Work Done by Constant Force Questions in Hindi

(C) जब कोई आदमी दीवार को धक्का देता है,तो वह दीवार में कोई विस्थापन उत्पन्न नहीं करता है।
चूंकि विस्थापन $s = 0$ है,इसलिए किए गए कार्य $W$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$
$W = F \cdot 0 \cdot \cos(\theta) = 0$
अतः,आदमी बिल्कुल भी कार्य नहीं करता है।

(D) दिया गया बल $F = K \left[ \frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}} \hat{i} + \frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}} \hat{j} \right]$ है।
ध्रुवीय निर्देशांकों में,$x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$,जहाँ $r = \sqrt{x^2+y^2}$ है।
इन मानों को बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$F = K \left[ \frac{r \cos \theta}{r^3} \hat{i} + \frac{r \sin \theta}{r^3} \hat{j} \right] = \frac{K}{r^2} (\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j})$ प्राप्त होता है।
यह बल एक केंद्रीय बल है जो त्रिज्यीय दिशा में कार्य करता है,अर्थात $F = \frac{K}{r^2} \hat{r}$।
केंद्रीय बल द्वारा किया गया कार्य $W = \int F \cdot dr = \int \frac{K}{r^2} dr$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण $a$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति करता है,इसलिए मूल बिंदु से दूरी $r$ स्थिर $(r = a)$ रहती है।
वृत्ताकार पथ के लिए,विस्थापन सदिश $d\vec{l}$ हमेशा त्रिज्यीय बल सदिश $\vec{F}$ के लंबवत होता है।
इसलिए,पथ के प्रत्येक बिंदु पर अदिश गुणनफल $\vec{F} \cdot d\vec{l} = 0$ होता है।
अतः,कुल कार्य $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{l} = 0$ होगा।

(C) दिया गया है: बल $F = 10 \ N$,द्रव्यमान $m = 1.5 \ kg$,गतिज घर्षण गुणांक $\mu_k = 0.2$,$g = 10 \ m/s^2$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,समय $t = 6 \ s$.
सबसे पहले,गतिज घर्षण बल की गणना करें: $f_k = \mu_k \cdot m \cdot g = 0.2 \times 1.5 \times 10 = 3 \ N$.
ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_k = 10 - 3 = 7 \ N$ है।
ब्लॉक का त्वरण $a = F_{net} / m = 7 / 1.5 = 14 / 3 \ m/s^2$ है।
$t = 6 \ s$ में विस्थापन $s = ut + (1/2)at^2 = 0 + (1/2) \times (14/3) \times (6)^2 = (1/2) \times (14/3) \times 36 = 7 \times 12 = 84 \ m$ है।
लगाए गए बल द्वारा किया गया कार्य $W = F \times s = 10 \times 84 = 840 \ J$ है।

(C) वस्तु का विस्थापन $X$-अक्ष के अनुदिश $3 \text{ m}$ है, इसलिए विस्थापन सदिश $\vec{d} = 3 \hat{i} \text{ m}$ है।
दिया गया बल सदिश $\vec{F} = (2 \hat{i} + 4 \hat{j}) \text{ N}$ है।
एक स्थिर बल द्वारा किया गया कार्य $W$, बल सदिश और विस्थापन सदिश के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा प्राप्त होता है:
$W = \vec{F} \cdot \vec{d}$
$W = (2 \hat{i} + 4 \hat{j}) \cdot (3 \hat{i})$
$W = (2 \times 3)(\hat{i} \cdot \hat{i}) + (4 \times 0)(\hat{j} \cdot \hat{i})$
चूंकि $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ और $\hat{j} \cdot \hat{i} = 0$ है, इसलिए:
$W = 6 \times 1 + 0 = 6 \text{ J}$.

