Power Questions in Gujarati

(B) બળ $\vec F$ દ્વારા $\vec v$ વેગથી ગતિ કરતા કણ પર લાગતો તાત્ક્ષણિક પાવર $P$ એ બળ અને વેગ સદિશોના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = \vec F \cdot \vec v$
અહીં $\vec F = 20\hat i + 15\hat j - 5\hat k \, N$ અને $\vec v = 6\hat i - 4\hat j + 3\hat k \, m/s$ આપેલ છે.
$P = (20\hat i + 15\hat j - 5\hat k) \cdot (6\hat i - 4\hat j + 3\hat k)$
$P = (20 \times 6) + (15 \times -4) + (-5 \times 3)$
$P = 120 - 60 - 15$
$P = 120 - 75$
$P = 45 \, J/s$.

(C) પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો દર અથવા ઉર્જાના સ્થાનાંતરનો દર.
ગાણિતિક રીતે,$P = \frac{W}{t}$.
કાર્ય $(W)$ નો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે અને સમય $(t)$ નો $SI$ એકમ સેકન્ડ $(s)$ છે.
તેથી,પાવરનો એકમ જૂલ પ્રતિ સેકન્ડ $(J/s)$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$1 \text{ Watt} = 1 \text{ Joule/second}$.
આમ,જૂલ પ્રતિ સેકન્ડ અને વોટ બંને પાવરના માન્ય એકમો છે.

(D) પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u = 0)$ શરૂઆત કરે છે અને $t_1$ સમયમાં $v_1$ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.
પ્રવેગ $a = \frac{v_1 - u}{t_1} = \frac{v_1}{t_1}$ થાય.
કોઈપણ સમયે $t$ પર,પદાર્થનો વેગ $v = at = \left( \frac{v_1}{t_1} \right)t$ થાય.
પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = ma = m \left( \frac{v_1}{t_1} \right)$ થાય.
પદાર્થને આપવામાં આવતો તાત્ક્ષણિક પાવર $P = F \cdot v$ છે.
$F$ અને $v$ ની કિંમતો મૂકતા:
$P = \left( m \frac{v_1}{t_1} \right) \times \left( \frac{v_1}{t_1} t \right) = \frac{mv_1^2t}{t_1^2}$.

(D) આપેલ છે:
વેગ $v = 7.2 \text{ km/hr} = 7.2 \times \frac{5}{18} = 2 \text{ m/s}$.
ઢાળ $1$ માં $20$ છે, તેથી $\sin \theta = \frac{1}{20}$.
દળ $m = 100 \text{ kg}$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 9.8 \text{ m/s}^2$.
જ્યારે માણસ અને સાયકલ ટેકરી પર ઉપર જાય છે, ત્યારે વજનનો ઘટક જે ગતિનો વિરોધ કરે છે તે $F = mg \sin \theta$ છે.
જરૂરી પાવર $P = F \times v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P = (mg \sin \theta) \times v$.
$P = 100 \times 9.8 \times \left( \frac{1}{20} \right) \times 2$.
$P = 98 \text{ W}$.

(A) પાવર $P$ એ કાર્ય કરવાનો દર છે,જે $P = \frac{W}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
થયેલું કાર્ય $W = F \times s$,જ્યાં $F = 40 N$ અને $s = 30 m$ છે.
તેથી,$W = 40 N \times 30 m = 1200 J$.
લીધેલ સમય $t = 1 \text{ મિનિટ} = 60 s$.
તેથી,$P = \frac{1200 J}{60 s} = 20 W$.
આમ,મોટર દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી પાવર $20 W$ છે.

(B) બળ $F$ દ્વારા અચળ વેગ $v$ થી ગતિ કરતા પદાર્થ માટે પાવર $P$ નું સૂત્ર $P = F \cdot v$ છે.
આપેલ છે:
તણાવ (બળ) $F = 4500 \, N$
વેગ $v = 2 \, m/s$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = 4500 \, N \times 2 \, m/s = 9000 \, W$
કારણ કે $1 \, kW = 1000 \, W$,તેથી:
$P = 9000 \, W = 9 \, kW$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) પાવર $P$ એ કાર્ય કરવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,જે $P = \frac{W}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = mgh$ હોવાથી,પાવર $P = \frac{mgh}{t}$ થાય.
આપેલ કિંમતો: દળ $m = 300 \ kg$,ઊંચાઈ $h = 2 \ m$,સમય $t = 3 \ s$,અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 9.8 \ m/s^2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = \frac{300 \times 9.8 \times 2}{3}$
$P = 100 \times 9.8 \times 2$
$P = 1960 \ W$.

