Power Questions in Gujarati

(B) બળ $F$ અને વેગ $v$ થી ગતિ કરતા પદાર્થ માટે પાવર $P$ નું સૂત્ર $P = F \times v$ છે.
આપેલ છે:
બળ $F = 4500 N$
વેગ $v = 2 ms^{-1}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = 4500 N \times 2 ms^{-1} = 9000 W$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 kW = 1000 W$,તેથી:
$P = 9000 W = 9 kW$.
આમ,વિદ્યુત મોટરનો પાવર $9 kW$ છે.

(B) પાવર એ કાર્ય કરવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $P = \frac{W}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને માણસો સમાન દળ લઈને સમાન દાદર ચઢતા હોવાથી,બંને માટે થયેલું કાર્ય $W$ સમાન છે $(W = mgh)$.
તેથી,પાવર એ સમયના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $P \propto \frac{1}{t}$.
બંને માણસો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{t_2}{t_1}$ છે.
અહીં $t_1 = 15 \ s$ અને $t_2 = 20 \ s$ આપેલ છે,તેથી $\frac{P_1}{P_2} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$ થાય.

(D) પાણીનો દળ પ્રવાહ દર $\frac{dm}{dt} = Av\rho$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$v$ એ પ્રવાહનો વેગ છે અને $\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે.
તેટલા જ સમયમાં $n$ ગણું પાણી મેળવવા માટે,નવો દળ પ્રવાહ દર $\left(\frac{dm}{dt}\right)' = n \frac{dm}{dt}$ હોવો જોઈએ.
અહીં $A$ અને $\rho$ અચળ હોવાથી,$v' = nv$ થાય.
પાણીને પંપ કરવા માટે જરૂરી પાવર $P = \frac{1}{2} \left(\frac{dm}{dt}\right) v^2$ છે.
તેથી,નવા પાવર $P'$ અને મૂળ પાવર $P$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{P'}{P} = \frac{\frac{1}{2} (n \frac{dm}{dt}) (v')^2}{\frac{1}{2} (\frac{dm}{dt}) v^2} = n \cdot \frac{(nv)^2}{v^2} = n \cdot n^2 = n^3$.
આમ,પાવરને $n^3$ ગણો વધારવો જોઈએ.

(B) આપેલ છે: દળ $M = 2000 \ kg$,ઊંચાઈ $h = 30 \ m$,સમય $t_1 = 60 \ s$,સમય $t_2 = 120 \ s$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \ m/s^2$.
ગાડીને ઊંચકવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = Mgh$.
$W = 2000 \times 9.8 \times 30 = 588,000 \ J = 5.88 \times 10^5 \ J$.
પાવર $P$ એ કાર્ય કરવાનો દર છે: $P = W/t$.
પ્રથમ ક્રેન માટે: $P_1 = W / t_1 = (5.88 \times 10^5) / 60 = 9800 \ W$.
બીજી ક્રેન માટે: $P_2 = W / t_2 = (5.88 \times 10^5) / 120 = 4900 \ W$.
આમ,દરેક ક્રેન દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર અનુક્રમે $9800 \ W$ અને $4900 \ W$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે પાવર $P = Fv = (ma)v$ છે.
આપેલ છે કે $a = \frac{P}{mv}$,આપણે પ્રવેગને $a = v \frac{dv}{ds}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને પાવરના સમીકરણમાં મૂકતા: $P = m(v \frac{dv}{ds})v = m v^2 \frac{dv}{ds}$.
પદોને સંકલન માટે ગોઠવતા: $ds = \frac{m}{P} v^2 dv$.
બંને બાજુ પ્રારંભિક વેગ $v_1$ થી અંતિમ વેગ $v_2$ અને અંતર $0$ થી $s$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{s} ds = \frac{m}{P} \int_{v_1}^{v_2} v^2 dv$.
$s = \frac{m}{P} [\frac{v^3}{3}]_{v_1}^{v_2}$.
$s = \frac{m}{3P} (v_2^3 - v_1^3)$.

(B) તાક્ષ્ણિક પાવર $P$ એ બળ સદિશ $\vec{F}$ અને વેગ સદિશ $\vec{v}$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે.
$P = \vec{F} \cdot \vec{v}$
$P = (60\hat{i} + 15\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (2\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k})$
અદિશ ગુણાકારના નિયમ $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1, \hat{j} \cdot \hat{j} = 1, \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ અને $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$ વગેરેનો ઉપયોગ કરતા:
$P = (60 \times 2) + (15 \times -4) + (-3 \times 5)$
$P = 120 - 60 - 15$
$P = 45 \, W$
આમ,તાક્ષ્ણિક પાવર $45 \, W$ છે.

(C) કારને $R$ અવરોધની વિરુદ્ધ $a$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરાવવા માટે એન્જિન દ્વારા જરૂરી કુલ બળ $F$ ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ મળે છે: $F_{net} = ma$
અવરોધ $R$ વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરતું હોવાથી,એન્જિને $F = R + ma$ જેટલું બળ આપવું પડે.
એન્જિન દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર $P$ એ બળ અને વેગનો ગુણાકાર છે: $P = F \times v$
$F$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે: $P = (R + ma)v$.

