Isobaric and Isochoric Processes Questions in Gujarati

(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ $(FLOT)$ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $dU = dQ - dW$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $dW = 0$ (સમકદ પ્રક્રિયા) અને $dQ < 0$ (તંત્ર દ્વારા ઉષ્મા મુક્ત થાય છે) આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $dU = dQ - 0 = dQ$ મળે છે.
જેથી $dQ < 0$ હોવાથી,$dU < 0$ થાય છે.
આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાન $T$ નું વિધેય છે $(U \propto T)$.
તેથી,આંતરિક ઉર્જામાં ઘટાડો $(dU < 0)$ એ તાપમાનમાં ઘટાડો $(dT < 0)$ સૂચવે છે.

(A) વાયુના વિસ્તરણ અથવા સંકોચન દરમિયાન વાયુ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ એ કદની સાપેક્ષમાં દબાણના સંકલન દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$.
અહીં દબાણ $P$ અચળ હોવાથી (સમદાબી પ્રક્રિયા),તેને સંકલનની બહાર લઈ શકાય છે: $W = P \int_{V_1}^{V_2} dV$.
સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા: $W = P [V]_{V_1}^{V_2} = P(V_2 - V_1)$.
તેથી,વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $P(V_2 - V_1)$ છે.

(C) સમદાબી પ્રક્રિયામાં દબાણ અચળ રહે છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
જ્યારે વાયુને ઉષ્મા $\Delta Q$ આપવામાં આવે છે,ત્યારે તે બાહ્ય દબાણની વિરુદ્ધ વિસ્તરણ પામે છે,તેથી વાયુ દ્વારા કાર્ય $\Delta W = P \Delta V$ થાય છે.
સાથે સાથે,વાયુનું તાપમાન વધે છે,જેના કારણે વાયુની આંતરિક ઉર્જા $\Delta U$ માં વધારો થાય છે.
તેથી,વાયુ દ્વારા કાર્ય થાય છે અને વાયુની આંતરિક ઉર્જા પણ વધે છે.

(A) સમદાબી (isobaric) વિસ્તરણ દરમિયાન થયેલ કાર્યનું સૂત્ર $W = P \Delta V$ છે.
આપેલ છે:
દબાણ $P = 2 \, atm = 2 \times 1.013 \times 10^5 \, Pa \approx 2 \times 10^5 \, Pa$.
પ્રારંભિક કદ $V_1 = 50 \, L = 50 \times 10^{-3} \, m^3$.
અંતિમ કદ $V_2 = 150 \, L = 150 \times 10^{-3} \, m^3$.
કદમાં ફેરફાર $\Delta V = V_2 - V_1 = (150 - 50) \times 10^{-3} \, m^3 = 100 \times 10^{-3} \, m^3 = 0.1 \, m^3$.
કાર્યના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W = (2 \times 10^5 \, Pa) \times (0.1 \, m^3) = 2 \times 10^4 \, J$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,થતું કાર્ય $W = P \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ $W = nR \Delta T$.
આપેલ છે:
મોલની સંખ્યા $n = 0.1 \, mol$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \, K$.
દબાણ અચળ હોવાથી,ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,$V \propto T$. જો કદ બમણું થાય $(V_2 = 2V_1)$,તો તાપમાન પણ બમણું થવું જોઈએ $(T_2 = 2T_1 = 600 \, K)$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 600 - 300 = 300 \, K$.
કાર્યના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W = 0.1 \times 2 \times 300 = 60 \, cal$.

(B) સમદાબી (isobaric) વિસ્તરણ દરમિયાન વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = P \Delta V$.
આપેલ છે:
દબાણ $P = 10^3 \, N/m^2$
કદમાં ફેરફાર $\Delta V = 0.25 \, m^3$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W = 10^3 \, N/m^2 \times 0.25 \, m^3$
$W = 1000 \times 0.25 \, J$
$W = 250 \, J$
તેથી,થયેલ કાર્ય $250 \, J$ છે.

