Power Questions in Gujarati

(A) પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો દર અથવા ઊર્જા સ્થાનાંતરણનો દર.
આપેલ છે:
ઊંચાઈ,$h = 25 \ m$
પાણીનું દળ,$m = 3 \times 10^3 \ kg$
સમય,$t = 1 \ minute = 60 \ s$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 9.8 \ m/s^2$
ટર્બાઇન માટે પાવર,$P = \frac{mgh}{t}$
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{3 \times 10^3 \times 9.8 \times 25}{60}$
$P = 50 \times 9.8 \times 25$
$P = 12250 \ W$.

(A) પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો દર અથવા ઉર્જાના રૂપાંતરણનો દર.
$P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$
આપેલ છે:
પાવર,$P = 20 kW = 20,000 W$
દળ,$m = 200 kg$
ઊંચાઈ,$h = 40 m$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 m s^{-2}$
સમય $t$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$t = \frac{mgh}{P}$
કિંમતો મૂકતા:
$t = \frac{200 \times 10 \times 40}{20,000}$
$t = \frac{80,000}{20,000}$
$t = 4 s$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે,પાવર $P$ એ કાર્ય કરવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$P = \frac{dW}{dt}$
કારણ કે કાર્ય $W = F \cdot s$ (જ્યાં $s$ એ સ્થાનાંતર છે),
$P = \frac{d}{dt}(F \cdot s)$
જો બળ $F$ અચળ હોય,તો
$P = F \cdot \frac{ds}{dt}$
વેગ $v = \frac{ds}{dt}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$P = F \cdot v$

(A) આપેલ છે: બળ $\vec{F} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \text{ N}$, સ્થાનાંતર $\vec{s} = (3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) \text{ m}$, સમય $t = 4 \text{ s}$.
સરેરાશ વેગ $\vec{v} = \frac{\vec{s}}{t} = \frac{1}{4}(3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) \text{ m/s}$.
પાવર $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$.
$P = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \cdot \frac{1}{4}(3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k})$.
$P = \frac{1}{4} [(2 \times 3) + (3 \times 4) + (4 \times 5)]$.
$P = \frac{1}{4} [6 + 12 + 20] = \frac{38}{4} = 9.5 \text{ W}$.

(D) દરેક ગોળીની ઝડપ,$v = 360 \,km/h = 360 \times \frac{5}{18} \,m/s = 100 \,m/s$.
પ્રતિ મિનિટ છોડવામાં આવતી ગોળીઓની સંખ્યા,$N = 360$.
દરેક ગોળીનું દળ,$m = 20 \,g = 0.02 \,kg$.
એક ગોળીની ગતિઊર્જા,$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.02 \times (100)^2 = 0.01 \times 10000 = 100 \,J$.
$360$ ગોળીઓની કુલ ગતિઊર્જા,$E = N \times K = 360 \times 100 = 36000 \,J$.
ગનનો પાવર એ એકમ સમયમાં આપવામાં આવતી કુલ ઊર્જા છે,$P = \frac{E}{t}$.
અહીં $t = 1 \,minute = 60 \,s$ હોવાથી,$P = \frac{36000 \,J}{60 \,s} = 600 \,W$.

(A) ઇલેક્ટ્રિક મોટર દ્વારા લગાડવામાં આવેલ બળ,$F = 50 \,N$.
સ્થાનાંતર,$s = 60 \,m$.
સમય,$t = 1 \,min = 60 \,s$.
મોટર દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = F \times s = 50 \,N \times 60 \,m = 3000 \,J$ છે.
પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો દર,$P = \frac{W}{t}$.
કિંમતો મૂકતા,$P = \frac{3000 \,J}{60 \,s} = 50 \,W$.
તેથી,મોટર દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો પાવર $50 \,W$ છે.

(A) પાવર $(P)$ એ બળ $(\vec{F})$ અને વેગ $(\vec{v})$ નો અદિશ ગુણાકાર (dot product) છે.
$P = \vec{F} \cdot \vec{v}$
આપેલ છે:
$\vec{F} = (60 \hat{i} + 15 \hat{j} - 3 \hat{k}) \text{ N}$
$\vec{v} = (2 \hat{i} - 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) \text{ m/s}$
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$P = (60 \times 2) + (15 \times -4) + (-3 \times 5)$
$P = 120 - 60 - 15$
$P = 60 - 15 = 45 \text{ W}$
તેથી,પાવરનું મૂલ્ય $45 \text{ W}$ છે.

