Isobaric and Isochoric Processes Questions in Gujarati

(D) સમદાબી પ્રક્રિયા એ એવી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા છે જેમાં સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન તંત્રનું દબાણ અચળ રહે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,જો દબાણ $P$ અચળ હોય,તો દબાણમાં થતો ફેરફાર $\Delta P$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,સમદાબી પ્રક્રિયા દર્શાવતું સમીકરણ $\Delta P=0$ છે.

(A) આઈસોકોરિક પ્રક્રિયા એવી પ્રક્રિયા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમાં સિસ્ટમનું કદ અચળ રહે છે $(dV = 0)$.
કારણ કે કાર્ય $dW = P dV$ છે,જો $dV = 0$ હોય,તો $dW = 0$ થાય. આમ,આ પ્રક્રિયામાં કોઈ કાર્ય થતું નથી.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW$. કારણ કે $dW = 0$ છે,તેથી વિનિમય થયેલી ઉષ્મા $(dQ)$ સંપૂર્ણપણે સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જા $(dU)$ બદલવા માટે વપરાય છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે કારણ કે વિનિમય થયેલી ઉર્જા કાર્ય કરવા માટે વપરાતી નથી.

(C) સમદાબી પ્રક્રિયા એ એવી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા છે જેમાં તંત્રનું દબાણ અચળ રહે છે $(P = \text{constant})$.
આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ, $PV = nRT$. કારણ કે $P$ અચળ છે, તેથી $V \propto T$.
તેથી, જો પ્રક્રિયા દરમિયાન કદમાં ફેરફાર થાય, તો તંત્રનું તાપમાન પણ બદલાવું જોઈએ.
વિધાન $(C)$ કહે છે કે તાપમાન અચળ રહે છે, જે સમદાબી પ્રક્રિયા માટે ખોટું છે; તે સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયાની લાક્ષણિકતા છે.

(B) સમઆયતનીય પ્રક્રિયામાં,સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન તંત્રનું કદ (volume) અચળ રહે છે.
$p-V$ આલેખ પર,જ્યાં દબાણ $p$ ને $y$-અક્ષ પર અને કદ $V$ ને $x$-અક્ષ પર દર્શાવવામાં આવે છે,ત્યારે અચળ કદની પ્રક્રિયાને એક શિરોલંબ (vertical) રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આ શિરોલંબ રેખા સૂચવે છે કે દબાણમાં કોઈપણ ફેરફાર માટે,$V$ નું મૂલ્ય સમાન રહે છે.
આપેલ આલેખોને જોતા,જે આલેખ શિરોલંબ રેખા દર્શાવે છે તે સમઆયતનીય પ્રક્રિયાને અનુરૂપ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $II$ છે.

(C) અચળ દબાણે આદર્શ વાયુ માટે,ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ $ V \propto T $ થાય છે.
અહીં કદ બમણું થાય છે $( V_2 = 2V_1 )$,તેથી તાપમાન પણ બમણું થશે.
શરૂઆતનું તાપમાન $ T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K} $ છે.
અંતિમ તાપમાન $ T_2 = 2 \times 300 \text{ K} = 600 \text{ K} $ થશે.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $ \Delta T = 600 \text{ K} - 300 \text{ K} = 300 \text{ K} $ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $ C_p = \frac{7}{2}R $ છે.
આપવી પડતી ઉષ્મા $ Q = n C_p \Delta T $ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $ Q = 1 \times \frac{7}{2} R \times 300 = 1050 R $.

(C) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આપેલી ઉષ્મા $Q$ એ આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ અને કરેલા કાર્ય $W$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે: $Q = \Delta U + W$.
અચળ દબાણે થતી પ્રક્રિયા માટે,આપેલી ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_V \Delta T$ છે.
કરેલું કાર્ય $W = Q - \Delta U = n C_p \Delta T - n C_V \Delta T = n R \Delta T$ છે.
કાર્યમાં રૂપાંતરિત ઉષ્મા ઉર્જાનો અંશ $\frac{W}{Q} = \frac{n R \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p}$ છે.
મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુ માટે,$C_p = \frac{5}{2} R$ છે.
તેથી,આ અંશ $\frac{W}{Q} = \frac{R}{\frac{5}{2} R} = \frac{2}{5}$ થાય છે.

