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Speed of Mechanical Wave on String (Transverse wave) Questions in Hindi
Class 11 Physics · Waves and Sound · Speed of Mechanical Wave on String (Transverse wave)
102+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 48 of 102 questions in Hindi
51
DifficultMCQ
एक समान तार का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $0.135 \, g/cm$ है। इसमें $y = -0.21 \sin(x + 30t)$ रूप की एक अनुप्रस्थ तरंग उत्पन्न होती है,जहाँ $x$ मीटर में और $t$ सेकंड में है। तब,तार में तनाव का अपेक्षित मान $x \times 10^{-2} \, N$ है। $x$ का मान ज्ञात कीजिए (निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करें)।
A
$12.15$
B
$121.5$
C
$1215$
D
$24.3$
Solution
(C) दिया गया प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu = 0.135 \, g/cm = 0.135 \times 10^{-3} \, kg / 10^{-2} \, m = 0.0135 \, kg/m$ है।
तरंग समीकरण $y = -0.21 \sin(x + 30t)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin(kx + \omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 30 \, rad/s$ और तरंग संख्या $k = 1 \, m^{-1}$ प्राप्त होती है।
तरंग की गति $v = \frac{\omega}{k} = \frac{30}{1} = 30 \, m/s$ है।
तनी हुई डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ होती है,जहाँ $T$ तनाव है।
अतः,$T = v^2 \mu = (30)^2 \times 0.0135 = 900 \times 0.0135 = 12.15 \, N$ है।
हमें $T = x \times 10^{-2} \, N$ दिया गया है,इसलिए $12.15 = x \times 10^{-2}$ है।
इस प्रकार,$x = 12.15 \times 100 = 1215$।
तरंग समीकरण $y = -0.21 \sin(x + 30t)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin(kx + \omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 30 \, rad/s$ और तरंग संख्या $k = 1 \, m^{-1}$ प्राप्त होती है।
तरंग की गति $v = \frac{\omega}{k} = \frac{30}{1} = 30 \, m/s$ है।
तनी हुई डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ होती है,जहाँ $T$ तनाव है।
अतः,$T = v^2 \mu = (30)^2 \times 0.0135 = 900 \times 0.0135 = 12.15 \, N$ है।
हमें $T = x \times 10^{-2} \, N$ दिया गया है,इसलिए $12.15 = x \times 10^{-2}$ है।
इस प्रकार,$x = 12.15 \times 100 = 1215$।
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MediumMCQ
यदि एक तनी हुई डोरी में तनाव को $4\, \%$ बढ़ा दिया जाए,तो उसमें उत्पन्न अनुप्रस्थ तरंगों की गति में प्रतिशत वृद्धि ......... $\%$ होगी।
A
$1$
B
$2$
C
$0$
D
$4$
Solution
(B) तनी हुई डोरी में अनुप्रस्थ तरंग की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln v = \frac{1}{2} \ln T - \frac{1}{2} \ln \mu$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें सापेक्ष त्रुटि का सूत्र प्राप्त होता है: $\frac{\Delta v}{v} = \frac{1}{2} \frac{\Delta T}{T}$.
यहाँ तनाव में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = 4\, \%$ दी गई है।
इस मान को त्रुटि सूत्र में रखने पर: $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = \frac{1}{2} \times (4\, \%) = 2\, \%$.
अतः,तरंग की गति में प्रतिशत वृद्धि $2\, \%$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln v = \frac{1}{2} \ln T - \frac{1}{2} \ln \mu$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें सापेक्ष त्रुटि का सूत्र प्राप्त होता है: $\frac{\Delta v}{v} = \frac{1}{2} \frac{\Delta T}{T}$.
यहाँ तनाव में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = 4\, \%$ दी गई है।
इस मान को त्रुटि सूत्र में रखने पर: $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = \frac{1}{2} \times (4\, \%) = 2\, \%$.
अतः,तरंग की गति में प्रतिशत वृद्धि $2\, \%$ है।
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EasyMCQ
यदि एक तनी हुई डोरी पर प्रारंभिक तनाव को दोगुना कर दिया जाए,तो डोरी के अनुदिश अनुप्रस्थ तरंग की प्रारंभिक और अंतिम चाल का अनुपात क्या होगा?
A
$ \sqrt{2} : 1 $
B
$ 1 : \sqrt{2} $
C
$ 1 : 2 $
D
$ 1 : 1 $
Solution
(B) तनी हुई डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि $\mu$ स्थिर रहता है,इसलिए चाल तनाव के वर्गमूल के समानुपाती होती है: $v \propto \sqrt{T}$।
माना प्रारंभिक तनाव $T_i = T$ है और अंतिम तनाव $T_f = 2T$ है।
प्रारंभिक चाल $v_i$ और अंतिम चाल $v_f$ का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{v_i}{v_f} = \sqrt{\frac{T_i}{T_f}}$
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{v_i}{v_f} = \sqrt{\frac{T}{2T}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।
चूँकि $\mu$ स्थिर रहता है,इसलिए चाल तनाव के वर्गमूल के समानुपाती होती है: $v \propto \sqrt{T}$।
माना प्रारंभिक तनाव $T_i = T$ है और अंतिम तनाव $T_f = 2T$ है।
प्रारंभिक चाल $v_i$ और अंतिम चाल $v_f$ का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{v_i}{v_f} = \sqrt{\frac{T_i}{T_f}}$
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{v_i}{v_f} = \sqrt{\frac{T}{2T}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।
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AdvancedMCQ
$L$ लंबाई और समान रैखिक घनत्व वाली एक रस्सी छत से लटकी हुई है। रस्सी के मुक्त सिरे के पास उत्पन्न एक अनुप्रस्थ तरंग स्पंद (transverse wave pulse),रस्सी के माध्यम से ऊपर की ओर यात्रा करता है। सही विकल्प चुनें।
A
जैसे-जैसे स्पंद ऊपर जाता है,उसकी गति कम हो जाती है।
B
स्पंद द्वारा रस्सी की लंबाई तय करने में लिया गया समय $\sqrt{L}$ के समानुपाती होता है।
C
रस्सी की पूरी लंबाई में तनाव स्थिर रहेगा।
D
रस्सी की पूरी लंबाई में स्पंद की गति स्थिर रहेगी।
Solution
(B) मुक्त सिरे से $x$ दूरी पर स्थित एक खंड पर तनाव $T = m g = \mu x g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu$ रस्सी की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
रस्सी पर तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{\mu x g}{\mu}} = \sqrt{g x}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $v = \sqrt{g x}$,जैसे-जैसे स्पंद ऊपर जाता है,गति बढ़ती है (जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है)।
$x$ दूरी तय करने में लिए गए समय $t$ को खोजने के लिए,हम $v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{g x}$ का उपयोग करते हैं।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $dx / \sqrt{x} = \sqrt{g} dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $0$ से $x$ और $0$ से $t$ तक समाकलन करने पर,हमें $\int_{0}^{x} x^{-1/2} dx = \int_{0}^{t} \sqrt{g} dt$ प्राप्त होता है।
$2\sqrt{x} = \sqrt{g} t$,जिसका अर्थ है $t = 2\sqrt{\frac{x}{g}}$।
कुल लंबाई $L$ के लिए,लिया गया समय $t = 2\sqrt{\frac{L}{g}}$ है,इसलिए $t \propto \sqrt{L}$।
रस्सी पर तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{\mu x g}{\mu}} = \sqrt{g x}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $v = \sqrt{g x}$,जैसे-जैसे स्पंद ऊपर जाता है,गति बढ़ती है (जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है)।
$x$ दूरी तय करने में लिए गए समय $t$ को खोजने के लिए,हम $v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{g x}$ का उपयोग करते हैं।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $dx / \sqrt{x} = \sqrt{g} dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $0$ से $x$ और $0$ से $t$ तक समाकलन करने पर,हमें $\int_{0}^{x} x^{-1/2} dx = \int_{0}^{t} \sqrt{g} dt$ प्राप्त होता है।
$2\sqrt{x} = \sqrt{g} t$,जिसका अर्थ है $t = 2\sqrt{\frac{x}{g}}$।
कुल लंबाई $L$ के लिए,लिया गया समय $t = 2\sqrt{\frac{L}{g}}$ है,इसलिए $t \propto \sqrt{L}$।
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MediumMCQ
एक डोरी पर संचरित अनुप्रस्थ तरंग को समीकरण $y = 2 \sin (10x + 300t)$ द्वारा वर्णित किया जा सकता है,जहाँ $x$ और $y$ मीटर में हैं और $t$ सेकंड में है। यदि कंपन करती डोरी का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $0.6 \times 10^{-3} \, g/cm$ है,तो डोरी में तनाव .............. $N$ है।
A
$5.4$
B
$0.054$
C
$54$
D
$0.0054$
Solution
(B) दिया गया तरंग समीकरण $y = 2 \sin (10x + 300t)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin (kx + \omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 10 \, rad/m$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 300 \, rad/s$ प्राप्त होती है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = 0.6 \times 10^{-3} \, g/cm$ है। इसे $SI$ इकाइयों $(kg/m)$ में बदलने पर:
$\mu = \frac{0.6 \times 10^{-3} \times 10^{-3} \, kg}{10^{-2} \, m} = 6 \times 10^{-5} \, kg/m$.
तरंग की गति $v = \frac{\omega}{k} = \frac{300}{10} = 30 \, m/s$ है।
डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति तनाव $T$ और रैखिक घनत्व $\mu$ से $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा संबंधित है।
अतः,$T = v^2 \mu$.
मान रखने पर: $T = (30)^2 \times (6 \times 10^{-5}) = 900 \times 6 \times 10^{-5} = 5400 \times 10^{-5} = 0.054 \, N$.
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin (kx + \omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 10 \, rad/m$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 300 \, rad/s$ प्राप्त होती है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = 0.6 \times 10^{-3} \, g/cm$ है। इसे $SI$ इकाइयों $(kg/m)$ में बदलने पर:
$\mu = \frac{0.6 \times 10^{-3} \times 10^{-3} \, kg}{10^{-2} \, m} = 6 \times 10^{-5} \, kg/m$.
तरंग की गति $v = \frac{\omega}{k} = \frac{300}{10} = 30 \, m/s$ है।
डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति तनाव $T$ और रैखिक घनत्व $\mu$ से $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा संबंधित है।
अतः,$T = v^2 \mu$.
मान रखने पर: $T = (30)^2 \times (6 \times 10^{-5}) = 900 \times 6 \times 10^{-5} = 5400 \times 10^{-5} = 0.054 \, N$.
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DifficultMCQ
एक तांबे के तार को दो सिरों पर कठोर आधारों द्वारा पकड़ा गया है। $50^{\circ} C$ पर तार बिल्कुल तना हुआ है,जिसमें तनाव नगण्य है। यदि $Y=1.2 \times 10^{11} \, N/m^2$,$\alpha=1.6 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ और $\rho=9.2 \times 10^3 \, kg/m^3$ है,तो $30^{\circ} C$ पर इस तार में अनुप्रस्थ तरंगों की गति .......... $m/s$ होगी।
A
$64.6$
B
$16.2$
C
$23.2$
D
$32.2$
Solution
(A) तापमान परिवर्तन $\Delta T$ के कारण तार में उत्पन्न थर्मल स्ट्रेस $F/A = Y \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
तने हुए तार पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{T/\mu}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
यहाँ,तनाव $T = F = Y A \alpha \Delta T$ और रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \rho A$ है।
इन मानों को वेग के सूत्र में रखने पर: $v = \sqrt{\frac{Y A \alpha \Delta T}{\rho A}} = \sqrt{\frac{Y \alpha \Delta T}{\rho}}$.
दिया गया है: $Y = 1.2 \times 10^{11} \, N/m^2$,$\alpha = 1.6 \times 10^{-5} /^{\circ} C$,$\rho = 9.2 \times 10^3 \, kg/m^3$,और $\Delta T = 50^{\circ} C - 30^{\circ} C = 20^{\circ} C$.
गति की गणना करने पर: $v = \sqrt{\frac{1.2 \times 10^{11} \times 1.6 \times 10^{-5} \times 20}{9.2 \times 10^3}}$.
$v = \sqrt{\frac{3.84 \times 10^7}{9.2 \times 10^3}} = \sqrt{4173.9} \approx 64.6 \, m/s$.
तने हुए तार पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{T/\mu}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
यहाँ,तनाव $T = F = Y A \alpha \Delta T$ और रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \rho A$ है।
इन मानों को वेग के सूत्र में रखने पर: $v = \sqrt{\frac{Y A \alpha \Delta T}{\rho A}} = \sqrt{\frac{Y \alpha \Delta T}{\rho}}$.
दिया गया है: $Y = 1.2 \times 10^{11} \, N/m^2$,$\alpha = 1.6 \times 10^{-5} /^{\circ} C$,$\rho = 9.2 \times 10^3 \, kg/m^3$,और $\Delta T = 50^{\circ} C - 30^{\circ} C = 20^{\circ} C$.
गति की गणना करने पर: $v = \sqrt{\frac{1.2 \times 10^{11} \times 1.6 \times 10^{-5} \times 20}{9.2 \times 10^3}}$.