(B) કૂવાની કુલ ઊંડાઈ $6 \ m + 14 \ m = 20 \ m$ છે. ધારો કે ઉપરની સપાટીથી $x$ અંતરે એક નાનો કદનો ઘટક $dx$ છે. આ ઘટકનું દળ $dm = \rho dV = \rho \pi r^2 dx$ છે.
આ ઘટકને ઉપર સુધી લાવવા માટે જરૂરી સ્થિતિઊર્જા $dU = dm \cdot g \cdot x = \rho \pi r^2 g x dx$ છે.
કુલ કાર્ય $W$ શોધવા માટે $x = 6 \ m$ થી $x = 20 \ m$ સુધી સંકલન કરતા:
$W = \int_{6}^{20} \rho \pi r^2 g x dx = \rho \pi r^2 g \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{6}^{20} = \rho \pi r^2 g \left( \frac{400 - 36}{2} \right) = \rho \pi r^2 g (182)$.
આપેલ છે કે $\rho = 10^3 \ kg/m^3$,$r = 2.5 \ m$,$g = 10 \ m/s^2$:
$W = 10^3 \times 3.14 \times (2.5)^2 \times 10 \times 182 = 35.71 \times 10^6 \ J$.
પાવર $P = 10 \ HP = 10 \times 746 \ W = 7460 \ W$.
સમય $t = \frac{W}{P} = \frac{35.71 \times 10^6}{7460} \approx 4787 \ s$.
મિનિટમાં ફેરવતા: $t = \frac{4787}{60} \approx 79.78 \ min \approx 80 \ min$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $\text{પાવર } P \text{ જે બળ } \vec{F} \text{ અને વેગ } \vec{v} \text{ ના અદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે, તે } P = \vec{F} \cdot \vec{v} = Fv \cos \theta \text{ છે, જ્યાં } \theta \text{ એ બળ અને વેગ વચ્ચેનો ખૂણો છે.}
\text{અહીં, ગુરુત્વાકર્ષણ બળ } \vec{F} = m\vec{g} \text{ શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે।}
\text{વેગ સદિશ } \vec{v} \text{ શિરોલંબ સાથે } 60^{\circ} \text{ નો ખૂણો બનાવે છે।}
\text{તેથી, બળ અને વેગ વચ્ચેનો ખૂણો } \theta = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \text{ થશે।}
\text{આપેલ છે: } m = 50 \,kg, v = 2 \,ms^{-1}, g = 9.8 \,ms^{-2}.
P = mgv \cos(120^{\circ})
P = 50 \times 9.8 \times 2 \times (-0.5)
P = 980 \times (-0.5) = -490 \,W.
\text{ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા પાવરનું મૂલ્ય } 490 \,W \text{ છે।}$

(C) પાવર $P$ એ એકમ સમયમાં કરેલા કાર્ય $W$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $P = \frac{W}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,કરેલું કાર્ય માણસ અને વસ્તુને ઊંચકવા માટે ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ છે: $W = (m + M)gh$,જ્યાં $m$ એ વસ્તુનું દળ છે અને $M$ એ માણસનું દળ છે.
આપેલ છે: $P = 2000 \ W$,$M = 50 \ kg$,$h = 20 \ m$,$t = 10 \ s$,અને $g = 10 \ m/s^2$.
પાવરના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{(m + M)gh}{t}$.
$2000 = \frac{(m + 50) \times 10 \times 20}{10}$.
$2000 = (m + 50) \times 20$.
બંને બાજુ $20$ વડે ભાગતા: $100 = m + 50$.
તેથી,$m = 100 - 50 = 50 \ kg$.

(A) પાણીને ઉપર ચઢાવવા માટે પંપનો અસરકારક પાવર $P_p$ એ તેની કાર્યક્ષમતા $\eta$ અને તેના રેટ કરેલા પાવર $P_{\text{rated}}$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$P_p = \eta \times P_{\text{rated}} = 0.95 \times 600 W = 570 W$.
$h$ ઊંચાઈ સુધી $t$ સમયમાં $V$ કદનું પાણી ચઢાવવા માટે જરૂરી પાવર $P_p = \frac{mgh}{t} = \frac{\rho V gh}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે.
આપેલ છે: $\rho = 1000 kg/m^3$,$g = 10 m/s^2$,$h = 60 m$,અને $t = 20 \text{ મિનિટ} = 20 \times 60 s = 1200 s$.
કિંમતો મૂકતા: $570 = \frac{1000 \times V \times 10 \times 60}{1200}$.
$570 = \frac{600000 \times V}{1200} = 500 \times V$.
$V = \frac{570}{500} = 1.14 m^3$.