(D) પાવર $P$ નું સૂત્ર $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$ છે.
આપેલ છે: $P = 2 \, kW = 2000 \, W$,$g = 10 \, m/s^2$,$h = 10 \, m$,અને $t = 1 \, \text{મિનિટ} = 60 \, s$.
દળ $m$ શોધવા માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$m = \frac{P \times t}{g \times h} = \frac{2000 \times 60}{10 \times 10} = \frac{120000}{100} = 1200 \, kg$.
પાણીની ઘનતા $1000 \, kg/m^3$ હોવાથી,કદ $V$ (ઘન મીટરમાં) $V = \frac{m}{\rho} = \frac{1200 \, kg}{1000 \, kg/m^3} = 1.2 \, m^3$ થશે.
$1 \, m^3 = 1000 \, \text{લિટર}$ હોવાથી,લિટરમાં કદ $1.2 \times 1000 = 1200 \, \text{લિટર}$ થશે.

(C) પાવર $(P)$ એ કાર્ય કરવાનો દર છે,જે $P = \frac{W}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$m$ દળને $h$ ઊંચાઈ સુધી લઈ જવા માટે કરેલું કાર્ય $(W)$ એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = mgh$.
તેથી,$P = \frac{mgh}{t}$.
આપેલ કિંમતો: $P = 10 \text{ kW} = 10 \times 10^3 \text{ W}$,$m = 200 \text{ kg}$,$h = 40 \text{ m}$,અને $g = 10 \text{ m/s}^2$.
સમય $(t)$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $t = \frac{mgh}{P}$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{200 \times 10 \times 40}{10 \times 10^3}$.
$t = \frac{80000}{10000} = 8 \text{ s}$.
આમ,લાગતો સમય $8 \text{ સેકન્ડ}$ છે.

(C) એન્જિન દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર $P$ એ એન્જિન દ્વારા લગાડવામાં આવતા બળ $F$ અને કારના વેગ $V$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે,એટલે કે $P = FV$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,કાર પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = ma$ છે.
કાર પર લાગતા બળો એન્જિનનું બળ $F$ (આગળની દિશામાં) અને અવરોધક બળ $R$ (પાછળની દિશામાં) છે.
તેથી,$F - R = ma$,જે એન્જિનનું બળ $F = R + ma$ આપે છે.
આ કિંમતને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $P = (R + ma)V$ મળે છે.

(D) સરેરાશ પાવર $P$ નું સૂત્ર $P = \frac{W}{t}$ છે,જ્યાં $W$ એ કરેલું કાર્ય છે અને $t$ એ લીધેલ સમય છે.
$m$ દળને $h$ ઊંચાઈ સુધી ઊંચકવા માટે કરેલું કાર્ય $W = mgh$ છે.
આપેલ છે: $m = 100 \ kg$,$h = 50 \ m$,$t = 50 \ s$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \ m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{100 \times 9.8 \times 50}{50}$.
$P = 100 \times 9.8 = 980 \ J/s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ટર્બાઇનને મળતો પાવર $P$ એ સ્થિતિઊર્જાના ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P = \frac{d}{dt}(mgh) = \left( \frac{dm}{dt} \right) gh$
આપેલ છે:
દળનો પ્રવાહ દર $\frac{dm}{dt} = 100 \ kg/s$
ઊંચાઈ $h = 100 \ m$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g \approx 10 \ m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$P = 100 \ kg/s \times 10 \ m/s^2 \times 100 \ m$
$P = 100,000 \ W$
કારણ કે $1 \ kW = 1000 \ W$,તેથી:
$P = \frac{100,000}{1000} \ kW = 100 \ kW$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) પાવર $P$ એ કાર્ય કરવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $P = \frac{W}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પાણીને ઉપર લઈ જવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,$W = mgh$.
આપેલ મૂલ્યો છે: દળ $m = 200 \ kg$,ઊંચાઈ $h = 200 \ m$,સમય $t = 10 \ s$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = \frac{mgh}{t} = \frac{200 \times 10 \times 200}{10} = 40,000 \ W$.
પાવરને કિલોવોટ $(kW)$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $1000$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$P = \frac{40,000}{1000} = 40 \ kW$.