(C) એકમ સમયમાં પાંખિયા સાથે અથડાતા હવાનું દળ $\frac{dm}{dt} = \rho A v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ હવાની ઘનતા છે અને $A$ એ પાંખિયા દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે.
હવા દ્વારા પાંખિયા પર લાગતું બળ $F = v \frac{dm}{dt} = v(\rho A v) = \rho A v^{2}$ છે.
ઉત્પન્ન થતો પાવર એ બળ અને વેગનો ગુણાકાર છે: $P = F \times v$.
બળ માટેનું સૂત્ર મૂકતા: $P = (\rho A v^{2}) \times v = \rho A v^{3}$.
તેથી,ઉત્પન્ન થતો પાવર એ વેગના ઘન (cube) ના સપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $P \propto v^{3}$.

(B) એન્જિનનો પાવર એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફારના દર જેટલો હોય છે.
$\text{Power} (P) = \frac{\Delta K.E.}{\Delta t} = \frac{\frac{1}{2} m (v_2^2 - v_1^2)}{t}$
આપેલ છે: $m = 2.05 \times 10^6 \ kg$,$v_1 = 5 \ m/s$,$v_2 = 25 \ m/s$,$t = 5 \ minutes = 300 \ s$.
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{0.5 \times 2.05 \times 10^6 \times (25^2 - 5^2)}{300}$
$P = \frac{0.5 \times 2.05 \times 10^6 \times (625 - 25)}{300}$
$P = \frac{0.5 \times 2.05 \times 10^6 \times 600}{300}$
$P = 0.5 \times 2.05 \times 10^6 \times 2$
$P = 2.05 \times 10^6 \ W = 2.05 \ MW$.

(A) પડતા પાણી દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પાવર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$.
અહીં દળનો પ્રવાહ દર $\frac{m}{t} = 100 \ kg/s$,ઊંચાઈ $h = 100 \ m$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = (\frac{m}{t}) \times g \times h$
$P = 100 \ kg/s \times 10 \ m/s^2 \times 100 \ m$
$P = 100,000 \ W = 10^5 \ W$.
કારણ કે $1 \ kW = 1000 \ W$,તેથી $P = 100 \ kW$ મળે.

(A) પાવર $(P)$ એ કાર્ય કરવાનો દર છે,જે $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે બંને માણસો સમાન ઊંચાઈ $(h)$ ચડે છે,તેથી પાવર એ વજન $(m)$ ના સમપ્રમાણમાં અને સમય $(t)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $P \propto \frac{m}{t}$.
આપેલ છે કે વજનનો ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{5}{3}$ અને સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t_1}{t_2} = \frac{11}{9}$ છે.
તેમના પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{m_1}{m_2} \times \frac{t_2}{t_1}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{5}{3} \right) \times \left( \frac{9}{11} \right)$.
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{45}{33} = \frac{15}{11}$.

$(A)$ દર સેકન્ડે ઉપલબ્ધ સ્થિતિ ઊર્જા એ ઇનપુટ પાવર છે: $P_{in} = \frac{m}{t} g \Delta h$.
અહીં,$\frac{m}{t} = 2000 \ kg/s$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $\Delta h = 550 \ m - 50 \ m = 500 \ m$ છે.
$P_{in} = 2000 \times 10 \times 500 = 10,000,000 \ W = 10 \ MW$.
ટર્બાઈનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 80\% = 0.8$ છે.
ઉત્પન્ન થતો પાવર (આઉટપુટ પાવર) $P_{out} = \eta \times P_{in} = 0.8 \times 10 \ MW = 8 \ MW$ થાય.

(C) પાણીના પ્રવાહનો દર $\frac{dm}{dt} = 15\, kg/s$ છે.
ઊંચાઈ $h = 60\, m$ છે અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10\, m/s^2$ છે.
દર સેકન્ડે ઉપલબ્ધ કુલ સ્થિતિ ઊર્જા (ઇનપુટ પાવર) $P_{in} = \frac{dm}{dt} \cdot g \cdot h = 15 \times 10 \times 60 = 9000\, W$ છે.
ઘર્ષણને કારણે થતું નુકસાન $10\%$ છે,તેથી ટર્બાઇનની કાર્યક્ષમતા $90\%$ છે.
ટર્બાઇન દ્વારા ઉત્પન્ન થતી પાવર $P_{out} = P_{in} \times 0.90 = 9000 \times 0.90 = 8100\, W$ છે.
કિલોવોટમાં રૂપાંતરિત કરતા,$P_{out} = 8.1\, kW$ મળે છે.

(D) ધારો કે પાણીનો વેગ $v$ છે અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $m$ છે.
એકમ સમયમાં વહેતા પાણીનું દળ (દળનો પ્રવાહ દર) એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ અને વેગના ગુણાકાર જેટલું હોય છે:
$\text{દળનો પ્રવાહ દર} = m \times v$
$v$ વેગથી ગતિ કરતા $M$ દળની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} Mv^2$ છે.
ગતિઊર્જા આપવામાં આવતી હોય તે દર એટલે પાવર $P$,જે એકમ સમય દીઠ ગતિઊર્જા છે:
$P = \frac{1}{2} (\text{દળનો પ્રવાહ દર}) v^2$
$P = \frac{1}{2} (mv) v^2 = \frac{1}{2} mv^3$.

