3 \times 10^7} \right) \times 3$.
$v^2 = 2 \times \left( \frac{5}{3} \times 10^{-3} \right) \times 3 = 10 \times 10^{-3} = 10^{-2}$.
$v = \sqrt{10^{-2}} = 0.1 \, m/s$.

(C) किए गए कार्य का सूत्र $W = Fs \cos \theta$ है,जहाँ $W$ कार्य है,$F$ बल है,$s$ विस्थापन है और $\theta$ बल और गति की दिशा के बीच का कोण है।
दिया गया है: $W = 25 \, J$,$F = 5 \, N$,और $s = 10 \, m$।
सूत्र में मान रखने पर:
$25 = 5 \times 10 \times \cos \theta$
$25 = 50 \times \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,इसलिए कोण $\theta = 60^\circ$ है।

(B) गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किसी वस्तु को उठाने में बाह्य बल द्वारा किया गया कार्य $(W)$ सूत्र $W = mgh$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$m$ वस्तु का द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $h$ ऊर्ध्वाधर विस्थापन (ऊँचाई) है।
चूंकि किताब का वजन $W_b = mg$ है,इसलिए किए गए कार्य को $W = W_b \times h$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
अतः,किया गया कार्य केवल किताब के वजन और बुकशेल्फ़ की ऊँचाई पर निर्भर करता है।
यह कार्य करने में लिए गए समय पर निर्भर नहीं करता है,क्योंकि समय का उपयोग शक्ति (शक्ति = कार्य / समय) की गणना में किया जाता है,कार्य में नहीं।

(B) $m$ द्रव्यमान की वस्तु को $h$ ऊँचाई तक उठाने में किया गया कार्य $W = mgh$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,दोनों व्यक्तियों के लिए द्रव्यमान $m$ और ऊँचाई $h$ समान हैं।
चूँकि किया गया कार्य कार्य को पूरा करने में लिए गए समय पर निर्भर नहीं करता है,इसलिए दोनों व्यक्तियों द्वारा किया गया कार्य समान है।
अतः,किए गए कार्य का अनुपात $W_1 : W_2 = mgh : mgh = 1:1$ है।

(C) एक स्थिर बल $\overrightarrow F$ द्वारा विस्थापन $\overrightarrow s$ के दौरान किया गया कार्य $W$,बल और विस्थापन के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है: $W = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow s$.
दिया गया है: $\overrightarrow F = (5\hat i + 3\hat j) \, N$ और $\overrightarrow s = (2\hat i - 1\hat j) \, m$.
मान रखने पर: $W = (5\hat i + 3\hat j) \cdot (2\hat i - 1\hat j)$.
अदिश गुणनफल के गुण $\hat i \cdot \hat i = 1$ और $\hat i \cdot \hat j = 0$ का उपयोग करने पर:
$W = (5 \times 2) + (3 \times -1) = 10 - 3 = 7 \, J$.

(D) एक स्थिर बल द्वारा किया गया कार्य $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,गुरुत्वाकर्षण बल $F = mg$ नीचे की ओर कार्य करता है और विस्थापन $s = h$ भी नीचे की दिशा में ही होता है।
चूँकि बल और विस्थापन एक ही दिशा में हैं,इसलिए कोण $\theta = 0^\circ$ है,और $\cos(0^\circ) = 1$ होता है।
अतः,किया गया कार्य $W = mgh$ होगा।
यहाँ $m = 10\, kg$,$g = 9.8\, m/s^2$,और $h = 10\, m$ दिया गया है।
$W = 10 \times 9.8 \times 10 = 980\, J$.
चूँकि वस्तु गुरुत्वाकर्षण बल की दिशा में गति करती है,इसलिए किया गया कार्य धनात्मक (positive) है।

(D) सही उत्तर $(d)$ है।
कार्य को बल और विस्थापन के अदिश गुणनफल (dot product) के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे $W = \vec{F} \cdot \vec{s}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि दो सदिशों का अदिश गुणनफल हमेशा एक अदिश राशि प्रदान करता है, इसलिए कार्य एक अदिश राशि है।
विस्थापन, विद्युत क्षेत्र और त्वरण तीनों सदिश राशियाँ हैं क्योंकि इनमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।