(C) પાણીને ઉપર લાવવા માટેની કુલ ઊંચાઈ $H = 20 \text{ m} + 10 \text{ m} = 30 \text{ m}$ છે.
પાણીનું કદ $V = 22380 \text{ litres} = 22380 \times 10^{-3} \text{ m}^3 = 22.38 \text{ m}^3$.
પાણીની ઘનતા $\rho = 10^3 \text{ kg/m}^3$,તેથી દળ $m = V \times \rho = 22.38 \times 10^3 \text{ kg} = 22380 \text{ kg}$.
મોટરનો પાવર $P = 10 \text{ H.P.} = 10 \times 746 \text{ W} = 7460 \text{ W}$.
પાણીને ઉપર લાવવા માટે કરેલું કાર્ય $W = mgh = 22380 \times 10 \times 30 \text{ J}$ છે.
પાવર $P = \frac{W}{t}$,તેથી $t = \frac{mgh}{P} = \frac{22380 \times 10 \times 30}{7460} \text{ seconds}$.
$t = \frac{22380 \times 300}{7460} = 3 \times 300 = 900 \text{ seconds}$.
મિનિટમાં રૂપાંતર કરતા: $t = \frac{900}{60} = 15 \text{ minutes}$.

(B) પાવર $P$ એ કાર્ય કરવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફારને સમય વડે ભાગતા મળે છે.
$P = \frac{\Delta K.E.}{t} = \frac{\frac{1}{2}m(v^2 - u^2)}{t}$
આપેલ છે:
દળ $m = 2.05 \times 10^6 \; kg$
પ્રારંભિક વેગ $u = 5 \; m/s$
અંતિમ વેગ $v = 25 \; m/s$
સમય $t = 5 \; min = 5 \times 60 \; s = 300 \; s$
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{0.5 \times 2.05 \times 10^6 \times (25^2 - 5^2)}{300}$
$P = \frac{0.5 \times 2.05 \times 10^6 \times (625 - 25)}{300}$
$P = \frac{0.5 \times 2.05 \times 10^6 \times 600}{300}$
$P = 0.5 \times 2.05 \times 10^6 \times 2$
$P = 2.05 \times 10^6 \; W = 2.05 \; MW$
આમ,એન્જિનનો પાવર $2.05 \; MW$ છે.

(C) કાર્ય કરવાની દરને પાવર $(P)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પાવરનું સૂત્ર છે: $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$.
દાદર સમાન હોવાથી,બંને માણસો માટે ઊંચાઈ $(h)$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ અચળ છે.
તેથી,તેમના પાવરનો ગુણોત્તર: $\frac{P_1}{P_2} = \frac{m_1}{m_2} \times \frac{t_2}{t_1}$.
આપેલ છે: $m_1 = 60 \ kg$,$t_1 = 12 \ s$,$m_2 = 50 \ kg$,$t_2 = 11 \ s$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_1}{P_2} = \frac{60}{50} \times \frac{11}{12}$.
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{6}{5} \times \frac{11}{12} = \frac{66}{60} = \frac{11}{10}$.
આમ,ગુણોત્તર $11:10$ છે.

(A) માણસ દ્વારા વિકસાવવામાં આવેલ પાવર $P$ એ ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવાના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$.
આપેલ છે: દળ $m = 80 \; kg$,ઊંચાઈ $h = 6 \; m$,સમય $t = 10 \; s$,અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 9.8 \; m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{80 \times 9.8 \times 6}{10} = 470.4 \; W$.
પાવરને વોટમાંથી હોર્સપાવર $(HP)$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે રૂપાંતરણ પરિબળ $1 \; HP = 746 \; W$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આમ,$P = \frac{470.4}{746} \; HP \approx 0.63 \; HP$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 1000 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,અંતિમ વેગ $v = 54 \ km/h = 54 \times \frac{5}{18} \ m/s = 15 \ m/s$,સમય $t = 5 \ s$.
સરેરાશ પાવર એ કાર્ય કરવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફારને સમય વડે ભાગવાથી મળે છે.
$P_{avg} = \frac{\Delta K.E.}{t} = \frac{\frac{1}{2}mv^2 - 0}{t}$.
કિંમતો મૂકતા: $P_{avg} = \frac{0.5 \times 1000 \times (15)^2}{5}$.
$P_{avg} = \frac{500 \times 225}{5} = 100 \times 225 = 22500 \ W$.

