Elastic Collision Questions in Gujarati

(A) ધારો કે ગતિશીલ પદાર્થનું દળ $m_1$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. સ્થિર પદાર્થનું દળ $M_2 = n m_1$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $0$ છે.
સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1 u = m_1 v_1 + M_2 v_2$
$m_1 u = m_1 v_1 + n m_1 v_2$
$u = v_1 + n v_2$ ... $(i)$
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે રેસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1$ હોવાથી:
$v_2 - v_1 = u - 0$
$v_1 = v_2 - u$ ... (ii)
સમીકરણ (ii) ને $(i)$ માં મૂકતા:
$u = (v_2 - u) + n v_2$
$2u = (n + 1) v_2$
$v_2 = \frac{2u}{n + 1}$
ગતિશીલ પદાર્થની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = \frac{1}{2} m_1 u^2$ છે.
સ્થિર પદાર્થમાં સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K_2 = \frac{1}{2} M_2 v_2^2$ છે.
$K_2 = \frac{1}{2} (n m_1) \left( \frac{2u}{n + 1} \right)^2 = \frac{1}{2} n m_1 \frac{4 u^2}{(n + 1)^2} = \left( \frac{1}{2} m_1 u^2 \right) \frac{4n}{(n + 1)^2}$.
સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જાનો અંશ $\frac{K_2}{K_1} = \frac{4n}{(n + 1)^2}$ થાય છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ દડાની ત્રિજ્યા $r_1 = 2 \,cm$ અને બીજા દડાની ત્રિજ્યા $r_2 = 4 \,cm$ છે.
ધારી લો કે બંને દડા સમાન ઘનતા $\rho$ ધરાવતા પદાર્થમાંથી બનેલા છે, તેથી દળ $m = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ દ્વારા મળે છે.
આમ, દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{2}{4}\right)^3 = \frac{1}{8}$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $m_2 = 8m_1$.
એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે, પ્રથમ દડાનો (જે શરૂઆતમાં સ્થિર છે) અંતિમ વેગ $v_1$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$v_1 = \left(\frac{2m_2}{m_1 + m_2}\right) u_2$, જ્યાં $u_2 = 81 \,cm \,s^{-1}$ એ બીજા દડાનો પ્રારંભિક વેગ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$v_1 = \left(\frac{2(8m_1)}{m_1 + 8m_1}\right) \times 81$
$v_1 = \left(\frac{16m_1}{9m_1}\right) \times 81$
$v_1 = \frac{16}{9} \times 81 = 16 \times 9 = 144 \,cm \,s^{-1}$.

(D) ધારો કે પ્રથમ દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = u$ છે અને બીજા દડાનો વેગ $u_2 = 0$ છે। અથડામણ પછી, પ્રથમ દડાનો વેગ $v_1 = \frac{u}{3}$ છે.
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી, પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક $e = 1$ છે.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી પ્રથમ દડાના વેગનું સૂત્ર $v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} u_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2} u_2$ છે.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $\frac{u}{3} = \frac{2 - M}{2 + M} u + 0$.
$u$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{3} = \frac{2 - M}{2 + M}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $2 + M = 3(2 - M) = 6 - 3M$.
પદોને ગોઠવતા: $M + 3M = 6 - 2$, જે $4M = 4$ આપે છે.
તેથી, $M = 1 \,kg$.

(A) ધારો કે દરેક ગોળાનું દળ $m$ છે. અર્ધ-વર્તુળાકાર માર્ગ પર $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $\pi r$ છે. ધારો કે $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $v_0$ છે. $A$ એ $t$ સમયમાં $\pi r$ અંતર કાપ્યું હોવાથી,$v_0 = \frac{\pi r}{t}$ મળે.
પ્રથમ અથડામણ પછી,વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ અને રિસ્ટિટ્યુશનના ગુણાંક $e$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,$A$ અને $B$ ના વેગ $v_A = \frac{v_0(1-e)}{2}$ અને $v_B = \frac{v_0(1+e)}{2}$ થાય છે.
હવે ગોળાઓ વર્તુળાકાર ખાંચમાં એક જ દિશામાં ગતિ કરી રહ્યા છે. તેમની વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_B - v_A = v_0 e$ છે.
ફરીથી અથડાવા માટે તેમણે કાપવાનું અંતર ખાંચનો સંપૂર્ણ પરિઘ છે,જે $2\pi r$ છે.
પછીની અથડામણ માટે લાગતો સમય $t' = \frac{2\pi r}{v_{rel}} = \frac{2\pi r}{v_0 e}$ છે.
$v_0 = \frac{\pi r}{t}$ મૂકતા,આપણને $t' = \frac{2\pi r}{(\pi r / t) e} = \frac{2t}{e}$ મળે છે.