(B) ब्लॉक को चिकने नत समतल पर एकसमान वेग से ऊपर खींचने के लिए आवश्यक बल,समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक के बराबर होता है,जो $F = mg \sin \theta$ है।
यहाँ ब्लॉक का वजन $mg = 2 \, kN = 2000 \, N$,समतल की लंबाई $s = 10 \, m$,और झुकाव कोण $\theta = 15^\circ$ दिया गया है।
किया गया कार्य $W$,बल और विस्थापन के गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है: $W = F \times s = (mg \sin \theta) \times s$.
मान रखने पर: $W = 2000 \times \sin(15^\circ) \times 10$.
चूंकि $\sin(15^\circ) \approx 0.2588$,हमें $W = 2000 \times 0.2588 \times 10 = 5176 \, J$ प्राप्त होता है।
किलोजूल में बदलने पर: $W = 5.176 \, kJ \approx 5.17 \, kJ$.

(D) एक स्थिर बल $\vec F$ द्वारा विस्थापन $\vec s$ के दौरान किया गया कार्य $W$,बल और विस्थापन सदिशों के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है:
$W = \vec F \cdot \vec s$
यहाँ $\vec F = 5\hat i + 6\hat j - 4\hat k$ और $\vec s = 6\hat i + 0\hat j + 5\hat k$ दिया गया है।
$W = (5\hat i + 6\hat j - 4\hat k) \cdot (6\hat i + 0\hat j + 5\hat k)$
$W = (5 \times 6) + (6 \times 0) + (-4 \times 5)$
$W = 30 + 0 - 20$
$W = 10 \text{ इकाई}$.

(B) दिया गया है: बल $F = 5 \, N$,द्रव्यमान $m = 15 \, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,समय $t = 1 \, s$।
सबसे पहले,न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करके त्वरण $a$ ज्ञात करें: $a = \frac{F}{m} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \, m/s^2$।
इसके बाद,गति के समीकरण का उपयोग करके पहले सेकंड में विस्थापन $s$ ज्ञात करें: $s = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0(1) + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times (1)^2 = \frac{1}{6} \, m$।
अंत में,कार्य $W$ ज्ञात करने के लिए $W = F \times s$ सूत्र का उपयोग करें: $W = 5 \times \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \, J$।

(B) गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य सूत्र $W = mgh$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,द्रव्यमान $m = 10 \, kg$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$,और ऊँचाई $h = 1 \, m$ है।
मान रखने पर,हमें $W = 10 \times 9.8 \times 1 = 98 \, J$ प्राप्त होता है।
गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध कार्य की गणना के लिए लिया गया समय अप्रासंगिक है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया विस्थापन $S = \frac{t^2}{4}$ है।
वेग $v = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^2}{4}\right) = \frac{2t}{4} = \frac{t}{2} \, m/s$.
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{t}{2}\right) = \frac{1}{2} \, m/s^2$.
बल $F = m \cdot a = 6 \times \frac{1}{2} = 3 \, N$.
किया गया कार्य $W = \int F \, dS = \int_0^2 F \cdot v \, dt = \int_0^2 3 \cdot \frac{t}{2} \, dt$.
$W = \frac{3}{2} \int_0^2 t \, dt = \frac{3}{2} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^2 = \frac{3}{4} [4 - 0] = 3 \, J$.

