Mix Examples-Thermodynamics Questions in Hindi

(D) दिया गया है कि विशिष्ट ऊष्मा धारिताओं का अनुपात $\gamma = 1.5 = 3/2$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$। दिया गया है $V_f = 2V_i$ और $P_f = P_1$,इसलिए $P_{i,ad} V_i^{1.5} = P_1 (2V_i)^{1.5}$।
अतः,$P_{i,ad} = P_1 (2)^{1.5} = P_1 (2\sqrt{2})$।
समतापीय प्रक्रिया के लिए,$P_i V_i = P_f V_f$। दिया गया है $V_f = 2V_i$ और $P_f = P_2$,इसलिए $P_{i,iso} V_i = P_2 (2V_i)$।
अतः,$P_{i,iso} = 2P_2$।
यदि $P_1 = P_2$ है,तो प्रारंभिक दबावों का अनुपात $\frac{P_{i,ad}}{P_{i,iso}} = \frac{P_1 (2\sqrt{2})}{2P_1} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} : 1$ होगा।

(C) मान लीजिए प्रारंभिक अवस्था $A$ है जो $(P_0, V_0, T_0)$ है।
समतापीय प्रक्रिया $A \to B$ में, तापमान स्थिर रहता है, इसलिए $B$ पर अवस्था $(P', 8V_0, T_0)$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया $B \to C$ में, गैस को $V_0$ आयतन तक संकुचित किया जाता है। रुद्धोष्म संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{नियतांक}$ है।
प्रक्रिया $B \to C$ के लिए:
$T_0 (8V_0)^{\gamma-1} = T'' (V_0)^{\gamma-1}$
यहाँ $\gamma = 4/3$ दिया गया है, इसलिए $\gamma - 1 = 1/3$ है।
$T_0 (8V_0)^{1/3} = T'' (V_0)^{1/3}$
$T_0 \cdot 8^{1/3} = T''$
$T'' = 2 T_0$
प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $U_{av} = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है, जिसका अर्थ है $U_{av} \propto T$।
इसलिए, अंतिम अवस्था में औसत गतिज ऊर्जा का प्रारंभिक अवस्था से अनुपात है:
$\frac{(U_{av})_f}{(U_{av})_i} = \frac{T''}{T_0} = \frac{2 T_0}{T_0} = 2$.

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{constant}$ है।
चरण $1$: $V_0$ से $2 V_0$ तक रुद्धोष्म विस्तार।
$T_0 V_0^{\gamma-1} = T_1 (2 V_0)^{\gamma-1} \Rightarrow T_1 = T_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\gamma-1}$।
चरण $2$: $2 V_0$ से $5 V_0$ तक समतापीय विस्तार।
चूंकि प्रक्रिया समतापीय है,तापमान $T_1$ स्थिर रहता है।
चरण $3$: $5 V_0$ से $V_f$ तक रुद्धोष्म संपीड़न ताकि अंतिम तापमान $T_0$ हो जाए।
$T_1 (5 V_0)^{\gamma-1} = T_0 (V_f)^{\gamma-1}$।
चरण $1$ से $T_1$ का मान रखने पर:
$T_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\gamma-1} (5 V_0)^{\gamma-1} = T_0 (V_f)^{\gamma-1}$।
$\left(\frac{5 V_0}{2}\right)^{\gamma-1} = (V_f)^{\gamma-1}$।
$V_f = 2.5 V_0$।
$V_f = \alpha V_0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 2.5$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: $n = 2$ मोल। आयतन $V$ से बढ़कर $2V$ हो जाता है।
समदाबी प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W_1 = P \Delta V = P(2V - V) = PV$ है।
समतापीय प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W_2 = nRT \ln(\frac{V_2}{V_1})$ है।
चूंकि $PV = nRT$,हम $nRT$ को $PV$ से प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
अतः,$W_2 = PV \ln(\frac{2V}{V}) = PV \ln(2)$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,चूंकि $W_1 = PV$,हमें $W_2 = W_1 \ln(2)$ प्राप्त होता है।