(A) મોટરનો પાવર $P = \frac{1}{4} \text{ hp} = 0.25 \times 746 \text{ W} = 186.5 \text{ W}$ છે.
મોટર $600 \text{ r.p.m.}$ ની ઝડપે ચાલે છે,તેથી આવૃત્તિ $n = \frac{600}{60} = 10 \text{ પરિભ્રમણ પ્રતિ સેકન્ડ}$ છે.
એક પરિભ્રમણ માટે લાગતો સમય $t = \frac{1}{n} = \frac{1}{10} \text{ s} = 0.1 \text{ s}$ છે.
એક પરિભ્રમણ માટે જરૂરી ઇનપુટ ઊર્જા $E_{\text{in}} = P \times t = 186.5 \times 0.1 = 18.65 \text{ J}$ છે.
કાર્યક્ષમતા $40\%$ હોવાથી,મોટર દ્વારા કરવામાં આવેલ ઉપયોગી કાર્ય $W = \text{કાર્યક્ષમતા} \times E_{\text{in}}$ થશે.
$W = 0.40 \times 18.65 \text{ J} = 7.46 \text{ J}$.

(A) પાવર $P$ એ કાર્ય કરવાનો દર છે,જે $P = \frac{W}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પાણીને ઊંચકવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું છે,$W = mgh$.
આપેલ કિંમતો:
દળ $m = 200 \ kg$
ઊંચાઈ $h = 50 \ m$
સમય $t = 10 \ s$
ગુરુત્વ પ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = \frac{mgh}{t} = \frac{200 \times 10 \times 50}{10}$
$P = 200 \times 50 = 10,000 \ W$
$P = 10 \times 10^3 \ W$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે:
પ્રતિ મિનિટ ગોળીઓની સંખ્યા,$n = 360 \text{ ગોળીઓ/મિનિટ} = \frac{360}{60} \text{ ગોળીઓ/સેકન્ડ} = 6 \text{ ગોળીઓ/સેકન્ડ}$.
દરેક ગોળીની ઝડપ,$v = 360 \ km/h = 360 \times \frac{5}{18} \ m/s = 100 \ m/s$.
દરેક ગોળીનું દળ,$m = 20 \ g = 20 \times 10^{-3} \ kg = 2 \times 10^{-2} \ kg$.
ગનનો પાવર એ એકમ સમયમાં છોડવામાં આવતી કુલ ગતિઊર્જા છે:
$P = n \times \left( \frac{1}{2}mv^2 \right)$
$P = 6 \times \left( \frac{1}{2} \times 2 \times 10^{-2} \times (100)^2 \right)$
$P = 6 \times (10^{-2} \times 10000)$
$P = 6 \times 100 = 600 \ W$.

(C) પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો દર,જે સૂત્ર $P = \frac{W}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે બંને માણસો દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $W$ સમાન છે,તેથી પાવર $P$ એ લીધેલા સમય $t$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(P \propto \frac{1}{t})$.
તેથી,પ્રથમ માણસ $(P_1)$ અને બીજા માણસ $(P_2)$ ના પાવરનો ગુણોત્તર:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{t_2}{t_1} = \frac{20 \ s}{10 \ s} = \frac{2}{1} = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2$ છે.

(C) આપેલ છે કે પાવર $P$ અચળ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $P = Fv = mav = m \left( \frac{dv}{dt} \right) v$.
આ સમીકરણનું સંકલન કરતા: $\frac{P}{m} dt = v dv$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{P}{m} dt = \int v dv \implies \frac{P}{m} t = \frac{v^2}{2}$.
આથી,$v^2 = \frac{2P}{m} t$,જે આપણને $v = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2}$ આપે છે.
કારણ કે $v = \frac{ds}{dt}$,તેથી $ds = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2} dt$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $s = \int \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2} dt = \sqrt{\frac{2P}{m}} \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} \right) = \sqrt{\frac{2P}{m}} \left( \frac{2}{3} t^{3/2} \right)$.
તેથી,$s \propto t^{3/2}$.

(B) કોઈ પદાર્થને મળતો તત્કાલીન પાવર $P$ એ તે ક્ષણે લાગતા બળ $F$ અને વેગ $v$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે,એટલે કે $P = F \cdot v$.
અહીં બળ $F$ અચળ હોવાથી,પદાર્થનો પ્રવેગ $a$ પણ અચળ રહેશે,જે $a = F/m$ દ્વારા મળે છે.
ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે,આપણને $v = (F/m)t$ મળે છે.
આમ,બળને $F = (mv)/t$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આ કિંમતને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા: $P = F \cdot v = (mv/t) \cdot v = (mv^2)/t$.