(C) દડા $A$ ની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = p^2 / (2m)$ છે,તેથી $p = \sqrt{2mK}$.
દડા $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = p/m = \sqrt{2K/m}$ છે.
સંઘાત બાદ,દડો $A$ એ $K' = K/9$ ગતિઊર્જા સાથે ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે.
ધારો કે $v_1$ એ દડા $A$ નો અંતિમ વેગ છે. તેથી $\frac{1}{2}mv_1^2 = K/9$,જે આપણને $v_1 = \sqrt{2K/(9m)} = \frac{1}{3}\sqrt{2K/m} = u_1/3 = p/(3m)$ આપે છે.
સંઘાત એક-પરિમાણીય હોવાથી,આપણે વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ:
$p_{initial} = p_{final}$
$p = -mv_1 + p_B$
$p_B = p + mv_1$
$v_1 = p/(3m)$ કિંમત મૂકતા:
$p_B = p + m(p/(3m)) = p + p/3 = 4p/3$.

(A) સમાન દળ $(m_1 = m_2 = m)$ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,વેગમાન અને ગતિઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}u_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2}u_2$
$v_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}u_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}u_2$
અહીં $m_1 = m_2$ હોવાથી,આ સમીકરણો $v_1 = u_2$ અને $v_2 = u_1$ માં પરિણમે છે.
વિધાન $A$ એ ચોક્કસ કિસ્સો દર્શાવે છે જ્યાં $u_2 = 0$ છે,જેના પરિણામે $v_1 = 0$ અને $v_2 = u_1$ મળે છે,જે સાચું છે.
વિધાન $B$ એ આ જ સિદ્ધાંતનો સામાન્ય કિસ્સો છે,જે પણ સાચું છે. આમ,બંને વિધાનો સાચા છે.

(D) ધારો કે અથડામણ પછી $m$ અને $2m$ દળ ધરાવતા પદાર્થોના વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv + (2m)(0) = mv_1 + 2mv_2$,જેનું સાદું રૂપ $v = v_1 + 2v_2$ (સમીકરણ $1$) થાય છે.
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ છે.
અહીં $u_1 = v$ અને $u_2 = 0$ આપેલ છે,તેથી $e = \frac{v_2 - v_1}{v}$,જેનો અર્થ છે કે $v_1 = v_2 - ev$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $v = (v_2 - ev) + 2v_2$.
$v(1+e) = 3v_2$,તેથી $v_2 = \frac{v(1+e)}{3}$.
હવે,$v_2$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $v_1 = \frac{v(1+e)}{3} - ev = \frac{v + ev - 3ev}{3} = \frac{v(1-2e)}{3}$.
વેગનો ગુણોત્તર $v_1/v_2 = \frac{v(1-2e)/3}{v(1+e)/3} = \frac{1-2e}{1+e}$ થાય છે.

(B) ધારો કે ગતિશીલ કણનું દળ $m$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. સ્થિર કણનું દળ $m' = \frac{m}{n}$ છે.
સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હેડ-ઓન અથડામણ ધારીને,આપણે રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ:
$mu = mv_1 + \frac{m}{n}v_2 \Rightarrow u = v_1 + \frac{v_2}{n}$ (સમીકરણ $1$)
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e=1$ લેતા:
$v_2 - v_1 = u \Rightarrow v_1 = v_2 - u$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$u = (v_2 - u) + \frac{v_2}{n} \Rightarrow 2u = v_2(1 + \frac{1}{n}) = v_2(\frac{n+1}{n})$
$v_2 = \frac{2nu}{n+1}$
સ્થિર કણને સ્થાનાંતરિત થતી ગતિઊર્જા $K' = \frac{1}{2} m' v_2^2 = \frac{1}{2} (\frac{m}{n}) (\frac{2nu}{n+1})^2 = \frac{1}{2} \frac{m}{n} \frac{4n^2 u^2}{(n+1)^2} = \frac{2mnu^2}{(n+1)^2}$ છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} mu^2$ છે.
સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જાનો અંશ $\frac{K'}{K} = \frac{\frac{2mnu^2}{(n+1)^2}}{\frac{1}{2} mu^2} = \frac{4n}{(n+1)^2}$ છે.