(D) અચળ દબાણે (સમદાબી પ્રક્રિયા) તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્યનું સૂત્ર $W = P \Delta V$ છે.
અહીં,દબાણ $P$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે,જે $1.013 \times 10^5 \ Pa$ છે.
કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V_f - V_i = 3.34 \ m^3 - 2 \times 10^{-3} \ m^3 = 3.34 - 0.002 = 3.338 \ m^3$ છે.
આ કિંમતોને કાર્યના સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = (1.013 \times 10^5 \ Pa) \times (3.338 \ m^3)$
$W \approx 338,137 \ J$
કિલોજૂલ $(kJ)$ માં રૂપાંતર કરતા:
$W \approx 338 \ kJ \approx 340 \ kJ$.
તેથી,તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય આશરે $340 \ kJ$ છે.

(B) થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયામાં,વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ $PV$ આલેખ અને કદના અક્ષ વચ્ચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
કદ ${V_1}$ થી ${V_2}$ સુધીના વિસ્તરણ માટે,સમદાબી પ્રક્રિયામાં દબાણ $P$ અચળ રહે છે,જ્યારે સમતાપી અને સમઉષ્મી પ્રક્રિયાઓમાં દબાણ ઘટે છે.
સમદાબી પ્રક્રિયામાં સમગ્ર વિસ્તરણ દરમિયાન દબાણ સૌથી વધુ હોવાથી,$PV$ આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ સૌથી મોટું મળે છે.
તેથી,કાર્યનો ક્રમ આ મુજબ છે: ${W_{adiabatic}} < {W_{isothermal}} < {W_{isobaric}}$.
આમ,સમદાબી વિસ્તરણમાં કરવામાં આવેલ કાર્ય સૌથી વધુ હોય છે.

(D) અચળ દબાણે થતા થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયામાં કાર્યનું સૂત્ર $W = P \Delta V$ છે.
અહીં,કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = 2.4 \times 10^{-4} \ m^3$ છે.
અચળ દબાણ $P = 1 \times 10^5 \ N/m^2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = (1 \times 10^5 \ N/m^2) \times (2.4 \times 10^{-4} \ m^3)$
$W = 2.4 \times 10^{5-4} \ J$
$W = 2.4 \times 10^1 \ J$
$W = 24 \ J$.
તેથી,કરવામાં આવેલ કાર્ય $24 \ J$ છે.

(B) સમદાબી પ્રક્રિયા (અચળ દબાણ) માટે,થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,અચળ દબાણની પ્રક્રિયા માટે,$P \Delta V = nR \Delta T$ થાય.
આપેલ છે: $n = 1 \, mol$,$T_1 = 27^{\circ}C = 300 \, K$,$T_2 = 127^{\circ}C = 400 \, K$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 400 - 300 = 100 \, K$.
$R = 1.987 \, cal/mol-K$ નો ઉપયોગ કરતા (કારણ કે $C_P$ કેલરીમાં આપેલ છે),$W = nR \Delta T = 1 \times 1.987 \times 100 = 198.7 \, cal$.
કાર્યને કેલરીમાંથી જૂલમાં ફેરવવા માટે,આપણે $1 \, cal \approx 4.184 \, J$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$W = 198.7 \times 4.184 \approx 831.4 \, J$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $814 \, J$ છે.

(A) સમકદ પ્રક્રિયા એટલે એવી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા જેમાં તંત્રનું કદ અચળ રહે છે,એટલે કે $\Delta V = 0$.
પ્રતિવર્તી પ્રક્રિયામાં થતું કાર્ય $W = \int P \, dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી જો $\Delta V = 0$ હોય,તો થતું કાર્ય $\Delta W = 0$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(a)$ છે.

(C) થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા દરમિયાન વાયુ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય $W = \int P \, dV$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમકદ પ્રક્રિયામાં,સિસ્ટમનું કદ અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = 0$ છે.
કારણ કે કાર્ય $W = P \Delta V$ છે,$\Delta V = 0$ મૂકતા આપણને $W = P \times 0 = 0$ મળે છે.
તેથી,સમકદ પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.

(D) સમકદ (Isochoric) પ્રક્રિયા એ એક એવી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા છે જેમાં તંત્રનું કદ અચળ રહે છે $(dV = 0)$.
તંત્ર દ્વારા થતું કાર્ય $W = \int P dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી જો કદ અચળ હોય,તો કાર્ય $zero$ થાય છે.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$. અહીં $W = 0$ હોવાથી,તંત્રને આપવામાં આવતી તમામ ઉષ્મા ઊર્જા આંતરિક ઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે $(\Delta Q = \Delta U)$.