(B) एक आदर्श गैस के लिए, अवस्था समीकरण $pV = \mu RT$ है, जिसका अर्थ है $p = (\frac{\mu R}{V})T$।
$p-T$ आरेख में, मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाएं समआयतनिक प्रक्रियाओं (स्थिर आयतन) को दर्शाती हैं क्योंकि $p \propto T$ का अर्थ है $V = \text{स्थिर}$।
प्रक्रियाएं $AB$ और $CD$ मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखाएं हैं, इसलिए वे समआयतनिक प्रक्रियाएं हैं।
समआयतनिक प्रक्रिया में किया गया कार्य शून्य होता है। अतः, $W_{AB} = 0$ और $W_{CD} = 0$।
प्रक्रियाएं $BC$ और $DA$ समदाबी प्रक्रियाएं (स्थिर दबाव) हैं।
समदाबी प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = p\Delta V = \mu R \Delta T$ होता है।
प्रक्रिया $BC$ के लिए (दबाव $p_2$ पर): $W_{BC} = \mu R(T_C - T_B) = 3 \times R \times (2400 - 800) = 3R \times 1600 = 4800R$।
प्रक्रिया $DA$ के लिए (दबाव $p_1$ पर): $W_{DA} = \mu R(T_A - T_D) = 3 \times R \times (400 - 1200) = 3R \times (-800) = -2400R$।
चक्र में किया गया कुल कार्य $W = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA} = 0 + 4800R + 0 - 2400R = 2400R$।
$R = 8.314 \, J/mol \cdot K$ का मान रखने पर: $W = 2400 \times 8.314 = 19953.6 \, J \approx 20 \, kJ$।

(D) $1$. $p-V$ आरेख में,$A$ से $B$ तक समतापीय प्रसार $AB$ वक्र का अनुसरण करता है। गैस द्वारा किया गया कार्य $AB$ वक्र के नीचे का क्षेत्रफल है,जो $ABDE$ क्षेत्रफल है।
$2$. $B$ से $C$ तक रुद्धोष्म संपीड़न $BC$ वक्र का अनुसरण करता है। गैस पर किया गया कार्य $BC$ वक्र के नीचे का क्षेत्रफल है,जो $BCDE$ क्षेत्रफल है।
$3$. ग्राफ से यह स्पष्ट है कि बिंदु $C$ पर अंतिम दाब $p_2$,बिंदु $A$ पर प्रारंभिक दाब $p_1$ से अधिक है,इसलिए $p_2 > p_1$ है।
$4$. गैस द्वारा किया गया कुल कार्य $W$,प्रसार के दौरान किए गए कार्य $(W_{exp} > 0)$ और संपीड़न के दौरान किए गए कार्य $(W_{comp} < 0)$ का योग है।
$5$. चूंकि रुद्धोष्म वक्र $BC$ के नीचे का क्षेत्रफल (जो गैस पर किए गए कार्य के परिमाण को दर्शाता है) समतापीय वक्र $AB$ के नीचे के क्षेत्रफल (जो गैस द्वारा किए गए कार्य के परिमाण को दर्शाता है) से अधिक है,इसलिए कुल कार्य $W = W_{AB} - W_{BC}$ ऋणात्मक है $(W < 0)$।
$6$. अतः,$p_2 > p_1$ और $W < 0$।

