Acceleration and Force of Simple Harmonic Motion Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે: દળ $m = 0.3 \, kg$,બળ અચળાંક $k = 15 \, N/m$,અને સ્થાનાંતર $x = 20 \, cm = 0.2 \, m$.
હૂકના નિયમ મુજબ,બળનું મૂલ્ય $F = kx$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $F = 15 \times 0.2 = 3 \, N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી પ્રવેગ $a = \frac{F}{m}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{3}{0.3} = 10 \, m/s^2$.
આમ,પ્રારંભિક પ્રવેગ $10 \, m/s^2$ છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો પ્રવેગ $a = \omega^2 y$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $y$ એ સ્થાનાંતર છે.
આપેલ છે કે $a = 0.5 \, m/s^2$ અને $y = 0.02 \, m$.
$\omega^2 = \frac{a}{y} = \frac{0.5}{0.02} = 25$.
$\omega = \sqrt{25} = 5 \, rad/s$.
મહત્તમ વેગ $v_{\max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપનવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે $A = 0.1 \, m$.
$v_{\max} = 0.1 \times 5 = 0.5 \, m/s$.

(C) $S.H.M.$ કરતા કણનો પ્રવેગ $a$ સૂત્ર $a = -{\omega ^2}x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $x$ એ સંતુલન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે.
સંતુલન સ્થાન પર,$x = 0$ હોવાથી પ્રવેગ શૂન્ય થાય છે.
અંતિમ સ્થાનો પર,સ્થાનાંતર $x$ એ કંપવિસ્તાર $A$ જેટલું હોય છે (એટલે કે $x = \pm A$).
તેથી,પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = {\omega ^2}A$ થાય છે,જે મહત્તમ મૂલ્ય છે.
આમ,પ્રવેગ અંતિમ સ્થાન પર મહત્તમ હોય છે.

(D) કણનું સ્થાનાંતર $y = a \sin \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v = \frac{dy}{dt} = a \omega \cos \omega t$.
પ્રવેગ $A$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $A = \frac{dv}{dt} = -a \omega^2 \sin \omega t$.
આપેલ છે કે $t = \frac{T}{4}$ અને આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $\omega t = \frac{2\pi}{T} \times \frac{T}{4} = \frac{\pi}{2}$.
આ કિંમત પ્રવેગના સમીકરણમાં મૂકતા: $A = -a \omega^2 \sin(\frac{\pi}{2}) = -a \omega^2 (1) = -a \omega^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $S.H.M.$ કરતા કણનો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = A\omega^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$A = 0.01 \, m$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $n = 60 \, Hz$ એ આવૃત્તિ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2\pi n$,તેથી $\omega^2 = 4\pi^2 n^2$.
કિંમતો મૂકતા: $a_{max} = 0.01 \times 4\pi^2 \times (60)^2$.
$a_{max} = 0.01 \times 4\pi^2 \times 3600$.
$a_{max} = 144\pi^2 \, m/s^2$.

(A) $S.H.M.$ માં મહત્તમ બળ $F_{\max} = m \cdot a_{\max}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a_{\max} = A \omega^2$ છે.
આપેલ છે: દળ $m = 0.10 \, kg$,કંપવિસ્તાર $A = 1.0 \, m$,અને આવર્તકાળ $T = 0.20 \, s$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.20} = 10\pi \, rad/s$.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max} = A \omega^2 = 1.0 \times (10\pi)^2 = 100\pi^2 \, m/s^2$.
મહત્તમ બળ $F_{\max} = m \cdot a_{\max} = 0.10 \times 100\pi^2 = 10\pi^2 \, N$.
$\pi^2 \approx 9.8596$ લેતા,$F_{\max} = 10 \times 9.8596 = 98.596 \, N$ મળે છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં,પ્રવેગ $a$ એ $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $x$ એ સંતુલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતર છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,$x = 0$,તેથી પ્રવેગ $a = 0$ થાય છે,જે ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
અંતિમ સ્થાનો પર,$x = \pm A$ (જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે),તેથી પ્રવેગ $a = \mp \omega^2 A$ થાય છે,જે મહત્તમ મૂલ્ય છે.
તેથી,સંતુલન સ્થિતિમાં પ્રવેગ મહત્તમ હોય છે તે વિધાન ખોટું છે.
સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) કણનું દળ $m = 10 \text{ g} = 0.01 \text{ kg}$ છે.
કંપવિસ્તાર $A = 0.5 \text{ m}$ છે.
આવર્તકાળ $T = \pi / 5 \text{ s}$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi / T = 2\pi / (\pi / 5) = 10 \text{ rad/s}$ છે.
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણ પર લાગતું મહત્તમ બળ $F_{\text{max}} = m \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $F_{\text{max}} = 0.01 \times (10)^2 \times 0.5$.
$F_{\text{max}} = 0.01 \times 100 \times 0.5 = 1 \times 0.5 = 0.5 \text{ N}$.

