Power Questions in Gujarati

(N/A) $m$ દળ ધરાવતા અને $v$ વેગથી ગતિ કરતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dK}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^2)$ છે.
જો દળ $m$ અચળ હોય,તો ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{dK}{dt} = \frac{1}{2}m \cdot 2v \cdot \frac{dv}{dt} = mv \cdot \frac{dv}{dt}$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt}$ હોવાથી,$\frac{dK}{dt} = mva$ મળે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $\frac{dK}{dt} = Fv$.
પાવર $P$ એ કાર્ય કરવાનો દર છે,$P = \frac{dW}{dt} = F \cdot v$.
આમ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફારનો દર એ બળ દ્વારા આપવામાં આવતા પાવર જેટલો છે,એટલે કે $\frac{dK}{dt} = P$.

(N/A) કાર્ય કરવાના સમય દરને પાવર કહેવામાં આવે છે.
પાવરને એકમ સમયમાં થયેલ કાર્ય અથવા જે દરે કાર્ય થાય છે અથવા ઊર્જાનું રૂપાંતર થાય છે તે સમય દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જો $\Delta t$ સમયગાળામાં થયેલ કાર્ય $\Delta W$ હોય,તો $\Delta t$ સમયગાળામાં સરેરાશ પાવર $\langle P \rangle = \frac{\Delta W}{\Delta t}$ છે.
તેથી,$t$ સમયે તત્કાલીન પાવર:
$P = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta W}{\Delta t} = \frac{dW}{dt} \quad (1)$
જો બળ $\vec{F}$ દ્વારા સ્થાનાંતર $d\vec{r}$ દરમિયાન થયેલ કાર્ય $dW$ હોય,તો $dW = \vec{F} \cdot d\vec{r}$.
સમીકરણ $(1)$ માં $dW$ ની કિંમત મૂકતા:
$P = \frac{d}{dt}(\vec{F} \cdot d\vec{r}) = \vec{F} \cdot \frac{d\vec{r}}{dt} \quad [\because \vec{F} \text{ અચળ છે}]$
$P = \vec{F} \cdot \vec{v} \quad [\because \frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}]$
પાવર એ અદિશ રાશિ છે. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $M^{1} L^{2} T^{-3}$ છે. પાવરનો $SI$ એકમ $J s^{-1}$ છે. વરાળ એન્જિનના શોધક જેમ્સ વોટના સન્માનમાં આ એકમને $watt$ નામ આપવામાં આવ્યું છે.
$1 W = 1 J s^{-1}$.
પાવરના મોટા એકમો:
$1 kW = 10^{3} W, 1 MW = 10^{6} W$.
વ્યવહારમાં વાહનો અને પાણીના પંપના પાવરને માપવા માટે હોર્સપાવર $(hp)$ નો ઉપયોગ થાય છે,જે બ્રિટિશ સિસ્ટમનો એકમ છે.
$1 hp = 746 W$.

(FALSE) આ વિધાન ખોટું છે.
$1\,kWh$ (કિલોવોટ-અવર) એ ઉર્જાનો એકમ છે,પાવરનો નહીં.
પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો દર,જે વોટ $(W)$ અથવા કિલોવોટ $(kW)$ માં માપવામાં આવે છે.
ઉર્જા એટલે પાવર અને સમયનો ગુણાકાર,તેથી $1\,kWh = 1\,kW \times 1\,h = 1000\,W \times 3600\,s = 3.6 \times 10^6\,J$ થાય છે.

(N/A) જ્યારે લિફ્ટ નીચે ઉતરી રહી હોય,ત્યારે લિફ્ટની ગતિને નિયંત્રિત કરવા અને તેને ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન (free fall) થતી અટકાવવા માટે વિદ્યુત પાવરની જરૂર પડે છે.
વધુમાં,જેમ લિફ્ટની અંદરનું કુલ વજન વધે છે,તેમ તેના પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વધે છે,જેના કારણે નીચે ઉતરવાની ઝડપ અનિયંત્રિત રીતે વધી શકે છે. તેથી,બ્રેકિંગ સિસ્ટમ લોડને સુરક્ષિત રીતે સંભાળી શકે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે મુસાફરોની સંખ્યા પર મર્યાદા હોવી આવશ્યક છે.

(A) આપેલ છે:
દળ,$m = 100 \, kg$
ઊંચાઈ,$h = 10 \, m$
સમય,$t = 20 \, s$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 9.8 \, m/s^2$
ક્રેન દ્વારા થયેલ કાર્ય $(W)$ એ પદાર્થ દ્વારા મેળવેલી સ્થિતિઊર્જા જેટલું હોય છે: $W = mgh$.
પાવર $(P)$ એ કાર્ય કરવાનો દર છે: $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$.
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{100 \times 9.8 \times 10}{20}$
$P = \frac{9800}{20}$
$P = 490 \, W$.

(0.6 W) એક ધબકારા દીઠ થતું કાર્ય $= 0.5 \, J$.
$72$ ધબકારા માટે કુલ કાર્ય:
$W = 72 \times 0.5 \, J = 36 \, J$.
$72$ ધબકારા માટે લાગતો સમય $1 \, \text{minute} = 60 \, s$ છે.
પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો દર:
$P = \frac{W}{t} = \frac{36 \, J}{60 \, s} = 0.6 \, W$.
આમ,હૃદય દ્વારા વપરાતો પાવર $0.6 \, W$ છે.