(D) पिंड का द्रव्यमान, $m = 10 \,kg$. बल, $F = 4 \,N$. आरोपित बल के कारण उत्पन्न त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{4}{10} = 0.4 \,m/s^2$ है।
अंतराल $0 \leq t \leq 1 \,s$ के लिए, तय की गई दूरी $s_1 = u t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 0.4 \times (1)^2 = 0.2 \,m$ है।
किया गया कार्य $W_1 = F \times s_1 = 4 \times 0.2 = 0.8 \,J$ है।
अंतराल $1 \,s \leq t \leq 2 \,s$ के लिए, $t = 1 \,s$ पर प्रारंभिक वेग $v_i = u + a t = 0 + 0.4 \times 1 = 0.4 \,m/s$ है।
इस अंतराल $(t = 1 \,s)$ के दौरान तय की गई दूरी $s_2 = v_i t + \frac{1}{2} a t^2 = 0.4 \times 1 + \frac{1}{2} \times 0.4 \times (1)^2 = 0.4 + 0.2 = 0.6 \,m$ है।
किया गया कार्य $W_2 = F \times s_2 = 4 \times 0.6 = 2.4 \,J$ है।
अनुपात $\frac{W_2}{W_1} = \frac{2.4}{0.8} = 3$ है।

(A) दिया गया है,कण का द्रव्यमान $m = 30 \,g = 3 \times 10^{-2} \,kg$.
कण की स्थिति $x = \alpha t^2$ है。
वेग $v = \frac{dx}{dt} = 2\alpha t$.
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = 2\alpha$.
बल $F = ma = (3 \times 10^{-2} \,kg) \times (2 \times 1 \,m/s^2) = 6 \times 10^{-2} \,N$.
किया गया कार्य $W = \int F dx$. चूँकि $x = \alpha t^2$,इसलिए $dx = 2\alpha t dt$.
$t = 0$ पर,$x = 0$. $t = 4$ पर,$x = 1 \times (4)^2 = 16 \,m$.
$W = \int_{0}^{16} (6 \times 10^{-2}) dx = 6 \times 10^{-2} \times [x]_{0}^{16} = 6 \times 10^{-2} \times 16 = 0.96 \,J$.

(A) दिया गया है:
$F_{1} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \text{ N}$
$F_{2} = (4\hat{i} - 5\hat{j} - 2\hat{k}) \text{ N}$
$r_{1} = (20\hat{i} + 15\hat{j}) \text{ cm} = (0.2\hat{i} + 0.15\hat{j}) \text{ m}$
$r_{2} = (7\hat{k}) \text{ cm} = (0.07\hat{k}) \text{ m}$
कुल बल $F = F_{1} + F_{2} = (1+4)\hat{i} + (2-5)\hat{j} + (3-2)\hat{k} = (5\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) \text{ N}$.
विस्थापन $s = r_{2} - r_{1} = (0\hat{i} + 0\hat{j} + 0.07\hat{k}) - (0.2\hat{i} + 0.15\hat{j} + 0\hat{k}) = (-0.2\hat{i} - 0.15\hat{j} + 0.07\hat{k}) \text{ m}$.
किया गया कार्य $W = F \cdot s = (5\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) \cdot (-0.2\hat{i} - 0.15\hat{j} + 0.07\hat{k})$.
$W = (5 \times -0.2) + (-3 \times -0.15) + (1 \times 0.07)$.
$W = -1.0 + 0.45 + 0.07 = -0.48 \text{ J}$.

(C) कण का प्रारंभिक स्थिति सदिश $\vec{r}_1 = \hat{i} + 3 \hat{k}$ है।
कण का अंतिम स्थिति सदिश $\vec{r}_2 = -3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}$ है।
कण पर कार्य करने वाला बल $\vec{F} = \hat{i} + 5 \hat{k}$ है।
विस्थापन सदिश $\vec{s} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$ द्वारा दिया जाता है:
$\vec{s} = (-3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) - (\hat{i} + 3 \hat{k})$
$\vec{s} = -4 \hat{i} + 4 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
किया गया कार्य $W$,बल और विस्थापन का अदिश गुणनफल है:
$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = (\hat{i} + 5 \hat{k}) \cdot (-4 \hat{i} + 4 \hat{j} + 2 \hat{k})$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$W = (1)(-4) + (0)(4) + (5)(2)$
$W = -4 + 0 + 10 = 6 \ J$.