$v = \sqrt{\frac{3.84 \times 10^7}{9.2 \times 10^3}} = \sqrt{4173.9} \approx 64.6 \, m/s$.
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MediumMCQ
समान घनत्व और $L$ लंबाई की लटकती हुई रस्सी के निचले सिरे पर एक पल्स उत्पन्न की जाती है। जब पल्स रस्सी के मध्य बिंदु पर पहुँचती है,तो उसकी गति क्या होगी?
A
$\sqrt{2 g L}$
B
$\sqrt{g L}$
C
$\sqrt{\frac{g L}{2}}$
D
$\frac{\sqrt{g L}}{2}$
Solution
(C) डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ डोरी का रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
$L$ लंबाई और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व वाली लटकती हुई रस्सी के लिए,निचले सिरे से $y$ दूरी पर तनाव $T$ उसके नीचे के रस्सी के हिस्से के वजन के कारण होता है।
$y$ लंबाई के रस्सी के हिस्से का द्रव्यमान $m = \mu y$ है।
अतः,$y$ दूरी पर तनाव $T = \mu y g$ है।
$y$ दूरी पर पल्स की गति $v = \sqrt{\frac{\mu y g}{\mu}} = \sqrt{gy}$ है।
रस्सी के मध्य बिंदु पर,$y = \frac{L}{2}$ होता है।
इसलिए,मध्य बिंदु पर पल्स की गति $v = \sqrt{g \left(\frac{L}{2}\right)} = \sqrt{\frac{g L}{2}}$ होगी।
$L$ लंबाई और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व वाली लटकती हुई रस्सी के लिए,निचले सिरे से $y$ दूरी पर तनाव $T$ उसके नीचे के रस्सी के हिस्से के वजन के कारण होता है।
$y$ लंबाई के रस्सी के हिस्से का द्रव्यमान $m = \mu y$ है।
अतः,$y$ दूरी पर तनाव $T = \mu y g$ है।
$y$ दूरी पर पल्स की गति $v = \sqrt{\frac{\mu y g}{\mu}} = \sqrt{gy}$ है।
रस्सी के मध्य बिंदु पर,$y = \frac{L}{2}$ होता है।
इसलिए,मध्य बिंदु पर पल्स की गति $v = \sqrt{g \left(\frac{L}{2}\right)} = \sqrt{\frac{g L}{2}}$ होगी।
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DifficultMCQ
$L$ लंबाई और $M$ द्रव्यमान की एक रस्सी छत से स्वतंत्र रूप से लटकी हुई है। यदि रस्सी के निचले सिरे से ऊपरी सिरे तक अनुप्रस्थ तरंग को पहुँचने में लगा समय $T$ है,तो पहली आधी लंबाई तय करने में लगा समय क्या होगा?
A
$T$
B
$T\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right)$
C
$\frac{T}{\sqrt{2}}$
D
$\frac{T}{2}$
Solution
(C) रस्सी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T_s}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_s$ तनाव है और $\mu = \frac{M}{L}$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
नीचे से $x$ दूरी पर,तनाव $T_s$ उसके नीचे मौजूद रस्सी के द्रव्यमान के कारण होता है,जो $m = \frac{M}{L} x$ है। अतः,$T_s = \left(\frac{M}{L} x\right)g$.
$x$ दूरी पर गति $v(x) = \sqrt{\frac{(M/L)xg}{M/L}} = \sqrt{gx}$ है।
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $dt = \frac{dx}{\sqrt{gx}}$.
कुल समय $T$ ज्ञात करने के लिए $x=0$ से $x=L$ तक समाकलन करने पर:
$T = \int_0^L \frac{dx}{\sqrt{gx}} = \frac{1}{\sqrt{g}} [2\sqrt{x}]_0^L = 2\sqrt{\frac{L}{g}}$.
अब,पहली आधी लंबाई ($x=0$ से $x=L/2$) तय करने में लगा समय $T_1$ ज्ञात करने के लिए:
$T_1 = \int_0^{L/2} \frac{dx}{\sqrt{gx}} = \frac{1}{\sqrt{g}} [2\sqrt{x}]_0^{L/2} = 2\sqrt{\frac{L}{2g}} = \frac{2}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{L}{g}} = \frac{T}{\sqrt{2}}$.
नीचे से $x$ दूरी पर,तनाव $T_s$ उसके नीचे मौजूद रस्सी के द्रव्यमान के कारण होता है,जो $m = \frac{M}{L} x$ है। अतः,$T_s = \left(\frac{M}{L} x\right)g$.
$x$ दूरी पर गति $v(x) = \sqrt{\frac{(M/L)xg}{M/L}} = \sqrt{gx}$ है।
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $dt = \frac{dx}{\sqrt{gx}}$.
कुल समय $T$ ज्ञात करने के लिए $x=0$ से $x=L$ तक समाकलन करने पर:
$T = \int_0^L \frac{dx}{\sqrt{gx}} = \frac{1}{\sqrt{g}} [2\sqrt{x}]_0^L = 2\sqrt{\frac{L}{g}}$.
अब,पहली आधी लंबाई ($x=0$ से $x=L/2$) तय करने में लगा समय $T_1$ ज्ञात करने के लिए:
$T_1 = \int_0^{L/2} \frac{dx}{\sqrt{gx}} = \frac{1}{\sqrt{g}} [2\sqrt{x}]_0^{L/2} = 2\sqrt{\frac{L}{2g}} = \frac{2}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{L}{g}} = \frac{T}{\sqrt{2}}$.
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DifficultMCQ
$L$ लंबाई की एक समान रस्सी के निचले सिरे पर उत्पन्न एक अनुप्रस्थ स्पंद ऊपर की दिशा में यात्रा करता है। रस्सी की पूरी लंबाई तय करने में इसे कितना समय लगेगा?
A
$\sqrt{\frac{L}{2g}}$
B
$\sqrt{\frac{2L}{g}}$
C
$\sqrt{\frac{L}{g}}$
D
$\sqrt{\frac{4L}{g}}$
Solution
(D) रस्सी के मुक्त सिरे से $x$ दूरी पर अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{gx}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि स्पंद निचले सिरे से शुरू होता है,इसलिए नीचे से $x$ दूरी पर वेग $v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{gx}$ होगा।
समय के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $dt = \frac{dx}{\sqrt{gx}}$ प्राप्त होता है।
$L$ लंबाई तय करने में लगने वाला कुल समय $T$ ज्ञात करने के लिए,हम $0$ से $L$ तक समाकलन करते हैं:
$T = \int_{0}^{L} \frac{dx}{\sqrt{gx}} = \frac{1}{\sqrt{g}} \int_{0}^{L} x^{-1/2} dx$.
$T = \frac{1}{\sqrt{g}} [2x^{1/2}]_{0}^{L} = \frac{1}{\sqrt{g}} (2\sqrt{L}) = 2\sqrt{\frac{L}{g}} = \sqrt{\frac{4L}{g}}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।
चूंकि स्पंद निचले सिरे से शुरू होता है,इसलिए नीचे से $x$ दूरी पर वेग $v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{gx}$ होगा।
समय के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $dt = \frac{dx}{\sqrt{gx}}$ प्राप्त होता है।
$L$ लंबाई तय करने में लगने वाला कुल समय $T$ ज्ञात करने के लिए,हम $0$ से $L$ तक समाकलन करते हैं:
$T = \int_{0}^{L} \frac{dx}{\sqrt{gx}} = \frac{1}{\sqrt{g}} \int_{0}^{L} x^{-1/2} dx$.
$T = \frac{1}{\sqrt{g}} [2x^{1/2}]_{0}^{L} = \frac{1}{\sqrt{g}} (2\sqrt{L}) = 2\sqrt{\frac{L}{g}} = \sqrt{\frac{4L}{g}}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।
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EasyMCQ
एक स्टील के तार जिसका प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $7.0 \times 10^{-3} \, kg \, m^{-1}$ है,$70 \, N$ के तनाव में है। तार में अनुप्रस्थ तरंगों की गति $......... \, m/s$ होगी।
A
$200$
B
$100$
C
$10$
D
$50$
Solution
(B) तने हुए तार पर अनुप्रस्थ तरंग की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
दिया गया है:
तनाव $T = 70 \, N$
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu = 7.0 \times 10^{-3} \, kg \, m^{-1}$
सूत्र में मान रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{70}{7.0 \times 10^{-3}}}$
$v = \sqrt{\frac{70}{0.007}}$
$v = \sqrt{10000}$
$v = 100 \, m/s$
अतः,अनुप्रस्थ तरंग की गति $100 \, m/s$ है।
दिया गया है:
तनाव $T = 70 \, N$
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu = 7.0 \times 10^{-3} \, kg \, m^{-1}$
सूत्र में मान रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{70}{7.0 \times 10^{-3}}}$
$v = \sqrt{\frac{70}{0.007}}$
$v = \sqrt{10000}$
$v = 100 \, m/s$
अतः,अनुप्रस्थ तरंग की गति $100 \, m/s$ है।
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MediumMCQ
दो दृढ़ आधारों के बीच तनी हुई एक डोरी के कंपन की मूल आवृत्ति $50\,Hz$ है। डोरी का द्रव्यमान $18\,g$ है और इसका रैखिक द्रव्यमान घनत्व $20\,g/m$ है। डोरी में उत्पन्न अनुप्रस्थ तरंगों की चाल $..........\,m/s$ है।
A
$90$
B
$45$
C
$30$
D
$15$
Solution
(A) दिया गया है:
मूल आवृत्ति $f = 50\,Hz$
डोरी का द्रव्यमान $m = 18\,g = 0.018\,kg$
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = 20\,g/m = 0.02\,kg/m$
चरण $1$: डोरी की लंबाई $(L)$ ज्ञात करें।
हम जानते हैं कि $\mu = \frac{m}{L}$,इसलिए $L = \frac{m}{\mu} = \frac{18\,g}{20\,g/m} = 0.9\,m$.
चरण $2$: आवृत्ति और तरंग की चाल के बीच संबंध।
दोनों सिरों पर बंधी डोरी के मूल विधा (fundamental mode) के लिए,लंबाई $L$ तरंगदैर्ध्य की आधी होती है: $L = \frac{\lambda}{2}$,जिसका अर्थ है $\lambda = 2L$.
$L = 0.9\,m$ रखने पर,हमें $\lambda = 2 \times 0.9 = 1.8\,m$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: तरंग की चाल $(v)$ की गणना करें।
तरंग की चाल $v = f \lambda$ द्वारा दी जाती है।
$v = 50\,Hz \times 1.8\,m = 90\,m/s$.
अतः,अनुप्रस्थ तरंगों की चाल $90\,m/s$ है।
मूल आवृत्ति $f = 50\,Hz$
डोरी का द्रव्यमान $m = 18\,g = 0.018\,kg$
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = 20\,g/m = 0.02\,kg/m$
चरण $1$: डोरी की लंबाई $(L)$ ज्ञात करें।
हम जानते हैं कि $\mu = \frac{m}{L}$,इसलिए $L = \frac{m}{\mu} = \frac{18\,g}{20\,g/m} = 0.9\,m$.
चरण $2$: आवृत्ति और तरंग की चाल के बीच संबंध।
दोनों सिरों पर बंधी डोरी के मूल विधा (fundamental mode) के लिए,लंबाई $L$ तरंगदैर्ध्य की आधी होती है: $L = \frac{\lambda}{2}$,जिसका अर्थ है $\lambda = 2L$.
$L = 0.9\,m$ रखने पर,हमें $\lambda = 2 \times 0.9 = 1.8\,m$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: तरंग की चाल $(v)$ की गणना करें।
तरंग की चाल $v = f \lambda$ द्वारा दी जाती है।
$v = 50\,Hz \times 1.8\,m = 90\,m/s$.