(D) આપેલ છે:
પાણીના એકમ લંબાઈ દીઠ દળ,$\mu = 100\, kg/m$.
પાણીનો વેગ,$v = 2\, m/s$.
પાણીના પ્રવાહનો દર (દળનો દર) $\frac{dm}{dt} = \mu \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{dm}{dt} = 100\, kg/m \times 2\, m/s = 200\, kg/s$.
એન્જિન દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો પાવર $P = \mu v^3$ સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે.
$P = 100 \times (2)^3 = 100 \times 8 = 800\, W$.
આમ,એન્જિનનો પાવર $800\, W$ છે.

(D) કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
આપેલ પ્રવેગ $a$ સમાન છે,તેથી $T$ સમય પર વેગ $V = aT$ થશે,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{V}{T}$.
કણ પર લાગતું બળ $F = Ma = M \left( \frac{V}{T} \right)$ છે.
કણને આપવામાં આવતી પાવર $P = F \cdot V$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$F$ અને $V$ ની કિંમતો મૂકતા:
$P = \left( M \frac{V}{T} \right) \cdot V = \frac{MV^2}{T}$.
પરંતુ,સરેરાશ પાવર $P_{avg} = \frac{W}{T} = \frac{\Delta K}{T} = \frac{1}{2} \frac{MV^2}{T}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ એ કણને આપવામાં આવતી સરેરાશ પાવર દર્શાવે છે.

(B) તાત્કાલિક પાવર $P_0$ એ $P_0 = Fv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $F = ma = m(dv/dt)$,આપણે લખી શકીએ $P_0 = mv(dv/dt)$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે $P_0 dt = mv dv$.
બંને બાજુ $t=0$ થી $t$ અને $v=0$ થી $v$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_0^t P_0 dt = \int_0^v mv dv$
$P_0 t = \frac{1}{2}mv^2$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $v = \sqrt{\frac{2P_0 t}{m}}$.
તેથી,$v \propto \sqrt{t}$ અથવા $v \propto t^{1/2}$.

(A) કણ પર લાગતો પાવર $P$ અચળ છે,તેથી $P = k$.
પાવર $P = \frac{dW}{dt}$ હોવાથી,$dW = k dt$ થાય.
બંને બાજુ $0$ થી $t$ સુધી સંકલન કરતા,$W = kt$ મળે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલું કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - 0$.
$W$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $kt = \frac{1}{2}mv^2$,જેમાંથી $v = \sqrt{\frac{2kt}{m}}$ મળે.
પ્રવેગ $a$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \sqrt{\frac{2k}{m}} t^{1/2} \right) = \sqrt{\frac{2k}{m}} \cdot \frac{1}{2} t^{-1/2} = \sqrt{\frac{k}{2mt}}$.
કણ પર લાગતું બળ $F = ma$ છે:
$F = m \cdot \sqrt{\frac{k}{2mt}} = \sqrt{\frac{m^2 k}{2mt}} = \sqrt{\frac{mk}{2t}} = \sqrt{\frac{mk}{2}} t^{-1/2}$.

(C) આપેલ છે: બળ $\overrightarrow{F} = (2t\hat{i} + 3t^2\hat{j})\, N$ અને દળ $m = 1\, kg$.
પદાર્થનો પ્રવેગ $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{2t\hat{i} + 3t^2\hat{j}}{1} = (2t\hat{i} + 3t^2\hat{j})\, m/s^2$ છે.
$t$ સમયે વેગ $\overrightarrow{v}$ એ પ્રવેગનું સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરવાથી મળે છે: $\overrightarrow{v} = \int \overrightarrow{a} dt = \int (2t\hat{i} + 3t^2\hat{j}) dt = t^2\hat{i} + t^3\hat{j}\, m/s$.
બળ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પાવર $P$ એ બળ અને વેગનો અદિશ ગુણાકાર છે: $P = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v}$.
$P = (2t\hat{i} + 3t^2\hat{j}) \cdot (t^2\hat{i} + t^3\hat{j}) = (2t)(t^2) + (3t^2)(t^3) = 2t^3 + 3t^5\, W$.

(C) પાણીને પમ્પ કરવા માટે જરૂરી પાવર એ સ્થિતિ ઊર્જાના ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે,$P = \frac{mgh}{t}$.
આપેલ છે:
ઊંડાઈ,$h = 10 \ m$
કદનો પ્રવાહ દર,$\frac{V}{t} = 10^{-1} \ m^3/s$
પાણીની ઘનતા,$\rho = 10^3 \ kg/m^3$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ,$g = 9.8 \ m/s^2$
એકમ સમયમાં પમ્પ કરેલા પાણીનું દળ $\frac{m}{t} = \rho \times \frac{V}{t}$ છે.
$\frac{m}{t} = 10^3 \ kg/m^3 \times 10^{-1} \ m^3/s = 100 \ kg/s$.
હવે,જરૂરી પાવર છે:
$P = (\frac{m}{t}) \times g \times h$
$P = 100 \ kg/s \times 9.8 \ m/s^2 \times 10 \ m$
$P = 9800 \ W$
કિલોવોટમાં રૂપાંતરિત કરતા:
$P = \frac{9800}{1000} \ kW = 9.8 \ kW$.