(B) પાવર $P$ ને $P = Fv = (ma)v = m(\frac{dv}{dt})v$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
અહીં $P$ અચળ હોવાથી,$m v dv = P dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int_0^v m v dv = \int_0^t P dt$,જેથી $\frac{1}{2} m v^2 = Pt$ મળે.
તેથી,$v^2 = \frac{2Pt}{m}$,અથવા $v = (\frac{2P}{m})^{1/2} t^{1/2}$.
$v = \frac{ds}{dt}$ હોવાથી,$\frac{ds}{dt} = (\frac{2P}{m})^{1/2} t^{1/2}$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$s = \int_0^t (\frac{2P}{m})^{1/2} t^{1/2} dt$.
$s = (\frac{2P}{m})^{1/2} [\frac{t^{3/2}}{3/2}] = (\frac{2P}{m})^{1/2} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2}$.
$s = (\frac{4}{9} \cdot \frac{2P}{m})^{1/2} t^{3/2} = (\frac{8P}{9m})^{1/2} t^{3/2}$.

(D) પાવર $p$ એ કાર્ય કરવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,$p = Fv$.
કારણ કે $F = ma = m \frac{dv}{dt}$,આપણે લખી શકીએ $p = m v \frac{dv}{dt}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $p \, dt = m v \, dv$.
બંને બાજુ $t = 0$ થી $t$ અને $v = 0$ થી $v$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{t} p \, dt = \int_{0}^{v} m v \, dv$.
$pt = m \left[ \frac{v^2}{2} \right]_{0}^{v}$.
$pt = \frac{1}{2} m v^2$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે $v^2 = \frac{2pt}{m}$,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{2pt}{m}}$.

(A) પાવર $P$ એ કાર્ય કરવાનો દર છે,જેનું સૂત્ર $P = \frac{W}{t}$ છે.
અહીં,ગુરુત્વાકર્ષણ વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = mgh$ છે.
આપેલ છે: $m = 80 \ kg$,$g = 9.8 \ m/s^2$,$h = 6 \ m$,અને $t = 10 \ s$.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{80 \times 9.8 \times 6}{10} = 470.4 \ W$.
પાવરને વોટમાંથી હોર્સપાવર $(HP)$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $1 \ HP = 746 \ W$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
તેથી,$P_{HP} = \frac{470.4}{746} \approx 0.63 \ HP$.

(C) એન્જીન દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર $P = F_{engine} \cdot v$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $F_{engine}$ એ એન્જીન દ્વારા લાગતું બળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
$F_{engine} = \frac{P}{v} = \frac{30 \times 10^3 \ W}{30 \ m/s} = 1000 \ N$.
કાર પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net}$ એ એન્જીન બળ અને અવરોધક બળ $F_{resistive}$ નો તફાવત છે.
$F_{net} = F_{engine} - F_{resistive} = 1000 \ N - 750 \ N = 250 \ N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = m \cdot a$,જ્યાં $m$ એ કારનું દળ છે અને $a$ એ પ્રવેગ છે.
$a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{250 \ N}{1250 \ kg} = \frac{1}{5} \ m/s^2 = 0.2 \ m/s^2$.

(B) પાવર $P = Fv = (ma)v = m \left( \frac{dv}{dt} \right) v = \text{અચળ}$.
$v \, dv = \frac{P}{m} \, dt$ નું સંકલન કરતા,આપણને $\frac{1}{2} v^2 = \frac{P}{m} t$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2}$.
કારણ કે $v = \frac{dx}{dt}$,તેથી $\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2}$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$x = \int \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2} \, dt = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2}$.
આમ,$x \propto t^{3/2}$.

(A) આપેલ છે:
દળ $m = 100 \ kg$
વેગ $v = 7.2 \ km/hr = 7.2 \times \frac{5}{18} \ m/s = 2 \ m/s$
ઢોળાવની લંબાઈ $l = 20 \ m$
ઊંચાઈ $h = 1 \ m$
ઢોળાવની ભૂમિતિ પરથી,$\sin \theta = \frac{h}{l} = \frac{1}{20}$.
અચળ વેગથી ઢોળાવ પર ઉપર જવા માટે જરૂરી બળ $F = mg \sin \theta$ છે.
પાવર $P$ એ $P = F \cdot v = (mg \sin \theta) \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P = 100 \times 9.8 \times \frac{1}{20} \times 2$
$P = 5 \times 9.8 \times 2 = 98 \ W$.