(D) આઈસોકોરિક પ્રક્રિયામાં કદ $V$ અચળ રહે છે.
ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદ પર આદર્શ વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,દબાણ $P$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(P \propto T)$.
તેથી,$\frac{P_1}{P_2} = \frac{T_1}{T_2}$.
પ્રથમ,તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં ફેરવો:
$T_1 = 27^o C = 27 + 273 = 300 \ K$
$T_2 = 127^o C = 127 + 273 = 400 \ K$
હવે,આ કિંમતોને ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{300}{400} = \frac{3}{4}$.

(C) સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q_P = n C_P \Delta T = Q$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_V \Delta T$ છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,તેથી $\Delta W = \Delta Q_P - \Delta U$.
પદોને મૂકતા,$\Delta W = n C_P \Delta T - n C_V \Delta T = n \Delta T (C_P - C_V) = n R \Delta T$.
કારણ કે $\Delta Q_P = n C_P \Delta T = Q$,તેથી $n \Delta T = \frac{Q}{C_P}$ મળે.
આમ,$\Delta W = \frac{R}{C_P} Q$.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,$C_V = \frac{3}{2}R$ અને $C_P = \frac{5}{2}R$ છે.
તેથી,$\Delta W = \frac{R}{5/2 R} Q = \frac{2}{5} Q$.

(A) આદર્શ વાયુ માટે સમદાબી પ્રક્રિયા (અચળ દબાણ) દરમિયાન,ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ છે.
અહીં,$\Delta Q = n C_P \Delta T$ એ આપેલી ઉષ્મા છે,$\Delta U = n C_V \Delta T$ એ આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર છે,અને $\Delta W$ એ બાહ્ય કાર્ય છે.
બાહ્ય કાર્ય માટે વપરાતી ઉષ્માનો અંશ $\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{\Delta Q - \Delta U}{\Delta Q} = 1 - \frac{\Delta U}{\Delta Q}$ છે.
પદો મૂકતા,$\frac{\Delta W}{\Delta Q} = 1 - \frac{n C_V \Delta T}{n C_P \Delta T} = 1 - \frac{C_V}{C_P} = 1 - \frac{1}{\gamma}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\gamma = 5/3$,તેથી અંશ $1 - \frac{1}{5/3} = 1 - 3/5 = 2/5$ થાય.
ટકાવારીમાં ફેરવતા: $(2/5) \times 100\% = 40\%$.

(D) અચળ દબાણ (isobaric) પ્રક્રિયા માટે,આપેલી ઉષ્માનું સૂત્ર: $dQ = \mu C_P dT$ છે.
અહીં,$\mu = 1 \, mol$,$dQ = 1163.4 \, J$,અને $R = 8.31 \, J \, mol^{-1} \, K^{-1}$ છે.
નાઇટ્રોજન જેવા દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = \frac{7}{2} R$ થાય છે.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $dT = \frac{dQ}{\mu C_P}$.
$dT = \frac{1163.4}{1 \times (\frac{7}{2} \times 8.31)}$.
$dT = \frac{1163.4 \times 2}{7 \times 8.31} = \frac{2326.8}{58.17} \approx 40 \, K$.
આમ,તાપમાનમાં થતો વધારો $40 \, K$ છે.

(B) પ્રક્રિયા $(1)$ માટે,કદ $V$ અચળ છે. કદમાં થતો ફેરફાર $dV = 0$ હોવાથી,થતું કાર્ય $W = \int P dV = 0$ થાય છે.
પ્રક્રિયા $(2)$ માટે,દબાણ $P$ અચળ છે. થતું કાર્ય $W = \int_{V_1}^{2V_1} P dV = P [V]_{V_1}^{2V_1} = P(2V_1 - V_1) = PV_1$ મળે છે.
આમ,બંને પ્રક્રિયા દરમિયાન થતું કાર્ય અનુક્રમે $0$ અને $PV_1$ છે.

(C) સમદાબી પ્રક્રિયા (અચળ દબાણ) માટે, થતું કાર્ય $W$ નું સૂત્ર $W = P \Delta V$ છે।
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, અચળ દબાણની પ્રક્રિયા માટે $P \Delta V = nR \Delta T$ થાય।
આપેલ છે:
મોલની સંખ્યા $n = 1 \, \text{mol}$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 100^{\circ}C - 0^{\circ}C = 100 \, K$.
વાયુ અચળાંક $R = 8.3 \, J/mol \cdot K$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = nR \Delta T = 1 \times 8.3 \times 100$.
$W = 830 \, J = 8.3 \times 10^{2} \, J$.