(A) મોનોએટોમિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 3$ છે.
અચળ દબાણે,શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $C_p = \frac{f+2}{2} R = \frac{5}{2} R$,તેથી $Q = \frac{5}{2} n R \Delta T$.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ પરથી,$p \Delta V = n R \Delta T$.
આ કિંમતને ઉષ્માના સમીકરણમાં મૂકતા: $Q = \frac{5}{2} p \Delta V$.
અહીં $Q = 80 \ J$ અને $\Delta V = 16 \times 10^{-5} \ m^3$ આપેલ છે,તેથી:
$80 = \frac{5}{2} \times p \times 16 \times 10^{-5}$.
$80 = 40 \times 10^{-5} \times p$.
$p = \frac{80}{40 \times 10^{-5}} = 2 \times 10^5 \ Nm^{-2}$.

(A) આપેલ છે: અચળ દબાણે આપેલી ઉષ્મા, $Q_P = 210 \,J$.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે, અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{5}{2}R$ છે.
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = C_V + R = \frac{5}{2}R + R = \frac{7}{2}R$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Q_P = n C_P \Delta T = 210 \,J$.
$C_P$ ની કિંમત મૂકતા, $n (\frac{7}{2}R) \Delta T = 210$ મળે.
તેથી, $n R \Delta T = 210 \times \frac{2}{7} = 60 \,J$.
અચળ દબાણે વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V = n R \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી, $W = 60 \,J$.

(A) આપેલ છે: વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય, $W = 200 \,J$.
અચળ દબાણે વિસ્તરણ પામતા આદર્શ એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે, શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
થયેલ કાર્ય $W = n R \Delta T$ છે.
$Q$ અને $W$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{Q}{W} = \frac{n C_p \Delta T}{n R \Delta T} = \frac{C_p}{R}$.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે, અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2} R = 1.5 R$ છે.
સંબંધ $C_p = C_v + R$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $C_p = 1.5 R + R = 2.5 R$ મળે છે.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{Q}{W} = \frac{2.5 R}{R} = 2.5$.
તેથી, $Q = 2.5 \times W = 2.5 \times 200 \,J = 500 \,J$.

(B) અચળ કદ પર વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta U = n C_V \Delta T$
જ્યાં:
$n = 3 \text{ મોલ}$
$\Delta U = 1080 \ J$
$\Delta T = 40^{\circ}C - 20^{\circ}C = 20 \ K$
$C_V$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$C_V = \frac{\Delta U}{n \Delta T}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$C_V = \frac{1080}{3 \times 20}$
$C_V = \frac{1080}{60}$
$C_V = 18 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$
આમ, અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $18 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ છે.

(C) અચળ દબાણની પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્યનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W = P \Delta V$
આદર્શ વાયુ માટે, આપણે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ। અચળ દબાણે, $P \Delta V = nR \Delta T$ થાય છે।
તેથી, $W = nR \Delta T$ ... $(i)$
આપેલ છે:
$n = 1.5 \,mol$
$R = 8.3 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$
$\Delta T = (130 + 273) - (30 + 273) = 100 \,K$
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$W = 1.5 \times 8.3 \times 100$
$W = 1245 \,J$

(B) આપેલ આલેખમાં, $V \propto T$, જેનો અર્થ છે કે $\frac{V}{T} = \text{$અચળ$}$.
આ સૂચવે છે કે પ્રક્રિયા સમદાબી પ્રક્રિયા (અચળ દબાણ પ્રક્રિયા) છે。
સમદાબી પ્રક્રિયા માટે, આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
થયેલું કાર્ય $\Delta W = p \Delta V = n R \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
હિલિયમ જેવા એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે $C_p = \frac{5}{2} R$ હોવાથી, આપણને મળે છે:
$\Delta W = n R \Delta T = n R \left( \frac{\Delta Q}{n C_p} \right) = \frac{\Delta Q R}{C_p} = \frac{\Delta Q R}{\frac{5}{2} R} = \frac{2}{5} \Delta Q$.
અહીં $\Delta Q = 5 \text{ cal}$ આપેલ છે, તેથી:
$\Delta W = \frac{2}{5} \times 5 \text{ cal} = 2 \text{ cal}$.
જૂલમાં રૂપાંતર કરતા, $\Delta W = 2 \times 4.2 \text{ J} = 8.4 \text{ J}$.