अतः,अनुप्रस्थ तरंगों की चाल $90\,m/s$ है।
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AdvancedMCQ
एक ब्लॉक $M$ एक समान रस्सी के निचले सिरे पर लंबवत लटका हुआ है,जिसका प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान स्थिर है। रस्सी का ऊपरी सिरा $O$ पर एक निश्चित कठोर आधार से जुड़ा है। रस्सी पर बिंदु $O$ पर $\lambda_0$ तरंगदैर्ध्य की एक अनुप्रस्थ तरंग पल्स (पल्स $1$) उत्पन्न की जाती है। पल्स को बिंदु $A$ तक पहुँचने में $T_{OA}$ समय लगता है। यदि $M$ की स्थिति को बाधित किए बिना बिंदु $A$ पर $\lambda_0$ तरंगदैर्ध्य की तरंग पल्स (पल्स $2$) उत्पन्न की जाती है,तो इसे बिंदु $O$ तक पहुँचने में $T_{AO}$ समय लगता है। निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
A
$B, C, D$
B
$A, B, D$
C
$B, C$
D
$C, D$
Solution
(B) रस्सी पर किसी भी बिंदु पर अनुप्रस्थ पल्स की गति $v = \sqrt{\frac{T(x)}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T(x)$ उस बिंदु पर तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
$1$. $O$ से $A$ की ओर जाने वाली पल्स $1$ के लिए,$O$ से $x$ दूरी पर तनाव $T(x) = (M + \mu x)g$ है।
$2$. $A$ से $O$ की ओर जाने वाली पल्स $2$ के लिए,$O$ से $x$ दूरी पर तनाव भी $T(x) = (M + \mu x)g$ है।
चूंकि दोनों रास्तों के लिए रस्सी पर तनाव का मान समान है,इसलिए किसी भी बिंदु $x$ पर दोनों पल्स की गति समान होगी। अतः,लिया गया समय $T_{OA} = T_{AO}$ है। विकल्प $A$ सही है।
$3$. चूंकि किसी भी बिंदु $x$ पर गति $v(x)$ समान है,इसलिए विकल्प $B$ सही है।
$4$. रस्सी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{T/\mu}$ है,जो आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य से स्वतंत्र है। अतः,विकल्प $D$ सही है।
$5$. जैसे-जैसे पल्स $O$ से $A$ की ओर बढ़ती है,तनाव बढ़ता है,इसलिए गति $v$ बढ़ती है। चूंकि $v = f\lambda$ है और आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है,इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़नी चाहिए। अतः,विकल्प $C$ सही है।
इस प्रकार,विकल्प $A, B, C,$ और $D$ सभी सही हैं।
$1$. $O$ से $A$ की ओर जाने वाली पल्स $1$ के लिए,$O$ से $x$ दूरी पर तनाव $T(x) = (M + \mu x)g$ है।
$2$. $A$ से $O$ की ओर जाने वाली पल्स $2$ के लिए,$O$ से $x$ दूरी पर तनाव भी $T(x) = (M + \mu x)g$ है।
चूंकि दोनों रास्तों के लिए रस्सी पर तनाव का मान समान है,इसलिए किसी भी बिंदु $x$ पर दोनों पल्स की गति समान होगी। अतः,लिया गया समय $T_{OA} = T_{AO}$ है। विकल्प $A$ सही है।
$3$. चूंकि किसी भी बिंदु $x$ पर गति $v(x)$ समान है,इसलिए विकल्प $B$ सही है।
$4$. रस्सी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{T/\mu}$ है,जो आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य से स्वतंत्र है। अतः,विकल्प $D$ सही है।
$5$. जैसे-जैसे पल्स $O$ से $A$ की ओर बढ़ती है,तनाव बढ़ता है,इसलिए गति $v$ बढ़ती है। चूंकि $v = f\lambda$ है और आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है,इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़नी चाहिए। अतः,विकल्प $C$ सही है।
इस प्रकार,विकल्प $A, B, C,$ और $D$ सभी सही हैं।
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MediumMCQ
समान पदार्थ से बने और वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट वाले दो तारों को समान तनाव के साथ खींचा जाता है। फिर दोनों तारों से एक अनुप्रस्थ तरंग गुजारी जाती है। $R$ त्रिज्या वाले पहले तार में तरंग का वेग $v_1$ है और $R/2$ त्रिज्या वाले दूसरे तार में वेग $v_2$ है। तब $\frac{v_2}{v_1} = $
A
$\sqrt{2}$
B
$2$
C
$8$
D
$4$
Solution
(B) तने हुए तार में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \rho A = \rho (\pi R^2)$,जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है और $R$ अनुप्रस्थ काट की त्रिज्या है।
चूंकि दोनों तार एक ही पदार्थ से बने हैं,इसलिए $\rho$ स्थिर है। यह दिया गया है कि दोनों तारों के लिए तनाव $T$ समान है,इसलिए $v \propto \frac{1}{\sqrt{R^2}} \propto \frac{1}{R}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{v_2}{v_1} = \frac{R_1}{R_2}$।
यहाँ $R_1 = R$ और $R_2 = R/2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{v_2}{v_1} = \frac{R}{R/2} = 2$ प्राप्त होता है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \rho A = \rho (\pi R^2)$,जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है और $R$ अनुप्रस्थ काट की त्रिज्या है।
चूंकि दोनों तार एक ही पदार्थ से बने हैं,इसलिए $\rho$ स्थिर है। यह दिया गया है कि दोनों तारों के लिए तनाव $T$ समान है,इसलिए $v \propto \frac{1}{\sqrt{R^2}} \propto \frac{1}{R}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{v_2}{v_1} = \frac{R_1}{R_2}$।
यहाँ $R_1 = R$ और $R_2 = R/2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{v_2}{v_1} = \frac{R}{R/2} = 2$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
एक कंपन करती डोरी का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $1.3 \times 10^{-4} \ kg/m$ है। डोरी पर एक अनुप्रस्थ तरंग संचरित हो रही है जिसे समीकरण $y = 0.021 \sin(x + 30t)$ द्वारा वर्णित किया गया है,जहाँ $x$ और $y$ मीटर में और $t$ सेकंड में मापे गए हैं। डोरी में तनाव लगभग कितना है ($N$ में)?
A
$0.12$
B
$0.48$
C
$1.20$
D
$4.80$
Solution
(A) अनुप्रस्थ तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(kx + \omega t)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 0.021 \sin(x + 30t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 30 \ rad/s$ और तरंग संख्या $k = 1 \ m^{-1}$ प्राप्त होती है।
तरंग की गति $v$ का मान $v = \frac{\omega}{k} = \frac{30}{1} = 30 \ m/s$ है।
डोरी में तनाव $T$,रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu$ और तरंग गति $v$ से $T = \mu v^2$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
यहाँ $\mu = 1.3 \times 10^{-4} \ kg/m$ दिया गया है,इसलिए $T = (1.3 \times 10^{-4}) \times (30)^2$ होगा।
$T = 1.3 \times 10^{-4} \times 900 = 1.3 \times 0.09 = 0.117 \ N$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,तनाव लगभग $0.12 \ N$ है।
दिए गए समीकरण $y = 0.021 \sin(x + 30t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 30 \ rad/s$ और तरंग संख्या $k = 1 \ m^{-1}$ प्राप्त होती है।
तरंग की गति $v$ का मान $v = \frac{\omega}{k} = \frac{30}{1} = 30 \ m/s$ है।
डोरी में तनाव $T$,रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu$ और तरंग गति $v$ से $T = \mu v^2$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
यहाँ $\mu = 1.3 \times 10^{-4} \ kg/m$ दिया गया है,इसलिए $T = (1.3 \times 10^{-4}) \times (30)^2$ होगा।
$T = 1.3 \times 10^{-4} \times 900 = 1.3 \times 0.09 = 0.117 \ N$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,तनाव लगभग $0.12 \ N$ है।
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AdvancedMCQ
तीन जुड़े हुए तारों $S_1, S_2$ और $S_3$ की एक प्रणाली पर विचार करें,जिनकी समान रैखिक द्रव्यमान घनत्व क्रमशः $\mu \text{ kg/m}$,$4\mu \text{ kg/m}$ और $16\mu \text{ kg/m}$ है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। $S_1$ और $S_2$ बिंदु $P$ पर जुड़े हैं,जबकि $S_2$ और $S_3$ बिंदु $Q$ पर जुड़े हैं,और $S_3$ का दूसरा सिरा एक दीवार से जुड़ा है। एक तरंग जनरेटर $O$,$S_1$ के मुक्त सिरे से जुड़ा है। जनरेटर से आने वाली तरंग को $y = y_0 \cos(\omega t - kx) \text{ cm}$ द्वारा दर्शाया गया है,जहाँ $y_0, \omega$ और $k$ उपयुक्त आयामों के स्थिरांक हैं। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं:
$(A)$ जब तरंग पहली बार $P$ से परावर्तित होती है,तो परावर्तित तरंग को $y = \alpha_1 y_0 \cos(\omega t + kx + \pi) \text{ cm}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\alpha_1$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
$(B)$ जब तरंग पहली बार $P$ से संचरित होती है,तो संचरित तरंग को $y = \alpha_2 y_0 \cos(\omega t - kx) \text{ cm}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\alpha_2$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
$(C)$ जब तरंग पहली बार $Q$ से परावर्तित होती है,तो परावर्तित तरंग को $y = \alpha_3 y_0 \cos(\omega t - kx + \pi) \text{ cm}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\alpha_3$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
$(D)$ जब तरंग पहली बार $Q$ से संचरित होती है,तो संचरित तरंग को $y = \alpha_4 y_0 \cos(\omega t - 4kx) \text{ cm}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\alpha_4$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
$(A)$ जब तरंग पहली बार $P$ से परावर्तित होती है,तो परावर्तित तरंग को $y = \alpha_1 y_0 \cos(\omega t + kx + \pi) \text{ cm}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\alpha_1$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
$(B)$ जब तरंग पहली बार $P$ से संचरित होती है,तो संचरित तरंग को $y = \alpha_2 y_0 \cos(\omega t - kx) \text{ cm}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\alpha_2$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
$(C)$ जब तरंग पहली बार $Q$ से परावर्तित होती है,तो परावर्तित तरंग को $y = \alpha_3 y_0 \cos(\omega t - kx + \pi) \text{ cm}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\alpha_3$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
$(D)$ जब तरंग पहली बार $Q$ से संचरित होती है,तो संचरित तरंग को $y = \alpha_4 y_0 \cos(\omega t - 4kx) \text{ cm}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\alpha_4$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
A
$(A, C)$
B
$(A, D)$
C
$(B, C)$
D
$(B, D)$
Solution
(B) आपतित तरंग $y_i = y_0 \cos(\omega t - kx)$ है।
बिंदु $P$ पर,तरंग $\mu$ घनत्व वाले माध्यम से $4\mu$ घनत्व वाले माध्यम में जाती है। चूंकि यह विरल माध्यम से सघन माध्यम में जाती है,इसलिए परावर्तित तरंग में $\pi$ का कलांतर उत्पन्न होता है। अतः,$y_r = \alpha_1 y_0 \cos(\omega t + kx + \pi)$। कथन $(A)$ सही है।
$S_2$ में संचरित तरंग की आवृत्ति $\omega$ समान रहती है। तरंग की गति $v = \sqrt{T/\mu}$ है। चूंकि $T$ स्थिर है,$v \propto 1/\sqrt{\mu}$। अतः,$v_2 = v_1 / \sqrt{4} = v_1 / 2$। चूंकि $v = \omega/k$,हमें $k_2 = 2k$ प्राप्त होता है। संचरित तरंग $y_t = \alpha_2 y_0 \cos(\omega t - 2kx)$ है। कथन $(B)$ गलत है।
बिंदु $Q$ पर,तरंग $S_2$ (घनत्व $4\mu$) से $S_3$ (घनत्व $16\mu$) में जाती है। $Q$ पर आपतित तरंग $y_i = \alpha_2 y_0 \cos(\omega t - 2kx)$ है। चूंकि यह विरल माध्यम से सघन माध्यम में जाती है,इसलिए $Q$ पर परावर्तित तरंग में $\pi$ का कलांतर उत्पन्न होता है। अतः,$y_r = \alpha_3 y_0 \cos(\omega t + 2kx + \pi)$। कथन $(C)$ गलत है।
$S_3$ में संचरित तरंग के लिए,$v_3 = v_2 / \sqrt{16/4} = v_2 / 2 = v_1 / 4$। अतः,$k_3 = 4k$। संचरित तरंग $y_t = \alpha_4 y_0 \cos(\omega t - 4kx)$ है। कथन $(D)$ सही है।
अतः,सही कथन $(A)$ और $(D)$ हैं।
बिंदु $P$ पर,तरंग $\mu$ घनत्व वाले माध्यम से $4\mu$ घनत्व वाले माध्यम में जाती है। चूंकि यह विरल माध्यम से सघन माध्यम में जाती है,इसलिए परावर्तित तरंग में $\pi$ का कलांतर उत्पन्न होता है। अतः,$y_r = \alpha_1 y_0 \cos(\omega t + kx + \pi)$। कथन $(A)$ सही है।
$S_2$ में संचरित तरंग की आवृत्ति $\omega$ समान रहती है। तरंग की गति $v = \sqrt{T/\mu}$ है। चूंकि $T$ स्थिर है,$v \propto 1/\sqrt{\mu}$। अतः,$v_2 = v_1 / \sqrt{4} = v_1 / 2$। चूंकि $v = \omega/k$,हमें $k_2 = 2k$ प्राप्त होता है। संचरित तरंग $y_t = \alpha_2 y_0 \cos(\omega t - 2kx)$ है। कथन $(B)$ गलत है।
बिंदु $Q$ पर,तरंग $S_2$ (घनत्व $4\mu$) से $S_3$ (घनत्व $16\mu$) में जाती है। $Q$ पर आपतित तरंग $y_i = \alpha_2 y_0 \cos(\omega t - 2kx)$ है। चूंकि यह विरल माध्यम से सघन माध्यम में जाती है,इसलिए $Q$ पर परावर्तित तरंग में $\pi$ का कलांतर उत्पन्न होता है। अतः,$y_r = \alpha_3 y_0 \cos(\omega t + 2kx + \pi)$। कथन $(C)$ गलत है।
$S_3$ में संचरित तरंग के लिए,$v_3 = v_2 / \sqrt{16/4} = v_2 / 2 = v_1 / 4$। अतः,$k_3 = 4k$। संचरित तरंग $y_t = \alpha_4 y_0 \cos(\omega t - 4kx)$ है। कथन $(D)$ सही है।
अतः,सही कथन $(A)$ और $(D)$ हैं।
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DifficultMCQ
$L$ लंबाई और $\rho$ घनत्व वाले एक धातु के तार में $V$ वेग से एक अनुप्रस्थ तरंग यात्रा कर रही है। तार में तन्य प्रतिबल (tensile stress) है
A
$V \rho^{2}$
B
$\frac{V^{2}}{\rho}$
C
$\frac{\rho}{V^{2}}$
D
$V^{2} \rho$
Solution
(D) एक तनी हुई डोरी में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान (रैखिक द्रव्यमान घनत्व) है।
$\mu = \frac{M}{L} = \frac{A \cdot L \cdot \rho}{L} = A \cdot \rho$,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\rho$ पदार्थ का घनत्व है।
वेग समीकरण में $\mu$ का मान रखने पर: $V = \sqrt{\frac{T}{A \cdot \rho}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $V^{2} = \frac{T}{A \cdot \rho}$.