(C) प्रक्रिया $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$ एक दक्षिणावर्त (clockwise) चक्र है।
$1$. $A \rightarrow B$ के दौरान: दबाव $p$ स्थिर है (समदाबी प्रक्रिया)।
$2$. $B \rightarrow C$ के दौरान: प्रक्रिया $p \propto \frac{1}{V}$ का पालन करती है, जिसका अर्थ है $pV = \text{स्थिर}$, इसलिए तापमान $T$ स्थिर है (समतापीय प्रक्रिया)।
$3$. $C \rightarrow D$ के दौरान: आयतन $V$ स्थिर है (समआयतनिक प्रक्रिया)।
$4$. $D \rightarrow A$ के दौरान: प्रक्रिया $p \propto \frac{1}{V}$ का पालन करती है, जिसका अर्थ है कि $T$ स्थिर है (समतापीय प्रक्रिया)।
इन विशेषताओं की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर, हम एक ऐसा $V-T$ आरेख ढूंढते हैं जहाँ:
- $A \rightarrow B$ एक ऐसी प्रक्रिया है जहाँ $V \propto T$ (समदाबी, क्योंकि $pV = nRT \Rightarrow V = (\frac{nR}{p})T$)।
- $B \rightarrow C$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है (समतापीय, $T$ स्थिर है)।
- $C \rightarrow D$ एक क्षैतिज रेखा है (समआयतनिक, $V$ स्थिर है)।
- $D \rightarrow A$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है (समतापीय, $T$ स्थिर है)।
विकल्प $C$ $V-T$ तल में इस चक्र को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) $P-V$ आरेख में:
$1$. प्रक्रिया $AB$ एक समदाबी (isobaric) प्रक्रिया है,जिसमें दबाव $P$ स्थिर रहता है। $P-T$ आरेख में,इसे एक क्षैतिज रेखा द्वारा दर्शाया जाता है।
$2$. प्रक्रिया $BC$ एक समतापीय (isothermal) प्रक्रिया है,जिसमें तापमान $T$ स्थिर रहता है। $P-T$ आरेख में,इसे एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा दर्शाया जाता है।
$3$. प्रक्रिया $CD$ एक समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया है,जिसमें आयतन $V$ स्थिर रहता है। चूँकि $PV = nRT$,स्थिर $V$ के लिए $P \propto T$ होता है। अतः,$P-T$ आरेख में,यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
$4$. प्रक्रिया $DA$ एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया है,जिसे $P-T$ आरेख में एक वक्र द्वारा दर्शाया जाता है।
इन विशेषताओं की तुलना करने पर,सही $P-T$ आरेख विकल्प $(a)$ में दिखाया गया है।

(B) समतापीय प्रक्रिया में,गैस का तापमान स्थिर रहता है,इसलिए गैस बॉयल के नियम का पालन करती है: $P \propto \frac{1}{V}$।
मान लीजिए प्रारंभिक दबाव $P$ और प्रारंभिक आयतन $V_1$ है। समतापीय संपीड़न के बाद,दबाव $P_2 = 2P$ और आयतन $V_2 = V_1/2$ हो जाता है।
अतः,$\frac{V_1}{V_2} = 2$।
अब,गैस रुद्धोष्म रूप से अपने मूल आयतन $V_1$ तक फैलती है। मान लीजिए अंतिम दबाव $P_3 = 0.75P$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$P_2 V_2^\gamma = P_3 V_1^\gamma$।
मान रखने पर: $(2P) \left(\frac{V_1}{2}\right)^\gamma = (0.75P) V_1^\gamma$।
$2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^\gamma = 0.75$।
$2^{1-\gamma} = \frac{3}{4} = 3 \cdot 2^{-2}$।
$2^{3-\gamma} = 3$।
दोनों तरफ लॉग लेने पर: $(3-\gamma) \log 2 = \log 3$।
$3-\gamma = \frac{\log 3}{\log 2} \approx 1.585$।
$\gamma = 3 - 1.585 = 1.415 \approx 1.41$।

(A) आदर्श गैस नियम के अनुसार,$PV = nRT$ होता है। चूँकि कमरे का आयतन $V$ स्थिर है,इसलिए $T = \frac{PV}{nR}$ होगा।
आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U = nC_vT$ द्वारा दी जाती है।
$T$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$U = nC_v \left( \frac{PV}{nR} \right) = \left( \frac{C_v V}{R} \right) P$ प्राप्त होता है।
चूँकि $C_v$,$V$ और $R$ स्थिरांक हैं,इसलिए आंतरिक ऊर्जा $U$ दबाव $P$ के सीधे आनुपातिक है $(U \propto P)$।
यह दिया गया है कि दबाव $P$ समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ रहा है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा $U$ भी समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ेगी।