(C) પાવરને કાર્ય કરવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $P = Fv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $F = ma$ અને $a = \frac{dv}{dt}$,તેથી $P = m \left( \frac{dv}{dt} \right) v = k$ (જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે).
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $v dv = \frac{k}{m} dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\frac{v^2}{2} = \frac{k}{m} t$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{2k}{m}} t^{1/2}$.
કારણ કે $v = \frac{dx}{dt}$,તેથી $\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2k}{m}} t^{1/2}$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $x = \int \sqrt{\frac{2k}{m}} t^{1/2} dt = \sqrt{\frac{2k}{m}} \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} \right) = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{2k}{m}} t^{3/2}$ મળે છે.
આમ,સ્થાનાંતર $x$ એ $t^{3/2}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(A) પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $v = 0 + aT$ મળે છે,જેના પરથી પ્રવેગ $a = \frac{v}{T}$ મળે છે.
પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = ma = m(\frac{v}{T})$ છે.
કોઈપણ સમય $t$ પર પદાર્થનો વેગ $v(t) = at = (\frac{v}{T})t$ થાય.
તત્કાલીન પાવર $P$ એ $P = F \cdot v(t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = (m \cdot \frac{v}{T}) \cdot (\frac{v}{T}t) = \frac{mv^2}{T^2}t$.

(A) તાત્ક્ષણિક પાવર $P$ એ બળ સદિશ $\overrightarrow{F}$ અને વેગ સદિશ $\overrightarrow{V}$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે.
$P = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{V}$
આપેલા સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$P = (60 \hat{i} + 15 \hat{j} - 3 \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} - 4 \hat{j} + 5 \hat{k})$
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા ($\hat{i} \cdot \hat{i} = 1, \hat{j} \cdot \hat{j} = 1, \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ અને અન્ય પદો $0$ થાય છે):
$P = (60 \times 2) + (15 \times -4) + (-3 \times 5)$
$P = 120 - 60 - 15$
$P = 45 \; W$

(D) પાવર એ કાર્ય કરવાનો દર છે,જે $P = \frac{W}{t}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
થયેલ કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{S}$.
આપેલ છે કે $\vec{F} = (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})\,N$ અને $\vec{S} = (3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k})\,m$.
$W = (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}) = (2 \times 3) + (3 \times 4) + (4 \times 5) = 6 + 12 + 20 = 38\,J$.
આપેલ સમય $t = 4\,s$.
$P = \frac{38}{4} = 9.5\,W$.

(B) સરેરાશ પાવર $P_{av}$ ને કુલ કાર્ય અને કુલ સમયના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$P_{av} = \frac{W}{t}$
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલું કુલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K = K_f - K_i$
આપેલ છે,દળ $m = 10\, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0\, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 2\, m/s$,અને સમય $t = 20\, s$.
$K_i = \frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 0^2 = 0\, J$
$K_f = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 2^2 = 20\, J$
$W = 20\, J - 0\, J = 20\, J$
હવે,સરેરાશ પાવરની ગણતરી કરતા:
$P_{av} = \frac{20\, J}{20\, s} = 1\, W$.

(A) પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
તે $T$ સમયમાં $v$ ઝડપ સુધી સમાન પ્રવેગિત થાય છે,તેથી પ્રવેગ $a = \frac{v - u}{T} = \frac{v}{T}$ મળે.
કોઈપણ સમયે $t$ વેગ $v(t) = at = \frac{v}{T}t$ થાય.
પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = ma = m\left(\frac{v}{T}\right)$ છે.
તાત્ક્ષણિક પાવર $P = F \cdot v(t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = \left(m \frac{v}{T}\right) \left(\frac{v}{T}t\right) = \frac{mv^2}{T^2}t$ મળે છે.