(B) $\text{આપેલ છે:}
\text{પાણીનું કદ } V = 36 \,m^3
\text{સમય } t = 30 \,min = 30 \times 60 \,s = 1800 \,s
\text{ઊંચાઈ } h = 50 \,m
\text{ઇનપુટ પાવર } P_{\text{in}} = 40 \,kW = 40,000 \,W
\text{પાણીની ઘનતા } \rho = 1000 \,kg/m^3
\text{ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ } g = 10 \,m/s^2
\text{પાણીનું દળ } m = V \times \rho = 36 \times 1000 = 36,000 \,kg
\text{પાણીને ઉપર ચડાવવા માટે કરેલું કાર્ય } W = mgh = 36,000 \times 10 \times 50 = 18,000,000 \,J
\text{આઉટપુટ પાવર } P_{\text{out}} = \frac{W}{t} = \frac{18,000,000}{1800} = 10,000 \,W = 10 \,kW
\text{કાર્યક્ષમતા } \eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} \times 100\% = \frac{10,000}{40,000} \times 100\% = 25\%$

(A) એન્જિન એક ઢળતા સમતલ પર અચળ વેગથી દળને ઉપર તરફ ખેંચી રહ્યું છે. દળને સમતલ પર ઉપર તરફ લઈ જવા માટે જરૂરી બળ એ સમતલની નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
બળ $F = mg \sin \theta$.
આપેલ છે કે ઢાળ $1$ માં $50$ છે,તેથી $\sin \theta = 1/50$.
$g = 10 \ ms^{-2}$ લેતા,બળ $F = 5000 \times 10 \times (1/50) = 1000 \ N$ મળે છે.
પાવર $P = F \times v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v = 5 \ ms^{-1}$.
$P = 1000 \ N \times 5 \ ms^{-1} = 5000 \ W = 5 \ kW$.

(B) પાવર $P$ એ કાર્ય કરવાનો દર છે,જે $P = F \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $F = m \cdot a = m \frac{dv}{dt}$,તેથી $P = m \frac{dv}{dt} \cdot v$ થાય.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $P \cdot dt = m \cdot v \cdot dv$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int_{0}^{t} P \cdot dt = \int_{0}^{v} m \cdot v \cdot dv$.
અહીં $P$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$P \cdot t = m \cdot \frac{v^2}{2}$ મળે.
$v$ માટે ઉકેલતા,$v^2 = \frac{2Pt}{m}$,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot t^{\frac{1}{2}}$.
તેથી,$v \propto t^{\frac{1}{2}}$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 15 \,kg$, પ્રારંભિક વેગ $u = 0$.
$t = 3 \,s$ સમયે, પાવર $P = 5 \,W$.
$P = F \cdot v$ અને $v = at = (F/m)t$ હોવાથી, $P = F \cdot (F/m)t = (F^2/m)t$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $5 = (F^2 / 15) \times 3$.
$F^2 = (5 \times 15) / 3 = 25$, તેથી $F = 5 \,N$.
હવે, $t = 4 \,s$ સમયે, વેગ $v' = (F/m)t = (5/15) \times 4 = 4/3 \,m/s$.
તત્કાલીન પાવર $P' = F \cdot v' = 5 \times (4/3) = 20/3 \,W \approx 6.67 \,W$.

(C) એન્જિન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પાવર ઘર્ષણ બળને દૂર કરવા અને કારને જરૂરી પ્રવેગ આપવા માટે વપરાય છે.
સૌ પ્રથમ,ઘર્ષણ બળ $(f)$ ની ગણતરી કરો:
$f = \mu m g = 0.5 \times 1200 \times 10 = 6000 \,N$
ત્યારબાદ,પ્રવેગ માટે જરૂરી બળ $(F_a)$ ની ગણતરી કરો:
$F_a = m a = 1200 \times 2 = 2400 \,N$
એન્જિન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ બળ $(F_T)$ એ ઘર્ષણ બળ અને પ્રવેગક બળનો સરવાળો છે:
$F_T = f + F_a = 6000 + 2400 = 8400 \,N$
છેલ્લે,$P = F_T v$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પાવર $(P)$ ની ગણતરી કરો,જ્યાં $v = 20 \,m/s$ છે:
$P = 8400 \times 20 = 168000 \,W$