तन्य प्रतिबल (जिसे $\text{Stress} = \frac{T}{A}$ के रूप में परिभाषित किया गया है) ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{T}{A} = V^{2} \cdot \rho$.
अतः,तार में तन्य प्रतिबल $V^{2} \rho$ है।
$\mu = \frac{M}{L} = \frac{A \cdot L \cdot \rho}{L} = A \cdot \rho$,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\rho$ पदार्थ का घनत्व है।
वेग समीकरण में $\mu$ का मान रखने पर: $V = \sqrt{\frac{T}{A \cdot \rho}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $V^{2} = \frac{T}{A \cdot \rho}$.
तन्य प्रतिबल (जिसे $\text{Stress} = \frac{T}{A}$ के रूप में परिभाषित किया गया है) ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{T}{A} = V^{2} \cdot \rho$.
अतः,तार में तन्य प्रतिबल $V^{2} \rho$ है।
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DifficultMCQ
एक डोरी का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $10^{-6} \,kg/cm$ है। इसमें उत्पन्न सरल आवर्त तरंग का समीकरण $Y=0.2 \sin(2x+80t) \,m$ है। डोरी में तनाव कितना है ($N$ में)?
A
$0.16$
B
$0.0016$
C
$1.6$
D
$16$
Solution
(A) तरंग का वेग $v$ सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
तनाव के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $T = v^2 \mu$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\mu = 10^{-6} \,kg/cm = 10^{-4} \,kg/m$.
दिए गए तरंग समीकरण $Y = 0.2 \sin(2x + 80t)$ की तुलना मानक रूप $Y = A \sin(Kx + \omega t)$ से करने पर,हम कोणीय आवृत्ति $\omega = 80 \,rad/s$ और तरंग संख्या $K = 2 \,rad/m$ प्राप्त करते हैं।
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{K} = \frac{80}{2} = 40 \,m/s$ है।
इन मानों को तनाव के सूत्र में रखने पर:
$T = (40)^2 \times 10^{-4} = 1600 \times 10^{-4} = 0.16 \,N$.
तनाव के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $T = v^2 \mu$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\mu = 10^{-6} \,kg/cm = 10^{-4} \,kg/m$.
दिए गए तरंग समीकरण $Y = 0.2 \sin(2x + 80t)$ की तुलना मानक रूप $Y = A \sin(Kx + \omega t)$ से करने पर,हम कोणीय आवृत्ति $\omega = 80 \,rad/s$ और तरंग संख्या $K = 2 \,rad/m$ प्राप्त करते हैं।
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{K} = \frac{80}{2} = 40 \,m/s$ है।
इन मानों को तनाव के सूत्र में रखने पर:
$T = (40)^2 \times 10^{-4} = 1600 \times 10^{-4} = 0.16 \,N$.
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MediumMCQ
एक तार $PQ$ की लंबाई $4.8 \ m$ और द्रव्यमान $0.06 \ kg$ है। एक अन्य तार $QR$ की लंबाई $2.56 \ m$ और द्रव्यमान $0.2 \ kg$ है। दोनों तारों की त्रिज्या समान है और उन्हें जोड़कर एक एकल तार बनाया गया है। यह तार $80 \ N$ के तनाव में है। $3.5 \ cm$ आयाम वाली एक तरंग पल्स को सिरे $P$ से तार $PQ$ के अनुदिश भेजा जाता है। तरंग को एकल तार के दूसरे सिरे तक पहुँचने में लगा समय ज्ञात कीजिए (प्रसार के दौरान कोई शक्ति व्यय नहीं होती है)। ($s$ में)
A
$0.1$
B
$0.12$
C
$0.14$
D
$0.16$
Solution
(C) तार $PQ$ के लिए प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $m_{PQ} = \frac{0.06}{4.8} = \frac{1}{80} \ kg/m$ है।
तार $QR$ के लिए प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $m_{QR} = \frac{0.2}{2.56} = \frac{5}{64} \ kg/m$ है।
तार $PQ$ में तरंग का वेग $v_{PQ} = \sqrt{\frac{T}{m_{PQ}}} = \sqrt{\frac{80}{1/80}} = \sqrt{6400} = 80 \ m/s$ है।
तार $PQ$ को पार करने में लगा समय $t_1 = \frac{L_{PQ}}{v_{PQ}} = \frac{4.8}{80} = 0.06 \ s$ है।
तार $QR$ में तरंग का वेग $v_{QR} = \sqrt{\frac{T}{m_{QR}}} = \sqrt{\frac{80}{5/64}} = \sqrt{\frac{80 \times 64}{5}} = \sqrt{16 \times 64} = 4 \times 8 = 32 \ m/s$ है।
तार $QR$ को पार करने में लगा समय $t_2 = \frac{L_{QR}}{v_{QR}} = \frac{2.56}{32} = 0.08 \ s$ है।
कुल लगा समय $t = t_1 + t_2 = 0.06 + 0.08 = 0.14 \ s$ है।
तार $QR$ के लिए प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $m_{QR} = \frac{0.2}{2.56} = \frac{5}{64} \ kg/m$ है।
तार $PQ$ में तरंग का वेग $v_{PQ} = \sqrt{\frac{T}{m_{PQ}}} = \sqrt{\frac{80}{1/80}} = \sqrt{6400} = 80 \ m/s$ है।
तार $PQ$ को पार करने में लगा समय $t_1 = \frac{L_{PQ}}{v_{PQ}} = \frac{4.8}{80} = 0.06 \ s$ है।
तार $QR$ में तरंग का वेग $v_{QR} = \sqrt{\frac{T}{m_{QR}}} = \sqrt{\frac{80}{5/64}} = \sqrt{\frac{80 \times 64}{5}} = \sqrt{16 \times 64} = 4 \times 8 = 32 \ m/s$ है।
तार $QR$ को पार करने में लगा समय $t_2 = \frac{L_{QR}}{v_{QR}} = \frac{2.56}{32} = 0.08 \ s$ है।
कुल लगा समय $t = t_1 + t_2 = 0.06 + 0.08 = 0.14 \ s$ है।
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EasyMCQ
$0.4 \,N$ के तनाव के अंतर्गत एक डोरी में उत्पन्न सरल आवर्त तरंग का समीकरण $y=4 \sin (3x+60t) \,m$ है। डोरी के प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान क्या है?
A
$10^{-3} \,kg \,m^{-1}$
B
$10^{-5} \,kg \,m^{-1}$
C
$10^{-3} \,g \,cm^{-1}$
D
$10^{-5} \,g \,cm^{-1}$
Solution
(A) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y=A \sin (kx+\omega t)$ है।
दिए गए समीकरण $y=4 \sin (3x+60t)$ के साथ तुलना करने पर,तरंग संख्या $k=3 \,m^{-1}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega=60 \,rad/s$ प्राप्त होती है।
तरंग की गति $V = \frac{\omega}{k} = \frac{60}{3} = 20 \,m/s$ है।
तनावग्रस्त डोरी में अनुप्रस्थ तरंग की गति $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$V^2 = \frac{T}{\mu}$,जिसका अर्थ है $\mu = \frac{T}{V^2}$।
दिए गए मान $T = 0.4 \,N$ और $V = 20 \,m/s$ रखने पर:
$\mu = \frac{0.4}{(20)^2} = \frac{0.4}{400} = \frac{4 \times 10^{-1}}{4 \times 10^2} = 10^{-3} \,kg \,m^{-1}$।
दिए गए समीकरण $y=4 \sin (3x+60t)$ के साथ तुलना करने पर,तरंग संख्या $k=3 \,m^{-1}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega=60 \,rad/s$ प्राप्त होती है।
तरंग की गति $V = \frac{\omega}{k} = \frac{60}{3} = 20 \,m/s$ है।
तनावग्रस्त डोरी में अनुप्रस्थ तरंग की गति $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$V^2 = \frac{T}{\mu}$,जिसका अर्थ है $\mu = \frac{T}{V^2}$।
दिए गए मान $T = 0.4 \,N$ और $V = 20 \,m/s$ रखने पर:
$\mu = \frac{0.4}{(20)^2} = \frac{0.4}{400} = \frac{4 \times 10^{-1}}{4 \times 10^2} = 10^{-3} \,kg \,m^{-1}$।
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DifficultMCQ
$12 \ m$ लंबाई और $6 \ kg$ द्रव्यमान की एक समान रस्सी एक कठोर आधार से ऊर्ध्वाधर लटकी हुई है। रस्सी के मुक्त सिरे पर $2 \ kg$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक जुड़ा हुआ है। रस्सी के निचले सिरे पर $0.06 \ m$ तरंगदैर्ध्य की एक अनुप्रस्थ स्पंद उत्पन्न की जाती है। जब स्पंद रस्सी के ऊपरी सिरे पर पहुँचती है,तो उसकी तरंगदैर्ध्य क्या होगी ($m$ में)?
A
$0.12$
B
$0.4$
C
$0.8$
D
$0.16$
Solution
(A) डोरी में अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = f \lambda = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूंकि स्पंद के आगे बढ़ने पर आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है,इसलिए $\lambda \propto \sqrt{T}$ होता है।
अतः,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ है।
निचले सिरे पर,तनाव $T_1$ ब्लॉक के द्रव्यमान $(2 \ kg)$ के कारण है: $T_1 = 2g$।
रस्सी के ऊपरी सिरे पर,तनाव $T_2$ ब्लॉक $(2 \ kg)$ और रस्सी $(6 \ kg)$ दोनों का भार उठाता है: $T_2 = (2 + 6)g = 8g$।
दिया गया है $\lambda_1 = 0.06 \ m$,इसलिए $\lambda_2$ की गणना इस प्रकार है:
$\lambda_2 = \lambda_1 \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = 0.06 \times \sqrt{\frac{8g}{2g}} = 0.06 \times \sqrt{4} = 0.06 \times 2 = 0.12 \ m$।
चूंकि स्पंद के आगे बढ़ने पर आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है,इसलिए $\lambda \propto \sqrt{T}$ होता है।
अतः,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ है।
निचले सिरे पर,तनाव $T_1$ ब्लॉक के द्रव्यमान $(2 \ kg)$ के कारण है: $T_1 = 2g$।
रस्सी के ऊपरी सिरे पर,तनाव $T_2$ ब्लॉक $(2 \ kg)$ और रस्सी $(6 \ kg)$ दोनों का भार उठाता है: $T_2 = (2 + 6)g = 8g$।
दिया गया है $\lambda_1 = 0.06 \ m$,इसलिए $\lambda_2$ की गणना इस प्रकार है:
$\lambda_2 = \lambda_1 \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = 0.06 \times \sqrt{\frac{8g}{2g}} = 0.06 \times \sqrt{4} = 0.06 \times 2 = 0.12 \ m$।
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$0.1 \, kg$ द्रव्यमान की एक डोरी $1.6 \, N$ के तनाव में है। डोरी की लंबाई $1 \, m$ है। एक अनुप्रस्थ तरंग डोरी के एक सिरे से शुरू होती है। तरंग को दूसरे सिरे तक पहुँचने में लगा समय है ($s$. में)
A
$0.30$
B
$0.50$
C
$0.25$
D
$0.75$
Solution
(C) दिया गया है: डोरी का द्रव्यमान $m = 0.1 \, kg$, तनाव $T = 1.6 \, N$, लंबाई $\ell = 1 \, m$।
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu = \frac{m}{\ell} = \frac{0.1}{1} = 0.1 \, kg/m$।
डोरी में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v$ सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, $v = \sqrt{\frac{1.6}{0.1}} = \sqrt{16} = 4 \, m/s$।
दूसरे सिरे तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{\ell}{v} = \frac{1}{4} = 0.25 \, s$।
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu = \frac{m}{\ell} = \frac{0.1}{1} = 0.1 \, kg/m$।
डोरी में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v$ सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, $v = \sqrt{\frac{1.6}{0.1}} = \sqrt{16} = 4 \, m/s$।
दूसरे सिरे तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{\ell}{v} = \frac{1}{4} = 0.25 \, s$।
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एक अनुप्रस्थ तरंग $V$ वेग के साथ एक डोरी पर यात्रा कर रही है। डोरी में विस्तार $x$ है। यदि डोरी को $50 \%$ तक बढ़ाया जाता है,तो डोरी के साथ तरंग की गति लगभग क्या होगी? (हुक के नियम का पालन किया जाता है)
A
$(0.7) V$
B
$(1.22) V$
C
$(1.1) V$
D
$(0.9) V$
Solution
(B) एक तनी हुई डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
हुक के नियम के अनुसार,$T = kx$,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ विस्तार है।
चूंकि डोरी का द्रव्यमान स्थिर रहता है,$\mu = \frac{m}{L}$। जब डोरी को बढ़ाया जाता है,तो इसकी लंबाई $L$ बढ़ जाती है। हालांकि,छोटे विस्तार के लिए,$\mu$ में परिवर्तन तनाव $T$ में परिवर्तन की तुलना में नगण्य है।
अतः,$V \propto \sqrt{T} \propto \sqrt{x}$।
प्रारंभिक विस्तार $x_1 = x$ और अंतिम विस्तार $x_2 = x + 0.5x = 1.5x$ है।
गति का अनुपात $\frac{V_2}{V_1} = \sqrt{\frac{x_2}{x_1}} = \sqrt{\frac{1.5x}{x}} = \sqrt{1.5}$ है।
मान की गणना करने पर,$\sqrt{1.5} \approx 1.2247$।
इसलिए,नई गति $V_2 \approx 1.22 V$ होगी।
हुक के नियम के अनुसार,$T = kx$,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ विस्तार है।
चूंकि डोरी का द्रव्यमान स्थिर रहता है,$\mu = \frac{m}{L}$। जब डोरी को बढ़ाया जाता है,तो इसकी लंबाई $L$ बढ़ जाती है। हालांकि,छोटे विस्तार के लिए,$\mu$ में परिवर्तन तनाव $T$ में परिवर्तन की तुलना में नगण्य है।
अतः,$V \propto \sqrt{T} \propto \sqrt{x}$।
प्रारंभिक विस्तार $x_1 = x$ और अंतिम विस्तार $x_2 = x + 0.5x = 1.5x$ है।
गति का अनुपात $\frac{V_2}{V_1} = \sqrt{\frac{x_2}{x_1}} = \sqrt{\frac{1.5x}{x}} = \sqrt{1.5}$ है।
मान की गणना करने पर,$\sqrt{1.5} \approx 1.2247$।
इसलिए,नई गति $V_2 \approx 1.22 V$ होगी।
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MediumMCQ
$L$ लंबाई,$M$ द्रव्यमान और $\rho$ घनत्व वाला एक समान धातु का तार $T$ तनाव के अधीन है। यदि तार के अनुदिश अनुप्रस्थ तरंग की गति $V$ है,तो तार के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल क्या होगा?