(A) પાણીને મળતો ઉપયોગી પાવર $P_{\text{out}} = \frac{mgh}{t}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $P_{\text{out}} = \frac{100 \times 10 \times 10}{5} = 2000 \ W$.
આપેલ છે કે એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 60\% = 0.6$ છે,તેથી ઇનપુટ પાવર $P_{\text{in}}$ અને આઉટપુટ પાવર વચ્ચેનો સંબંધ $P_{\text{out}} = \eta \times P_{\text{in}}$ છે.
તેથી,$P_{\text{in}} = \frac{P_{\text{out}}}{\eta} = \frac{2000}{0.6} = 3333.33 \ W$.
$kW$ માં રૂપાંતર કરતા: $P_{\text{in}} \approx 3.33 \ kW$.

(C) પાવર $P$ એ $P = Fv = mav = m(dv/dt)v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(P/m) dt = v dv$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int (P/m) dt = \int v dv$,જે $(P/m)t = v^2/2$ આપે છે.
આમ,$v = (2P/m)^{1/2} t^{1/2}$.
કારણ કે $v = ds/dt$,તેથી $ds = (2P/m)^{1/2} t^{1/2} dt$ થાય.
સંકલન કરતા $s = \int ds = (2P/m)^{1/2} \int t^{1/2} dt = (2P/m)^{1/2} [t^{3/2} / (3/2)]$.
તેથી,$s = (2/3)(2P/m)^{1/2} t^{3/2}$,જે સૂચવે છે કે $s \propto t^{3/2}$.

(A) પાવર એ કાર્ય કરવાનો દર છે,$P = \frac{W}{t}$.
હૃદય દ્વારા થતું કાર્ય એ દબાણ અને કદમાં થતા ફેરફારનો ગુણાકાર છે,$W = P \times \Delta V$.
આપેલ છે: દબાણ $P = 20000 \ N/m^2$,કદ $\Delta V = 1 \ cc = 1 \times 10^{-6} \ m^3$,અને સમય $t = 1 \ s$.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{20000 \times 1 \times 10^{-6}}{1} \ W$.
$P = 2 \times 10^{-2} \ W = 0.02 \ W$.

(B) પંપ દ્વારા જરૂરી પાવર $P$ એ યાંત્રિક ઉર્જાના ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \left(gh + \frac{v^{2}}{2}\right) \frac{dm}{dt}$.
પ્રથમ,દળનો પ્રવાહ દર $\frac{dm}{dt} = \rho A v$ ગણો.
અહીં $\rho = 1000\; kg/m^{3}$,$A = 10 \times 10^{-4}\; m^{2}$,અને $v = 5\; m/s$ છે:
$\frac{dm}{dt} = 1000 \times 10 \times 10^{-4} \times 5 = 5\; kg/s$.
હવે,$g = 10\; m/s^{2}$,$h = 2.5\; m$,અને $v = 5\; m/s$ નો ઉપયોગ કરીને પાવરના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકો:
$P = \left(10 \times 2.5 + \frac{5^{2}}{2}\right) \times 5$.
$P = (25 + 12.5) \times 5$.
$P = 37.5 \times 5 = 187.5\; W$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $185\; W$ છે.

(A) આપેલ છે કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિએથી $(u = 0)$ ગતિ શરૂ કરે છે અને $T$ સમયમાં $v$ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે,જ્યાં પ્રવેગ $a$ સમાન છે.
ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,$v = 0 + aT$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{v}{T}$.
કોઈપણ સમય $t$ પર,પદાર્થનો વેગ $v(t) = at = \left( \frac{v}{T} \right) t$ થશે.
પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = ma = m \left( \frac{v}{T} \right)$ છે.
તાત્ક્ષણિક પાવર $P$ એ બળ અને વેગનો ગુણાકાર છે: $P = F \cdot v(t)$.
કિંમતો મૂકતા: $P = \left( m \frac{v}{T} \right) \left( \frac{v}{T} t \right) = \frac{mv^2}{T^2} t$.