(C) કણને પૂરો પાડવામાં આવતો પાવર $P$ અચળ છે. પાવર એ ગતિ ઉર્જાના ફેરફારનો દર હોવાથી,આપણી પાસે $\frac{dK}{dt} = P$ છે. સમયની સાપેક્ષમાં તેનું સંકલન કરતા,આપણને $K = Pt$ મળે છે (ધારી લઈએ કે પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા શૂન્ય છે).
$K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$\frac{1}{2}mv^2 = Pt$,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2}$.
વેગ $v = \frac{ds}{dt}$ હોવાથી,$\frac{ds}{dt} = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2}$.
સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$s = \int \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2} dt = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2}$.
આમ,$s \propto t^{3/2}$.
$s \propto t^{3/2}$ માટે $s$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ એવો વક્ર છે જે ઉપરની તરફ અંતર્ગોળ (વધતો ઢાળ) છે,જે આલેખ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 2\, kg$,પાવર $P = 1\, J/s$,સમય $t = 9\, s$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$.
પાવરની વ્યાખ્યા મુજબ $P = F \cdot v = (m \cdot a) \cdot v = m \cdot \frac{dv}{dt} \cdot v$.
પદોને ગોઠવતા: $m \cdot v \cdot dv = P \cdot dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા (સ્થિર સ્થિતિમાંથી,$t=0$ સમયે $v=0$): $\int_{0}^{v} m \cdot v \cdot dv = \int_{0}^{t} P \cdot dt$.
$m \cdot \frac{v^2}{2} = P \cdot t \Rightarrow v^2 = \frac{2Pt}{m} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2Pt}{m}}$.
$v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,$\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot t^{1/2}$.
અંતર $x$ શોધવા માટે સંકલન કરતા: $\int_{0}^{x} dx = \sqrt{\frac{2P}{m}} \int_{0}^{t} t^{1/2} dt$.
$x = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot \frac{2}{3} \cdot t^{3/2}$.
કિંમતો $m = 2$,$P = 1$,$t = 9$ મૂકતા: $x = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2}} \cdot \frac{2}{3} \cdot 9^{3/2} = 1 \cdot \frac{2}{3} \cdot (3^2)^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18\, m$.

(B) પાવર $P$ અચળ છે, તેથી $P = F \cdot V = \text{અચળ}$.
$F = m \cdot a = m \frac{dV}{dt}$ હોવાથી, આપણને $m \frac{dV}{dt} \cdot V = \text{અચળ}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $V \frac{dV}{dt} \propto 1$, જેનું સંકલન કરતા $\frac{V^2}{2} \propto t$, અથવા $V^2 \propto t$ મળે છે.
તેથી, $V \propto t^{1/2}$.
$V = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી, $\frac{dx}{dt} \propto t^{1/2}$ મળે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ સંકલન કરતા, $x \propto \int t^{1/2} dt$ મળે છે.
આમ, $x \propto t^{3/2}$.

(C) આપેલ છે કે મશીન દ્વારા અપાતો પાવર $P$ અચળ છે.
$t$ સમયમાં મશીન દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = P \cdot t$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલું કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K = \frac{1}{2} m v^2 - 0 = \frac{1}{2} m v^2$.
બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{2} m v^2 = P \cdot t$.
આનો અર્થ એ થાય કે $v^2 \propto t$,અથવા $v \propto t^{1/2}$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,$\frac{dx}{dt} = k \cdot t^{1/2}$ (જ્યાં $k$ અચળાંક છે).
અંતર $x$ શોધવા માટે સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$x = \int k \cdot t^{1/2} dt = k \cdot \frac{t^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = k \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2}$.
તેથી,$x \propto t^{3/2}$.

(A) પાવર $P$ ને $P = Fv = (ma)v = m \left(\frac{dv}{dt}\right)v$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
$P$ અચળ હોવાથી,$P = mv \frac{dv}{dt}$.
સમયની સાપેક્ષે સંકલન કરતા: $\int_{0}^{v} mv \, dv = \int_{0}^{t} P \, dt$.
$\frac{1}{2}mv^2 = Pt \implies v = \sqrt{\frac{2Pt}{m}} = \left(\frac{2P}{m}\right)^{1/2} t^{1/2}$.
$v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,$\frac{dx}{dt} = \left(\frac{2P}{m}\right)^{1/2} t^{1/2}$.
સ્થાન અને સમયની સાપેક્ષે સંકલન કરતા: $\int_{0}^{x} dx = \int_{0}^{t} \left(\frac{2P}{m}\right)^{1/2} t^{1/2} dt$.
$x = \left(\frac{2P}{m}\right)^{1/2} \left[ \frac{t^{3/2}}{3/2} \right] = \left(\frac{2P}{m}\right)^{1/2} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2}$.
$x = \left( \frac{4}{9} \cdot \frac{2P}{m} \right)^{1/2} t^{3/2} = \left( \frac{8P}{9m} \right)^{1/2} t^{3/2}$.