(C) प्रत्येक चक्र में अवशोषित ऊष्मा $Q_H = 130 \text{ cal}$ है।
प्रत्येक चक्र में छोड़ी गई ऊष्मा $Q_C = 30 \text{ cal}$ है।
प्रत्येक चक्र में कार्य में परिवर्तित शुद्ध ऊष्मा $W_{\text{net}} = (Q_H - Q_C) \times 4.2 \text{ J/cal} = (130 - 30) \times 4.2 = 100 \times 4.2 = 420 \text{ J}$ है।
घर्षण को दूर करने के लिए प्रत्येक चक्र में खपत की गई ऊर्जा $W_f = 2 \text{ J}$ है।
प्रत्येक चक्र में लोड को दिया गया उपयोगी कार्य $W_{\text{load}} = W_{\text{net}} - W_f = 420 \text{ J} - 2 \text{ J} = 418 \text{ J}$ है।
इंजन $90 \text{ cycles per minute}$ पर काम करता है, जो $90/60 = 1.5 \text{ cycles per second}$ है।
लोड को दी गई शक्ति $P = W_{\text{load}} \times \text{frequency} = 418 \text{ J} \times 1.5 \text{ s}^{-1} = 627 \text{ W}$ है।

(C) एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{v} = \frac{3}{2}R$ होती है। आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_{v} \Delta T = n \left(\frac{3}{2}R\right) \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$\Delta T = \frac{p_f V_f - p_i V_i}{nR}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\Delta U = \frac{3}{2} (p_f V_f - p_i V_i) = \frac{3}{2} (4 p_{0} V_{0} - p_{0} V_{0}) = \frac{3}{2} (3 p_{0} V_{0}) = \frac{9}{2} p_{0} V_{0}$।
किया गया कार्य $W$,$p-V$ ग्राफ के अंतर्गत का क्षेत्रफल है,जो एक समलंब चतुर्भुज है: $W = \frac{1}{2} (p_i + p_f) (V_f - V_i) = \frac{1}{2} (p_{0} + 2 p_{0}) (2 V_{0} - V_{0}) = \frac{1}{2} (3 p_{0}) (V_{0}) = \frac{3}{2} p_{0} V_{0}$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$।
$\Delta Q = \frac{9}{2} p_{0} V_{0} + \frac{3}{2} p_{0} V_{0} = \frac{12}{2} p_{0} V_{0} = 6 p_{0} V_{0}$।

(A) दिया गया अवस्था समीकरण: $PV = AT - BT^2$.
चूंकि दाब $P$ स्थिर है,हम समीकरण का $T$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$P dV = A dT - B(2T) dT$.
किया गया कार्य $W = \int P dV$.
समाकलन में $P dV$ का मान रखने पर:
$W = \int_{T_1}^{T_2} (A - 2BT) dT$.
$W = A \int_{T_1}^{T_2} dT - 2B \int_{T_1}^{T_2} T dT$.
$W = A(T_2 - T_1) - 2B \left[ \frac{T^2}{2} \right]_{T_1}^{T_2}$.
$W = A(T_2 - T_1) - B(T_2^2 - T_1^2)$.

(A) एक चक्रीय प्रक्रम के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ शून्य होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$। चूंकि $\Delta U = 0$,इसलिए अवशोषित कुल ऊष्मा $\Delta Q$ गैस द्वारा किए गए कुल कार्य $\Delta W$ के बराबर होती है।
चक्रीय प्रक्रम में किया गया कुल कार्य $p-V$ आरेख में चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$p-V$ आरेख में त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
यहाँ,आधार $(V_{1}-V_{2})$ है और ऊंचाई $(p_{1}-p_{2})$ है।
अतः,अवशोषित कुल ऊष्मा $\Delta Q = \frac{1}{2}(p_{1}-p_{2})(V_{1}-V_{2})$.

(D) दिए गए $P-T$ आरेख में:
$AB$: दाब $P$ स्थिर है और तापमान $T$ घट रहा है। चूँकि $PV = nRT$,यदि $P$ स्थिर है और $T$ घटता है,तो आयतन $V$ को घटना चाहिए। अतः,$AB$ एक समदाबीय संपीड़न (isobaric compression) है।
$BC$: यह प्रक्रम एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,जिसका अर्थ है कि तापमान $T$ स्थिर है। जैसे-जैसे $P$ घटता है,$PV$ को स्थिर रखने के लिए $V$ को बढ़ना चाहिए। अतः,$BC$ एक समतापीय प्रसार (isothermal expansion) है।
$CA$: यह प्रक्रम $P-T$ आरेख में मूल बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा है,जिसका अर्थ है कि $P \propto T$। चूँकि $PV = nRT$,इसलिए $P/T = nR/V$,अतः $V$ स्थिर होना चाहिए। अतः,$CA$ एक समआयतनिक प्रक्रम (isochoric process) है।
इन विशेषताओं की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,सही $P-V$ आरेख विकल्प $D$ द्वारा दर्शाया गया है।