(D) બળ $F$ દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર $P$ સૂત્ર $P = F \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ પદાર્થનો વેગ છે.
બળ $F$ અચળ હોવાથી,પદાર્થનો પ્રવેગ $a$ પણ અચળ રહે છે,જે $a = F/m$ છે.
સ્થિર સ્થિતિ $(u = 0)$ થી શરૂ કરીને,કોઈપણ સમયે $t$ પર વેગ $v = u + at = 0 + (F/m)t = (F/m)t$ થાય છે.
આને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $P = F \cdot ((F/m)t) = (F^2/m)t$ મળે છે.
અહીં $F$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$P \propto t$ થાય છે.
આ પાવર $P$ અને સમય $t$ વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
તેથી,સમય $t$ સાથે પાવર $P$ માં રેખીય વધારો દર્શાવતો આલેખ સાચો છે,જે વિકલ્પ $D$ ને અનુરૂપ છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 2\, kg$,પાવર $P = \frac{3t^2}{2}$,અને પ્રારંભિક વેગ $v(0) = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પાવર $P = F \cdot v = (m \cdot a) \cdot v = m \cdot v \cdot \frac{dv}{dt}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $2 \cdot v \cdot \frac{dv}{dt} = \frac{3t^2}{2}$.
પદોને ગોઠવતા: $v \cdot dv = \frac{3t^2}{4} \cdot dt$.
બંને બાજુ $t = 0$ થી $t = 2$ અને $v = 0$ થી $v = V$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{V} v \, dv = \int_{0}^{2} \frac{3t^2}{4} \, dt$.
$\left[ \frac{v^2}{2} \right]_{0}^{V} = \frac{3}{4} \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{2}$.
$\frac{V^2}{2} = \frac{1}{4} \cdot (2^3 - 0^3) = \frac{8}{4} = 2$.
$V^2 = 4$,તેથી $V = 2\, m/s$.

(D) પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો દર,જે $P = \frac{W_{work}}{t} = \frac{mgh}{t} = \frac{W_{weight}h}{t}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને માણસો એક જ દાદર ચઢતા હોવાથી,ઊંચાઈ $h$ બંને માટે સમાન છે.
આપેલ વજનનો ગુણોત્તર $W_1 : W_2 = 4 : 3$ અને સમયનો ગુણોત્તર $t_1 : t_2 = 12 : 11$ છે.
તેમના પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{W_1}{W_2} \times \frac{t_2}{t_1}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_1}{P_2} = \frac{4}{3} \times \frac{11}{12} = \frac{44}{36} = \frac{11}{9}$.
તેથી,પ્રથમ અને બીજા માણસના પાવરનો ગુણોત્તર $11/9$ છે.

(D) $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા $m$ દળ ધરાવતી હવા માટે ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
$t$ સમયમાં $A$ ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતા હવાનું દળ $m = \rho A v t$ છે,જ્યાં $\rho$ એ હવાની ઘનતા છે.
ગતિ ઊર્જાના વહનનો દર (પાવર) $P = \frac{dK}{dt} = \frac{1}{2} \left(\frac{dm}{dt}\right) v^2$ છે.
અહીં $\frac{dm}{dt} = \rho A v$ હોવાથી,આપણે તેને પાવરના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$P = \frac{1}{2} (\rho A v) v^2 = \frac{1}{2} \rho A v^3$.
જનરેટર આ ઊર્જાના નિશ્ચિત અંશનું રૂપાંતર કરતું હોવાથી,વિદ્યુત પાવર આઉટપુટ $v^3$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.

(D) પાણીનું કદ $V = 9\,m^3$ છે. પાણીની ઘનતા $\rho = 1000\,kg/m^3$ લેતા,પાણીનું દળ $m = \rho V = 1000 \times 9 = 9000\,kg$ થાય.
પાણીને $h = 10\,m$ ની ઊંચાઈ સુધી લઈ જવા માટે કરેલું કાર્ય $W = mgh = 9000 \times 10 \times 10 = 9 \times 10^5\,J$ છે.
લાગતો સમય $t = 5\,minutes = 5 \times 60 = 300\,s$ છે.
આઉટપુટ પાવર $P_{out} = \frac{W}{t} = \frac{9 \times 10^5}{300} = 3000\,W = 3\,kW$ છે.
ઇનપુટ પાવર $P_{in} = 10\,kW$ છે.
કાર્યક્ષમતા $\eta = \left(\frac{P_{out}}{P_{in}}\right) \times 100 = \left(\frac{3\,kW}{10\,kW}\right) \times 100 = 30\%$ થાય.

(C) બળ $F$ દ્વારા અચળ વેગ $v$ થી ગતિ કરતી વસ્તુ પર લાગતો પાવર $P$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = F \times v$
આપેલ છે:
બળ $F = 500\, N$
વેગ $v = 3.0\, m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$P = 500\, N \times 3.0\, m/s = 1500\, W$
કારણ કે $1\, kW = 1000\, W$,આપણે પાવરને કિલોવોટમાં ફેરવીએ છીએ:
$P = \frac{1500}{1000}\, kW = 1.5\, kW$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) કરેલું કાર્ય $(W)$ = બળ $\times$ અંતર
$W = 40\, N \times 30\, m = 1200\, J$
પાવર $(P)$ એ કાર્ય કરવાની દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$P = \frac{W}{t}$
આપેલ સમય $t = 1\, \text{મિનિટ} = 60\, s$
$P = \frac{1200\, J}{60\, s} = 20\, W$

(A) જરૂરી કુલ પાવર એ પાણીને ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ ઉપર ખેંચવા માટે જરૂરી પાવર અને પાણીને ગતિ ઊર્જા આપવા માટે જરૂરી પાવરનો સરવાળો છે.
પાવર $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh + \frac{1}{2}mv^2}{t}$
આપેલ છે: $m = 1000 \, kg$,$t = 60 \, s$,$h = 10 \, m$,$v = 10 \, m/s$,$g = 10 \, m/s^2$.
$P = \frac{1000 \times 10 \times 10 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (10)^2}{60}$
$P = \frac{100000 + 50000}{60} = \frac{150000}{60} = 2500 \, W$.
કારણ કે $1 \, HP = 746 \, W$,તેથી હોર્સપાવરમાં પાવર:
$P_{HP} = \frac{2500}{746} \approx 3.35 \, HP$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $3.33 \, HP$ છે.