(B) આઉટપુટ પાવર $P$ એ પડતા પાણીની પ્રતિ સેકન્ડ સ્થિતિ ઊર્જાના $50 \%$ જેટલો છે.
પાવર $P = 0.50 \times \left( \frac{mgh}{t} \right)$.
દળ $m = \rho V$ હોવાથી,જ્યાં $\rho$ એ પાણીની ઘનતા $(1000 \,kg/m^3)$ છે અને $V$ એ કદ છે,તેથી:
$P = 0.50 \times \left( \frac{V}{t} \right) \rho g h$.
આપેલ છે કે $P = 1.00 \times 10^9 \,W$,$g = 10 \,ms^{-2}$,$\rho = 1000 \,kg/m^3$,અને $h = 500 \,m$.
પ્રવાહ દર $\frac{V}{t}$ માટે સૂત્ર:
$\frac{V}{t} = \frac{P}{0.50 \times \rho \times g \times h}$.
$\frac{V}{t} = \frac{1.00 \times 10^9}{0.50 \times 1000 \times 10 \times 500}$.
$\frac{V}{t} = \frac{1.00 \times 10^9}{2.5 \times 10^6} = 400 \,m^3/s$.

(B) આપેલ છે:
ઇનપુટ પાવર $(P_{\text{in}})$ = $750 \,W$
પાણીનું કદ $(V)$ = $300 \,L$,તેથી દળ $(m)$ = $300 \,kg$ (કારણ કે પાણીની ઘનતા $1 \,kg/L$ છે)
ઊંચાઈ $(h)$ = $6 \,m$
સમય $(t)$ = $1 \,minute = 60 \,s$
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g)$ = $10 \,m/s^2$
ઉપયોગી પાવર આઉટપુટ $(P_{\text{out}})$ એ ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવાનો દર છે:
$P_{\text{out}} = \frac{mgh}{t} = \frac{300 \times 10 \times 6}{60} = \frac{18000}{60} = 300 \,W$
કાર્યક્ષમતા $(\eta)$ ને ઉપયોગી પાવર આઉટપુટ અને ઇનપુટ પાવરના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} = \frac{300}{750} = 0.4$
ટકાવારીમાં રૂપાંતરિત કરતા:
$\eta = 0.4 \times 100 = 40 \%$

(C) આપેલ છે: પાવર $P = 4 \,kW = 4000 \,W$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$,ઊંચાઈ $h = 20 \,m$,અને સમય $t = 1 \,minute = 60 \,s$.
પાવરનું સૂત્ર $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $4000 = \frac{m \times 10 \times 20}{60}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $4000 = \frac{200m}{60} = \frac{10m}{3}$.
$m$ માટે ઉકેલતા: $m = \frac{4000 \times 3}{10} = 1200 \,kg$.
પાણીની ઘનતા $1 \,kg/litre$ હોવાથી,પાણીનું કદ $1200 \,litres$ થશે.

(C) પાવર $P$ એ કાર્ય કરવાનો દર છે,જે $P = \frac{W}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,થયેલ કાર્ય $W$ એ પાણી દ્વારા મેળવેલી સ્થિતિ ઊર્જા જેટલું છે,$W = mgh$.
આપેલ છે:
દળ $m = 500 \,kg$
ઊંચાઈ $h = 100 \,m$
સમય $t = 10 \,s$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$W = 500 \times 10 \times 100 = 500,000 \,J$
$P = \frac{500,000 \,J}{10 \,s} = 50,000 \,W$
કારણ કે $1 \,kW = 1,000 \,W$,તેથી:
$P = \frac{50,000}{1,000} \,kW = 50 \,kW$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) એન્જિન દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$P = \frac{dK}{dt}$
સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(K_i = 0)$ અંતિમ ગતિઊર્જા $K$ સુધી પહોંચવા માટે આ સમીકરણનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$P \cdot t = K_f - K_i$
અહીં અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} m v^2$ અને પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $0$ છે:
$P \cdot t = \frac{1}{2} m v^2$
સમય $t$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$t = \frac{m v^2}{2 P}$

(A) ટર્બાઇનને મળતો પાવર $P$ એ પડતા પાણીની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફારના દર જેટલો હોય છે.
$P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$
અહીં દળનો દર $\frac{m}{t} = 100 \,kg/s$,ઊંચાઈ $h = 100 \,m$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g \approx 10 \,m/s^2$ લેતા:
$P = \left(\frac{m}{t}\right) \times g \times h$
$P = 100 \,kg/s \times 10 \,m/s^2 \times 100 \,m$
$P = 100,000 \,W$
$1 \,kW = 1000 \,W$ હોવાથી:
$P = \frac{100,000}{1000} \,kW = 100 \,kW$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે કે હોડીને અચળ વેગ $v$ થી હંકારવા માટે જરૂરી બળ $F$ તેની ઝડપના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે:
$F \propto v^2$
આપણે જાણીએ છીએ કે પાવર $P$ એ બળ અને વેગનો ગુણાકાર છે:
$P = F \cdot v$
બળની સમપ્રમાણતાને પાવરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P \propto v^2 \cdot v = v^3$
ધારો કે $P_1$ એ $v$ ઝડપ માટે જરૂરી પાવર છે,અને $P_2$ એ $2v$ ઝડપ માટે જરૂરી પાવર છે:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{2v}{v} \right)^3 = 2^3 = 8$
આપેલ છે કે $P_1 = 4 \, kW$:
$P_2 = 8 \times P_1 = 8 \times 4 \, kW = 32 \, kW$
તેથી,$2v \, km/h$ ની ઝડપ માટે જરૂરી પાવર $32 \, kW$ છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
પાવરને કાર્ય કરવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અથવા ઉર્જાના સ્થાનાંતરના દર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ગાણિતિક રીતે,પાવર $P$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = \frac{W}{t}$
જ્યાં $W$ એ કરેલું કાર્ય છે અને $t$ એ કાર્ય કરવા માટેનો સમયગાળો છે.
તેથી,ઓટોમોબાઈલના પાવર આઉટપુટને નિર્ધારિત કરવા માટે,વ્યક્તિએ કરેલું કુલ કાર્ય અને તે કાર્ય દરમિયાન વીતેલો સમય જાણવો જરૂરી છે.