(A) ધારો કે $m_1$ નો પ્રારંભિક વેગ $\vec{u}_1$ છે અને અંતિમ વેગ $\vec{v}_1$ અને $\vec{v}_2$ છે. અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,ગતિ ઊર્જા અને વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
વેગમાનનું સંરક્ષણ: $m_1 \vec{u}_1 = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $m_1^2 u_1^2 = m_1^2 v_1^2 + m_2^2 v_2^2 + 2 m_1 m_2 \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2$.
કણો એકબીજા સાથે $90^{\circ}$ ના ખૂણે ગતિ કરતા હોવાથી,$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 0$,તેથી $m_1^2 u_1^2 = m_1^2 v_1^2 + m_2^2 v_2^2$.
ગતિ ઊર્જાનું સંરક્ષણ: $\frac{1}{2} m_1 u_1^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2$,જે સૂચવે છે કે $m_1 u_1^2 = m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2$.
ઊર્જા સંરક્ષણ પરથી,$m_1(u_1^2 - v_1^2) = m_2 v_2^2$.
વેગમાન સંરક્ષણ પરથી,$m_1^2(u_1^2 - v_1^2) = m_2^2 v_2^2$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $m_1 = m_2$. આમ,ગુણોત્તર $\frac{m_2}{m_1} = 1$ થાય છે.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન $=$ અથડામણ પછીનું કુલ વેગમાન
$m_1 u + m_2(0) = m_1 \left(\frac{2u}{3}\right) + m_2 v$
$m_1 u - \frac{2}{3} m_1 u = m_2 v$
$\frac{1}{3} m_1 u = m_2 v$ --- $(i)$
અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e = 1$:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = 1$
$\frac{v - 2u/3}{u - 0} = 1$
$v - \frac{2u}{3} = u$
$v = u + \frac{2u}{3} = \frac{5u}{3}$
$v$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{3} m_1 u = m_2 \left(\frac{5u}{3}\right)$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{5u/3}{u/3} = 5$

(D) $1 \ kg$ દળના દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u$ ધારો. સંઘાત પછી,પ્રથમ દડો $Y$-અક્ષ પર $v_1$ વેગથી ગતિ કરે છે અને $m$ દળનો બીજો દડો $X$-અક્ષની નીચે $30^{\circ}$ ના ખૂણે $v_2$ વેગથી ગતિ કરે છે.
$X$-અક્ષ પર રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$1 \cdot u = m v_2 \cos(30^{\circ}) \implies u = m v_2 \frac{\sqrt{3}}{2} \implies v_2 = \frac{2u}{m\sqrt{3}} \quad ... (1)$
$Y$-અક્ષ પર રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$0 = 1 \cdot v_1 - m v_2 \sin(30^{\circ}) \implies v_1 = m v_2 \sin(30^{\circ}) = m v_2 \cdot \frac{1}{2} \implies v_2 = \frac{2v_1}{m} \quad ... (2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$\frac{2u}{m\sqrt{3}} = \frac{2v_1}{m} \implies v_1 = \frac{u}{\sqrt{3}}$.
સંઘાત સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે:
$\frac{1}{2} (1) u^2 = \frac{1}{2} (1) v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2$
$u^2 = v_1^2 + m v_2^2$
$v_1 = \frac{u}{\sqrt{3}}$ અને $v_2 = \frac{2v_1}{m} = \frac{2u}{m\sqrt{3}}$ કિંમતો મૂકતા:
$u^2 = \left(\frac{u}{\sqrt{3}}\right)^2 + m \left(\frac{2u}{m\sqrt{3}}\right)^2$
$u^2 = \frac{u^2}{3} + m \cdot \frac{4u^2}{3m^2} = \frac{u^2}{3} + \frac{4u^2}{3m}$
$1 = \frac{1}{3} + \frac{4}{3m} \implies \frac{2}{3} = \frac{4}{3m} \implies m = 2 \ kg$.

(A) રિસ્ટિટ્યુશન ગુણાંક $e$ ને છૂટા પડવાના સાપેક્ષ વેગ અને નજીક આવવાના સાપેક્ષ વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$
આપેલ છે:
$u_1 = 3 \ m/s$,$u_2 = 1.5 \ m/s$
$v_1 = 2.5 \ m/s$,$v_2 = 3.5 \ m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$e = \frac{3.5 - 2.5}{3 - 1.5} = \frac{1}{1.5} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \approx 0.67$
આમ,રિસ્ટિટ્યુશન ગુણાંક આશરે $0.67$ છે.

(C) સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,જ્યાં એક પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય છે,ત્યારે રેખીય વેગમાન અને ગતિઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\vec{v}_1 = \vec{v}_1' + \vec{v}_2'$.
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી અને દળ સમાન હોવાથી,ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ સૂચવે છે: $v_1^2 = (v_1')^2 + (v_2')^2$.
આ બે સમીકરણોની સરખામણી સદિશ સંબંધ $\vec{v}_1^2 = (\vec{v}_1' + \vec{v}_2')^2 = (v_1')^2 + (v_2')^2 + 2\vec{v}_1' \cdot \vec{v}_2'$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે કે $2\vec{v}_1' \cdot \vec{v}_2' = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે અંતિમ વેગ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે અથડામણ પછી બંને બોલ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે (જો અથડામણ સીધી રેખામાં ન હોય તો).