(A, B, C, D) $p-v$ आरेख में:
$1$. प्रक्रिया $1 \rightarrow 2$ एक क्षैतिज रेखा है,जिसका अर्थ है कि दाब $p$ स्थिर है। अतः,यह एक समदाबी प्रक्रिया है।
$2$. प्रक्रिया $3 \rightarrow 1$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,जिसका अर्थ है कि आयतन $v$ स्थिर है। अतः,यह एक समआयतनिक प्रक्रिया है।
$3$. प्रक्रिया $2 \rightarrow 3$ एक वक्र है,जो इस चक्र में एक रुद्धोष्म प्रक्रिया को दर्शाता है।
$4$. किसी भी पूर्ण चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$। चूँकि $\Delta U = 0$ है,इसलिए $Q = W$ होता है। चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कार्य $W$ चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है,जो अशून्य है। इसलिए,किया गया कार्य और अवशोषित ऊष्मा दोनों अशून्य हैं।
अतः,कथन $A$,$B$,$C$ और $D$ सभी सही हैं।

(B) द्वि-परमाणुक गैस के लिए,दी गई कुल ऊष्मा $\Delta Q_{total} = \Delta Q_{AB} + \Delta Q_{BC}$ है।
$1$. प्रक्रिया $AB$ (समआयतनिक प्रक्रिया) के लिए:
$\Delta Q_{AB} = n C_V \Delta T = n \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) \Delta T = \frac{P_f V_f - P_i V_i}{\gamma - 1}$
यहाँ $n = 1$ मोल,द्वि-परमाणुक गैस के लिए $\gamma = 1.4 = 7/5$ है।
$\Delta Q_{AB} = \frac{2 P_0 V_0 - P_0 V_0}{7/5 - 1} = \frac{P_0 V_0}{2/5} = 2.5 P_0 V_0$.
$2$. प्रक्रिया $BC$ (समतापीय प्रक्रिया) के लिए:
$\Delta Q_{BC} = W_{BC} = n R T \ln \left( \frac{V_f}{V_i} \right) = P_B V_B \ln \left( \frac{V_C}{V_B} \right)$
चूँकि $P_B V_B = 2 P_0 V_0$ और $V_C = 2 V_0, V_B = V_0$ है:
$\Delta Q_{BC} = 2 P_0 V_0 \ln \left( \frac{2 V_0}{V_0} \right) = 2 P_0 V_0 \ln 2 = 2 P_0 V_0 (0.7) = 1.4 P_0 V_0$.
कुल ऊष्मा $\Delta Q_{total} = 2.5 P_0 V_0 + 1.4 P_0 V_0 = 3.9 P_0 V_0$.

(B) $p-V$ आरेख में, किसी भी बिंदु पर रुद्धोष्म वक्र की ढाल उसी बिंदु पर समतापीय वक्र की ढाल से अधिक तीव्र होती है।
मान लीजिए प्रारंभिक अवस्था $A(p_{i}, V_{i})$ है।
$V_{0}$ आयतन तक उत्क्रमणीय समतापीय प्रसार के दौरान, गैस समतापीय वक्र के अनुदिश अवस्था $B(p_{2}, V_{0})$ तक जाती है, जहाँ $p_{2} < p_{i}$ है।
इसके बाद $V_{0}$ आयतन से मूल आयतन $V_{i}$ तक उत्क्रमणीय रुद्धोष्म संपीड़न के दौरान, गैस रुद्धोष्म वक्र के अनुदिश अवस्था $B(p_{2}, V_{0})$ से अवस्था $C(p_{f}, V_{i})$ तक जाती है।
चूंकि रुद्धोष्म वक्र समतापीय वक्र से अधिक तीव्र होता है, इसलिए $p-V$ तल में $B$ से $C$ का पथ $A$ से $B$ के पथ के ऊपर स्थित होता है।
इसलिए, $V_{i}$ आयतन पर अंतिम दाब $p_{f}$, प्रारंभिक दाब $p_{i}$ से अधिक होना चाहिए।
अतः, $p_{f} > p_{i}$.