(C) અચળ દબાણે,ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ થાય.
અહીં $V_1 = V$,$V_2 = 2V$ અને $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V}{300} = \frac{2V}{T_2}$,તેથી $T_2 = 600 \ K$ મળે.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 600 - 300 = 300 \ K$ છે.
સમદાબી પ્રક્રિયામાં થતું કાર્ય $W = P \Delta V = \mu R \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $\mu = 0.1 \ mol$ અને $R \approx 2 \ cal/(mol \cdot K)$ લેતા:
$W = (0.1) \times (2) \times (300) = 60 \ cal$.

(C) સમકદ પ્રક્રિયા માટે કદ $V$ અચળ રહે છે.
ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,$P \propto T$ અથવા $P_1 / T_1 = P_2 / T_2$.
સૌ પ્રથમ,તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં ફેરવો:
$T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$
$T_2 = 127 + 273 = 400 \, K$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરો:
$P_1 / P_2 = T_1 / T_2 = 300 / 400 = 3/4$.

(A) સમકદ પ્રક્રિયા માટે કદ અચળ રહે છે,તેથી $\Delta V = 0$ થાય છે.
કાર્યનું સૂત્ર $\Delta W = P \Delta V$ હોવાથી,$\Delta W = 0$ મળે છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ છે.
અહીં $\Delta W = 0$ મૂકતા,આપણને $\Delta Q = \Delta U$ મળે છે.

(A) સમકદ પ્રક્રિયા માટે કદ અચળ રહે છે,તેથી $\Delta V = 0$ થાય છે.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ છે.
કારણ કે $\Delta W = P \Delta V$ અને $\Delta V = 0$ હોવાથી,$\Delta W = 0$ થાય છે.
તેથી,$\Delta Q = \Delta U + 0$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta Q = \Delta U$.

(B) અચળ દબાણે વાયુ દ્વારા થતા કાર્યનું સૂત્ર: $\Delta W = P \Delta V$ છે.
આપેલ છે:
દબાણ $P = 10^{3} \ N/m^{2}$
કદમાં ફેરફાર $\Delta V = 0.25 \ m^{3}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta W = 10^{3} \times 0.25 = 250 \ J$.
તેથી,થતું કાર્ય $250 \ J$ છે.

(A) આપેલ છે કે $C_P/C_V = \gamma$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_P - C_V = R$,તેથી $C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$.
કોઈપણ પ્રક્રિયા માટે આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_V \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 1$ હોવાથી,$\Delta U = C_V \Delta T = \frac{R \Delta T}{\gamma - 1}$.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,અચળ દબાણ $P$ માટે,$P \Delta V = nR \Delta T$ થાય. $n = 1$ હોવાથી,$P \Delta V = R \Delta T$.
આ કિંમત આંતરિક ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\Delta U = \frac{P \Delta V}{\gamma - 1}$.
અહીં $\Delta V = 2V - V = V$ હોવાથી,આપણને $\Delta U = \frac{PV}{\gamma - 1}$ મળે છે.

(D) પાત્ર $A$ (સમદાબી પ્રક્રિયા) માટે,આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q_A = \mu C_p \Delta T_A$ છે.
પાત્ર $B$ (સમકદ પ્રક્રિયા) માટે,આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q_B = \mu C_v \Delta T_B$ છે.
બંને પાત્રને સમાન ઉષ્મા આપવામાં આવતી હોવાથી,$\Delta Q_A = \Delta Q_B$.
તેથી,$\mu C_p \Delta T_A = \mu C_v \Delta T_B$.
આ સમીકરણ પરથી,$\Delta T_B = \frac{C_p}{C_v} \Delta T_A = \gamma \Delta T_A$.
દ્વિપરિમાણીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$ છે.
અહીં $\Delta T_A = 30\, K$ આપેલ છે,તેથી $\Delta T_B = 1.4 \times 30 = 42\, K$.

(B) અચળ દબાણે વિસ્તરણ પામતા વાયુ માટે,આપેલી ઉષ્મા $dQ = n C_p dT$ છે.
થયેલું કાર્ય $dW = P dV = n R dT$ છે.
કાર્યમાં રૂપાંતરિત ઉષ્માનો ભાગ $\eta = \frac{dW}{dQ} = \frac{n R dT}{n C_p dT} = \frac{R}{C_p}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$,તેથી $\eta = \frac{R}{\frac{\gamma R}{\gamma - 1}} = \frac{\gamma - 1}{\gamma} = 1 - \frac{1}{\gamma}$ મળે છે.