(D) સ્થાનાંતર માટેનું આપેલ સમીકરણ $y = \sin \left( \frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{6} \right)$ છે.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કંપવિસ્તાર $A = 1 \ cm$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{\pi}{4} \ rad/s$ મળે છે.
$SHM$ માં કણનો પ્રવેગ $a = -\omega^2 y$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max} = \omega^2 A$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a_{\max} = \left( \frac{\pi}{4} \right)^2 \times 1 = \frac{\pi^2}{16}$.
$\pi^2 \approx 9.869$ લેતા,આપણને $a_{\max} = \frac{9.869}{16} \approx 0.6168 \ cm/s^2$ મળે છે.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$a_{\max} \approx 0.62 \ cm/s^2$ મળે છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ કરતા કણ માટે,પુનઃસ્થાપક બળ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતરના ઋણ મૂલ્યના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $F = -kx$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
અહીં $A$ અને $K$ ધન અચળાંકો આપેલા હોવાથી,આ ગતિ માટે બળનું સમીકરણ $F = -AKx$ થશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો મહત્તમ પ્રવેગ $(a_{\max})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a_{\max} = A\omega^2$,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે.
આપેલ છે:
કોણીય ઝડપ $\omega = 3.5\, rad/s$
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max} = 7.5\, m/s^2$
કંપવિસ્તાર $A$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$A = \frac{a_{\max}}{\omega^2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$A = \frac{7.5}{(3.5)^2} = \frac{7.5}{12.25} \approx 0.61\, m$
તેથી,દોલનનો કંપવિસ્તાર $0.61\, m$ છે.

(A) સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \cos(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $A = 10\, cm = 0.10\, m$ અને $\omega = 10\, rad/s$ છે.
સરળ આવર્ત ગતિમાં કણનો પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max}$ નું સૂત્ર $a_{\max} = \omega^2 A$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $a_{\max} = (10\, rad/s)^2 \times (0.10\, m) = 100 \times 0.10 = 10\, m/s^2$.
તેથી,બ્લોક દ્વારા અનુભવાતો મહત્તમ પ્રવેગ $10\, m/s^2$ છે.

(A) $S.H.M.$ માં કણનો પ્રવેગ $a = -{\omega ^2}x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ સંતુલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતર છે.
મહત્તમ પ્રવેગ ત્યારે મળે છે જ્યારે સ્થાનાંતર $x$ મહત્તમ હોય,જે કંપવિસ્તાર $A$ જેટલું હોય છે.
તેથી,$|a_{\max}| = {\omega ^2}A$.
આ સ્થિતિ અંતિમ સ્થાનો પર એટલે કે કંપવિસ્તાર પર જોવા મળે છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો મહત્તમ પ્રવેગ $(a_{\max})$ શોધવાનું સૂત્ર: $a_{\max} = \omega^2 A$,જ્યાં $\omega = 2\pi f$.
આપેલ છે: કંપનવિસ્તાર $(A)$ = $0.02 \ m$,આવૃત્તિ $(f)$ = $50 \ Hz$.
પ્રથમ,કોણીય આવૃત્તિની ગણતરી કરો: $\omega = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi \ rad/s$.
હવે,મહત્તમ પ્રવેગની ગણતરી કરો: $a_{\max} = (100\pi)^2 \times 0.02$.
$a_{\max} = 10000 \pi^2 \times 0.02 = 200 \pi^2 \ m/s^2$.