(B, C) एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $(U)$ केवल तापमान $(T)$ का फलन होती है, जिसे $U = f(T)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
समतापीय प्रक्रिया में, गैस का तापमान स्थिर रहता है $(\Delta T = 0)$।
चूंकि आंतरिक ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है, इसलिए यह समतापीय प्रक्रिया में स्थिर रहती है।
समदाबी प्रक्रिया में, यदि गैस का विस्तार होता है, तो तापमान बढ़ता है ($PV = nRT$ से, यदि $P$ स्थिर है और $V$ बढ़ता है, तो $T$ को बढ़ना चाहिए), जिससे आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि होती है।
अतः, कथन $(B)$ और कथन $(C)$ दोनों सत्य हैं।

(A, C) द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ है। आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{n f R T}{2} = \frac{5 R}{2} (\alpha t + \frac{1}{2} \beta t^2)$ है।
आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि की दर $\frac{dU}{dt} = \frac{5 R}{2} (\alpha + \beta t)$ है।
चूंकि दबाव स्थिर है,आपूर्ति की गई ऊष्मा $dQ = n C_p dT$ है। द्वि-परमाणुक गैस के लिए,$C_p = \frac{7}{2} R$ है।
इस प्रकार,हीटिंग एलिमेंट द्वारा आपूर्ति की गई शक्ति $i^2 r = \frac{dQ}{dt} = n C_p \frac{dT}{dt} = 1 \times \frac{7}{2} R \times (\alpha + \beta t)$ है।
इसलिए,धारा $i = \sqrt{\frac{7 R}{2 r} (\alpha + \beta t)}$ है।
आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ से,चूंकि $P$ स्थिर है,$V = \frac{nRT}{P} = \frac{R}{P} (\alpha t + \frac{1}{2} \beta t^2)$ है।
पिस्टन की स्थिति $x = \frac{V}{A} = \frac{R}{PA} (\alpha t + \frac{1}{2} \beta t^2)$ है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = \frac{R}{PA} (\alpha + \beta t)$ है।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{R \beta}{PA}$ है,जो स्थिर है। अतः,विकल्प $(a)$ और $(c)$ सही हैं।

(A) मान लीजिए गैस की प्रारंभिक अवस्था $(P_i, V, T)$ है।
चरण $1$: समतापीय संपीड़न।
गैस को तब तक संपीड़ित किया जाता है जब तक दबाव दोगुना न हो जाए। चूंकि प्रक्रिया समतापीय है,$P_i V = P_f V_f$। दिया गया है $P_f = 2P_i$,इसलिए $P_i V = (2P_i) V_f$,जिससे $V_f = V/2$ प्राप्त होता है।
समतापीय संपीड़न के बाद की अवस्था $(2P_i, V/2, T)$ है।
चरण $2$: रुद्धोष्म प्रसार।
गैस रुद्धोष्म रूप से फैलती है और अपना मूल आयतन $V$ पुनः प्राप्त कर लेती है। मान लीजिए अंतिम दबाव $P_f'$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया समीकरण $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ का उपयोग करते हुए:
$(2P_i) (V/2)^\gamma = P_f' V^\gamma$
$P_f' = (2P_i) \left(\frac{V/2}{V}\right)^\gamma = (2P_i) \left(\frac{1}{2}\right)^\gamma = 2P_i \times 2^{-\gamma}$
$P_f' = P_i \times 2^{1-\gamma}$
यहाँ $\gamma = 1.4$ दिया गया है,इसलिए $P_f' = 2P_i \times 2^{-1.4}$।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर: $P_f' = 2P_i \times 0.38 = 0.76 P_i$।
अतः,अंतिम और प्रारंभिक दबाव का अनुपात $P_f'/P_i = 0.76: 1$ है।