(C) અચળ દબાણે થતી પ્રક્રિયા માટે આદર્શ વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ નું સૂત્ર $W = nR\Delta T$ છે.
અહીં,મોલની સંખ્યા $n = 6$ છે.
સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R = 8.31 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ છે.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = 20^{\circ} C = 20 \ K$ છે (કારણ કે સેલ્સિયસ અને કેલ્વિન સ્કેલ પર તાપમાનનો તફાવત સમાન હોય છે).
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = 6 \times 8.31 \times 20$
$W = 120 \times 8.31$
$W = 997.2 \ J$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) વિસ્તરણ દરમિયાન વાયુ દ્વારા થતું કાર્ય $P-V$ આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,$W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$.
$V_1$ થી $V_2$ સુધીના કદમાં ફેરફાર માટે,સંકલનનું મૂલ્ય મહત્તમ કરવા માટે સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન દબાણ $P$ શક્ય તેટલું ઊંચું હોવું જોઈએ.
સમદાબ પ્રક્રિયામાં,દબાણ તેના પ્રારંભિક મહત્તમ મૂલ્ય પર અચળ રહે છે.
સમતાપી અથવા એડિયાબેટિક જેવી અન્ય પ્રક્રિયાઓમાં,જેમ કદ વધે છે તેમ દબાણ ઘટે છે.
તેથી,$P-V$ આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ સમદાબ વિસ્તરણ માટે સૌથી મોટું હોય છે,જેના કારણે થતું કાર્ય મહત્તમ બને છે.

(B) સમકદ પ્રક્રિયા માટે,કદ અચળ રહે છે,તેથી $\Delta V = 0$.
થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયામાં થતું કાર્ય $W = p \cdot \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $\Delta V = 0$ મૂકતા $W = 0$ મળે છે.

(A) સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $dW = P dV$ અને આપેલી ઉષ્મા $dQ = n C_p dT$ છે.
સંબંધ $C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$ અને $dW = n R dT$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dW}{dQ} = \frac{nR dT}{n C_p dT} = \frac{R}{C_p} = \frac{R}{\frac{\gamma R}{\gamma - 1}} = \frac{\gamma - 1}{\gamma}$.
અહીં $\gamma = 1.4$ અને $dW = 300 \ J$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{300}{dQ} = \frac{1.4 - 1}{1.4} = \frac{0.4}{1.4} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$.
તેથી,$dQ = 300 \times \frac{7}{2} = 150 \times 7 = 1050 \ J$.

(D) સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V = nR \Delta T = 200 \ J$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયુને આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_P \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $C_P = \frac{7}{2} R$ આપેલ છે,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\Delta Q = n \left( \frac{7}{2} R \right) \Delta T = \frac{7}{2} (nR \Delta T)$.
$nR \Delta T = 200 \ J$ ની કિંમત મૂકતા:
$\Delta Q = \frac{7}{2} \times 200 \ J = 7 \times 100 \ J = 700 \ J$.

(A) સમદાબી પ્રક્રિયા માટે, આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_P \Delta T = 700 \,J$ છે।
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_V \Delta T$ છે।
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે, એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1.4 = \frac{7}{5}$ છે।
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + W$, તેથી વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \Delta Q - \Delta U$ છે।
કારણ કે $\Delta U = n C_V \Delta T = n \left(\frac{C_P}{\gamma}\right) \Delta T = \frac{\Delta Q}{\gamma}$, તેથી:
$W = \Delta Q - \frac{\Delta Q}{\gamma} = \Delta Q \left(1 - \frac{1}{\gamma}\right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = 700 \left(1 - \frac{5}{7}\right) = 700 \left(\frac{2}{7}\right) = 200 \,J$.