(A) ધારો કે પ્રથમ પદાર્થનું દળ $m_1 = 5 \ kg$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. ધારો કે બીજા પદાર્થનું દળ $M$ છે,જે શરૂઆતમાં સ્થિર છે $(u_2 = 0)$.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,રેસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1$ છે.
અથડામણ પછી,પ્રથમ પદાર્થનો વેગ $v_1 = \frac{u}{10}$ થાય છે. ધારો કે બીજા પદાર્થનો વેગ $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$5u + M(0) = 5 \left(\frac{u}{10}\right) + M v_2$
$5u = \frac{u}{2} + M v_2 \quad \dots (i)$
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા $(v_1 - v_2 = -e(u_1 - u_2))$:
$\frac{u}{10} - v_2 = -1(u - 0)$
$v_2 = \frac{u}{10} + u = \frac{11u}{10} \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $v_2$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$5u = \frac{u}{2} + M \left(\frac{11u}{10}\right)$
$5 - 0.5 = M \left(\frac{11}{10}\right)$
$4.5 = M \left(\frac{11}{10}\right)$
$M = \frac{4.5 \times 10}{11} = \frac{45}{11} \approx 4.09 \ kg$.

(C) સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન અને કુલ ગતિ ઉર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
વિધાન $(A)$ સાચું છે કારણ કે વ્યાખ્યા મુજબ,સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ એવી છે જેમાં ગતિ ઉર્જાનો કોઈ વ્યય થતો નથી.
કારણ $(R)$ ખોટું છે કારણ કે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન,અથડાતા પદાર્થો વચ્ચે ઉર્જાની આપ-લે ચોક્કસપણે થાય છે (વેગમાન અને ગતિ ઉર્જા તેમની વચ્ચે સ્થાનાંતરિત થાય છે),ભલે તંત્રની કુલ ગતિ ઉર્જા અચળ રહેતી હોય.
તેથી,$(A)$ સાચું છે પરંતુ $(R)$ ખોટું છે.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન અને અથડામણ પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોય છે,કારણ કે તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી.
$m_A u_A + m_B u_B = m_A v_A + m_B v_B$
આપેલ છે: $m_A = 20 \ kg$,$u_A = 20 \ m \ s^{-1}$,$m_B = 200 \ kg$,$u_B = 10 \ m \ s^{-1}$.
અથડામણ પછી,$v_A = -10 \ m \ s^{-1}$ (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં પાછો ફેંકાય છે).
કિંમતો મૂકતા:
$(20 \times 20) + (200 \times 10) = (20 \times -10) + (200 \times v_B)$
$400 + 2000 = -200 + 200 v_B$
$2400 = -200 + 200 v_B$
$2600 = 200 v_B$
$v_B = 13 \ m \ s^{-1}$

(C) બે દળ $m_1$ અને $m_2$ વચ્ચેની એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,જ્યાં $m_2$ શરૂઆતમાં સ્થિર છે,અથડામણ પછી બીજા દળનો વેગ $v_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ અથડામણ: દળ $m_1 = m$ એ $m_2 = \frac{m}{2}$ સાથે $v_0$ વેગથી અથડાય છે. બીજા દડાનો વેગ $v_1$:
$v_1 = \frac{2m}{m + \frac{m}{2}} v_0 = \frac{2m}{\frac{3m}{2}} v_0 = \frac{4}{3} v_0$.
બીજી અથડામણ: દળ $m_2 = \frac{m}{2}$ એ $m_3 = \frac{m}{4}$ સાથે $v_1 = \frac{4}{3} v_0$ વેગથી અથડાય છે. ત્રીજા દડાનો વેગ $v_2$:
$v_2 = \frac{2(\frac{m}{2})}{\frac{m}{2} + \frac{m}{4}} v_1 = \frac{m}{\frac{3m}{4}} v_1 = \frac{4}{3} v_1 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 v_0$.
આ પેટર્નને અનુસરીને,$n$-મા દડા માટે,$(n-1)$ અથડામણો પછીનો વેગ $v_{n-1}$:
$v_{n-1} = \left(\frac{4}{3}\right)^{n-1} v_0$.

(B) જ્યારે સ્પ્રિંગ મહત્તમ સંકોચાયેલી હોય,ત્યારે બંને બ્લોક્સ સમાન વેગ $v_{cm}$ થી ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv + m(0) = (m + m)v_{cm} \Rightarrow v_{cm} = \frac{v}{2}$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા એ અંતિમ ગતિ ઉર્જા અને મહત્તમ સંકોચન $x$ સમયે સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(2m)v_{cm}^2 + \frac{1}{2}kx^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = m(\frac{v}{2})^2 + \frac{1}{2}kx^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$
$\frac{1}{4}mv^2 = \frac{1}{2}kx^2$
$x^2 = \frac{mv^2}{2k} \Rightarrow x = v\sqrt{\frac{m}{2k}}$.