(A) અચળ દબાણ પ્રક્રિયા માટે, આપેલી ઉષ્મા $dQ = nC_p dT$ છે।
આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર $dU = nC_v dT$ છે।
થયેલું કાર્ય $dW = PdV = nR dT$ છે।
આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત ઉષ્માનો ભાગ $\frac{dU}{dQ} = \frac{nC_v dT}{nC_p dT} = \frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$ થાય।
અહીં $\gamma = 5/3$ આપેલ હોવાથી, આ ભાગ $\frac{1}{5/3} = 3/5 = 0.6$ એટલે કે $60\%$ થાય।
કાર્યમાં રૂપાંતરિત ઉષ્માનો ભાગ $\frac{dW}{dQ} = \frac{nR dT}{nC_p dT} = \frac{R}{C_p} = \frac{C_p - C_v}{C_p} = 1 - \frac{1}{\gamma} = 1 - 0.6 = 0.4$ એટલે કે $40\%$ થાય।
આમ, અનુક્રમે $60\%$ અને $40\%$ જવાબ મળે છે।

(C) પ્રક્રિયામાં કોઈ કાર્ય થતું ન હોવાથી,આ પ્રક્રિયા સમકદ (isochoric) છે.
સમકદ પ્રક્રિયા માટે,આપેલી ઉષ્મા એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલી હોય છે: $\Delta Q = \Delta U$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફારનું સૂત્ર $\Delta U = n \, C_v \, \Delta T$ છે.
એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2} R$ થાય છે.
આપેલ છે: $n = 2 \ mol$,$\Delta T = 373 \ K - 273 \ K = 100 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta Q = 2 \times \frac{3}{2} R \times 100 = 300 \ R$.

(B) અચળ દબાણ $P$ હેઠળ વાયુ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = P \Delta V$.
આપેલ છે:
દબાણ $P = 10^3\,N/m^2$
કદમાં ફેરફાર $\Delta V = 0.25\,m^3$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W = 10^3\,N/m^2 \times 0.25\,m^3$
$W = 1000 \times 0.25\,J$
$W = 250\,J$
આમ,થતું કાર્ય $250\,J$ છે.

(A) આલેખ પરથી,$V \propto T$,જે સૂચવે છે કે પ્રક્રિયા સમદાબી (અચળ દબાણ) છે.
સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,શોષાયેલી ઉષ્મા $dQ = nC_p dT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C_p$ એ અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 3$ છે. તેથી,$C_p = \frac{f+2}{2}R = \frac{3+2}{2}R = \frac{5}{2}R$.
તેથી,$dQ = n \left( \frac{5}{2}R \right) dT$.
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $dW = PdV$ છે. $PV = nRT$ હોવાથી,અચળ દબાણની પ્રક્રિયા માટે,$PdV = nRdT$ થાય.
જરૂરી ગુણોત્તર $\frac{dW}{dQ} = \frac{nRdT}{n(\frac{5}{2}R)dT} = \frac{1}{5/2} = \frac{2}{5}$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $STP$ પર કોઈપણ આદર્શ વાયુના $1 \ mol$ નું કદ $22.4 \ L$ હોય છે.
તેથી,વાયુના મોલની સંખ્યા $\mu = \frac{44.8}{22.4} = 2 \ mol$.
સિલિન્ડરનું કદ નિશ્ચિત હોવાથી,આ પ્રક્રિયા સમકદ (isochoric) છે.
અચળ કદે જરૂરી ઉષ્મા $\Delta Q_V = \mu C_V \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{3}{2}R$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta Q_V = 2 \times \frac{3}{2}R \times 10 = 30R$.