(D) $SHM$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi) = -\omega^2 x$ છે.
સરેરાશ સ્થિતિ (mean position) પર,સ્થાનાંતર $x = 0$ હોય છે.
પ્રવેગના સૂત્રમાં $x = 0$ મૂકતા,આપણને $a = -\omega^2(0) = 0$ મળે છે.
તેથી,$SHM$ કરતા કણનો તેની સરેરાશ સ્થિતિએ પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ માં,સ્થાનાંતર $y = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi) = -\omega^2 y$ છે.
મધ્યમાન સ્થાન $(y = 0)$ પર,વેગ $v$ મહત્તમ $(v_{max} = A\omega)$ હોય છે અને પ્રવેગ $a$ શૂન્ય $(a = -\omega^2(0) = 0)$ હોય છે.
અંતિમ સ્થાનો $(y = \pm A)$ પર,વેગ $v$ શૂન્ય હોય છે અને પ્રવેગ $a$ મહત્તમ $(a_{max} = \pm \omega^2 A)$ હોય છે.
તેથી,જ્યારે $v$ મહત્તમ હોય,ત્યારે $a$ શૂન્ય હોય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $y = 2\sin \left( {\frac{{\pi t}}{2} + \phi } \right)$ ને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $y = A\sin (\omega t + \phi )$ સાથે સરખાવતા:
આપણને કંપવિસ્તાર $A = 2 \text{ cm}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{\pi }{2} \text{ rad/s}$ મળે છે.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max}$ નું સૂત્ર $a_{max} = \omega^2 A$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $a_{max} = \left( \frac{\pi }{2} \right)^2 \times 2 = \frac{\pi^2}{4} \times 2 = \frac{\pi^2}{2} \text{ cm/s}^2$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો પ્રવેગ $a$ સમીકરણ $a = -{\omega}^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં ${\omega}$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
પ્રવેગ અને સ્થાનાંતરના ગુણોત્તરનું માન લેતા,આપણને મળે છે:
$|a/x| = |-{\omega}^2 x / x| = {\omega}^2$.
તેથી,પ્રવેગ અને સ્થાનાંતરનો ગુણોત્તર એ કોણીય આવૃત્તિના વર્ગ જેટલો હોય છે.

(D) $S.H.M.$ કરતી કણ માટે,પ્રવેગ $a$ એ $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે: સ્થાનાંતર $x = 3\;cm$ અને પ્રવેગ $a = 12\;cm/s^2$.
મૂલ્ય લેતા: $12 = \omega^2 \times 3$.
$\omega^2 = \frac{12}{3} = 4$.
$\omega = 2\;rad/s$.
આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T = \frac{2\pi}{2} = \pi\;s$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,આપણને $T = 3.14\;s$ મળે છે.

(A) સરળ આવર્ત દોલક માટે,પ્રવેગનું મૂલ્ય $a$ એ સંબંધ $a = \omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
આપેલ છે: $x = 0.02\, m$ અને $a = 2.0\, m\, s^{-2}$.
કોણીય આવૃત્તિ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $\omega = \sqrt{\frac{a}{x}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\omega = \sqrt{\frac{2.0}{0.02}} = \sqrt{\frac{200}{2}} = \sqrt{100}$.
તેથી,$\omega = 10\, rad\, s^{-1}$.