(C) પાવર $P$ એ કાર્ય કરવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,$P = \frac{dW}{dt} = Fv = (ma)v = m \left(\frac{dv}{dt}\right) v$.
$P$ અચળ હોવાથી,$P dt = mv dv$ મળે.
બંને બાજુ $t=0$ થી $t$ અને $v=0$ થી $v$ સુધી સંકલન કરતા,$Pt = \frac{1}{2}mv^2$ મળે.
આથી,$v^2 = \frac{2Pt}{m}$.
વળી,$v = \frac{dx}{dt}$,તેથી $\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2}$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$x = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2}$,જે સૂચવે છે કે $t^{3/2} \propto x \Rightarrow t \propto x^{2/3}$.
$t$ ની કિંમત વેગના સમીકરણમાં મૂકતા: $v^2 \propto t \propto x^{2/3}$,તેથી $v \propto x^{1/3}$.
જો કે,નિશ્ચિત અંતર $x$ પર $v$ અને $P$ વચ્ચેનો સંબંધ જોતા,$v^3 \propto P$ મળે છે. તેથી,$v^3 \propto \frac{P}{m}$.

(D) ગનનો પાવર એ દર છે જે દરે ગોળીઓને ગતિઊર્જા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિ સેકન્ડ ગોળીઓની સંખ્યા $n = \frac{240}{60} = 4 \ s^{-1}$.
દરેક ગોળીનું દળ $m = 10 \ g = 10 \times 10^{-3} \ kg = 0.01 \ kg$.
દરેક ગોળીનો વેગ $v = 600 \ ms^{-1}$.
એક ગોળીની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.01 \times (600)^2 = 0.005 \times 360000 = 1800 \ J$.
પાવર $P = n \times K = 4 \times 1800 = 7200 \ W$.
$kW$ માં રૂપાંતર કરતા,$P = \frac{7200}{1000} \ kW = 7.2 \ kW$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 2 \,kg$, પ્રારંભિક વેગ $u = 0$, $t = 4 \,s$ સમયે અંતિમ વેગ $v = 20 \,ms^{-1}$.
સૌ પ્રથમ, $v = u + at$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને પ્રવેગ $a$ શોધો:
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{20 - 0}{4} = 5 \,ms^{-2}$.
પદાર્થ પર લાગતું અચળ બળ $F = ma = 2 \,kg \times 5 \,ms^{-2} = 10 \,N$ છે.
હવે, $t' = 2 \,s$ સમયે પદાર્થનો વેગ $v'$ શોધવા માટે $v' = u + at'$ નો ઉપયોગ કરો:
$v' = 0 + (5 \,ms^{-2} \times 2 \,s) = 10 \,ms^{-1}$.
$t' = 2 \,s$ સમયે પદાર્થ પર લાગતો તાત્ક્ષણિક પાવર $P = F \times v'$ દ્વારા મળે છે:
$P = 10 \,N \times 10 \,ms^{-1} = 100 \,W$.

(B) આપેલ છે:
દળ $m = 2.05 \times 10^6 \ kg$
પ્રારંભિક વેગ $v_1 = 5 \ m/s$
અંતિમ વેગ $v_2 = 25 \ m/s$
સમય $t = 5 \ minutes = 5 \times 60 = 300 \ s$
પાવર $P$ એ કાર્ય કરવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$P = \frac{W}{t} = \frac{\Delta KE}{t}$
$P = \frac{\frac{1}{2} m (v_2^2 - v_1^2)}{t}$
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{1}{2} \times \frac{2.05 \times 10^6 \times (25^2 - 5^2)}{300}$
$P = \frac{1}{2} \times \frac{2.05 \times 10^6 \times (625 - 25)}{300}$
$P = \frac{1}{2} \times \frac{2.05 \times 10^6 \times 600}{300}$
$P = \frac{1}{2} \times 2.05 \times 10^6 \times 2$
$P = 2.05 \times 10^6 \ W = 2.05 \ MW$

(C) પાવર $P$ એ $P = Fv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $F$ એ બળ છે અને $v$ એ વેગ છે。
કારણ કે $P$ અચળ છે, $Fv = \text{અચળ}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $F = ma$, તેથી $(ma)v = \text{અચળ}$.
$a = \frac{dv}{dt}$ અને $v = \frac{ds}{dt}$ હોવાથી, આપણને મળે છે $m \left(\frac{dv}{dt}\right)v = P$.
$mv \, dv = P \, dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int mv \, dv = \int P \, dt \implies \frac{1}{2}mv^2 = Pt$.
આમ, $v^2 \propto t$, જેનો અર્થ છે કે $v \propto t^{1/2}$.
$v = \frac{ds}{dt}$ હોવાથી, આપણને મળે છે $\frac{ds}{dt} \propto t^{1/2}$.
સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $s \propto \int t^{1/2} \, dt$.
$s \propto t^{3/2}$.