(C) આપેલ બળ: $\vec{F} = t \hat{i} + 3t^2 \hat{j} \ N$ અને દળ $m = 1 \ kg$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\vec{F} = m \vec{a} = m \frac{d\vec{v}}{dt}$.
$m = 1 \ kg$ હોવાથી,$\frac{d\vec{v}}{dt} = t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા ($t=0$ સમયે પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય લેતા): $\vec{v} = \int (t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) dt = \frac{t^2}{2} \hat{i} + t^3 \hat{j} \ m/s$.
પાવર $P$ એ બળ અને વેગનો અદિશ ગુણાકાર છે: $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$.
$P = (t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \cdot (\frac{t^2}{2} \hat{i} + t^3 \hat{j}) = \frac{t^3}{2} + 3t^5$.
$t = 2 \ s$ સમયે,$P = \frac{2^3}{2} + 3(2^5) = \frac{8}{2} + 3(32) = 4 + 96 = 100 \ W$.

(C) આપેલ છે,દળ $m = 2 \ kg$ અને પાવર $P$ અચળ છે.
સમય $t$ માં સ્ત્રોત દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = P \times t$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,$W = \Delta K = \frac{1}{2} m v^2 - 0$.
તેથી,$\frac{1}{2} m v^2 = P t \implies v = \sqrt{\frac{2 P t}{m}}$.
$v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,$\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2 P}{m}} \cdot t^{1/2}$ મળે.
$t = 0$ થી $4 \ s$ સુધી સંકલન કરતા:
$x = \int_0^4 \sqrt{\frac{2 P}{m}} \cdot t^{1/2} dt = \sqrt{\frac{2 P}{m}} \left[ \frac{t^{3/2}}{3/2} \right]_0^4$.
$m = 2 \ kg$ મૂકતા:
$x = \sqrt{\frac{2 P}{2}} \cdot \frac{2}{3} \cdot (4)^{3/2} = \sqrt{P} \cdot \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} \sqrt{P}$.
આપેલ સ્થાનાંતર $\frac{1}{3} \alpha^2 \sqrt{P}$ છે.
$\frac{16}{3} \sqrt{P} = \frac{1}{3} \alpha^2 \sqrt{P}$ સરખાવતા,$\alpha^2 = 16$,તેથી $\alpha = 4$ મળે.

(C) લિફ્ટ સિસ્ટમનું કુલ દળ $M = 1400\,kg$ છે.
લિફ્ટ $v = 3\,m/s$ ની સમાન ઝડપે ઉપર તરફ ગતિ કરે છે. ઝડપ સમાન હોવાથી,પ્રવેગ શૂન્ય છે.
મોટરે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને ઘર્ષણ બળ બંનેને દૂર કરવા માટે બળ $F$ પૂરું પાડવું આવશ્યક છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = M \times g = 1400\,kg \times 10\,m/s^2 = 14000\,N$ છે.
ઘર્ષણ બળ $f = 2000\,N$ છે.
તેથી,મોટર દ્વારા જરૂરી કુલ બળ $F = F_g + f = 14000\,N + 2000\,N = 16000\,N$ છે.
મોટર દ્વારા વપરાતો પાવર $P$,$P = F \times v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P = 16000\,N \times 3\,m/s = 48000\,W$.
કિલોવોટમાં રૂપાંતરિત કરતા,$P = 48\,kW$.

(D) સરેરાશ પાવર એટલે કુલ કાર્ય અને કુલ સમયનો ગુણોત્તર.
$P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$
આપેલ પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$ છે.
પ્રથમ મોટર માટે: $m_1 = 300 \ kg$,$t_1 = 5 \ minute = 300 \ s$,$h = 100 \ m$.
બીજી મોટર માટે: $m_2 = 50 \ kg$,$t_2 = 2 \ minute = 120 \ s$,$h = 100 \ m$.
પાવરનો ગુણોત્તર ગણતા:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{m_1 g h / t_1}{m_2 g h / t_2} = \frac{m_1}{t_1} \times \frac{t_2}{m_2}$
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{300}{5} \times \frac{2}{50} = 60 \times 0.04 = 2.4$
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} = 2.4$
$3 \sqrt{x} = 2.4 \sqrt{x} + 2.4$
$0.6 \sqrt{x} = 2.4$
$\sqrt{x} = 4$
$x = 16$

(D) આપેલ બળ $\overrightarrow{F} = (6t \hat{i} + 6t^2 \hat{j}) \ N$ અને દળ $m = 2 \ kg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{6t \hat{i} + 6t^2 \hat{j}}{2} = (3t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \ m/s^2$.
વેગ $\overrightarrow{v}$ શોધવા માટે,આપણે પ્રવેગનું સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીશું: $\overrightarrow{v} = \int \overrightarrow{a} \ dt = \int (3t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \ dt = (\frac{3t^2}{2} \hat{i} + t^3 \hat{j}) \ m/s$.
પાવર $P$ એ બળ અને વેગનો અદિશ ગુણાકાર છે: $P = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v} = (6t \hat{i} + 6t^2 \hat{j}) \cdot (\frac{3t^2}{2} \hat{i} + t^3 \hat{j})$.
$P = (6t \cdot \frac{3t^2}{2}) + (6t^2 \cdot t^3) = 9t^3 + 6t^5 \ W$.