(B) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ: $x = 12 \sin \omega t - 16 \sin^3 \omega t$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદને આ રીતે લખી શકીએ:
$x = 4(3 \sin \omega t - 4 \sin^3 \omega t) = 4 \sin(3 \omega t)$.
આ $S.H.M.$ દર્શાવે છે જેમાં કંપવિસ્તાર $A = 4 \ cm$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = 3 \omega$ છે.
$S.H.M.$ માં પ્રવેગ $a = -\omega'^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max} = \omega'^2 A$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $a_{\max} = (3 \omega)^2 \times 4 = 9 \omega^2 \times 4 = 36 \omega^2 \ cm/s^2$.

(A) $S.H.M.$ કરતી કણ માટે,પ્રવેગ $a$ નું સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
આ સમીકરણ $y = mx$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
અહીં,રેખાનો ઢાળ $m = -\omega^2$ છે,જે ઋણ છે.
તેથી,સ્થાનાંતર વિરુદ્ધ પ્રવેગનો આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે.

(D) $S.H.M.$ માં કણનો પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
કણ $-x_{max}$ પર હોય તે માટે,આપણે સમીકરણમાં $x = -x_{max}$ મૂકીએ છીએ:
$a = -\omega^2 (-x_{max}) = +\omega^2 x_{max}$.
આ દર્શાવે છે કે $x = -x_{max}$ પર,પ્રવેગ $a$ તેના મહત્તમ ધન મૂલ્ય પર હોવો જોઈએ.
આપેલ આલેખ જોતા,બિંદુ $1$ પ્રવેગના મહત્તમ ધન મૂલ્યને અનુરૂપ છે.
તેથી,બિંદુ $1$ એ કણ $-x_{max}$ પર હોય તે સ્થિતિ દર્શાવે છે.

(D) $S.H.M.$ કરતી કણ માટે,સ્થાનાંતર $y$ ને $y = A \sin(\omega t)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
પ્રવેગ $a = \frac{d^2y}{dt^2} = -A\omega^2 \sin(\omega t) = -\omega^2 y$ થાય.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પુનઃસ્થાપક બળ $F = ma = -m\omega^2 y$ છે.
$y$ નું સમીકરણ મૂકતા,આપણને $F = -m\omega^2 A \sin(\omega t)$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે બળ $F$ પણ સમયનું સાઇન વિધેય છે,પરંતુ સ્થાનાંતર $y$ ની સાપેક્ષમાં $\pi$ રેડિયનનો કળા તફાવત ધરાવે છે.
તેથી,જો સ્થાનાંતરનો આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતો ધન સાઇન તરંગ હોય,તો બળ-સમયનો આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતો ઉલટો (ઋણ) સાઇન તરંગ હોવો જોઈએ,જે વિકલ્પ $D$ ને અનુરૂપ છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ માં,કણનો પ્રવેગ $a$ એ સરેરાશ સ્થાનથી તેના સ્થાનાંતર $x$ ના ઋણ મૂલ્યના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આ સંબંધ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a = -\omega^2 x$,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આ સમીકરણ $y = mx$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
અહીં ઢાળ $m = -\omega^2$ ઋણ હોવાથી,આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા હોવો જોઈએ.
તેથી,સાચો આલેખ વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) કણનું દળ $m = 10 \, g = 10 \times 10^{-3} \, kg = 0.01 \, kg$ છે.
કંપવિસ્તાર $A = 0.5 \, m$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 10 \, rad/s$ છે.
સરળ આવર્તગતિમાં મહત્તમ બળ $F_{max}$ નું સૂત્ર $F_{max} = m \omega^2 A$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $F_{max} = 0.01 \times (10)^2 \times 0.5$.
$F_{max} = 0.01 \times 100 \times 0.5$.
$F_{max} = 1 \times 0.5 = 0.5 \, N$.

(D) સરળ આવર્તગતિ કરતા કણનો પ્રવેગ $a = \omega^2 y$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $y$ એ સમતોલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતર છે.
અહીં $a = 12 \ cm/sec^2$ અને $y = 3 \ cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $12 = \omega^2 \times 3$.
$\omega^2 = \frac{12}{3} = 4$.
$\omega = 2 \ rad/sec$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
તેથી,$T = \frac{2\pi}{2} = \pi \approx 3.14 \ sec$.