(D) $\text{दिया है: द्रव्यमान } m = 6 \,kg$, $\text{विस्थापन } s = \frac{t^2}{4} \,m$.
$\text{वेग } v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^2}{4}) = \frac{2t}{4} = \frac{t}{2} \,m/s$.
$\text{त्वरण } a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t}{2}) = \frac{1}{2} \,m/s^2$.
$\text{बल } F = m \times a = 6 \times \frac{1}{2} = 3 \,N$.
$t = 2 \,s$ $\text{पर, विस्थापन } s = \frac{(2)^2}{4} = \frac{4}{4} = 1 \,m$.
$\text{किया गया कार्य } W = F \times s = 3 \,N \times 1 \,m = 3 \,J$.

(B) पात्र से पानी को बाहर निकालने के लिए, हमें पानी के द्रव्यमान केंद्र को पात्र के ऊपरी स्तर तक उठाना होगा।
मान लीजिए घन की भुजा की लंबाई $L = 1 \,m$ है।
पानी का आयतन $V = L^3 = 1^3 = 1 \,m^3$ है।
पानी का घनत्व $\rho = 1000 \,kg/m^3$ है।
पानी का द्रव्यमान $m = \rho V = 1000 \times 1 = 1000 \,kg$ है।
पूर्ण भरे हुए घनाकार पात्र में पानी का द्रव्यमान केंद्र तल से $h_{cm} = L/2 = 0.5 \,m$ की ऊँचाई पर होता है।
पानी को बाहर निकालने के लिए, द्रव्यमान केंद्र को पात्र के शीर्ष तक उठाना होगा, जो प्रारंभिक द्रव्यमान केंद्र की स्थिति से $h = L/2 = 0.5 \,m$ की ऊँचाई पर है।
किया गया कार्य $W = mgh = 1000 \times 10 \times 0.5 = 5000 \,J$ है।

(D) रस्सी का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{0.4 \,kg}{4 \,m} = 0.1 \,kg/m$ है।
लटकते हुए भाग की लंबाई $l = 0.6 \,m$ है।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान $m = \lambda \times l = 0.1 \,kg/m \times 0.6 \,m = 0.06 \,kg$ है।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान केंद्र मेज के किनारे से $h = \frac{l}{2} = \frac{0.6 \,m}{2} = 0.3 \,m$ नीचे है।
रस्सी को मेज पर खींचने के लिए किया गया कार्य लटकते हुए भाग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,जो $W = mgh$ है।
मान रखने पर: $W = 0.06 \,kg \times 10 \,m/s^2 \times 0.3 \,m = 0.18 \,J$।

(C) दिया गया है: $m = 2 \ kg$,$x(t) = t^2 + t + 1 \ m$.
वेग $v(t) = \frac{dx}{dt} = 2t + 1 \ m/s$ है।
त्वरण $a(t) = \frac{dv}{dt} = 2 \ m/s^2$ है।
चूंकि त्वरण स्थिर है,पिंड पर कार्य करने वाला बल $F = m \times a = 2 \ kg \times 2 \ m/s^2 = 4 \ N$ है।
समय अंतराल $t = 2 \ s$ से $t = 3 \ s$ के दौरान विस्थापन $s = x(3) - x(2)$ है।
$x(3) = (3)^2 + 3 + 1 = 9 + 3 + 1 = 13 \ m$.
$x(2) = (2)^2 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7 \ m$.
$s = 13 - 7 = 6 \ m$.
किया गया कार्य $W = F \times s = 4 \ N \times 6 \ m = 24 \ J$ है।

(C) परिणामी बल $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (2+3)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (4-2)\hat{k} = (5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})\text{ N}$ है।
विस्थापन सदिश $\vec{d}$ दिशा $(3\hat{i} - 4\hat{j})$ के अनुदिश है।
इस दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{3\hat{i} - 4\hat{j}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{3\hat{i} - 4\hat{j}}{5}$ है।
अतः,विस्थापन सदिश $\vec{d} = 25 \hat{u} = 25 \times \frac{3\hat{i} - 4\hat{j}}{5} = 5(3\hat{i} - 4\hat{j}) = (15\hat{i} - 20\hat{j})\text{ m}$ है।
किया गया कार्य $W$ बल और विस्थापन का अदिश गुणनफल है: $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (15\hat{i} - 20\hat{j} + 0\hat{k})$.
$W = (5 \times 15) + (2 \times -20) + (2 \times 0) = 75 - 40 = 35\text{ J}$.