(C) આપેલ છે કે પાવર $P$ અચળ છે.
પાવર $P = F \cdot v = m \cdot a \cdot v = m \cdot \frac{dv}{dt} \cdot v$ હોવાથી,$m \cdot v \cdot \frac{dv}{dt} = P$ મળે.
બંને બાજુ સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\int m \cdot v \cdot dv = \int P \cdot dt$.
આનાથી $\frac{1}{2} m v^2 = P \cdot t$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v^2 \propto t$,અથવા $v \propto t^{1/2}$.
વેગ $v = \frac{ds}{dt}$ હોવાથી,$\frac{ds}{dt} \propto t^{1/2}$ મળે.
સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $s = \int t^{1/2} dt = \frac{t^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} t^{3/2}$.
તેથી,સ્થાનાંતર $s \propto t^{3/2}$ થાય.

(D) આપેલ છે:
સ્થાનાંતર $x = 2t - 1 \,m$
બળ $F = 5 \,N$
પગલું $1$: કણનો વેગ શોધો.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2t - 1) = 2 \,m/s$
પગલું $2$: તાત્ક્ષણિક પાવરની ગણતરી કરો.
પાવર $P = F \cdot v$
$P = 5 \,N \times 2 \,m/s = 10 \,W$
આમ, તાત્ક્ષણિક પાવર $10 \,W$ છે.

(C) કણને આપવામાં આવતો પાવર અચળ છે,$P = 0.5 \ W$.
પ્રારંભિક ઝડપ શૂન્ય હોવાથી,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $0 \ J$ છે.
$t = 5 \ s$ સમયમાં બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થયેલા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
થયેલું કાર્ય $W = P \times t = 0.5 \ W \times 5 \ s = 2.5 \ J$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$W = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - 0$.
$2.5 \ J = \frac{1}{2} \times 0.2 \ kg \times v^2$.
$2.5 = 0.1 \times v^2$.
$v^2 = 25$.
$v = 5 \ m/s$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 4 \ kg$,બળ $\overrightarrow{F} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \ N$,સ્થાનાંતર $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = (6-3) \hat{i} + (10-4) \hat{j} = (3 \hat{i} + 6 \hat{j}) \ m$,સમય $t = 4 \ s$.
કરેલું કાર્ય $W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot (3 \hat{i} + 6 \hat{j}) = (2 \times 3) + (3 \times 6) = 6 + 18 = 24 \ J$.
સરેરાશ પાવર $\langle P \rangle = \frac{W}{t} = \frac{24}{4} = 6 \ W$.
પ્રવેગ $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{2 \hat{i} + 3 \hat{j}}{4} = (0.5 \hat{i} + 0.75 \hat{j}) \ m/s^2$.
$t = 4 \ s$ સમયે વેગ $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{a}t = 0 + (0.5 \hat{i} + 0.75 \hat{j}) \times 4 = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \ m/s$.
તાત્ક્ષણિક પાવર $P_{ins} = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) = 4 + 9 = 13 \ W$.
સરેરાશ પાવર અને તાત્ક્ષણિક પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{\langle P \rangle}{P_{ins}} = \frac{6}{13}$ છે.

(D) આપેલ બળ $\vec{F} = (2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \ N$ અને દળ $m = 1000 \ g = 1 \ kg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\vec{F} = m\vec{a}$,તેથી $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = (2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \ m/s^2$.
કારણ કે $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$,આપણે સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીએ છીએ (ધારો કે $t = 0$ સમયે પ્રારંભિક વેગ $\vec{v} = 0$ છે):
$\vec{v} = \int \vec{a} \ dt = \int (2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \ dt = t^2 \hat{i} + t^3 \hat{j} \ m/s$.
પાવર $P$ એ બળ અને વેગનો અદિશ ગુણાકાર છે: $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$.
$P = (2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \cdot (t^2 \hat{i} + t^3 \hat{j})$.
$P = (2t)(t^2) + (3t^2)(t^3) = 2t^3 + 3t^5 \ W$.