(D) આપેલ સમીકરણ $y = \sin \left( \frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{6} \right)$ છે.
આ સમીકરણને સરળ આવર્તગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા:
કંપવિસ્તાર $A = 1 \ cm$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{\pi}{4} \ rad/sec$ મળે છે.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max}$ શોધવાનું સૂત્ર $a_{max} = \omega^2 A$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $a_{max} = \left( \frac{\pi}{4} \right)^2 \times 1$.
$a_{max} = \frac{\pi^2}{16} \approx \frac{9.8696}{16} \approx 0.6168 \ cm/sec^2$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.62 \ cm/sec^2$ મળે છે.

(C) ધારો કે સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $y = A \sin(\omega t)$ છે.
તાત્ક્ષણિક વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$v = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos(\omega t) = A\omega \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$.
તાત્ક્ષણિક પ્રવેગ $a$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t) = A\omega^2 \sin(\omega t + \pi)$.
વેગની કળા $(\omega t + \frac{\pi}{2})$ છે અને પ્રવેગની કળા $(\omega t + \pi)$ છે.
તેથી,પ્રવેગ અને વેગ વચ્ચેનો કળા તફાવત $(\omega t + \pi) - (\omega t + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$ અથવા $0.5\pi$ થાય છે.

(D) કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_{1} = 100 \, rad \, s^{-1}$ અને $\omega_{2} = 1000 \, rad \, s^{-1}$ આપેલ છે.
ધારો કે સમાન સ્થાનાંતર કંપવિસ્તાર $A$ છે.
સરળ આવર્ત ગતિ માટે મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max}$ નું સૂત્ર $a_{max} = \omega^2 A$ છે.
પ્રથમ ગતિ માટે,$a_{max1} = \omega_{1}^2 A = (100)^2 A$.
બીજી ગતિ માટે,$a_{max2} = \omega_{2}^2 A = (1000)^2 A$.
તેમના મહત્તમ પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_{max1}}{a_{max2}} = \frac{\omega_{1}^2 A}{\omega_{2}^2 A} = \frac{\omega_{1}^2}{\omega_{2}^2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{a_{max1}}{a_{max2}} = \frac{(100)^2}{(1000)^2} = \frac{10000}{1000000} = \frac{1}{100}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:10^2$ છે.

(C) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ: $x = A \cos \omega t$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(A \cos \omega t) = -A \omega \sin \omega t$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-A \omega \sin \omega t) = -A \omega^2 \cos \omega t$.
આને મૂળ સ્થાનાંતર સમીકરણ $x = A \cos \omega t$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $a = -\omega^2 x$. $t = 0$ સમયે,$x = A$ છે,તેથી $a = -A \omega^2$ થાય. આનો અર્થ એ છે કે પ્રવેગ ઋણ મહત્તમ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે અને ઋણ કોસાઇન વક્રને અનુસરે છે. આલેખ $C$ આ ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max} = A\omega^2$ દ્વારા અને મહત્તમ ઝડપ $v_{\max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક કંપવિસ્તાર $A_1$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega_1$ છે. તેથી $v_{\max} = A_1\omega_1$ અને $a_{\max} = A_1\omega_1^2$.
જો નવો કંપવિસ્તાર $A_2$ અને નવી કોણીય આવૃત્તિ $\omega_2$ હોય,તો આપણને આપેલ છે કે $v_{\max}$ અચળ રહે છે,તેથી $A_1\omega_1 = A_2\omega_2$.
આપણને એ પણ આપેલ છે કે નવો મહત્તમ પ્રવેગ મૂળ કરતા બમણો છે,તેથી $A_2\omega_2^2 = 2(A_1\omega_1^2)$.
બીજા સમીકરણને પ્રથમ વડે ભાગતા: $\frac{A_2\omega_2^2}{A_1\omega_1} = \frac{2A_1\omega_1^2}{A_1\omega_1} \implies \frac{\omega_2}{\omega_1} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\omega_2 = 2\omega_1$ (આવૃત્તિ બમણી થાય છે).
$\omega_2 = 2\omega_1$ ને $A_1\omega_1 = A_2\omega_2$ માં મૂકતા,આપણને $A_1\omega_1 = A_2(2\omega_1) \implies A_2 = \frac{A_1}{2}$ મળે છે (કંપવિસ્તાર અડધો થાય છે).
તેથી,આવૃત્તિ બમણી થાય છે અને કંપવિસ્તાર અડધો થાય છે.