(D) विस्थापन $\overrightarrow{s}$ के दौरान एक स्थिर बल $\overrightarrow{F}$ द्वारा किया गया कार्य $W$,बल और विस्थापन सदिशों के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है:
$W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{s}$
दिया गया है:
$\overrightarrow{F} = (3\,\hat{i} + 4\,\hat{j}) \, N$
$\overrightarrow{s} = (3\,\hat{i} + 4\,\hat{j}) \, m$
मान रखने पर:
$W = (3\,\hat{i} + 4\,\hat{j}) \cdot (3\,\hat{i} + 4\,\hat{j})$
अदिश गुणनफल के गुण $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,और $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$ का उपयोग करते हुए:
$W = (3 \times 3) + (4 \times 4)$
$W = 9 + 16$
$W = 25 \, J$

(D) ऊपर ले जाए जा रहे कुल द्रव्यमान $m$ का मान व्यक्ति के द्रव्यमान और भार का योग है: $m = 50\,kg + 20\,kg = 70\,kg$.
चढ़ी गई कुल ऊंचाई $h$ सीढ़ियों की संख्या और प्रत्येक सीढ़ी की ऊंचाई का गुणनफल है: $h = 20 \times 0.25\,m = 5\,m$.
गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W$ सूत्र $W = mgh$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है $(g \approx 9.8\,m/s^2)$.
मान रखने पर: $W = 70\,kg \times 9.8\,m/s^2 \times 5\,m = 3430\,J$.

(D) बल $\overrightarrow{F}$ द्वारा विस्थापन $\overrightarrow{s}$ के दौरान किया गया कार्य $W$ अदिश गुणन (dot product) द्वारा दिया जाता है: $W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{s}$.
दिया गया है कि $\overrightarrow{F} = 6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ और $\overrightarrow{s} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + x\hat{k}$.
चूंकि किया गया कार्य शून्य है,इसलिए $W = 0$.
सदिशों को अदिश गुणन के सूत्र में रखने पर:
$(6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (2\hat{i} - 3\hat{j} + x\hat{k}) = 0$
अदिश गुणन की गणना करने पर:
$(6 \times 2) + (2 \times -3) + (-3 \times x) = 0$
$12 - 6 - 3x = 0$
$6 - 3x = 0$
$3x = 6$
$x = 2$.

(A) विस्थापन $\vec{d}$ को $\vec{d} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$\vec{d} = (14\hat{i} + 13\hat{j} + 9\hat{k}) - (3\hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k}) = 11\hat{i} + 11\hat{j} + 15\hat{k}$.
किया गया कार्य $W$ बल और विस्थापन का अदिश गुणनफल है: $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$.
$W = (4\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (11\hat{i} + 11\hat{j} + 15\hat{k})$.
$W = (4 \times 11) + (1 \times 11) + (3 \times 15) = 44 + 11 + 45 = 100 \text{ J}$.

(C) एक स्थिर बल $\vec{F}$ द्वारा विस्थापन $\vec{s}$ के दौरान किया गया कार्य $W$ अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है: $W = \vec{F} \cdot \vec{s}$।
दिया गया है कि $\vec{F} = 3\hat{i} + c\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{s} = -4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,और $W = 6\,J$।
अदिश गुणनफल के सूत्र में मान रखने पर:
$6 = (3\hat{i} + c\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$
$6 = (3 \times -4) + (c \times 2) + (2 \times 3)$
$6 = -12 + 2c + 6$
$6 = -6 + 2c$
$12 = 2c$
$c = 6$.

(B) एक स्थिर बल द्वारा किए गए कार्य का सूत्र $W = F \cdot d$ है,जहाँ $F$ बल है और $d$ बल की दिशा में विस्थापन है।
यदि बल को दोगुना $(F' = 2F)$ और विस्थापन को दोगुना $(d' = 2d)$ कर दिया जाए,तो नया कार्य $W'$ होगा:
$W' = F' \cdot d' = (2F) \cdot (2d) = 4 \cdot (F \cdot d) = 4W$.
अतः,किया गया कार्य मूल कार्य का $4$ गुना हो जाएगा।

(D) एक स्थिर बल द्वारा किया गया कार्य $W = F S \cos \theta$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ बल का परिमाण है,$S$ विस्थापन है,और $\theta$ बल सदिश और विस्थापन सदिश के बीच का कोण है।
दिया गया है:
बल $F = 10\, N$
विस्थापन $S = 4\, m$
कोण $\theta = 60^\circ$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = 10 \times 4 \times \cos 60^\circ$
चूँकि $\cos 60^\circ = 0.5$ है,इसलिए:
$W = 10 \times 4 \times 0.5 = 20\, J$.
अतः,बल द्वारा किया गया कार्य $20\, J$ है।