(D) પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો દર,જે $P = \frac{W}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{S}$ હોવાથી,પાવર $P = \frac{\vec{F} \cdot \vec{S}}{t}$ થાય.
અહીં $\vec{F} = (2\hat i + 3\hat j + 4\hat k) \text{ N}$,$\vec{S} = (3\hat i + 4\hat j + 5\hat k) \text{ m}$,અને $t = 4 \text{ s}$ આપેલ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $\vec{F} \cdot \vec{S} = (2 \times 3) + (3 \times 4) + (4 \times 5) = 6 + 12 + 20 = 38 \text{ J}$.
તેથી,$P = \frac{38}{4} = 9.5 \text{ W}$.

(C) બળ $\vec{F}$ દ્વારા $\vec{v}$ વેગથી ગતિ કરતા કણ પર લાગતો તાત્ક્ષણિક પાવર $P$ એ બળ અને વેગ સદિશોના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = \vec{F} \cdot \vec{v}$
આપેલ છે:
$\vec{v} = (5\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}) \text{ m/s}$
$\vec{F} = (10\hat{i} + 10\hat{j} + 20\hat{k}) \text{ N}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = (10\hat{i} + 10\hat{j} + 20\hat{k}) \cdot (5\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k})$
અદિશ ગુણાકારના નિયમ $(a_x\hat{i} + a_y\hat{j} + a_z\hat{k}) \cdot (b_x\hat{i} + b_y\hat{j} + b_z\hat{k}) = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = (10 \times 5) + (10 \times -3) + (20 \times 6)$
$P = 50 - 30 + 120$
$P = 140 \text{ W}$ (અથવા $\text{J/s}$)
આમ,તાત્ક્ષણિક પાવર $140 \text{ J/s}$ છે.

(B) એથ્લેટનું દળ $m = 60\, kg$ છે.
દરેક પગથિયાની ઊંચાઈ $h = 25\, cm = 0.25\, m = \frac{1}{4}\, m$ છે.
પ્રતિ મિનિટ પગથિયાંની સંખ્યા $n = 20$ છે.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8\, m/s^2$ છે.
એક પગથિયામાં થયેલ કાર્ય $W_{step} = mgh = 60 \times 9.8 \times 0.25 = 147\, J$ છે.
એક મિનિટમાં થયેલ કુલ કાર્ય $W_{total} = n \times W_{step} = 20 \times 147 = 2940\, J$ છે.
ઉત્પન્ન થયેલ પાવર $P = \frac{W_{total}}{t}$ છે,જ્યાં $t = 60\, s$.
$P = \frac{2940}{60} = 49\, W$.

(A) પાવર $P$ એ બળ $F$ અને વેગ $v$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $P = F \cdot v$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જો પાવર $P$ અચળ રહેવો હોય,તો $F \cdot v = \text{અચળ}$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $F = \frac{\text{અચળ}}{v}$.
તેથી,બળ ઝડપના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવું જોઈએ,જેને $F \propto \frac{1}{v}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

(C) $v$ વેગથી ગતિ કરતા કણ પર લાગતા બળ $F$ દ્વારા અપાતો પાવર $P$ એ $P = F \cdot v$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બળ $F = \frac{K}{v}$ ની આપેલી કિંમતને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $P = \left( \frac{K}{v} \right) \cdot v = K$ મળે છે.
અહીં $K$ અચળાંક હોવાથી,બળ દ્વારા અપાતો પાવર સમય સાથે અચળ રહે છે.
અચળ પાવર $P$ દ્વારા $t$ સમયગાળામાં થયેલું કાર્ય $W$ એ $W = P \cdot t$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$P = K$ મૂકતા,આપણને $W = K \cdot t$ મળે છે.

(A) કારને આપવામાં આવતો પાવર $P = Fv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $F = ma = m \frac{dv}{dt} = m \frac{dv}{ds} \frac{ds}{dt} = mv \frac{dv}{ds}$,આપણે આને પાવરના સમીકરણમાં મૂકી શકીએ છીએ:
$P = (mv \frac{dv}{ds}) v = mv^2 \frac{dv}{ds}$.
વેગ અને અંતરના સંદર્ભમાં સંકલન કરવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$v^2 dv = \frac{P}{m} ds$.
બંને બાજુ પ્રારંભિક વેગ $v$ થી અંતિમ વેગ $2v$ અને અંતર $0$ થી $S$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{v}^{2v} v^2 dv = \int_{0}^{S} \frac{P}{m} ds$.
સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા:
$\left[ \frac{v^3}{3} \right]_{v}^{2v} = \frac{P}{m} S$.
$\frac{(2v)^3 - v^3}{3} = \frac{PS}{m}$.
$\frac{8v^3 - v^3}{3} = \frac{PS}{m}$.
$\frac{7v^3}{3} = \frac{PS}{m}$.
$S$ માટે ઉકેલતા:
$S = \frac{7mv^3}{3P}$.