(C) આઈસોબેરિક પ્રક્રિયા માટે, દબાણ અચળ રહે છે $(P = \text{constant})$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
ડાયટોમિક વાયુ માટે, મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માઓ $C_p = \frac{7}{2}R$ અને $C_v = \frac{5}{2}R$ છે.
આપવામાં આવેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T$ છે.
થયેલું કાર્ય $\Delta W = n R \Delta T$ છે.
કાર્યમાં રૂપાંતરિત ઉષ્માનો અંશ $\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{n R \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p} = \frac{R}{\frac{7}{2}R} = \frac{2}{7}$ છે.
આને ટકામાં ફેરવતા: $\frac{2}{7} \times 100 \approx 28.6 \%$.
તેથી, કાર્યમાં રૂપાંતરિત ઉષ્માની ટકાવારી $28.6 \%$ છે.

(C) સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V = n R \Delta T = 100 J$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = \frac{5}{2} R$ છે.
વાયુને આપવામાં આવતી ઉષ્મા $Q = n C_P \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$C_P$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $Q = n (\frac{5}{2} R) \Delta T = \frac{5}{2} (n R \Delta T)$ મળે છે.
અહીં $n R \Delta T = 100 J$ હોવાથી,$Q = \frac{5}{2} \times 100 J = 250 J$ થાય.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_V \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 1$ મોલ આપેલ છે,તેથી $\Delta U = C_V \Delta T$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_V = \frac{R}{\gamma-1}$.
તેથી,$\Delta U = \frac{R \Delta T}{\gamma-1}$.
અચળ દબાણ $p$ પર આદર્શ વાયુના સમીકરણ મુજબ,$p V = R T$,તેથી $p \Delta V = R \Delta T$.
અહીં,કદ $V$ થી બદલાઈને $2V$ થાય છે,તેથી $\Delta V = 2V - V = V$.
તેથી,$R \Delta T = p V$.
આ કિંમતને $\Delta U$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta U = \frac{p V}{\gamma-1}$.

(B) અચળ દબાણ (isobaric) પ્રક્રિયા દરમિયાન વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્યનું સૂત્ર: $W = P \Delta V$ છે.
અહીં, $P = 400 \text{ kPa} = 400 \times 10^3 \text{ Pa}$.
કદમાં ફેરફાર $\Delta V$ એ આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ અને સ્થાનાંતર $h$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
આપેલ છે કે $A = 0.3 \text{ m}^2$ અને $h = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$.
તેથી, $\Delta V = A \times h = 0.3 \text{ m}^2 \times 0.1 \text{ m} = 0.03 \text{ m}^3$.
હવે, કિંમતોને કાર્યના સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = (400 \times 10^3 \text{ Pa}) \times (0.03 \text{ m}^3)$
$W = 400,000 \times 0.03 = 12,000 \text{ J}$.
કિલોજૂલમાં રૂપાંતર કરતા: $W = 12 \text{ kJ}$.

(C) $P_1$ થી $P_2$ સુધીની પ્રક્રિયા અચળ કદ $V = 1 \text{ m}^3$ પર થાય છે.
સમકદ (isochoric) પ્રક્રિયા માટે,આપલે થયેલ ઉષ્મા $\Delta Q = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $nR \Delta T = V \Delta P$ મળે છે.
આ કિંમતને ઉષ્માના સમીકરણમાં મૂકતા: $\Delta Q = \frac{C_v}{R} (nR \Delta T) = \frac{C_v}{R} V (P_2 - P_1)$.
અહીં $n = 10 \text{ mol}$,$C_v = 21 \text{ J/K} \cdot \text{mol}$,$R = 8.3 \text{ J/mol} \cdot \text{K}$,$V = 1 \text{ m}^3$,$P_1 = 21.7 \text{ Pa}$,અને $P_2 = 30 \text{ Pa}$ આપેલ છે.
$\Delta Q = \frac{21}{8.3} \times 1 \times (30 - 21.7) = \frac{21}{8.3} \times 8.3 = 21 \text{ J}$.
તેથી,$\alpha = 21$.

(B) સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V = nR \Delta T = 100 \ J$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degree of freedom) $f = 5$ છે.
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = (\frac{f}{2} + 1)R = (\frac{5}{2} + 1)R = \frac{7}{2}R$ છે.
વાયુને આપેલી ઉષ્મા $Q = nC_p \Delta T = n(\frac{7}{2}R) \Delta T$ છે.
$nR \Delta T = 100 \ J$ મૂકતા,આપણને $Q = \frac{7}{2} \times 100 = 350 \ J$ મળે છે.