(B) $V-T$ આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,જો $V \propto T$ હોય,તો દબાણ $P$ અચળ રહે છે. આમ,પ્રક્રિયા $1-2$ એ સમદાબી પ્રક્રિયા છે.
સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q = nC_P \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય $\Delta W = P \Delta V = nR \Delta T$ છે.
સંબંધ $C_P - C_V = R$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ કે $\Delta W = n(C_P - C_V) \Delta T$.
શોષાયેલી ઉષ્મા અને થયેલા કાર્યનો ગુણોત્તર:
$\frac{\Delta Q}{\Delta W} = \frac{nC_P \Delta T}{n(C_P - C_V) \Delta T} = \frac{C_P}{C_P - C_V} = \frac{1}{1 - \frac{C_V}{C_P}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{\gamma}}$
હિલિયમ જેવા એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{5}{3}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર:
$\frac{\Delta Q}{\Delta W} = \frac{1}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{1}{\frac{2}{5}} = \frac{5}{2} = 2.5$.

(D) આલેખ પરથી, પ્રક્રિયા $1 \rightarrow 2$ એ સમદાબી (isobaric) પ્રક્રિયા છે કારણ કે $V \propto T$ (એટલે કે $V/T = \text{અચળ}$), જે સૂચવે છે કે દબાણ $P$ અચળ છે.
સમદાબી પ્રક્રિયા માટે, આપવામાં આવેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_P \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $\Delta W = P \Delta V = n R \Delta T$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે આદર્શ વાયુ માટે, $C_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$.
આ કિંમત $\Delta Q$ ના સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને મળે છે $\Delta Q = n \left( \frac{\gamma R}{\gamma - 1} \right) \Delta T$.
હવે, ગુણોત્તર $\Delta Q : \Delta W$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{\Delta Q}{\Delta W} = \frac{n \left( \frac{\gamma R}{\gamma - 1} \right) \Delta T}{n R \Delta T} = \frac{\gamma}{\gamma - 1}$.

(C) અચળ દબાણે વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W = P \Delta V$
અહીં આપેલ છે કે દબાણ $P$ અચળ છે અને કદ પ્રારંભિક કદ $V$ થી વધીને $2V$ થાય છે,તેથી કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = 2V - V = V$ છે.
આ કિંમતને કાર્યના સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = P(V) = PV$
આદર્શ વાયુના સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$. $n = 1$ મોલ વાયુ અને તાપમાન $T$ માટે:
$PV = RT$
તેથી,વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય:
$W = RT$

(D) આદર્શ વાયુના સમદાબી વિસ્તરણ માટે,દબાણ $P$ અચળ રહે છે.
વાયુનું વિસ્તરણ થતું હોવાથી,કદમાં વધારો થાય છે,તેથી $\Delta V > 0$.
થયેલું કાર્ય $W = P \Delta V$,જે શૂન્ય નથી.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,$P$ અચળ હોવાથી $V \propto T$ થાય. જેમ કદ વધે છે,તેમ તાપમાન $T$ પણ વધે છે,તેથી $\Delta U \neq 0$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$,તેથી $\Delta Q \neq 0$.
સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,$V = (nR/P)T$.
$T$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$dV/dT = nR/P$,જે એક અચળાંક છે.
ફરીથી $T$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$d^2V/dT^2 = 0$ મળે છે.

(C) અચળ દબાણે આદર્શ વાયુ માટે,થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,અચળ દબાણ માટે $P \Delta V = nR \Delta T$ થાય.
અચળ દબાણે આપવામાં આવેલ ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T$ છે.
એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \frac{5}{2} R$ છે.
આ કિંમત ઉષ્માના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $Q = n \left( \frac{5}{2} R \right) \Delta T$ મળે છે.
કારણ કે $nR \Delta T = W$ હોવાથી,આપણે $Q = \frac{5}{2} W$ લખી શકીએ.
તેથી,થયેલ કાર્ય માટે $W = \frac{2}{5} Q$ મળે છે.