(NONE) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં,કણ પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ (અથવા અસંતુલિત બળ) $F$ એ સમીકરણ $F = -kd$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $d$ એ સંતુલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતર છે.
આ સમીકરણ $F = -kd$ એ બળ $F$ અને સ્થાનાંતર $d$ વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે,જ્યાં બળ એ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
આલેખની દ્રષ્ટિએ,આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને ઋણ ઢાળ ધરાવતી એક સીધી રેખા છે.
આપેલા આલેખો $(I, II, III, IV)$ માંથી કોઈ પણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવતું નથી. તેથી,પ્રશ્ન તકનીકી રીતે ક્ષતિપૂર્ણ છે કારણ કે બળ વિરુદ્ધ સ્થાનાંતર માટેનો સાચો આલેખ વિકલ્પોમાં ઉપલબ્ધ નથી.

(C) આપેલ છે કે વેગનું મૂલ્ય $|v|$ એ પ્રવેગના મૂલ્ય $|a|$ જેટલું છે.
$SHM$ માટે,વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ અને પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ છે.
મૂલ્યોને સરખાવતા: $|v| = |a| \Rightarrow \omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega^2 x$.
બંને બાજુ $\omega$ વડે ભાગતા: $\sqrt{A^2 - x^2} = \omega x$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ માટે ઉકેલતા: $\omega = \frac{\sqrt{A^2 - x^2}}{x}$.
અહીં $A = 2 \, cm$ અને $x = 1 \, cm$ આપેલ હોવાથી,$\omega = \frac{\sqrt{2^2 - 1^2}}{1} = \sqrt{3} \, rad/s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2 \pi f$,તેથી આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{\sqrt{3}}{2 \pi} \, s^{-1}$ મળે.

(A) $SHM$ માં કણનો પ્રવેગ $a$ સમીકરણ $a = -\omega^{2}x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $x$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $y = a$,$m = -\omega^{2}$,$x = x$,અને $c = 0$.
અંતઃખંડ $c$ શૂન્ય હોવાથી,આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
$\omega^{2}$ હંમેશા ધન હોવાથી,ઢાળ $m = -\omega^{2}$ હંમેશા ઋણ હોય છે.
તેથી,આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે.

(A) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ: $x = x_0 \cos(\omega t - \frac{\pi}{4})$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = -x_0 \omega \sin(\omega t - \frac{\pi}{4})$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = -x_0 \omega^2 \cos(\omega t - \frac{\pi}{4})$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(\theta + \pi) = -\cos(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પ્રવેગને આ રીતે લખી શકીએ:
$a = x_0 \omega^2 \cos(\omega t - \frac{\pi}{4} + \pi) = x_0 \omega^2 \cos(\omega t + \frac{3\pi}{4})$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $a = A \cos(\omega t + \delta)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$A = x_0 \omega^2$ અને $\delta = \frac{3\pi}{4}$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે,સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi) = -\omega^2 x$ છે.
પ્રવેગના સમીકરણ પરથી,આપણને $\frac{a}{x} = -\omega^2$ મળે છે.
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $\omega^2 = \frac{4\pi^2}{T^2}$ થાય.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા,$\frac{a}{x} = -\frac{4\pi^2}{T^2}$ મળે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{aT^2}{x} = -4\pi^2$ મળે છે,જે અચળ છે.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,$\frac{a}{x} = -\omega^2$ થાય છે. આપેલ $SHM$ માટે $\omega$ અને $T$ અચળ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{a}{x}$ અચળ છે. તેથી,$\frac{aT}{x}$ પણ અચળ રહે છે કારણ કે $T$ અચળ છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણ માટે, પ્રવેગ $A$ એ $A = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
મૂલ્ય લેતા, આપણને $|A| = \omega^2 |x|$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $\omega^2 = \frac{|A|}{|x|}$.
કોષ્ટકમાંથી મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરતા (દા.ત., $|A| = 16 \ mm \ s^{-2}$ અને $|x| = 4 \ mm$):
$\omega^2 = \frac{16 \ mm \ s^{-2}}{4 \ mm} = 4 \ s^{-2}$.
તેથી, $\omega = \sqrt{4} = 2 \ rad \ s^{-1}$.
આવર્તકાળ $T$ એ કોણીય આવૃત્તિ સાથે $T = \frac{2\pi}{\omega}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$\omega$ નું મૂલ્ય મૂકતા:
$T = \frac{2\pi}{2} = \pi \ s$.