(C) આપેલ છે,પાવર $(P) =$ અચળ.
ગતિ ઉર્જા $(KE) = \frac{1}{2} m v^{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે,$P = \frac{d(KE)}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} m v^{2}) = m v \frac{dv}{dt}$.
કારણ કે $P$ અચળ છે,$m v \frac{dv}{dt} = P$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int m v dv = \int P dt \Rightarrow \frac{1}{2} m v^{2} = P t$ (ધારો કે $t=0$ સમયે પ્રારંભિક વેગ $0$ છે).
$v^{2} = \frac{2 P}{m} t \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2 P}{m}} t^{1/2}$.
કારણ કે $v = \frac{ds}{dt}$,તેથી $\frac{ds}{dt} = \sqrt{\frac{2 P}{m}} t^{1/2}$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$s = \int \sqrt{\frac{2 P}{m}} t^{1/2} dt = \sqrt{\frac{2 P}{m}} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{2 P}{m}} t^{3/2}$.
આમ,$s \propto t^{3/2}$,જેનો અર્થ છે કે $s = a t^{3/2}$ જ્યાં $a$ એક અચળાંક છે.

(D) પાવરને કાર્ય કરવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે કણની ગતિઊર્જા $(KE)$ માં થતા ફેરફારના દરની બરાબર હોય છે.
$P = \frac{dW}{dt} = \frac{d(KE)}{dt}$.
અહીં પાવર $(P)$ અચળ આપેલ હોવાથી,ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફારનો દર,$\frac{d(KE)}{dt}$,પણ અચળ રહેવો જોઈએ.
તેથી,ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફારનો દર અચળ રહે છે.

(C) આપેલ છે કે પાવર $P$ અચળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P = F \cdot v = m \cdot a \cdot v = m \cdot \frac{dv}{dt} \cdot v$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $v \cdot dv = \frac{P}{m} \cdot dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int v \cdot dv = \int \frac{P}{m} \cdot dt$,જે $\frac{v^2}{2} = \frac{P}{m} \cdot t$ આપે છે.
આમ,$v = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot t^{\frac{1}{2}}$.
કારણ કે $v = \frac{dx}{dt}$,તેથી $\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot t^{\frac{1}{2}}$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$x = \int \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot t^{\frac{1}{2}} \cdot dt = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}$.
તેથી,$x = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot t^{\frac{3}{2}}$.
અહીં $P$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$x \propto t^{\frac{3}{2}}$.

(B) આપેલ દળ $m = 2 \text{ kg}$ અને બળ $\vec{F} = (2t\hat{i} + 6t^2\hat{j}) \text{ N}$ છે.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{2t\hat{i} + 6t^2\hat{j}}{2} = (t\hat{i} + 3t^2\hat{j}) \text{ m/s}^2$.
વેગ $\vec{v} = \int \vec{a} \, dt = \int (t\hat{i} + 3t^2\hat{j}) \, dt = (\frac{t^2}{2}\hat{i} + t^3\hat{j}) \text{ m/s}$ (પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય ધારતા).
$t = 2 \text{ s}$ સમયે:
બળ $\vec{F} = 2(2)\hat{i} + 6(2^2)\hat{j} = (4\hat{i} + 24\hat{j}) \text{ N}$.
વેગ $\vec{v} = \frac{2^2}{2}\hat{i} + 2^3\hat{j} = (2\hat{i} + 8\hat{j}) \text{ m/s}$.
પાવર $P = \vec{F} \cdot \vec{v} = (4\hat{i} + 24\hat{j}) \cdot (2\hat{i} + 8\hat{j}) = (4 \times 2) + (24 \times 8) = 8 + 192 = 200 \text{ W}$.

(A) પાવર $P$ ને કાર્ય કરવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$.
આપેલ મૂલ્યો $m = 1000 \text{ kg}$,$h = 20 \text{ m}$,$t = 10 \text{ s}$,અને $g = 9.8 \text{ ms}^{-2}$ છે.
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = \frac{1000 \times 9.8 \times 20}{10}$
$P = 1000 \times 9.8 \times 2$
$P = 19600 \text{ W}$.
$1 \text{ kW} = 1000 \text{ W}$ હોવાથી,$P = 19.6 \text{ kW}$ મળે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.