मूल बिंदु पर केंद्रित M द्रव्यमान और R त्रिज् | vedclass

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Question

(D) दिया गया है,गोले का घनत्व,$\rho = A r^\alpha$ (जहाँ $r$ त्रिज्यीय दूरी है और $A$ तथा $\alpha$ स्थिरांक हैं)।$r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाले एक सूक

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-$12$

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(D) दिया गया है,गोले का घनत्व,$ho = A r^\alpha$ (जहाँ $r$ त्रिज्यीय दूरी है और $A$ तथा $\alpha$ स्थिरांक हैं)।$r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाले एक सूक्ष्म गोलीय कोश पर विचार करें।सूक्ष्म गोलीय कोश का द्रव्यमान,$dm = 	ext{आयतन} 	imes 	ext{घनत्व} = (4 \pi r^2) dr \cdot A r^\alpha = 4 \pi A r^{2+\alpha} dr$.संपूर्ण ठोस गोले का द्रव्यमान,$M = 4 \pi A \int_0^R r^{2+\alpha} dr = 4 \pi A \left[ \frac{r^{3+\alpha}}{3+\alpha} ight]_0^R = \frac{4 \pi A}{3+\alpha} R^{3+\alpha}$.सूक्ष्म गोलीय कोश का जड़त्व आघूर्ण $dI = \frac{2}{3} (dm) r^2 = \frac{2}{3} (4 \pi A r^{2+\alpha} dr) r^2 = \frac{8}{3} \pi A r^{4+\alpha} dr$.संपूर्ण ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण,$I = \int_0^R dI = \frac{8}{3} \pi A \int_0^R r^{4+\alpha} dr = \frac{8}{3} \pi A \left[ \frac{r^{5+\alpha}}{5+\alpha} ight]_0^R = \frac{8 \pi A}{3(5+\alpha)} R^{5+\alpha}$.$I$ के व्यंजक में $M$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \left( \frac{4 \pi A R^{3+\alpha}}{3+\alpha} ight) \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3+\alpha}{5+\alpha} R^2 = M R^2 \left( \frac{2(3+\alpha)}{3(5+\alpha)} ight)$.दिया गया है कि $I = \frac{6}{7} M R^2$,इसलिए तुलना करने पर: $\frac{2(3+\alpha)}{3(5+\alpha)} = \frac{6}{7}$.$14(3+\alpha) = 18(5+\alpha) \Rightarrow 42 + 14\alpha = 90 + 18\alpha \Rightarrow -4\alpha = 48 \Rightarrow \alpha = -12$.

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