(A) किया गया कार्य $W$,बल सदिश $\overrightarrow F$ और विस्थापन सदिश $\overrightarrow S$ के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है।
$W = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow S$
दिया गया है $\overrightarrow F = (5\hat i + 4\hat j + 0\hat k) \ N$ और $\overrightarrow S = (6\hat i - 5\hat j + 3\hat k) \ m$।
$W = (5\hat i + 4\hat j + 0\hat k) \cdot (6\hat i - 5\hat j + 3\hat k)$
$W = (5 \times 6) + (4 \times -5) + (0 \times 3)$
$W = 30 - 20 + 0$
$W = 10 \ J$.

(B) एक स्थिर बल $\vec F$ द्वारा विस्थापन $\vec r$ के दौरान किया गया कार्य $W$,बल और विस्थापन सदिशों के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है:
$W = \vec F \cdot \vec r$
यहाँ $\vec F = (5\hat i + 3\hat j + 2\hat k) \, N$ और $\vec r = (2\hat i - 1\hat j + 0\hat k) \, m$ दिया गया है।
$W = (5\hat i + 3\hat j + 2\hat k) \cdot (2\hat i - 1\hat j + 0\hat k)$
$W = (5 \times 2) + (3 \times -1) + (2 \times 0)$
$W = 10 - 3 + 0 = 7 \, J$
अतः,किया गया कार्य $+7 \, J$ है।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी पिंड द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ उस पर किए गए कार्य के बराबर होती है,जो कि नियत बल $F$ द्वारा किया जाता है।
$K.E. = W = F \times s$
चूंकि बल $F$ और दूरी $s$ को नियत दिया गया है,इसलिए किया गया कार्य $W$ भी नियत रहता है।
अतः,गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ पिंड के द्रव्यमान $m$ पर निर्भर नहीं करती है।
गणितीय रूप से,$K.E. \propto m^0$.
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।

(D) किया गया कार्य $W$,बल सदिश $\vec F$ और विस्थापन सदिश $\vec s$ के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा प्राप्त होता है।
$W = \vec F \cdot \vec s$
यहाँ $\vec F = 4\hat i + 5\hat j + 0\hat k$ और $\vec s = 3\hat i + 0\hat j + 6\hat k$ दिया गया है।
$W = (4\hat i + 5\hat j + 0\hat k) \cdot (3\hat i + 0\hat j + 6\hat k)$
अदिश गुणनफल के गुणधर्म के अनुसार $\hat i \cdot \hat i = 1$,$\hat j \cdot \hat j = 1$,$\hat k \cdot \hat k = 1$ और अन्य पद $0$ होते हैं:
$W = (4 \times 3) + (5 \times 0) + (0 \times 6)$
$W = 12 + 0 + 0 = 12$ इकाई।
इस मान की तुलना विकल्पों से करने पर,$4 \times 3 = 12$ इकाई प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) व्यक्ति द्वारा किया गया कार्य $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$ है।
चूंकि सतह चिकनी मानी गई है,इसलिए व्यक्ति पर कोई घर्षण बल कार्य नहीं करता है।
व्यक्ति पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण बल है,जो हमेशा पृथ्वी के केंद्र की ओर कार्य करता है।
जैसे-जैसे व्यक्ति पृथ्वी की सतह पर चलता है,उसका विस्थापन सदिश $d\vec{r}$ हमेशा सतह के स्पर्शरेखीय होता है,जबकि गुरुत्वाकर्षण बल $\vec{F}_g$ हमेशा केंद्र की ओर (सतह के लंबवत) निर्देशित होता है।
चूंकि विस्थापन सदिश और गुरुत्वाकर्षण बल के बीच का कोण हर बिंदु पर $90^{\circ}$ है,इसलिए गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W = \int F_g \cos(90^{\circ}) dr = 0$ है।
अतः,व्यक्ति द्वारा किया गया कुल कार्य $0$ है।