A
$\frac{V}{T\rho}$
B
$\frac{T}{V^{2}\rho}$
C
$\frac{T^{2}}{V\rho}$
D
$\frac{V^{2}}{T\rho}$
Solution
(B) तने हुए तार में अनुप्रस्थ तरंग की गति $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{M}{L}$ है।
साथ ही,द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (A \times L) \times \rho$,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इसलिए,$\mu = \frac{A \times L \times \rho}{L} = A\rho$ है।
इसे तरंग गति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $V = \sqrt{\frac{T}{A\rho}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $V^{2} = \frac{T}{A\rho}$।
अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $A = \frac{T}{V^{2}\rho}$।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{M}{L}$ है।
साथ ही,द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (A \times L) \times \rho$,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इसलिए,$\mu = \frac{A \times L \times \rho}{L} = A\rho$ है।
इसे तरंग गति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $V = \sqrt{\frac{T}{A\rho}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $V^{2} = \frac{T}{A\rho}$।
अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $A = \frac{T}{V^{2}\rho}$।
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एक समान धातु के तार की लंबाई $L$,द्रव्यमान $M$ और घनत्व $\rho$ है। यह $T$ तनाव के अधीन है और $v$ तार के अनुदिश अनुप्रस्थ तरंग की गति है। तार के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल क्या है?
A
$\frac{v^{2} \rho}{T}$
B
$\frac{T}{v^{2} \rho}$
C
$T^{2} \rho v$
D
$Tv^{2} \rho$
Solution
(B) तनी हुई डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{M}{L}$ है।
चूँकि द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (A \times L) \times \rho$ है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इसलिए,$\mu = \frac{A \times L \times \rho}{L} = A \rho$ है।
इसे तरंग गति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $v = \sqrt{\frac{T}{A \rho}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $v^{2} = \frac{T}{A \rho}$।
क्षेत्रफल $A$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $A = \frac{T}{v^{2} \rho}$।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{M}{L}$ है।
चूँकि द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (A \times L) \times \rho$ है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इसलिए,$\mu = \frac{A \times L \times \rho}{L} = A \rho$ है।
इसे तरंग गति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $v = \sqrt{\frac{T}{A \rho}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $v^{2} = \frac{T}{A \rho}$।
क्षेत्रफल $A$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $A = \frac{T}{v^{2} \rho}$।
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$R_{1}$ और $R_{2}$ त्रिज्या वाले दो $Cu$ तार इस प्रकार हैं कि $(R_{1} > R_{2})$। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
A
अनुप्रस्थ तरंग मोटे तार में तेजी से चलती है
B
अनुप्रस्थ तरंग पतले तार में तेजी से चलती है
C
दोनों तारों में समान गति से चलती है
D
नहीं चलती है
Solution
(B) तने हुए तार में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि $\mu = \rho A = \rho (\pi R^2)$,जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,हमारे पास है:
$v = \sqrt{\frac{T}{\rho \pi R^2}} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}}$.
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $v \propto \frac{1}{R}$।
चूँकि $R_{1} > R_{2}$,मोटे तार में वेग $v_{1}$ पतले तार के वेग $v_{2}$ से कम होगा $(v_{1} < v_{2})$।
इसलिए,अनुप्रस्थ तरंग पतले तार में तेजी से चलती है।
चूँकि $\mu = \rho A = \rho (\pi R^2)$,जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,हमारे पास है:
$v = \sqrt{\frac{T}{\rho \pi R^2}} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}}$.
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $v \propto \frac{1}{R}$।
चूँकि $R_{1} > R_{2}$,मोटे तार में वेग $v_{1}$ पतले तार के वेग $v_{2}$ से कम होगा $(v_{1} < v_{2})$।
इसलिए,अनुप्रस्थ तरंग पतले तार में तेजी से चलती है।
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MediumMCQ
$20 \,m$ लंबा और $50 \,N$ वजन वाला एक समान तार ऊर्ध्वाधर लटका हुआ है। तार के मध्य बिंदु पर तरंग की गति क्या है? (गुरुत्वीय त्वरण $= g = 10 \,ms^{-2}$)
A
$4 \,ms^{-1}$
B
$10 \sqrt{2} \,ms^{-1}$
C
$10 \,ms^{-1}$
D
शून्य $ms^{-1}$
Solution
(C) तार का द्रव्यमान $m = \frac{W}{g} = \frac{50}{10} = 5 \,kg$ है।
तार का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{L} = \frac{5}{20} = 0.25 \,kg/m$ है।
तार के मध्य बिंदु पर तनाव $T$,तार के निचले आधे हिस्से के वजन के बराबर होता है।
निचले आधे हिस्से का द्रव्यमान $m' = \frac{m}{2} = 2.5 \,kg$ है।
अतः,$T = m'g = 2.5 \times 10 = 25 \,N$ है।
तरंग की गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है।
मान रखने पर: $v = \sqrt{\frac{25}{0.25}} = \sqrt{100} = 10 \,ms^{-1}$।
तार का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{L} = \frac{5}{20} = 0.25 \,kg/m$ है।
तार के मध्य बिंदु पर तनाव $T$,तार के निचले आधे हिस्से के वजन के बराबर होता है।
निचले आधे हिस्से का द्रव्यमान $m' = \frac{m}{2} = 2.5 \,kg$ है।
अतः,$T = m'g = 2.5 \times 10 = 25 \,N$ है।
तरंग की गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है।
मान रखने पर: $v = \sqrt{\frac{25}{0.25}} = \sqrt{100} = 10 \,ms^{-1}$।
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MediumMCQ
$0.2 \ kg$ द्रव्यमान की एक डोरी $2.5 \ N$ के तनाव में है। डोरी की लंबाई $2 \ m$ है। एक अनुप्रस्थ तरंग डोरी के एक सिरे से शुरू होती है। तरंग को दूसरे सिरे तक पहुँचने में लगा समय है: ($s$ में)
A
$0.2$
B
$0.4$
C
$0.6$
D
$0.8$
Solution
(B) प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $(m)$:
$m = \frac{M}{l} = \frac{0.2 \ kg}{2 \ m} = 0.1 \ kg/m$
अनुप्रस्थ तरंग का वेग $(v)$:
$v = \sqrt{\frac{T}{m}} = \sqrt{\frac{2.5 \ N}{0.1 \ kg/m}} = \sqrt{25} = 5 \ m/s$
तरंग को दूसरे सिरे तक पहुँचने में लगा समय $(t)$:
$t = \frac{l}{v} = \frac{2 \ m}{5 \ m/s} = 0.4 \ s$
$m = \frac{M}{l} = \frac{0.2 \ kg}{2 \ m} = 0.1 \ kg/m$
अनुप्रस्थ तरंग का वेग $(v)$:
$v = \sqrt{\frac{T}{m}} = \sqrt{\frac{2.5 \ N}{0.1 \ kg/m}} = \sqrt{25} = 5 \ m/s$
तरंग को दूसरे सिरे तक पहुँचने में लगा समय $(t)$:
$t = \frac{l}{v} = \frac{2 \ m}{5 \ m/s} = 0.4 \ s$
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MediumMCQ
$L$ लंबाई और $m_1$ द्रव्यमान की एक समान रस्सी एक कठोर आधार से लंबवत लटकी हुई है। रस्सी के मुक्त सिरे पर $m_2$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक जुड़ा हुआ है। रस्सी के निचले सिरे पर $\lambda_1$ तरंगदैर्ध्य की एक अनुप्रस्थ तरंग उत्पन्न होती है। जब तरंग रस्सी के ऊपरी सिरे पर पहुँचती है तो तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ हो जाती है। अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ है
A
$\left[\frac{m_2}{m_1+m_2}\right]^{\frac{1}{2}}$
B
$\left[\frac{m_1+m_2}{m_2}\right]^{\frac{1}{2}}$
C
$\left[\frac{m_1}{m_1+m_2}\right]^{\frac{1}{2}}$
D
$\left[\frac{m_2}{m_1-m_2}\right]^{\frac{1}{2}}$
Solution
(A) मान लीजिए कि निचले सिरे पर पल्स का वेग $v_1$ है और ऊपरी सिरे पर $v_2$ है।
चूंकि तरंग की आवृत्ति $n$ स्थिर रहती है,हमारे पास $\lambda = \frac{v}{n}$ है,जिसका अर्थ है $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{v_2}{v_1}$।
रस्सी पर अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
अतः,$v \propto \sqrt{T}$।
निचले सिरे पर,तनाव $T_1$ ब्लॉक के द्रव्यमान $m_2$ के कारण है,इसलिए $T_1 = m_2 g$।
ऊपरी सिरे पर,तनाव $T_2$ रस्सी और ब्लॉक के कुल द्रव्यमान के कारण है,इसलिए $T_2 = (m_1 + m_2) g$।
इसलिए,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{(m_1 + m_2)g}{m_2 g}} = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{m_2}}$।
व्युत्क्रम लेने पर,हमें $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1 + m_2}} = \left[\frac{m_2}{m_1+m_2}\right]^{\frac{1}{2}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि तरंग की आवृत्ति $n$ स्थिर रहती है,हमारे पास $\lambda = \frac{v}{n}$ है,जिसका अर्थ है $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{v_2}{v_1}$।
रस्सी पर अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
अतः,$v \propto \sqrt{T}$।
निचले सिरे पर,तनाव $T_1$ ब्लॉक के द्रव्यमान $m_2$ के कारण है,इसलिए $T_1 = m_2 g$।
ऊपरी सिरे पर,तनाव $T_2$ रस्सी और ब्लॉक के कुल द्रव्यमान के कारण है,इसलिए $T_2 = (m_1 + m_2) g$।
इसलिए,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{(m_1 + m_2)g}{m_2 g}} = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{m_2}}$।
व्युत्क्रम लेने पर,हमें $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1 + m_2}} = \left[\frac{m_2}{m_1+m_2}\right]^{\frac{1}{2}}$ प्राप्त होता है।
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EasyMCQ
$r_1$ और $r_2$ $(r_1 > r_2)$ त्रिज्या वाले दो तांबे के तारों पर समान तनाव लगाया जाता है और उन्हें खींचा जाता है। अनुप्रस्थ तरंगें
A
दोनों तारों में यात्रा नहीं करेंगी
B
दोनों तारों में समान वेग से यात्रा करेंगी
C
पतले तार में तेजी से यात्रा करेंगी
D
मोटे तार में तेजी से यात्रा करेंगी
Solution
(C) एक तने हुए तार पर अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v$ सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \rho \cdot A$,जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि तार एक ही पदार्थ (तांबा) से बने हैं,इसलिए $\rho$ स्थिर है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,इसलिए $\mu = \rho \cdot \pi r^2$ होगा।
इसे वेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $v = \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r^2}} = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}}$।
चूंकि $T$,$\rho$ और $\pi$ स्थिर हैं,इसलिए $v \propto \frac{1}{r}$ है।
दिया गया है कि $r_1 > r_2$,इसलिए पतले तार $(r_2)$ में वेग मोटे तार $(r_1)$ की तुलना में अधिक होगा।
अतः,अनुप्रस्थ तरंग पतले तार में तेजी से यात्रा करेगी।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \rho \cdot A$,जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि तार एक ही पदार्थ (तांबा) से बने हैं,इसलिए $\rho$ स्थिर है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,इसलिए $\mu = \rho \cdot \pi r^2$ होगा।
इसे वेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $v = \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r^2}} = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}}$।
चूंकि $T$,$\rho$ और $\pi$ स्थिर हैं,इसलिए $v \propto \frac{1}{r}$ है।
दिया गया है कि $r_1 > r_2$,इसलिए पतले तार $(r_2)$ में वेग मोटे तार $(r_1)$ की तुलना में अधिक होगा।
अतः,अनुप्रस्थ तरंग पतले तार में तेजी से यात्रा करेगी।
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MediumMCQ
एक समान धातु के तार की लंबाई $L$,द्रव्यमान $M$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है। यह $T$ तनाव के अंतर्गत है और $V$ तार के अनुदिश अनुप्रस्थ तरंग की गति है। तार का घनत्व है:
A
$\frac{A T}{V^2}$
B
$\frac{T}{A^2 V}$
C
$\frac{T}{V^2 A}$
D
$\frac{V^2}{A^2 T}$
Solution
(C) तने हुए तार पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
यह दिया गया है कि तार का द्रव्यमान $M$,लंबाई $L$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है,इसलिए प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\mu = \frac{M}{L}$ है।
चूंकि $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} = \rho \times A \times L$,इसलिए $\mu = \frac{\rho A L}{L} = \rho A$ है।
इसे तरंग गति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $V = \sqrt{\frac{T}{\rho A}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $V^2 = \frac{T}{\rho A}$.