(A) બળ $\vec{F}$ દ્વારા પદાર્થ પર લાગતો પાવર $P$,જ્યારે પદાર્થ $\vec{v}$ વેગથી ગતિ કરતો હોય,ત્યારે તે ડોટ પ્રોડક્ટ દ્વારા મળે છે: $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$.
અહીં,$\vec{F} = (4 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) \text{ N}$ અને $\vec{v} = (2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \text{ m s}^{-1}$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = (4 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k})$
$P = (4 \times 2) + (1 \times 2) + (-2 \times 3)$
$P = 8 + 2 - 6$
$P = 4 \text{ W}$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 1 \ kg$,બળ $\vec{F} = t \hat{i} + 2t^2 \hat{j}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\vec{F} = m \vec{a}$,તેથી $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = t \hat{i} + 2t^2 \hat{j}$.
વેગ $\vec{v} = \int \vec{a} \ dt = \int (t \hat{i} + 2t^2 \hat{j}) \ dt = \frac{t^2}{2} \hat{i} + \frac{2t^3}{3} \hat{j}$ (શરૂઆતનો વેગ શૂન્ય ધારતા).
પાવર $P = \vec{F} \cdot \vec{v} = (t \hat{i} + 2t^2 \hat{j}) \cdot (\frac{t^2}{2} \hat{i} + \frac{2t^3}{3} \hat{j})$.
$P = \frac{t^3}{2} + \frac{4t^5}{3}$.
$t = 3 \ s$ સમયે:
$P = \frac{3^3}{2} + \frac{4(3^5)}{3} = \frac{27}{2} + 4(3^4) = 13.5 + 4(81) = 13.5 + 324 = 337.5 \ W$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 1 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,સમય $t = 2 \ s$,અંતિમ વેગ $v = 10 \ m/s$.
સૌ પ્રથમ,$v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને પ્રવેગ $a$ શોધો:
$10 = 0 + a(2) \implies a = 5 \ m/s^2$.
હવે,$t = 1 \ s$ સમયે વેગ $v_1$ શોધો:
$v_1 = u + a(1) = 0 + 5(1) = 5 \ m/s$.
કોઈપણ સમયે $t$ પર પાવર $P$ નું સૂત્ર $P = F \cdot v = (ma) \cdot v$ છે.
$t = 1 \ s$ સમયે:
$P = (1 \ kg) \times (5 \ m/s^2) \times (5 \ m/s) = 25 \ W$.

(A) પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = \frac{1}{2} mu^2$ છે।
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2 = \frac{1}{2} m(2u)^2 = \frac{1}{2} m(4u^2) = 2mu^2$ છે।
થયેલું કાર્ય $W = \Delta K = K_2 - K_1 = 2mu^2 - \frac{1}{2} mu^2 = \frac{3}{2} mu^2$ છે।
પાવર $P = \frac{W}{t} = \frac{3mu^2}{2t}$ થાય।

(A) પાણીનું દળ $m = 6 \text{ ટન} = 6000 \ kg$.
પાણીને જે કુલ ઊંચાઈ $h$ સુધી ઉપર લાવવામાં આવે છે = કૂવાની ઊંડાઈ + પહેલા માળની ઊંચાઈ = $25 \ m + 35 \ m = 60 \ m$.
લાગતો સમય $t = 20 \text{ મિનિટ} = 20 \times 60 \ s = 1200 \ s$.
થયેલું કાર્ય $W = mgh = 6000 \ kg \times 10 \ ms^{-2} \times 60 \ m = 3,600,000 \ J$.
પાવર $P = \frac{W}{t} = \frac{3,600,000 \ J}{1200 \ s} = 3000 \ W$.
$1 \ kW = 1000 \ W$ હોવાથી,પંપનો પાવર $3 \ kW$ થાય.

(B) ધારો કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u = 0)$ ગતિ શરૂ કરે છે અને અચળ પ્રવેગ $a$ સાથે ગતિ કરે છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર,પદાર્થનો વેગ $v$ ગતિના પ્રથમ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = u + at = 0 + at = at$.
પદાર્થ પર લાગતું બળ $F$ ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = ma$.
પદાર્થને આપવામાં આવતો પાવર $P$ એ બળ અને વેગના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $P = F \cdot v$.
$F$ અને $v$ માટેના સમીકરણો મૂકતા: $P = (ma) \cdot (at) = ma^2t$.
અહીં દળ $m$ અને પ્રવેગ $a$ અચળ હોવાથી,પદ $ma^2$ અચળ છે.
તેથી,$P \propto t$.

(D) બળ દ્વારા આપવામાં આવતો સરેરાશ પાવર એ બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય અને લીધેલ સમયનો ગુણોત્તર છે.
$P_{av} = \frac{W_g}{t}$
મહત્તમ ઊંચાઈએ, શિરોલંબ સ્થાનાંતર એ મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
જ્યારે પદાર્થ જમીનથી મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી જાય છે ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_g = mgH_{\max}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{u \sin \theta}{g}$ છે.
આમ, સરેરાશ પાવરનું મૂલ્ય:
$P_{av} = \frac{mg H_{\max}}{t} = \frac{mg \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)}{\left( \frac{u \sin \theta}{g} \right)}$
$P_{av} = \frac{mgu \sin \theta}{2}$

(D) બળ $\vec{F}$ દ્વારા $\vec{v}$ વેગથી ગતિ કરતા પદાર્થ પર લાગતો પાવર $P$ એ બળ અને વેગ સદિશોના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે: $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$.
આપેલ છે:
$\vec{v} = 7 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k} \text{ m/s}$
$\vec{F} = 9 \hat{i} + 3 \hat{j} - 3 \hat{k} \text{ N}$
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$P = (9 \hat{i} + 3 \hat{j} - 3 \hat{k}) \cdot (7 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k})$
$P = (9 \times 7) + (3 \times 2) + (-3 \times -5)$
$P = 63 + 6 + 15$
$P = 84 \text{ W}$