(A) किया गया कार्य $W$,बल सदिश $\overrightarrow{F}$ और विस्थापन सदिश $\overrightarrow{s}$ का अदिश गुणनफल (dot product) होता है।
$W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{s}$
दिया गया है $\overrightarrow{F} = (6\hat{i} + 2\hat{j}) \text{ N}$ और $\overrightarrow{s} = (3\hat{i} - \hat{j}) \text{ m}$.
$W = (6\hat{i} + 2\hat{j}) \cdot (3\hat{i} - \hat{j})$
अदिश गुणनफल के गुण $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,और $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$ का उपयोग करने पर:
$W = (6 \times 3) + (2 \times -1)$
$W = 18 - 2$
$W = 16 \text{ J}$.

(C) गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध एक बक्से को ऊपर उठाने में किया गया कार्य $W$,सूत्र $W = mgh$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ बक्से का द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $h$ वह ऊँचाई है जिससे इसे उठाया जाता है।
चूंकि $mg$ बक्से के भार को दर्शाता है,इसलिए किया गया कार्य बक्से के भार और उसे उठाई गई ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।
अतः,किया गया कार्य उस ऊँचाई $h$ पर निर्भर करता है जहाँ तक बक्से को उठाया जाता है।

(D) गुरुत्वाकर्षण जैसे संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम ऊर्ध्वाधर स्थितियों पर निर्भर करता है।
मान लीजिए कि सबसे निचला बिंदु संदर्भ स्तर $(h=0)$ है।
एक चरम सिरे पर,ऊँचाई $h$ है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U_i = mgh$ है।
दूसरे चरम सिरे पर भी ऊँचाई $h$ है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U_f = mgh$ है।
गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $W_g = -(U_f - U_i)$ द्वारा दिया जाता है।
$W_g = -(mgh - mgh) = 0$.
वैकल्पिक रूप से,एक सिरे से दूसरे सिरे तक गोलक का कुल ऊर्ध्वाधर विस्थापन शून्य है,और चूंकि गुरुत्वाकर्षण एक ऊर्ध्वाधर बल है,इसलिए कुल किया गया कार्य शून्य है।

(C) व्यक्ति द्वारा किया गया कार्य उसके अपने वजन और भार को एक निश्चित ऊंचाई $h$ तक उठाने के लिए गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध होता है।
कार्य का सूत्र $W = mgh$ है,जहाँ $m$ कुल द्रव्यमान $(50 \ kg + 10 \ kg = 60 \ kg)$ है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $h$ इमारत की ऊंचाई है।
चूंकि इमारत पर चढ़ने में लगने वाले समय की परवाह किए बिना द्रव्यमान,गुरुत्वाकर्षण और ऊंचाई स्थिर रहते हैं,इसलिए किया गया कार्य समान रहता है।
अतः,$2 \ \text{min}$ में किया गया कार्य भी $6 \times 10^4 \ J$ ही होगा।

(C) कार्य का सूत्र $W = FS \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: बल $F = 5 \ N$,विस्थापन $S = 10 \ m$,और कार्य $W = 25 \ J$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$25 = 5 \times 10 \times \cos \theta$
$25 = 50 \times \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,इसलिए कोण $\theta = 60^\circ$ है।

(B) एकसमान वृत्तीय गति में,अभिकेंद्र बल $F = \frac{mV^2}{r}$ हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है।
किसी भी क्षण पर,पिंड का विस्थापन $ds$ वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखा (tangent) की दिशा में होता है।
अभिकेंद्र बल (केंद्र की ओर) और विस्थापन (स्पर्शरेखा के अनुदिश) के बीच का कोण हमेशा $90^\circ$ होता है।
किया गया कार्य $W$ समाकलन $W = \int F \cdot ds = \int F \cos(90^\circ) ds$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\cos(90^\circ) = 0$ है,इसलिए अभिकेंद्र बल द्वारा किया गया कार्य किसी भी विस्थापन के लिए $0$ होता है,जिसमें परिधि की आधी दूरी भी शामिल है।