घनत्व $\rho$ के लिए हल करने पर: $\rho = \frac{T}{V^2 A}$.
यह दिया गया है कि तार का द्रव्यमान $M$,लंबाई $L$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है,इसलिए प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\mu = \frac{M}{L}$ है।
चूंकि $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} = \rho \times A \times L$,इसलिए $\mu = \frac{\rho A L}{L} = \rho A$ है।
इसे तरंग गति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $V = \sqrt{\frac{T}{\rho A}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $V^2 = \frac{T}{\rho A}$.
घनत्व $\rho$ के लिए हल करने पर: $\rho = \frac{T}{V^2 A}$.
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MediumMCQ
$M$ द्रव्यमान की एक डोरी $T$ तनाव के अधीन है। डोरी की लंबाई $L$ है। यदि डोरी के एक सिरे से एक अनुप्रस्थ तरंग शुरू होती है,तो विक्षोभ को दूसरे सिरे तक पहुँचने में लगा समय क्या होगा?
A
$\sqrt{\frac{L M}{T}}$
B
$\sqrt{L M T}$
C
$\sqrt{\frac{T}{L M}}$
D
$\sqrt{\frac{L T}{M}}$
Solution
(A) डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ डोरी की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है,जिसे $\mu = \frac{M}{L}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
वेग के सूत्र में $\mu$ का मान रखने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{T}{M/L}} = \sqrt{\frac{TL}{M}}$ प्राप्त होता है।
विक्षोभ को डोरी की $L$ लंबाई तय करने में लगा समय $t = \frac{L}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
$v$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $t = \frac{L}{\sqrt{TL/M}} = L \sqrt{\frac{M}{TL}} = \sqrt{\frac{L^2 M}{TL}} = \sqrt{\frac{LM}{T}}$ प्राप्त होता है।
वेग के सूत्र में $\mu$ का मान रखने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{T}{M/L}} = \sqrt{\frac{TL}{M}}$ प्राप्त होता है।
विक्षोभ को डोरी की $L$ लंबाई तय करने में लगा समय $t = \frac{L}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
$v$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $t = \frac{L}{\sqrt{TL/M}} = L \sqrt{\frac{M}{TL}} = \sqrt{\frac{L^2 M}{TL}} = \sqrt{\frac{LM}{T}}$ प्राप्त होता है।
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View Solution82
MediumMCQ
एक डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग संचरित हो रही है। कंपन करती डोरी का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $10^{-3} \ kg/m$ है। तरंग का समीकरण $Y = 0.05 \sin(x + 15t)$ है,जहाँ $x$ और $Y$ मीटर में हैं और समय $t$ सेकंड में है। डोरी में तनाव कितना है ($N$ में)?
A
$0.2$
B
$0.250$
C
$0.225$
D
$0.325$
Solution
(C) अनुप्रस्थ तरंग का सामान्य समीकरण $Y = A \sin(kx + \omega t)$ होता है।
दिए गए समीकरण $Y = 0.05 \sin(x + 15t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 15 \ rad/s$ और तरंग संख्या $k = 1 \ m^{-1}$ प्राप्त होती है।
तरंग की चाल $v = \frac{\omega}{k} = \frac{15}{1} = 15 \ m/s$ है।
डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
यहाँ $\mu = 10^{-3} \ kg/m$ दिया गया है,इसलिए $15 = \sqrt{\frac{T}{10^{-3}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$225 = \frac{T}{10^{-3}}$.
अतः,$T = 225 \times 10^{-3} \ N = 0.225 \ N$.
दिए गए समीकरण $Y = 0.05 \sin(x + 15t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 15 \ rad/s$ और तरंग संख्या $k = 1 \ m^{-1}$ प्राप्त होती है।
तरंग की चाल $v = \frac{\omega}{k} = \frac{15}{1} = 15 \ m/s$ है।
डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
यहाँ $\mu = 10^{-3} \ kg/m$ दिया गया है,इसलिए $15 = \sqrt{\frac{T}{10^{-3}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$225 = \frac{T}{10^{-3}}$.
अतः,$T = 225 \times 10^{-3} \ N = 0.225 \ N$.
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EasyMCQ
समान पदार्थ की दो डोरियों $A$ और $B$ को समान तनाव से खींचा जाता है। डोरी $A$ की त्रिज्या डोरी $B$ की त्रिज्या की दोगुनी है। डोरी $A$ पर अनुप्रस्थ तरंग $V_A$ चाल से और डोरी $B$ पर $V_B$ चाल से चलती है। अनुपात $\frac{V_A}{V_B}$ है:
A
$\frac{1}{4}$
B
$\frac{1}{2}$
C
$2$
D
$4$
Solution
(B) तनी हुई डोरी पर चलने वाली अनुप्रस्थ तरंग का वेग $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि $\mu = \rho \cdot A = \rho \cdot \pi r^2$,जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है और $r$ डोरी की त्रिज्या है,इसलिए $V = \sqrt{\frac{T}{\rho \cdot \pi r^2}}$ होता है।
यह दिया गया है कि पदार्थ समान है ($\rho$ स्थिर है) और तनाव $T$ समान है,इसलिए हम पाते हैं कि $V \propto \frac{1}{r}$।
अतः,चालों का अनुपात $\frac{V_A}{V_B} = \frac{r_B}{r_A}$ होगा।
दिया गया है कि $r_A = 2r_B$,इस मान को अनुपात में रखने पर: $\frac{V_A}{V_B} = \frac{r_B}{2r_B} = \frac{1}{2}$।
चूँकि $\mu = \rho \cdot A = \rho \cdot \pi r^2$,जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है और $r$ डोरी की त्रिज्या है,इसलिए $V = \sqrt{\frac{T}{\rho \cdot \pi r^2}}$ होता है।
यह दिया गया है कि पदार्थ समान है ($\rho$ स्थिर है) और तनाव $T$ समान है,इसलिए हम पाते हैं कि $V \propto \frac{1}{r}$।
अतः,चालों का अनुपात $\frac{V_A}{V_B} = \frac{r_B}{r_A}$ होगा।
दिया गया है कि $r_A = 2r_B$,इस मान को अनुपात में रखने पर: $\frac{V_A}{V_B} = \frac{r_B}{2r_B} = \frac{1}{2}$।
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EasyMCQ
$1 \ m$ लंबाई के एक धात्विक तार का द्रव्यमान $10 \times 10^{-3} \ kg$ है। यदि तार पर $100 \ N$ का तनाव लगाया जाता है,तो अनुप्रस्थ तरंग की गति क्या होगी ($ms^{-1}$ में)?
A
$100$
B
$10$
C
$200$
D
$0.1$
Solution
(A) दिया गया है: तार की लंबाई,$l = 1 \ m$; तार का द्रव्यमान,$m = 10 \times 10^{-3} \ kg$; तनाव,$T = 100 \ N$ है।
तने हुए तार में अनुप्रस्थ तरंग की गति का सूत्र है: $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,जहाँ $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{l} = \frac{10 \times 10^{-3} \ kg}{1 \ m} = 10 \times 10^{-3} \ kg/m$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{100}{10 \times 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{100}{0.01}} = \sqrt{10000} = 100 \ ms^{-1}$ है।
अतः,अनुप्रस्थ तरंग की गति $100 \ ms^{-1}$ है।
तने हुए तार में अनुप्रस्थ तरंग की गति का सूत्र है: $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,जहाँ $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{l} = \frac{10 \times 10^{-3} \ kg}{1 \ m} = 10 \times 10^{-3} \ kg/m$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{100}{10 \times 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{100}{0.01}} = \sqrt{10000} = 100 \ ms^{-1}$ है।
अतः,अनुप्रस्थ तरंग की गति $100 \ ms^{-1}$ है।
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MediumMCQ
$81 \text{ cm}$ लंबाई के एक स्टील के तार का द्रव्यमान $5 \times 10^{-3} \text{ kg}$ है। यदि तार $50 \text{ N}$ के तनाव में है, तो तार पर अनुप्रस्थ तरंगों की गति क्या होगी ($\text{ m s}^{-1}$ में)?
A
$100$
B
$105$
C
$90$
D
$60$
Solution
(C) तने हुए तार पर अनुप्रस्थ तरंग की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है, जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है。
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{L}$。
दिया गया है: $m = 5 \times 10^{-3} \text{ kg}$, $L = 81 \text{ cm} = 0.81 \text{ m}$, $T = 50 \text{ N}$。
$\mu$ की गणना करें: $\mu = \frac{5 \times 10^{-3}}{0.81} \text{ kg/m}$。
अब, मानों को गति के सूत्र में रखें:
$v = \sqrt{\frac{50}{\frac{5 \times 10^{-3}}{0.81}}} = \sqrt{\frac{50 \times 0.81}{5 \times 10^{-3}}} = \sqrt{10 \times 0.81 \times 10^3} = \sqrt{8100} = 90 \text{ m s}^{-1}$。
अतः, अनुप्रस्थ तरंग की गति $90 \text{ m s}^{-1}$ है。
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{L}$。
दिया गया है: $m = 5 \times 10^{-3} \text{ kg}$, $L = 81 \text{ cm} = 0.81 \text{ m}$, $T = 50 \text{ N}$。
$\mu$ की गणना करें: $\mu = \frac{5 \times 10^{-3}}{0.81} \text{ kg/m}$。
अब, मानों को गति के सूत्र में रखें:
$v = \sqrt{\frac{50}{\frac{5 \times 10^{-3}}{0.81}}} = \sqrt{\frac{50 \times 0.81}{5 \times 10^{-3}}} = \sqrt{10 \times 0.81 \times 10^3} = \sqrt{8100} = 90 \text{ m s}^{-1}$。
अतः, अनुप्रस्थ तरंग की गति $90 \text{ m s}^{-1}$ है。
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MediumMCQ
$80 \ cm$ लंबाई वाली एक तनी हुई डोरी पर संचरित अनुप्रस्थ तरंग का समीकरण $y=1.5 \sin \{(5 \times 10^{-3} x) + 20 t\}$ है,जहाँ $x$ और $y$ $cm$ में हैं और समय $t$ सेकंड में है। यदि डोरी का द्रव्यमान $3 \ g$ है,तो डोरी में तनाव कितना है ($N$ में)?
A
$12$
B
$4$
C
$6$
D
$8$
Solution
(C) तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(kx + \omega t)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 1.5 \sin((5 \times 10^{-3} x) + 20 t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
तरंग संख्या $k = 5 \times 10^{-3} \ cm^{-1}$
कोणीय आवृत्ति $\omega = 20 \ rad/s$
तरंग की चाल $v = \frac{\omega}{k} = \frac{20}{5 \times 10^{-3}} = 4000 \ cm/s = 40 \ m/s$ है।
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu = \frac{m}{L} = \frac{3 \ g}{80 \ cm} = \frac{3 \times 10^{-3} \ kg}{0.8 \ m} = 3.75 \times 10^{-3} \ kg/m$ है।
तनी हुई डोरी में तरंग की चाल $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ होती है,जहाँ $T$ तनाव है।
अतः,$T = v^2 \mu = (40)^2 \times (3.75 \times 10^{-3}) = 1600 \times 0.00375 = 6 \ N$।
दिए गए समीकरण $y = 1.5 \sin((5 \times 10^{-3} x) + 20 t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
तरंग संख्या $k = 5 \times 10^{-3} \ cm^{-1}$
कोणीय आवृत्ति $\omega = 20 \ rad/s$
तरंग की चाल $v = \frac{\omega}{k} = \frac{20}{5 \times 10^{-3}} = 4000 \ cm/s = 40 \ m/s$ है।
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu = \frac{m}{L} = \frac{3 \ g}{80 \ cm} = \frac{3 \times 10^{-3} \ kg}{0.8 \ m} = 3.75 \times 10^{-3} \ kg/m$ है।
तनी हुई डोरी में तरंग की चाल $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ होती है,जहाँ $T$ तनाव है।
अतः,$T = v^2 \mu = (40)^2 \times (3.75 \times 10^{-3}) = 1600 \times 0.00375 = 6 \ N$।
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MediumMCQ
जब तनाव $120 \,N$ होता है, तब एक डोरी पर तरंग की गति $150 \,ms^{-1}$ होती है। तरंग की गति को $20 \%$ बढ़ाने के लिए तनाव में कितने प्रतिशत की वृद्धि करनी होगी?