(C) તંત્રમાં બે દળ $m_1$ અને $m_2$ એક ગરગડી પરથી પસાર થતી દોરી વડે જોડાયેલા છે.
અહીં $m_2 > m_1$ હોવાથી,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે $m_2$ નીચે તરફ ગતિ કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે,જે $m_1$ ને ઉપર તરફ ખેંચે છે.
$m_1$ ને $v$ જેટલા અચળ વેગથી ઉપર તરફ ખેંચવા માટે,બાહ્ય બળ $F_{ext}$ લગાડવું પડે છે.
તંત્ર અચળ વેગથી ગતિ કરે તે માટે,તંત્ર પરનું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તંત્ર પર લાગતા બળો: $m_2$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ($m_2g$ નીચે તરફ),$m_1$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ($m_1g$ નીચે તરફ),અને $m_1$ પર લાગતું બાહ્ય બળ $F_{ext}$ (નીચે તરફ).
સંતુલન માટે બળોને સરખાવતા: $F_{ext} + m_1g = m_2g$.
તેથી,$F_{ext} = (m_2 - m_1)g$.
બાહ્ય એજન્ટ દ્વારા આપવામાં આવતો તત્કાલીન પાવર $P = F_{ext} \cdot v$ દ્વારા મળે છે.
$F_{ext}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P = (m_2 - m_1)gv$ મળે છે.

(B) એરોડાયનેમિક ડ્રેગ ફોર્સ $F$ એ ઝડપ $V$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી $F = kV$,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
પાવર $P$ એ બળ અને વેગનો ગુણાકાર છે: $P = F \cdot V$.
પાવરના સમીકરણમાં $F = kV$ મૂકતા,આપણને $P = (kV) \cdot V = kV^2$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $P \propto V^2$,અથવા $V \propto \sqrt{P}$.
જો પાવર આઉટપુટ $P$ ને બમણો કરીને $2P$ કરવામાં આવે,તો નવી ઝડપ $V'$ એ $V' \propto \sqrt{2P} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{P}$ થશે.
તેથી,નવી ઝડપ $V'$ એ મૂળ ઝડપ $V$ કરતા $\sqrt{2}$ ગણી હશે.

(A) પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u = 0)$ શરૂ થાય છે અને $T$ સમયમાં $v$ ઝડપ પ્રાપ્ત કરવા માટે સમાન પ્રવેગિત થાય છે.
પ્રવેગ $a$ એ $a = \frac{v - u}{T} = \frac{v}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર વેગ $v(t) = at = \frac{v}{T} t$ છે.
પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = ma = m \left( \frac{v}{T} \right)$ છે.
તાત્કાલિક પાવર $P$ ની વ્યાખ્યા $P = F \cdot v(t)$ છે.
$F$ અને $v(t)$ માટેના સમીકરણો મૂકતા:
$P = \left( m \frac{v}{T} \right) \left( \frac{v}{T} t \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$P = \frac{m v^2 t}{T^2}$.

(B) પાણીને પમ્પ કરવા માટે જરૂરી પાવર $P$ એ ગતિ ઊર્જાના ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P = \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} m v^2) = \frac{1}{2} v^2 \frac{dm}{dt}$.
અહીં,$\frac{dm}{dt}$ એ દળનો પ્રવાહ દર છે,જેને $\frac{dm}{dt} = \lambda v$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $\lambda$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $(100\, kg/m)$ છે અને $v$ એ વેગ $(2\, m/s)$ છે.
તેથી,$\frac{dm}{dt} = 100\, kg/m \times 2\, m/s = 200\, kg/s$.
આ કિંમતને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = \frac{1}{2} \times (200\, kg/s) \times (2\, m/s)^2$.
$P = \frac{1}{2} \times 200 \times 4 = 400\, W$.

(C) વ્યક્તિઓનું કુલ દળ $M_p = 10 \times 68 \; kg = 680 \; kg$ છે.
લિફ્ટ સિસ્ટમનું કુલ દળ $M = M_p + M_{elevator} = 680 \; kg + 920 \; kg = 1600 \; kg$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચેની તરફ લાગતું કુલ બળ $F_g = M \times g = 1600 \; kg \times 10 \; m/s^{2} = 16000 \; N$ છે.
ઉપરની તરફની ગતિનો વિરોધ કરતું ઘર્ષણ બળ $f = 6000 \; N$ છે.
લિફ્ટ અચળ ઝડપથી ગતિ કરતી હોવાથી,પ્રવેગ શૂન્ય છે. તેથી,કેબલમાં તણાવ $T$ એ નીચેની તરફ લાગતા કુલ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$T = F_g + f = 16000 \; N + 6000 \; N = 22000 \; N$.
મોટર દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર $P = T \times v$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $v$ એ વેગ છે.
$P = 22000 \; N \times 3 \; m/s = 66000 \; W$.