(A) પડતા પાણી દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પાવર $P$ એ સ્થિતિ ઊર્જાના ફેરફારના દર જેટલો હોય છે.
$P = \frac{dU}{dt} = \frac{d(mgh)}{dt} = gh \frac{dm}{dt}$
આપેલ છે:
દળનો પ્રવાહ દર $\frac{dm}{dt} = 100 \ kg/s$
ઊંચાઈ $h = 100 \ m$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$P = 10 \ m/s^2 \times 100 \ m \times 100 \ kg/s$
$P = 100,000 \ W = 100 \ kW$
તેથી,ઉત્પન્ન થતો પાવર $100 \ kW$ છે.

(D) આઉટપુટ પાવર $P_{\text{out}} = \frac{mgh}{t}$ દ્વારા મળે છે।
આપેલ છે: $m = 7200 \ kg$, $h = 100 \ m$, $t = 1 \ \text{કલાક} = 3600 \ s$, અને $g = 10 \ m/s^2$.
$P_{\text{out}} = \frac{7200 \times 10 \times 100}{3600} = 2000 \ W = 2 \ kW$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}$.
અહીં $\eta = 50\% = 0.5$ હોવાથી, $P_{\text{in}} = \frac{P_{\text{out}}}{\eta} = \frac{2 \ kW}{0.5} = 4 \ kW$.

(A) પાવરની વ્યાખ્યા $P = Fv$ છે. કારણ કે $F = ma$,તેથી $P = mav$ થાય.
પ્રવેગની વ્યાખ્યા $a = v \frac{dv}{dx}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ $P = m v \frac{dv}{dx} v = m v^2 \frac{dv}{dx}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $P dx = m v^2 dv$ મળે છે.
પ્રારંભિક શરતો $x=0$ અને $v=0$ સાથે બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_0^x P dx = \int_0^v m v^2 dv$.
$Px = m \frac{v^3}{3}$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v^3 = \frac{3Px}{m}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = {\left( {\frac{{3xP}}{m}} \right)^{1/3}}$.

(C) અચળ ઝડપે વજન ઉંચકવા માટે જરૂરી પાવર $P$ નું સૂત્ર $P = Fv$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
એલિવેટર અચળ ઝડપે ગતિ કરતી હોવાથી,બળ $F$ એ વજન $mg$ જેટલું થાય.
આપેલ છે: $m = 500 \ kg$,$g = 9.8 \ m/s^2$,$v = 0.4 \ m/s$.
$P = (mg)v = 500 \times 9.8 \times 0.4 = 1960 \ W$.
પાવરને વોટમાંથી હોર્સ પાવર $(H.P.)$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $1 \ H.P. = 746 \ W$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$P = \frac{1960}{746} \approx 2.62 \ H.P.$

(B) આપેલ છે: દળ $m = 10,000 \ kg$,ઢાળ $\sin \theta = \frac{1}{50}$,વેગ $v = 36 \ km/hr = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \ m/s$,$g = 10 \ m/s^2$.
ટ્રકને ઢોળાવ પર ઉપર લઈ જવા માટે જરૂરી બળ $F = mg \sin \theta$ છે.
$F = 10,000 \times 10 \times \frac{1}{50} = 2,000 \ N$.
પાવર $P$ એ બળ અને વેગનો ગુણાકાર છે:
$P = F \times v = 2,000 \ N \times 10 \ m/s = 20,000 \ W$.
$kW$ માં ફેરવતા:
$P = 20 \ kW$.

(C) દર મિનિટે પંપ દ્વારા બહાર કાઢવામાં આવતું પાણીનું દળ = $2400 \; kg$.
દર સેકન્ડે બહાર આવતા પાણીનું દળ $(m)$ = $\frac{2400}{60} = 40 \; kg/s$.
પાણીનો વેગ $(v)$ = $3 \; m/s$.
દર સેકન્ડે ગતિ ઉર્જા (પાવર) = $\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 40 \times (3)^2 = 20 \times 9 = 180 \; W$ (અથવા $J/s$).
કુલ સમય $(t)$ = $10 \; \text{કલાક }= 10 \times 3600 = 36000 \; s$.
કુલ કાર્ય = $\text{પાવર} \times \text{સમય} = 180 \times 36000 = 6,480,000 \; J = 6.48 \times 10^6 \; J$.