(D) આપેલ છે: દળ $m = 2000 \ kg$,પાવર $P = 10 \ kW = 10000 \ W$,સમય $t = 10 \ s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પાવર $P = F \cdot v = (m \cdot a) \cdot v = m \cdot \frac{dv}{dt} \cdot v$.
તેથી,$P \cdot dt = m \cdot v \cdot dv$.
બંને બાજુ $t = 0$ થી $t = 10 \ s$ અને $v = 0$ થી $v = v$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{10} P \, dt = \int_{0}^{v} m \cdot v \, dv$.
$P \cdot t = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$.
$10000 \times 10 = \frac{1}{2} \times 2000 \times v^2$.
$100000 = 1000 \times v^2$.
$v^2 = 100$.
$v = 10 \ m \ s^{-1}$.

(B) આપેલ છે: ટ્રેનનું દળ $m = 10^6 \ kg$,ઝડપ $v = 108 \ km/h$.
પ્રથમ,ઝડપને $SI$ એકમોમાં ફેરવો: $v = 108 \times \frac{5}{18} \ m/s = 30 \ m/s$.
દર $100 \ kg$ દીઠ ઘર્ષણ બળ $0.5 \ N$ છે.
કુલ ઘર્ષણ બળ $F = \frac{10^6 \ kg}{100 \ kg} \times 0.5 \ N = 10^4 \times 0.5 \ N = 5000 \ N$.
ટ્રેન અચળ ઝડપે ગતિ કરતી હોવાથી,ડ્રાઇવિંગ ફોર્સ ઘર્ષણ બળ જેટલું જ હોવું જોઈએ: $F_{drive} = F = 5000 \ N$.
પાવર $P = F_{drive} \times v = 5000 \ N \times 30 \ m/s = 150,000 \ W = 150 \ kW$.

(D) પાવર $(P)$ એ કાર્ય કરવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે, $P = Fv$. કારણ કે $P$ અચળ છે, $Fv = \text{અચળ}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $F = ma = m \frac{dv}{dt}$.
આમ, $m \frac{dv}{dt} v = P$, જે સૂચવે છે કે $v dv = \frac{P}{m} dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા, $\int v dv = \int \frac{P}{m} dt$, આપણને $\frac{1}{2} v^2 = \frac{P}{m} t + C$ મળે છે.
ધારો કે પદાર્થ $t=0$ સમયે સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે, તેથી $C=0$, એટલે કે $v^2 = \frac{2P}{m} t$, અથવા $v = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2}$.
કારણ કે $v = \frac{ds}{dt}$, આપણી પાસે $\frac{ds}{dt} = k t^{1/2}$ છે જ્યાં $k = \sqrt{\frac{2P}{m}}$.
સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા, $s = \int k t^{1/2} dt = k \frac{t^{3/2}}{3/2} = \frac{2k}{3} t^{3/2}$.
તેથી, $s \propto t^{3/2}$, જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{3}{2}$.

(D) કોલસાને ઉપર લાવવા માટે થયેલ કાર્ય $(W)$ $W = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $m = 8000 \ kg$, $g = 10 \ m \ s^{-2}$, અને $h = 108 \ m$ છે.
$W = 8000 \times 10 \times 108 = 8.64 \times 10^6 \ J$.
લાગતો સમય $(t)$ $1 \ \text{કલાક} = 3600 \ s$ છે.
ઉપયોગી પાવર આઉટપુટ $(P_{out})$ $P_{out} = W / t = (8.64 \times 10^6) / 3600 = 2400 \ W = 2.4 \ kW$ છે.
આપેલ કાર્યક્ષમતા $(\eta)$ $80 \% = 0.8$ છે, તેથી ઇનપુટ પાવર $(P_{in})$ $P_{in} = P_{out} / \eta$ થશે.
$P_{in} = 2.4 / 0.8 = 3 \ kW$.
આમ, ક્રેનનો પાવર $3 \ kW$ છે.

(D) પાવર એ બળ અને વેગનો અદિશ ગુણાકાર છે,જે $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ $v$ જેટલી અચળ ઝડપથી ગતિ કરતું હોવાથી,ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ પદાર્થ પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
આકૃતિ પરથી,બળો $F_1$ અને $F_2$ વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે. તેથી,કુલ બળ $F_{net} = F_1 - F_2 = 0$ થાય.
કુલ પાવર $P_{net}$ એ કુલ બળ દ્વારા અપાતો પાવર છે:
$P_{net} = F_{net} \cdot v = (F_1 - F_2) \cdot v$.
અચળ ગતિ માટે $F_1 = F_2$ હોવાથી,$P_{net} = 0 \cdot v = 0$ થાય.