(C) किया गया कार्य $W$,बल $\vec{F}$ और विस्थापन $\vec{S}$ का अदिश गुणनफल है:
$W = \vec{F} \cdot \vec{S} = F S \cos \theta$
जहाँ $\theta$ बल और विस्थापन सदिशों के बीच का कोण है।
कार्य को शून्य $(W = 0)$ होने के लिए,$\cos \theta = 0$ होना चाहिए।
यह तब होता है जब $\theta = 90^{\circ}$ हो।
अतः,बल $\vec{F}$ और विस्थापन $\vec{S}$ एक-दूसरे के परस्पर लंबवत होने चाहिए।

(A) वृत्ताकार पथ पर गति करने वाले कण पर कार्य करने वाला अभिकेंद्री बल $F$ हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
वृत्ताकार पथ पर किसी भी बिंदु पर,विस्थापन सदिश $d\vec{s}$ पथ के स्पर्शरेखीय होता है।
चूंकि त्रिज्या सदिश किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा के लंबवत होता है,इसलिए अभिकेंद्री बल $F$ हमेशा तात्कालिक विस्थापन $d\vec{s}$ के लंबवत होता है।
किया गया कार्य $W$,समाकलन $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\vec{F} \perp d\vec{s}$,इसलिए अदिश गुणनफल $\vec{F} \cdot d\vec{s} = F \cdot ds \cdot \cos(90^{\circ}) = 0$ होता है।
अतः,कुल किया गया कार्य $W = \int 0 = 0$ है।

(A) व्यक्ति द्वारा किया गया कुल कार्य क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में किए गए कार्य का योग है।
क्षैतिज दिशा में किया गया कार्य $(W_{Hz})$: चूंकि बल (बाल्टी का वजन) ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है और विस्थापन क्षैतिज है,इसलिए कोण $\theta = 90^{\circ}$ है। अतः,$W_{Hz} = F \cdot d \cdot \cos(90^{\circ}) = 0 \ J$.
ऊर्ध्वाधर दिशा में किया गया कार्य $(W_{vert})$: व्यक्ति बाल्टी को गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध उठाता है,इसलिए लगाया गया बल वजन $(60 \ N)$ के बराबर है और विस्थापन $5 \ m$ ऊपर की ओर है। अतः,$W_{vert} = F \cdot d \cdot \cos(0^{\circ}) = 60 \ N \times 5 \ m = 300 \ J$.
कुल कार्य $W_{net} = W_{Hz} + W_{vert} = 0 \ J + 300 \ J = 300 \ J$.

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 20 \ kg$,बल $F = 5 \ N$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,समय $t = 1 \ s$.
सबसे पहले,न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करके त्वरण $a$ की गणना करें: $a = \frac{F}{m} = \frac{5}{20} = 0.25 \ m/s^2$.
इसके बाद,गति के समीकरण का उपयोग करके पहले सेकंड में विस्थापन $s$ की गणना करें: $s = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0(1) + \frac{1}{2}(0.25)(1)^2 = 0.125 \ m$.
अंत में,सूत्र $W = F \times s$ का उपयोग करके किए गए कार्य $W$ की गणना करें: $W = 5 \times 0.125 = 0.625 \ J$.
चूंकि $0.625 = \frac{5}{8}$,इसलिए किया गया कार्य $\frac{5}{8} \ J$ है।

(C) जब एक गेंद को मीनार की चोटी से गिराया जाता है,तो प्रारंभिक वेग $u = 0$ होता है।
$n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $h_n = u + \frac{g}{2}(2n - 1)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $u = 0$,इसलिए $h_n \propto (2n - 1)$ होगा।
$n = 1, 2, 3$ के लिए,दूरियों का अनुपात $h_1 : h_2 : h_3 = (2(1)-1) : (2(2)-1) : (2(3)-1) = 1 : 3 : 5$ है।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W = mgh$ है।
चूंकि $m$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए किए गए कार्य का अनुपात तय की गई दूरियों के अनुपात के बराबर होगा:
$W_1 : W_2 : W_3 = h_1 : h_2 : h_3 = 1 : 3 : 5$.