(A) પાણીનું દળ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = 30 \ m^3 \times 1000 \ kg/m^3 = 30,000 \ kg$.
પાણીને ઉપર ચઢાવવા માટે જરૂરી આઉટપુટ પાવર $P_{\text{out}} = \frac{mgh}{t}$.
અહીં $h = 40 \ m$,$t = 15 \ \text{મિનિટ} = 15 \times 60 \ s = 900 \ s$,અને $g = 9.8 \ m/s^2$.
$P_{\text{out}} = \frac{30,000 \times 9.8 \times 40}{900} = \frac{11,760,000}{900} = 13,066.67 \ W$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} \times 100\%$.
$30 = \frac{13,066.67}{P_{\text{in}}} \times 100$.
$P_{\text{in}} = \frac{13,066.67 \times 100}{30} = 43,555.56 \ W \approx 43.6 \ kW$.

(A) આપેલ છે: દળ = $m$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,$T$ સમયે અંતિમ વેગ $v$ છે.
પદાર્થ પ્રવેગી ગતિ કરતો હોવાથી,પ્રવેગ $a$ અચળ છે: $a = \frac{v - u}{T} = \frac{v}{T}$.
કોઈપણ સમયે $t$ વેગ $v(t) = u + at = 0 + (\frac{v}{T})t = \frac{v}{T}t$ દ્વારા મળે છે.
પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = ma = m(\frac{v}{T})$ છે.
તત્કાલીન પાવર $P = F \cdot v(t)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = (m \cdot \frac{v}{T}) \cdot (\frac{v}{T}t) = \frac{mv^2}{T^2}t$.

(B) અહીં પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિએથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,$v_1 = 0 + a t_1$,જેમાંથી પ્રવેગ $a = \frac{v_1}{t_1}$ મળે છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર,પદાર્થનો વેગ $v(t) = at = \left( \frac{v_1}{t_1} \right) t$ થશે.
પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = ma = m \left( \frac{v_1}{t_1} \right)$ છે.
તાત્ક્ષણિક પાવર $P$ એ $P = F \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = \left( m \frac{v_1}{t_1} \right) \times \left( \frac{v_1}{t_1} t \right) = \frac{m v_1^2 t}{t_1^2}$.

(D) વેઇટ લિફટર દ્વારા ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલું કાર્ય $(W)$ એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = mgh$.
આપેલ છે: દળ $m = 300\; kg$,ઊંચાઈ $h = 2\; m$,સમય $t = 3\; s$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8\; m/s^2$.
પાવર $(P)$ એટલે કાર્ય કરવાનો દર: $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{300 \times 9.8 \times 2}{3}$.
$P = 100 \times 9.8 \times 2 = 1960\; W$.

(B) પાવર $P$ એ બળ $F$ અને વેગ $v$ ના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે: બળ $F = 9000 \ N$,વેગ $v = 2 \ ms^{-1}$.
સૂત્ર $P = F \times v$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = 9000 \ N \times 2 \ ms^{-1} = 18000 \ W$.
કારણ કે $1 \ kW = 1000 \ W$,તેથી પાવરને $kW$ માં ફેરવતા:
$P = \frac{18000}{1000} \ kW = 18 \ kW$.

(D) પાવર $P = Fv = (ma)v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $F = ma$ હોવાથી,$P = m(dv/dt)v$ થાય.
$P dt = mv dv$ નું સંકલન કરતા,આપણને $Pt = (1/2)mv^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{2Pt/m} = \sqrt{2P/m} \cdot t^{1/2}$.
$v = ds/dt$ હોવાથી,$ds/dt = \sqrt{2P/m} \cdot t^{1/2}$ થાય.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$s = \int \sqrt{2P/m} \cdot t^{1/2} dt = \sqrt{2P/m} \cdot (t^{3/2} / (3/2))$.
તેથી,$s \propto t^{3/2}$.

(D) પાવર $P = 2 \; kW = 2000 \; W$. સમય $t = 1 \; \text{મિનિટ} = 60 \; s$. ઊંચાઈ $h = 10 \; m$. ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \; m/s^2$.
પાવરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $P = \frac{mgh}{t}$.
દળ $m$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $m = \frac{P \cdot t}{gh} = \frac{2000 \times 60}{10 \times 10} = \frac{120000}{100} = 1200 \; kg$.
પાણીની ઘનતા $1000 \; kg/m^3$ હોવાથી, કદ $V$ ($m^3$ માં) $V = \frac{m}{\rho} = \frac{1200}{1000} = 1.2 \; m^3$ થાય.
$1 \; m^3 = 1000 \; \text{લિટર}$ હોવાથી, લિટરમાં કદ $1.2 \times 1000 = 1200 \; \text{લિટર}$ થાય.