(B) समतापीय प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W_{\text{isothermal}} = nRT \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n = 1$,$T = 27^{\circ} C = 300 \ K$,और $V_2/V_1 = 2$ है,इसलिए $W = 1 \cdot R \cdot 300 \cdot \ln(2) \approx 300R(0.693)$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W_{\text{adiabatic}} = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,$\gamma = 1.4$ है।
दिया गया है कि $W_{\text{isothermal}} = W_{\text{adiabatic}}$,इसलिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{1 \cdot R(300 - T_{\text{final}})}{1.4 - 1} = 300R(0.693)$.
$\frac{300 - T_{\text{final}}}{0.4} = 300(0.693)$.
$300 - T_{\text{final}} = 0.4 \cdot 300 \cdot 0.693 = 83.16$.
$T_{\text{final}} = 300 - 83.16 = 216.84 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T(^{\circ} C) = 216.84 - 273.15 \approx -56.31^{\circ} C$.
अतः,अंतिम तापमान $-56^{\circ} C$ के निकट है।

(C) आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta U = n C_v \Delta T$.
यह दिया गया है कि प्रक्रिया नियत आयतन पर होती है,इसलिए $C_v = C_p - R$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $C_v = 7 - 2 = 5 \text{ cal/mol}^{\circ} C$.
मोलों की संख्या $n = 10 \text{ mol}$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 40^{\circ} C - 30^{\circ} C = 10^{\circ} C$.
अतः,$\Delta U = 10 \times 5 \times 10 = 500 \text{ cal}$.

(B) केवल घूर्णन मोड वाले द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ ($3$ स्थानांतरणीय + $2$ घूर्णन) है। अतः,$C_v = \frac{f}{2}R = \frac{5}{2}R$ होगा।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = nC_v \Delta T = 1 \times \frac{5}{2} \times 8.3 \times 1.2 = 24.9 \text{ J}$।
गैस द्वारा किया गया कार्य $W = P \Delta V = P(A \Delta x)$।
यहाँ $P = 10^5 \text{ Pa}$,$A = 4 \times 10^{-4} \text{ m}^2$,और $\Delta x = 25 \times 10^{-3} \text{ m}$ दिया गया है।
$W = 10^5 \times 4 \times 10^{-4} \times 25 \times 10^{-3} = 1 \text{ J}$।
कुल दी गई ऊष्मा $Q = \Delta U + W = 24.9 + 1 = 25.9 \text{ J}$।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$25 \text{ J}$ सबसे निकटतम मान है।

(D) एक द्विपरमाणुक गैस के लिए,नियत दाब पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_p = \frac{7}{2}R$ और नियत आयतन पर $C_v = \frac{5}{2}R$ होती है।
नियत दाब पर दी गई ऊष्मा $\Delta Q = nC_p \Delta T = n(\frac{7}{2}R)\Delta T$ द्वारा दी जाती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = nC_v \Delta T = n(\frac{5}{2}R)\Delta T$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,किया गया कार्य $\Delta W = \Delta Q - \Delta U = n(\frac{7}{2}R - \frac{5}{2}R)\Delta T = n(\frac{2}{2}R)\Delta T = nR \Delta T$ है।
अतः,$\Delta Q : \Delta U : \Delta W$ का अनुपात $\frac{7}{2} : \frac{5}{2} : \frac{2}{2} = 7 : 5 : 2$ है।

$A$ सही है: ऊष्मागतिकी का शून्यवाँ नियम तापमान की अवधारणा प्रदान करता है।
$B$ सही है: ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम आंतरिक ऊर्जा की अवधारणा प्रदान करता है।
$C$ गलत है: आदर्श गैस के समतापीय प्रसार के लिए, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। प्रथम नियम के अनुसार $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$, इसलिए $\Delta Q = \Delta W$ होता है।
$D$ सही है: गहन चर और विस्तीर्ण चर का गुणनफल एक विस्तीर्ण चर होता है (उदाहरण के लिए, $P \times V = \text{ऊर्जा}$, जो विस्तीर्ण है)।
$E$ गलत है: विस्तीर्ण चर का द्रव्यमान के साथ अनुपात एक गहन गुणधर्म है (उदाहरण के लिए, $\text{आयतन} / \text{द्रव्यमान} = \text{घनत्व}$, जो गहन है)।