(B) થી $B$ સુધીની પ્રક્રિયા સમદાબી (isobaric) પ્રક્રિયા છે કારણ કે દબાણ $P$,$2 \times 10^5 \text{ Pa}$ પર અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુ માટે,વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_{\text{by}} = nR\Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 2 \text{ મોલ}$,$T_A = 300 \text{ K}$,અને $T_B = 500 \text{ K}$ છે.
$W_{\text{by}} = 2 \times R \times (500 - 300) = 400R$.
પ્રશ્નમાં વાયુ પર થયેલ કાર્ય પૂછવામાં આવ્યું છે.
વાયુ પર થયેલ કાર્ય $W_{\text{on}} = -W_{\text{by}} = -400R$ થાય.
જોકે,આવા ભૌતિકવિજ્ઞાનના પ્રશ્નોના સંદર્ભમાં,સામાન્ય રીતે મૂલ્ય (magnitude) અપેક્ષિત હોય છે. આપેલા વિકલ્પોને જોતા,$400R$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $V \propto R^3$.
જ્યારે વ્યાસ બમણો થાય છે,ત્યારે ત્રિજ્યા $R$ પણ બમણી થાય છે $(R \rightarrow 2R)$.
તેથી,નવું કદ $V'$ એ $V' = \frac{4}{3} \pi (2R)^3 = 8 \times (\frac{4}{3} \pi R^3) = 8V$ થશે.
સમદાબી પ્રક્રિયા દરમિયાન અચળ વાતાવરણીય દબાણ $p$ ની વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $W = p \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$W = p(V' - V) = p(8V - V) = 7pV$.

(A) સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,કાર્ય $W = nR\Delta T$ અને આપવામાં આવેલી ઉષ્મા $Q = nC_p\Delta T$ છે.
આલેખ પરથી,જ્યારે $Q = 80 \ J$ હોય ત્યારે $W = 32 \ J$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{W}{Q} = \frac{nR\Delta T}{nC_p\Delta T} = \frac{R}{C_p} = \frac{32}{80} = \frac{2}{5}$.
આનો અર્થ એ છે કે $5R = 2C_p$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_p = C_v + R$,તેથી $5R = 2(C_v + R) = 2C_v + 2R$.
$3R = 2C_v \implies C_v = \frac{3}{2}R$.
જે વાયુ માટે $C_v = \frac{3}{2}R$ હોય તે એકપરમાણ્વીય (monoatomic) વાયુ છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$He$ (હિલિયમ) એકપરમાણ્વીય વાયુ છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણે આપવામાં આવેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,તેથી થયેલું કાર્ય $\Delta W = \Delta Q - \Delta U$ છે.
પદોને મૂકતા,$\Delta W = n C_p \Delta T - n C_v \Delta T = n(C_p - C_v) \Delta T = n R \Delta T$.
કાર્ય તરીકે વપરાતી ઉષ્માનો અંશ $\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{n R \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p}$ છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,$C_p = \frac{5}{2} R$ છે.
તેથી,આ અંશ $\frac{R}{\frac{5}{2} R} = \frac{2}{5} = 0.4$ થાય છે.

(B) અચળ દબાણે આદર્શ વાયુ માટે,થયેલું કાર્ય $W$ એ સૂત્ર $W = P \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,અચળ દબાણ $P$ માટે,આપણી પાસે $P \Delta V = nR \Delta T$ છે.
આપેલ છે:
મોલની સંખ્યા $n = 1 \ mol$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27 \ ^oC = 27 + 273 = 300 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 127 \ ^oC = 127 + 273 = 400 \ K$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 400 \ K - 300 \ K = 100 \ K$.
સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R = 8.31 \ J/mol-K$.
કાર્યના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W = nR \Delta T = 1 \times 8.31 \times 100 = 831 \ J$.
આમ,થયેલું કાર્ય $831 \ J$ છે.

(C) આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $PV = nRT$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{P}{T} = \frac{nR}{V}$.
આ કિંમતને આપેલ સમીકરણ $V = K \left( \frac{P}{T} \right)^{0.33}$ માં મૂકતા:
$V = K \left( \frac{nR}{V} \right)^{0.33}$
$V = K (nR)^{0.33} \cdot V^{-0.33}$
બંને બાજુ $V^{0.33}$ વડે ગુણતા:
$V^{1.33} = K' \text{ (જ્યાં } K' = K(nR)^{0.33} \text{ એ અચળાંક છે)}$
જેથી $V^{1.33}$ અચળ છે,તેનો અર્થ એ છે કે $V$ અચળ હોવું જોઈએ.
જે પ્રક્રિયામાં કદ અચળ રહે છે તેને સમકદ પ્રક્રિયા (isochoric process) કહેવામાં આવે છે.