A
$44$
B
$40$
C
$20$
D
$22$
Solution
(A) डोरी पर तरंग के लिए, गति $v$ को $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि $\mu$ स्थिर है, इसलिए $v \propto \sqrt{T}$ होगा।
दिया गया है कि $v_1 = 150 \,ms^{-1}$ और $T_1 = 120 \,N$ है।
हम गति को $20 \%$ बढ़ाना चाहते हैं, इसलिए $v_2 = v_1 + 0.20 v_1 = 1.2 v_1$ होगा।
समानुपातिकता $v \propto \sqrt{T}$ का उपयोग करते हुए, $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $1.2 = \sqrt{\frac{T_2}{120}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1.44 = \frac{T_2}{120}$।
$T_2 = 1.44 \times 120 = 172.8 \,N$।
तनाव में प्रतिशत वृद्धि $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
$\% \Delta T = \frac{172.8 - 120}{120} \times 100 = \frac{52.8}{120} \times 100 = 44 \%$।
चूँकि $\mu$ स्थिर है, इसलिए $v \propto \sqrt{T}$ होगा।
दिया गया है कि $v_1 = 150 \,ms^{-1}$ और $T_1 = 120 \,N$ है।
हम गति को $20 \%$ बढ़ाना चाहते हैं, इसलिए $v_2 = v_1 + 0.20 v_1 = 1.2 v_1$ होगा।
समानुपातिकता $v \propto \sqrt{T}$ का उपयोग करते हुए, $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $1.2 = \sqrt{\frac{T_2}{120}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1.44 = \frac{T_2}{120}$।
$T_2 = 1.44 \times 120 = 172.8 \,N$।
तनाव में प्रतिशत वृद्धि $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
$\% \Delta T = \frac{172.8 - 120}{120} \times 100 = \frac{52.8}{120} \times 100 = 44 \%$।
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MediumMCQ
$L$ लंबाई की एक डोरी को $\frac{L}{20}$ तक खींचा जाता है और इसमें अनुप्रस्थ तरंगों की गति $v$ है। जब इसे $\frac{L}{10}$ तक खींचा जाता है तो तरंग की गति क्या होगी? (मान लें कि हुक का नियम लागू होता है।)
A
$2 v$
B
$\frac{v}{\sqrt{2}}$
C
$v \sqrt{2}$
D
$4 v$
Solution
(C) एक खींची हुई डोरी में अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
हुक के नियम के अनुसार,एक खींची हुई डोरी में तनाव $T$ विस्तार $\Delta l$ के समानुपाती होता है,इसलिए $T = k \Delta l$।
चूंकि डोरी का द्रव्यमान और लंबाई स्थिर रहती है,इसलिए $\mu$ स्थिर है। अतः,$v \propto \sqrt{T} \propto \sqrt{\Delta l}$।
प्रारंभिक विस्तार $\Delta l_1 = \frac{L}{20}$ और प्रारंभिक गति $v_1 = v$ दी गई है।
दूसरे मामले के लिए,विस्तार $\Delta l_2 = \frac{L}{10}$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{\Delta l_2}{\Delta l_1}} = \sqrt{\frac{L/10}{L/20}} = \sqrt{\frac{20}{10}} = \sqrt{2}$।
इसलिए,$v_2 = v \sqrt{2}$।
हुक के नियम के अनुसार,एक खींची हुई डोरी में तनाव $T$ विस्तार $\Delta l$ के समानुपाती होता है,इसलिए $T = k \Delta l$।
चूंकि डोरी का द्रव्यमान और लंबाई स्थिर रहती है,इसलिए $\mu$ स्थिर है। अतः,$v \propto \sqrt{T} \propto \sqrt{\Delta l}$।
प्रारंभिक विस्तार $\Delta l_1 = \frac{L}{20}$ और प्रारंभिक गति $v_1 = v$ दी गई है।
दूसरे मामले के लिए,विस्तार $\Delta l_2 = \frac{L}{10}$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{\Delta l_2}{\Delta l_1}} = \sqrt{\frac{L/10}{L/20}} = \sqrt{\frac{20}{10}} = \sqrt{2}$।
इसलिए,$v_2 = v \sqrt{2}$।
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MediumMCQ
दो तारों की त्रिज्याओं का अनुपात $1: 2$ है और उनके पदार्थों के घनत्व का अनुपात $1: 4$ है। यदि दोनों तारों पर समान तनाव लगाया जाता है,तो उनमें उत्पन्न अनुप्रस्थ तरंगों की गति का अनुपात क्या होगा?
A
$1: 16$
B
$16: 1$
C
$1: 4$
D
$4: 1$
Solution
(D) तने हुए तार में अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{लंबाई}} = \frac{\rho \times \text{आयतन}}{\text{लंबाई}} = \rho \times A = \rho \times \pi R^2$,जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है और $R$ तार की त्रिज्या है।
वेग के सूत्र में $\mu$ का मान रखने पर: $v = \sqrt{\frac{T}{\rho \pi R^2}}$.
दिया गया है कि त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$ और घनत्वों का अनुपात $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{1}{4}$ है।
चूंकि दोनों तारों के लिए तनाव $T$ समान है,इसलिए गति का अनुपात होगा:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1} \times \frac{R_2^2}{R_1^2}}$
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\left(\frac{4}{1}\right) \times \left(\frac{2}{1}\right)^2} = \sqrt{4 \times 4} = \sqrt{16} = 4$.
अतः,अनुपात $4: 1$ है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{लंबाई}} = \frac{\rho \times \text{आयतन}}{\text{लंबाई}} = \rho \times A = \rho \times \pi R^2$,जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है और $R$ तार की त्रिज्या है।
वेग के सूत्र में $\mu$ का मान रखने पर: $v = \sqrt{\frac{T}{\rho \pi R^2}}$.
दिया गया है कि त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$ और घनत्वों का अनुपात $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{1}{4}$ है।
चूंकि दोनों तारों के लिए तनाव $T$ समान है,इसलिए गति का अनुपात होगा:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1} \times \frac{R_2^2}{R_1^2}}$
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\left(\frac{4}{1}\right) \times \left(\frac{2}{1}\right)^2} = \sqrt{4 \times 4} = \sqrt{16} = 4$.
अतः,अनुपात $4: 1$ है।
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View Solution90
MediumMCQ
जब एक खींचे हुए तार के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल आधा कर दिया जाता है और तनाव दोगुना कर दिया जाता है,तो उसमें अनुप्रस्थ तरंगों के प्रसार की गति प्रारंभिक गति की $k$ गुना हो जाती है। तब,$k$ का मान है:
A
$1$
B
$4$
C
$2$
D
$8$
Solution
(C) खींचे हुए तार में अनुप्रस्थ तरंग की गति का सूत्र है:
$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
जहाँ $T$ तार में तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि $\mu = \frac{M}{l} = \frac{A \cdot l \cdot \rho}{l} = A \cdot \rho$,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\rho$ पदार्थ का घनत्व है,इसलिए गति:
$v = \sqrt{\frac{T}{A \rho}}$
यह दर्शाता है कि $v \propto \sqrt{\frac{T}{A}}$.
दिया गया है कि नया क्षेत्रफल $A_2 = \frac{A_1}{2}$ और नया तनाव $T_2 = 2T_1$ है,इसलिए नई गति $v_2$ और प्रारंभिक गति $v_1$ का अनुपात:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1} \times \frac{A_1}{A_2}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{2T_1}{T_1} \times \frac{A_1}{A_1/2}} = \sqrt{2 \times 2} = \sqrt{4} = 2$
अतः,$v_2 = 2v_1$,जिसका अर्थ है कि $k = 2$.
$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
जहाँ $T$ तार में तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि $\mu = \frac{M}{l} = \frac{A \cdot l \cdot \rho}{l} = A \cdot \rho$,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\rho$ पदार्थ का घनत्व है,इसलिए गति:
$v = \sqrt{\frac{T}{A \rho}}$
यह दर्शाता है कि $v \propto \sqrt{\frac{T}{A}}$.
दिया गया है कि नया क्षेत्रफल $A_2 = \frac{A_1}{2}$ और नया तनाव $T_2 = 2T_1$ है,इसलिए नई गति $v_2$ और प्रारंभिक गति $v_1$ का अनुपात:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1} \times \frac{A_1}{A_2}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{2T_1}{T_1} \times \frac{A_1}{A_1/2}} = \sqrt{2 \times 2} = \sqrt{4} = 2$
अतः,$v_2 = 2v_1$,जिसका अर्थ है कि $k = 2$.
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MediumMCQ
चित्र में दिखाए अनुसार, $9 \, kg$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक $1 \, mm^2$ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल वाले तार द्वारा लटकाया गया है, जो एक लिफ्ट में है और लिफ्ट $2 \, ms^{-2}$ के त्वरण से ऊपर जा रही है। यदि तार पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $120 \, ms^{-1}$ है, तो तार के पदार्थ का घनत्व ज्ञात कीजिए। (गुरुत्वीय त्वरण $= 10 \, ms^{-2}$)
A
$1.5 \, g \, cm^{-3}$
B
$3.5 \, g \, cm^{-3}$
C
$5.5 \, g \, cm^{-3}$
D
$7.5 \, g \, cm^{-3}$
Solution
(D) जब लिफ्ट ऊपर की ओर त्वरित होती है, तो तार में तनाव $T = m(g + a)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $m = 9 \, kg$, $g = 10 \, ms^{-2}$, और $a = 2 \, ms^{-2}$ दिया गया है, इसलिए $T = 9(10 + 2) = 9 \times 12 = 108 \, N$ है।
तार पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है, जहाँ $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
हम जानते हैं कि $\mu = \rho A$, जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
यहाँ $v = 120 \, ms^{-1}$ और $A = 1 \, mm^2 = 10^{-6} \, m^2$ दिया गया है, इसलिए $v^2 = \frac{T}{\rho A}$ होगा।
$\rho$ के लिए हल करने पर, $\rho = \frac{T}{v^2 A} = \frac{108}{(120)^2 \times 10^{-6}} = \frac{108}{14400 \times 10^{-6}} = \frac{108}{0.0144} = 7500 \, kg \, m^{-3}$ प्राप्त होता है।
$g \, cm^{-3}$ में बदलने पर, $\rho = 7500 \times 10^{-3} \, g \, cm^{-3} = 7.5 \, g \, cm^{-3}$ है।
अतः, सही विकल्प $D$ है।
यहाँ $m = 9 \, kg$, $g = 10 \, ms^{-2}$, और $a = 2 \, ms^{-2}$ दिया गया है, इसलिए $T = 9(10 + 2) = 9 \times 12 = 108 \, N$ है।
तार पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है, जहाँ $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
हम जानते हैं कि $\mu = \rho A$, जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
यहाँ $v = 120 \, ms^{-1}$ और $A = 1 \, mm^2 = 10^{-6} \, m^2$ दिया गया है, इसलिए $v^2 = \frac{T}{\rho A}$ होगा।
$\rho$ के लिए हल करने पर, $\rho = \frac{T}{v^2 A} = \frac{108}{(120)^2 \times 10^{-6}} = \frac{108}{14400 \times 10^{-6}} = \frac{108}{0.0144} = 7500 \, kg \, m^{-3}$ प्राप्त होता है।
$g \, cm^{-3}$ में बदलने पर, $\rho = 7500 \times 10^{-3} \, g \, cm^{-3} = 7.5 \, g \, cm^{-3}$ है।
अतः, सही विकल्प $D$ है।
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MediumMCQ
$1 \,m$ लंबाई और $490 \,g$ द्रव्यमान की एक डोरी को $25 \,N$ के तनाव के अंतर्गत रखा गया है। इस पर $120 \,Hz$ आवृत्ति की एक तरंग भेजी जाती है। इस तरंग की चाल क्या है ($\,m/s$ में)?
A
$7.14$
B
$0.71$
C
$0.51$
D
$51.0$
Solution
(A) तनी हुई डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है, जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
दिया गया है:
तनाव $T = 25 \,N$
लंबाई $L = 1 \,m$
द्रव्यमान $M = 490 \,g = 0.49 \,kg$
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{M}{L} = \frac{0.49 \,kg}{1 \,m} = 0.49 \,kg/m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{25}{0.49}} = \sqrt{\frac{2500}{49}} = \frac{50}{7} \approx 7.14 \,m/s$.