(C) ધારો કે લિફ્ટ $V$ જેટલી અચળ ઝડપથી ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
લિફ્ટ પર લાગતું કુલ નીચેની તરફનું બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને ઘર્ષણ બળનો સરવાળો છે.
$T = mg + f_r$
અહીં $m = 2000\; kg$,$g = 10\; ms^{-2}$,અને $f_r = 4000\; N$ આપેલ છે.
$T = (2000 \times 10) + 4000 = 20000 + 4000 = 24000\; N$.
મોટરનો પાવર $P = T \times V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $P = 60\; HP = 60 \times 746\; W = 44760\; W$ છે.
પાવરને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$44760 = 24000 \times V$
$V = \frac{44760}{24000} = 1.865\; m/s$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ઝડપ આશરે $1.9\; m/s$ મળે છે.

(N/A) લિફ્ટ પર લાગતું કુલ અધોગામી બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને ઘર્ષણ બળનો સરવાળો છે.
$F = mg + F_{f} = (1800 \times 10) + 4000 = 18000 + 4000 = 22000 \; N$.
લિફ્ટ અચળ ઝડપે ગતિ કરતી હોવાથી,મોટરે કુલ અધોગામી બળ જેટલું જ ઉર્ધ્વગામી બળ લગાડવું પડે.
પાવર $P$ એ બળ અને વેગનો ગુણાકાર છે: $P = F \cdot v$.
$P = 22000 \; N \times 2 \; m s^{-1} = 44000 \; W$.
પાવરને હોર્સપાવર $(hp)$ માં ફેરવવા માટે,આપણે રૂપાંતરણ અવયવ $1 \; hp = 746 \; W$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$P = \frac{44000}{746} \approx 58.98 \; hp \approx 59 \; hp$.

(C) પાવર એ કાર્ય કરવાનો દર છે, જે $P = Fv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $F = ma = m(dv/dt)$, તેથી $P = mv(dv/dt) = \text{અચળ} (k)$.
પદોને ગોઠવતા, આપણને $v dv = (k/m) dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા, આપણને $v^2/2 = (k/m)t$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{2k/m} \cdot t^{1/2}$.
વેગ $v = dx/dt$ હોવાથી, $dx/dt = \sqrt{2k/m} \cdot t^{1/2}$ થાય.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા, આપણને $x = \int \sqrt{2k/m} \cdot t^{1/2} dt = \sqrt{2k/m} \cdot (t^{3/2} / (3/2)) = (2/3) \sqrt{2k/m} \cdot t^{3/2}$ મળે છે.
આમ, સ્થાનાંતર $x$ એ $t^{3/2}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) ટાંકીનું કદ, $V = 30 \; m^{3}$.
કાર્યનો સમય, $t = 15 \; min = 15 \times 60 = 900 \; s$.
ટાંકીની ઊંચાઈ, $h = 40 \; m$.
પંપની કાર્યક્ષમતા, $\eta = 30 \% = 0.3$.
પાણીની ઘનતા, $\rho = 10^{3} \; kg/m^{3}$.
પાણીનું દળ, $m = \rho \times V = 10^{3} \times 30 = 30,000 \; kg$.
આઉટપુટ પાવર $(P_{out})$ એ ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવાનો દર છે:
$P_{out} = \frac{mgh}{t} = \frac{30,000 \times 9.8 \times 40}{900} = \frac{11,760,000}{900} = 13,066.67 \; W \approx 13.067 \; kW$.
ઇનપુટ પાવર $(P_{in})$ અને આઉટપુટ પાવર વચ્ચેનો સંબંધ: $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}}$.
$P_{in} = \frac{P_{out}}{\eta} = \frac{13.067 \; kW}{0.3} = 43.556 \; kW$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, વપરાયેલ પાવર $43.6 \; kW$ છે.

(C) પવનચક્કી દ્વારા આવરી લેવાયેલ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= A$
પવનનો વેગ $= v$
હવાની ઘનતા $= \rho$
પવનચક્કીમાંથી દર સેકન્ડે વહેતા પવનનું કદ $= A v$
પવનચક્કીમાંથી દર સેકન્ડે વહેતા પવનનું દળ $= \rho A v$
$t$ સમયમાં પવનચક્કીમાંથી વહેતા પવનનું દળ $m = \rho A v t$
હવાની ગતિઊર્જા $= \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} (\rho A v t) v^{2} = \frac{1}{2} \rho A v^{3} t$
આપેલ છે: $A = 30\;m^{2}, v = 36\;km/h = 10\;m/s, \rho = 1.2\;kg\;m^{-3}$
ઉત્પન્ન થતી વિદ્યુત ઊર્જા $= 25\%$ પવનની ઊર્જા $= \frac{25}{100} \times (\frac{1}{2} \rho A v^{3} t) = \frac{1}{8} \rho A v^{3} t$
વિદ્યુત પાવર $= \frac{\text{વિદ્યુત ઊર્જા}}{\text{સમય}} = \frac{1}{8} \rho A v^{3}$
પાવર $= \frac{1}{8} \times 1.2 \times 30 \times (10)^{3} = 4.5 \times 10^{3}\;W = 4.5\;kW$