(A) પ્રક્રિયા $AB$ માટે,કદ અચળ $(V = V_0)$ છે,તેથી તે સમકદ પ્રક્રિયા છે.
થયેલ કાર્ય $W_{AB} = 0$.
આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = \Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_v = \frac{5}{2} R$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$n \Delta T = \frac{\Delta(PV)}{R} = \frac{P_B V_B - P_A V_A}{R}$ મળે.
અહીં $P_A = P_0, V_A = V_0$ અને $P_B = 2P_0, V_B = V_0$ આપેલ છે.
તેથી,$n \Delta T = \frac{(2P_0)(V_0) - (P_0)(V_0)}{R} = \frac{P_0 V_0}{R}$.
આ કિંમત ઉષ્માના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta Q = n \left( \frac{5}{2} R \right) \Delta T = \frac{5}{2} R (n \Delta T) = \frac{5}{2} R \left( \frac{P_0 V_0}{R} \right) = 2.5 P_0 V_0$.

(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$.
અચળ દબાણની પ્રક્રિયા (isobaric process) માટે,આપેલી ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T$ છે.
થયેલું કાર્ય $W = P \Delta V = n R \Delta T$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
કાર્યમાં રૂપાંતરિત થતી ઉષ્માનો અંશ $\frac{W}{Q} = \frac{n R \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$,તેથી:
$\frac{W}{Q} = \frac{R}{\frac{\gamma R}{\gamma - 1}} = \frac{\gamma - 1}{\gamma}$.

(C) $P-V$ આલેખમાં,થયેલ કાર્ય એ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
સમદાબી પ્રક્રિયા એવી પ્રક્રિયા છે જેમાં દબાણ અચળ રહે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,પ્રક્રિયા $AB$ એ સમદાબી વિસ્તરણ દર્શાવે છે કારણ કે દબાણ $P = 2 \times 10^2 \, N/m^2$ પર અચળ રહે છે જ્યારે કદ $V_1 = 1 \, m^3$ થી વધીને $V_2 = 3 \, m^3$ થાય છે.
સમદાબી પ્રક્રિયા દરમિયાન થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$P = 2 \times 10^2 \, N/m^2$ અને $\Delta V = V_2 - V_1 = 3 - 1 = 2 \, m^3$ છે.
તેથી,$W = (2 \times 10^2) \times 2 = 400 \, J$.

(A) સમદાબી પ્રક્રિયામાં,આદર્શ વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V = nR \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ દબાણે આપેલી ઉષ્મા $Q = n C_P \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = \frac{5}{2}R$ છે.
થયેલ કાર્ય અને આપેલી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{W}{Q} = \frac{nR \Delta T}{n C_P \Delta T} = \frac{R}{C_P}$ થાય.
$C_P$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{W}{Q} = \frac{R}{\frac{5}{2}R} = \frac{2}{5} = 0.4$ મળે છે.

(A) આપેલ અવસ્થાનું સમીકરણ: $PV = nRT + \alpha V$.
$n = 1$ મોલ માટે,$PV = RT + \alpha V$,જેને $V(P - \alpha) = RT$ અથવા $V = \frac{RT}{P - \alpha}$ તરીકે લખી શકાય.
શરૂઆતમાં,$T = T_0$ અને $P = P_0$ પર,કદ $V_0 = \frac{RT_0}{P_0 - \alpha}$ છે.
પ્રક્રિયા સમદાબી હોવાથી,$P$ એ $P_0$ જેટલું અચળ રહે છે. જ્યારે તાપમાન બમણું થાય,ત્યારે $T_f = 2T_0$.
અંતિમ કદ $V_f = \frac{R(2T_0)}{P_0 - \alpha} = 2V_0$ થાય.
સમદાબી પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = P_0(V_f - V_0)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = P_0(2V_0 - V_0) = P_0 V_0$.
કારણ કે $V_0 = \frac{RT_0}{P_0 - \alpha}$,તેથી $W = P_0 \left( \frac{RT_0}{P_0 - \alpha} \right) = \frac{P_0 T_0 R}{P_0 - \alpha}$.

(B) અચળ દબાણે (સમદાબી પ્રક્રિયા) થતી આદર્શ વાયુની પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $W$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W = P\Delta V$
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,અચળ દબાણ માટે $P\Delta V = nR\Delta T$ થાય.
આપેલ છે:
મોલની સંખ્યા $n = 0.5\, mol$
વાયુ અચળાંક $R = 8.31\, J/mol\cdot K$
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 90\,^oC - 20\,^oC = 70\, K$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W = nR\Delta T$
$W = 0.5 \times 8.31 \times 70$
$W = 290.85\, J$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,થયેલ કાર્ય આશરે $291\, J$ છે.