दिया गया है:
तनाव $T = 25 \,N$
लंबाई $L = 1 \,m$
द्रव्यमान $M = 490 \,g = 0.49 \,kg$
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{M}{L} = \frac{0.49 \,kg}{1 \,m} = 0.49 \,kg/m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{25}{0.49}} = \sqrt{\frac{2500}{49}} = \frac{50}{7} \approx 7.14 \,m/s$.
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DifficultMCQ
एक भारी एकसमान रस्सी छत से ऊर्ध्वाधर लटकी हुई है और संतुलन में है। रस्सी के निचले सिरे पर एक स्पंद (pulse) उत्पन्न किया जाता है जैसा कि दिखाया गया है। जैसे-जैसे स्पंद रस्सी में ऊपर की ओर बढ़ता है,किसी भी क्षण इसका त्वरण क्या होगा? ($g$ गुरुत्वीय त्वरण है)।
A
स्थिर और $\frac{g}{2}$ के बराबर
B
परिवर्तनीय लेकिन जब स्पंद रस्सी के ठीक मध्य में हो तो $\frac{g}{2}$ के बराबर
C
स्थिर और $g$ के बराबर
D
परिवर्तनीय लेकिन जब स्पंद रस्सी के ठीक मध्य में हो तो $g$ के बराबर
Solution
(A) मान लीजिए रस्सी का कुल द्रव्यमान $M$ और लंबाई $L$ है। प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu = \frac{M}{L}$ है।
रस्सी के निचले सिरे से $x$ दूरी पर स्पंद पर विचार करें।
निचले सिरे से $x$ दूरी पर तनाव $T$ उस बिंदु के नीचे रस्सी के $x$ लंबाई के वजन के बराबर होता है: $T = \mu x g$.
स्पंद की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{\mu x g}{\mu}} = \sqrt{xg}$ द्वारा दी जाती है।
स्पंद का त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ है।
चूंकि $v = \sqrt{xg}$,इसलिए $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \sqrt{g}$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$\frac{dx}{dt} = v = \sqrt{xg}$।
अतः,$a = \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \sqrt{g} \right) \cdot \sqrt{xg} = \frac{1}{2} \sqrt{g} \cdot \sqrt{g} = \frac{g}{2}$.
चूंकि त्वरण $a = \frac{g}{2}$ का मान $x$ से स्वतंत्र है,इसलिए स्पंद का त्वरण अपनी पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है।
रस्सी के निचले सिरे से $x$ दूरी पर स्पंद पर विचार करें।
निचले सिरे से $x$ दूरी पर तनाव $T$ उस बिंदु के नीचे रस्सी के $x$ लंबाई के वजन के बराबर होता है: $T = \mu x g$.
स्पंद की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{\mu x g}{\mu}} = \sqrt{xg}$ द्वारा दी जाती है।
स्पंद का त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ है।
चूंकि $v = \sqrt{xg}$,इसलिए $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \sqrt{g}$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$\frac{dx}{dt} = v = \sqrt{xg}$।
अतः,$a = \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \sqrt{g} \right) \cdot \sqrt{xg} = \frac{1}{2} \sqrt{g} \cdot \sqrt{g} = \frac{g}{2}$.
चूंकि त्वरण $a = \frac{g}{2}$ का मान $x$ से स्वतंत्र है,इसलिए स्पंद का त्वरण अपनी पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है।
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MediumMCQ
एक तनी हुई डोरी पर संचरित अनुप्रस्थ तरंग का समीकरण $y = 3 \sin (4x + 200t)$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $x$ और $y$ मीटर में हैं और समय $t$ सेकंड में है। यदि डोरी पर लगाया गया तनाव $500 \ N$ है,तो डोरी का रैखिक घनत्व क्या होगा ($kg \ m^{-1}$ में)?
A
$0.25$
B
$0.4$
C
$0.2$
D
$0.1$
Solution
(C) अनुप्रस्थ तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(kx + \omega t)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 3 \sin(4x + 200t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
तरंग संख्या $k = 4 \ m^{-1}$
कोणीय आवृत्ति $\omega = 200 \ rad \ s^{-1}$
तरंग की चाल $v = \frac{\omega}{k} = \frac{200}{4} = 50 \ m/s$ है।
तनी हुई डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की चाल $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा भी दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v^2 = \frac{T}{\mu}$,जिसका अर्थ है $\mu = \frac{T}{v^2}$।
दिए गए मान $T = 500 \ N$ और $v = 50 \ m/s$ रखने पर:
$\mu = \frac{500}{(50)^2} = \frac{500}{2500} = \frac{1}{5} = 0.2 \ kg \ m^{-1}$।
अतः,डोरी का रैखिक घनत्व $0.2 \ kg \ m^{-1}$ है।
दिए गए समीकरण $y = 3 \sin(4x + 200t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
तरंग संख्या $k = 4 \ m^{-1}$
कोणीय आवृत्ति $\omega = 200 \ rad \ s^{-1}$
तरंग की चाल $v = \frac{\omega}{k} = \frac{200}{4} = 50 \ m/s$ है।
तनी हुई डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की चाल $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा भी दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v^2 = \frac{T}{\mu}$,जिसका अर्थ है $\mu = \frac{T}{v^2}$।
दिए गए मान $T = 500 \ N$ और $v = 50 \ m/s$ रखने पर:
$\mu = \frac{500}{(50)^2} = \frac{500}{2500} = \frac{1}{5} = 0.2 \ kg \ m^{-1}$।
अतः,डोरी का रैखिक घनत्व $0.2 \ kg \ m^{-1}$ है।
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DifficultMCQ
एक तनी हुई डोरी '$A$' में अनुप्रस्थ तरंग की गति '$v$' है। समान लंबाई और समान त्रिज्या वाली एक अन्य डोरी '$B$' पर समान तनाव लगाया जाता है। यदि डोरी '$B$' के पदार्थ का घनत्व '$A$' से $2\%$ अधिक है,तो डोरी '$B$' में अनुप्रस्थ तरंग की गति क्या होगी?
A
$\sqrt{1.04} v$
B
$\sqrt{1.02} v$
C
$\frac{v}{\sqrt{1.04}}$
D
$\frac{v}{\sqrt{1.02}}$
Solution
(D) तनी हुई डोरी में अनुप्रस्थ तरंग की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि $\mu = \text{क्षेत्रफल} \times \text{घनत्व} = (\pi r^2) \rho$,इसलिए गति $v = \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$ हो जाती है।
यह दिया गया है कि दोनों डोरियों के लिए तनाव $T$ और त्रिज्या $r$ समान हैं,इसलिए $v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$ होगा।
मान लीजिए $\rho_A = \rho$ है। तो $\rho_B = \rho + 0.02\rho = 1.02\rho$ होगा।
डोरी '$B$' में गति $v_B = \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 (1.02\rho)}} = \frac{1}{\sqrt{1.02}} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$ होगी।
अतः,$v_B = \frac{v}{\sqrt{1.02}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\mu = \text{क्षेत्रफल} \times \text{घनत्व} = (\pi r^2) \rho$,इसलिए गति $v = \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$ हो जाती है।
यह दिया गया है कि दोनों डोरियों के लिए तनाव $T$ और त्रिज्या $r$ समान हैं,इसलिए $v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$ होगा।
मान लीजिए $\rho_A = \rho$ है। तो $\rho_B = \rho + 0.02\rho = 1.02\rho$ होगा।
डोरी '$B$' में गति $v_B = \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 (1.02\rho)}} = \frac{1}{\sqrt{1.02}} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$ होगी।
अतः,$v_B = \frac{v}{\sqrt{1.02}}$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
$0.1 \,kg$ द्रव्यमान और $2.45 \,m$ लंबाई की एक समान रस्सी एक कठोर आधार से लटकी हुई है। रस्सी में उत्पन्न अनुप्रस्थ तरंग को रस्सी की पूरी लंबाई तय करने में कितना समय लगेगा ($\,s$ में)? ($g = 9.8 \,m/s^2$ मानिए)।
A
$0.5$
B
$1.6$
C
$1.2$
D
$1.0$
Solution
(D) मुक्त सिरे से $x$ दूरी पर रस्सी में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{gx}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$, इसलिए $\frac{dx}{dt} = \sqrt{gx}$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर, $dt = \frac{dx}{\sqrt{gx}}$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ से $x = l$ तक समाकलन करने पर, कुल समय $t$:
$t = \int_{0}^{l} \frac{dx}{\sqrt{gx}} = \frac{1}{\sqrt{g}} [2\sqrt{x}]_{0}^{l} = 2\sqrt{\frac{l}{g}}$.
दिए गए मानों $l = 2.45 \,m$ और $g = 9.8 \,m/s^2$ को रखने पर:
$t = 2 \sqrt{\frac{2.45}{9.8}} = 2 \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \times 0.5 = 1 \,s$.
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$, इसलिए $\frac{dx}{dt} = \sqrt{gx}$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर, $dt = \frac{dx}{\sqrt{gx}}$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ से $x = l$ तक समाकलन करने पर, कुल समय $t$:
$t = \int_{0}^{l} \frac{dx}{\sqrt{gx}} = \frac{1}{\sqrt{g}} [2\sqrt{x}]_{0}^{l} = 2\sqrt{\frac{l}{g}}$.
दिए गए मानों $l = 2.45 \,m$ और $g = 9.8 \,m/s^2$ को रखने पर:
$t = 2 \sqrt{\frac{2.45}{9.8}} = 2 \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \times 0.5 = 1 \,s$.
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DifficultMCQ
$3 \times 10^{-4} \ kg \ m^{-1}$ के रैखिक घनत्व वाली एक तनी हुई डोरी पर संचरित अनुप्रस्थ तरंग का समीकरण $y = 0.2 \sin (1.5 x + 60 t)$ है,जहाँ $x$ मीटर में और $t$ सेकंड में है। डोरी में तनाव (न्यूटन में) है
A
$0.24$
B
$0.48$
C
$1.2$
D
$1.8$
Solution
(B) तरंग का दिया गया समीकरण $y = 0.2 \sin (1.5 x + 60 t)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin (kx + \omega t)$ से तुलना करने पर:
तरंग संख्या $k = 1.5 \ m^{-1}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 60 \ rad \ s^{-1}$ प्राप्त होती है।
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{60}{1.5} = 40 \ m \ s^{-1}$ है।
तनी हुई डोरी में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
यहाँ $\mu = 3 \times 10^{-4} \ kg \ m^{-1}$ दिया गया है।
तनाव $T$ के लिए सूत्र: $T = v^2 \mu$.
मान रखने पर: $T = (40)^2 \times (3 \times 10^{-4}) = 1600 \times 3 \times 10^{-4} = 4800 \times 10^{-4} = 0.48 \ N$.
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin (kx + \omega t)$ से तुलना करने पर:
तरंग संख्या $k = 1.5 \ m^{-1}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 60 \ rad \ s^{-1}$ प्राप्त होती है।
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{60}{1.5} = 40 \ m \ s^{-1}$ है।
तनी हुई डोरी में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
यहाँ $\mu = 3 \times 10^{-4} \ kg \ m^{-1}$ दिया गया है।
तनाव $T$ के लिए सूत्र: $T = v^2 \mu$.
मान रखने पर: $T = (40)^2 \times (3 \times 10^{-4}) = 1600 \times 3 \times 10^{-4} = 4800 \times 10^{-4} = 0.48 \ N$.
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EasyMCQ
$50 \ cm$ लंबाई और $10 \ g$ वजन वाला एक तार एक सिरे पर स्प्रिंग से और दूसरे सिरे पर एक स्थिर दीवार से जुड़ा है। स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक $50 \ N/m$ है और यह $1 \ cm$ खिंची हुई है। यदि दीवार के पास तार पर एक तरंग पल्स उत्पन्न की जाती है,तो इसे स्प्रिंग तक पहुँचने में कितना समय लगेगा ($s$ में)?
A
$0.1$
B
$0.2$
C
$0.3$
D
$0.4$
Solution
(A) तार में तनाव $T$ स्प्रिंग द्वारा प्रदान किया जाता है: $T = kx = 50 \ N/m \times 0.01 \ m = 0.5 \ N$.
तार का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ इस प्रकार है: $\mu = \frac{m}{l} = \frac{10 \times 10^{-3} \ kg}{0.5 \ m} = 0.02 \ kg/m$.
तार पर तरंग पल्स की गति $v$ इस प्रकार है: $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{0.5}{0.02}} = \sqrt{25} = 5 \ m/s$.
पल्स द्वारा तार की लंबाई तय करने में लगा समय $t$ है: $t = \frac{l}{v} = \frac{0.5 \ m}{5 \ m/s} = 0.1 \ s$.
तार का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ इस प्रकार है: $\mu = \frac{m}{l} = \frac{10 \times 10^{-3} \ kg}{0.5 \ m} = 0.02 \ kg/m$.
तार पर तरंग पल्स की गति $v$ इस प्रकार है: $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{0.5}{0.02}} = \sqrt{25} = 5 \ m/s$.
पल्स द्वारा तार की लंबाई तय करने में लगा समय $t$ है: $t = \frac{l}{v} = \frac{0.5 \ m}{5 \ m/s} = 0.1 \ s$.
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