(C) દર કલાકે પંપ દ્વારા બહાર કાઢવામાં આવતા પાણીનું દળ $m = 7560 \text{ kg}$ છે.
લાગતો સમય $t = 1 \text{ કલાક} = 3600 \text{ s}$ છે.
કૂવાની ઊંડાઈ $h = 100 \text{ m}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \text{ m s}^{-2}$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ થતું ઉપયોગી કાર્ય (આઉટપુટ ઉર્જા) એ પાવર આઉટપુટ $P_{\text{out}} = \frac{mgh}{t}$ છે.
$P_{\text{out}} = \frac{7560 \times 10 \times 100}{3600} = \frac{7560000}{3600} = 2100 \text{ W} = 2.1 \text{ kW}$.
આપેલ કાર્યક્ષમતા $\eta = 70 \% = 0.7$ છે, તેથી પાવર ઇનપુટ $P_{\text{in}}$ એ $\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}$ દ્વારા મળે છે.
$P_{\text{in}} = \frac{P_{\text{out}}}{\eta} = \frac{2.1 \text{ kW}}{0.7} = 3 \text{ kW}$.
તેથી, પંપનો પાવર $3 \text{ kW}$ છે.

(A) સરેરાશ પાવરનું સૂત્ર $P_{av} = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$ છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 90 \ kg$
ઊંચાઈ $h = 600 \ m$
સમય $t = 90 \ minutes = 90 \times 60 \ s = 5400 \ s$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \ ms^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$P_{av} = \frac{90 \times 10 \times 600}{90 \times 60} = \frac{540000}{5400} = 100 \ W$.

(D) મશીનગનનો પાવર $P$ એ એકમ સમયમાં આપવામાં આવતી કુલ ગતિઊર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$P = \frac{\text{કુલ ગતિઊર્જા}}{\text{સમય}}$
$P = \frac{n \times (\frac{1}{2}mv^2)}{t} = \frac{n}{t} \times \frac{1}{2}mv^2$
આપેલ છે:
ગોળીઓની સંખ્યા $n = 300$
સમય $t = 60 \,s$
દરેક ગોળીનું દળ $m = 4 \,g = 4 \times 10^{-3} \,kg$
વેગ $v = 500 \,ms^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{300}{60} \times \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-3}) \times (500)^2$
$P = 5 \times \frac{1}{2} \times 0.004 \times 250000$
$P = 5 \times 0.002 \times 250000$
$P = 5 \times 500 = 2500 \,W$
$P = 2.5 \,kW$

(C) આપેલ છે: દળ $m = 400 \ g = 0.4 \ kg$,પાવર $P = 1.2 \ W$,સમય $t = 6 \ s$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m \ s^{-1}$.
બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = P \times t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$W = 1.2 \times 6 = 7.2 \ J$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ મણકાની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K.E. = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2$.
કારણ કે $u = 0$,તેથી $W = \frac{1}{2} m v^2$.
$7.2 = \frac{1}{2} \times 0.4 \times v^2$.
$7.2 = 0.2 \times v^2$.
$v^2 = \frac{7.2}{0.2} = 36$.
$v = \sqrt{36} = 6 \ m \ s^{-1}$.

(C)
બળ દ્વારા કાર્ય કરવાનો દર એટલે પાવર $(P)$.
આપેલ છે:
દળ $m = 50 \,kg$
ઝડપ $v = 4 \,ms^{-1}$
બળ $F = 500 \,N$
ખૂણો $\theta = 30^\circ$ (સમક્ષિતિજ સાથે)
પાવરનું સૂત્ર:
$P = \vec{F} \cdot \vec{v} = Fv \cos \theta$
કિંમતો મૂકતા:
$P = 500 \times 4 \times \cos 30^\circ$
$P = 2000 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$P = 1000 \sqrt{3} \,W$
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા:
$P = 1000 \times 1.732 = 1732 \,W$

(C) આપેલ છે: બળ $F = 5 \,N$, પ્રારંભિક વેગ $u = 0$, સમય $t = 3 \,s$, અને તત્કાલિન પાવર $P = 5 \,W$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા, પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{5}{m}$ મળે છે.
$t = 3 \,s$ સમયે પદાર્થનો વેગ $v = u + at = 0 + (\frac{5}{m}) \times 3 = \frac{15}{m} \,m/s$ થાય.
તત્કાલિન પાવરનું સૂત્ર $P = F \cdot v$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $5 = 5 \times (\frac{15}{m})$.
$m$ માટે ઉકેલતા: $1 = \frac{15}{m}$, તેથી $m = 15 \,kg$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે, $\text{Power} = \frac{\text{Work done}}{\text{Time}}$.
$\Rightarrow P = \frac{W}{t} = \frac{F \times s}{t}$.
$\Rightarrow P = \frac{mgh}{t}$ ... $(i)$.
અહીં, મુસાફરોનું કુલ વજન $mg = 50 \times 600 \,N = 30,000 \,N$ છે.
ઊંચાઈ $h = 100 \,m$ છે.
પાવર $P = 15 \,kW = 15,000 \,W$ છે.
સમીકરણ $(i)$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$t = \frac{mgh}{P}$.
$t = \frac{30,000 \times 100}{15,000}$.
$t = \frac{3,000,000}{15,000} = 200 \,s$.

(D) આપેલ છે,પાવર $P = \frac{1}{4} \ hp = \frac{746}{4} = 186.5 \ W$.
અસરકારક પાવર $P^{\prime} = 186.5 \times \frac{60}{100} = 111.9 \ W$.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{2 \pi \times 600}{60} = 20 \pi \ rad/s$.
એક પરિભ્રમણ માટે લાગતો સમય $t = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{20 \pi} = 0.1 \ s$.
એક પરિભ્રમણમાં થયેલ કાર્ય $W = P^{\prime} \times t = 111.9 \times 0.1 = 11.19 \ J$.