(B) एक स्थिर बल द्वारा किया गया कार्य $W$,बल सदिश $\vec{F}$ और विस्थापन सदिश $\vec{S}$ के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $\vec{F} = (-2\hat{i} + 15\hat{j} + 6\hat{k}) \, N$.
विस्थापन $Y$-अक्ष की दिशा में $10 \, m$ है,अतः $\vec{S} = 10\hat{j} \, m$.
कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{S} = (-2\hat{i} + 15\hat{j} + 6\hat{k}) \cdot (10\hat{j})$.
अदिश गुणनफल के गुणधर्म $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,और $\hat{k} \cdot \hat{j} = 0$ का उपयोग करने पर:
$W = (-2 \times 0) + (15 \times 10) + (6 \times 0) = 150 \, J$.

(B) दिया गया है: बल $F = 5 \ N$,द्रव्यमान $m = 15 \ kg$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,समय $t = 1 \ s$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $a = F/m = 5/15 = 1/3 \ m/s^2$.
समय $t$ में विस्थापन $s = ut + 1/2 at^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $u = 0$,इसलिए $s = 1/2 \times (1/3) \times (1)^2 = 1/6 \ m$.
किया गया कार्य $W = F \times s = 5 \times (1/6) = 5/6 \ J$।

(B) विस्थापन सदिश $\vec{d}$,अंतिम स्थिति सदिश $\vec{r_2}$ और प्रारंभिक स्थिति सदिश $\vec{r_1}$ का अंतर है।
$\vec{d} = \vec{r_2} - \vec{r_1} = (8\hat i + 6\hat j - 3\hat k) - (4\hat i - 2\hat j + 5\hat k) = (4\hat i + 8\hat j - 8\hat k) \, m$.
किया गया कार्य $W$,बल सदिश $\vec{F}$ और विस्थापन सदिश $\vec{d}$ का अदिश गुणनफल है।
$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (5\hat i + 6\hat j - 7\hat k) \cdot (4\hat i + 8\hat j - 8\hat k)$.
$W = (5 \times 4) + (6 \times 8) + (-7 \times -8) = 20 + 48 + 56 = 124 \, J$.

(D) बल $\vec F$ द्वारा विस्थापन $\vec d$ के लिए किया गया कार्य $W$ अदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $W = \vec F \cdot \vec d$.
यह दिया गया है कि किया गया कार्य शून्य है,इसलिए $W = 0$.
दिए गए सदिशों का मान रखने पर: $(6\hat i + 2\hat j - 3\hat k) \cdot (2\hat i - 3\hat j + c\hat k) = 0$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(6 \times 2) + (2 \times -3) + (-3 \times c) = 0$.
$12 - 6 - 3c = 0$.
$6 - 3c = 0$.
$3c = 6$.
अतः,$c = 2$.

(B) कण द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h = \frac{u^2}{2g}$ है।
मान रखने पर,$h = \frac{5^2}{2g} = \frac{25}{2g}$ प्राप्त होता है।
जब कण ऊपर जाता है,तो गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $W_{up} = -mgh = -m \cdot g \cdot \frac{25}{2g} = -1.25 \ J$ होता है।
जब कण वापस प्रारंभिक बिंदु पर आता है,तो विस्थापन शून्य हो जाता है।
यदि प्रश्न पूरी यात्रा (ऊपर और नीचे) के दौरान गुरुत्वाकर्षण द्वारा किए गए कुल कार्य के बारे में है,तो $W_{total} = W_{up} + W_{down} = -1.25 + 1.25 = 0 \ J$ होगा।
हालाँकि,यदि प्रश्न अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने के दौरान किए गए कार्य के बारे में है,तो उत्तर $-1.25 \ J$ है।