(B) $SHM$ માં કણનું સ્થાનાંતર $y$ એ $y = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું દ્વિતીય વિકલન છે:
$a = \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt}(A \omega \cos(\omega t)) = -A \omega^2 \sin(\omega t)$.
સમીકરણોની સરખામણી કરતા,$a = -\omega^2 y$.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રવેગનો આલેખ એ સ્થાનાંતરના આલેખનું ઉલટું સ્વરૂપ છે,જે $\omega^2$ ના ગુણાંક દ્વારા સ્કેલ થયેલ છે.
સ્થાનાંતરનો આલેખ $0$ થી શરૂ થઈને ધન દિશામાં જાય છે,તેથી પ્રવેગનો આલેખ $0$ થી શરૂ થઈને ઋણ દિશામાં જવો જોઈએ.
વિકલ્પો જોતા,વિકલ્પ $B$ એવો આલેખ દર્શાવે છે જે $0$ થી શરૂ થાય છે અને ઋણ દિશામાં જાય છે,જે તારવેલા સમીકરણ $a = -A \omega^2 \sin(\omega t)$ સાથે સુસંગત છે.

(A) તૂટક રેખા દ્વારા દર્શાવેલ ક્ષણે,કણ તેના ઋણ અંતિમ સ્થાન $(x = -A)$ પર છે.
અંતિમ સ્થાન પર,કણનો વેગ શૂન્ય $(v = 0)$ હોય છે.
સ્પ્રિંગમાં પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કણ $x = -A$ પર હોવાથી,બળ $F = -k(-A) = +kA$ થશે.
ધન બળ સૂચવે છે કે બળ ધન દિશામાં (જમણી તરફ) લાગે છે.
તેથી,વેગ શૂન્ય છે અને બળ જમણી તરફ છે.

(A) $SHM$ કરતી કણ માટે,પ્રવેગ $a$ એ $a = -\omega^{2}x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવેગ-સ્થાનાંતર આલેખનો ઢાળ $m = \frac{a}{x} = -\omega^{2}$ થાય છે.
આપેલ આલેખ પરથી,રેખા દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનતો ખૂણો $37^{\circ}$ છે. રેખાનો ઢાળ $\tan(180^{\circ} - 37^{\circ}) = -\tan 37^{\circ} = -\frac{3}{4}$ થાય છે.
ઢાળને સરખાવતા: $-\omega^{2} = -\frac{3}{4} \Rightarrow \omega^{2} = \frac{3}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $\omega^{2} = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}} = \frac{3}{4}$.
$T$ માટે ઉકેલતા: $T^{2} = \frac{16\pi^{2}}{3} \Rightarrow T = \frac{4\pi}{\sqrt{3}} \, s$.

(B) $SHM$ માં મહત્તમ વેગ $v_{\max} = a\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$SHM$ માં મહત્તમ પ્રવેગ $A_{\max} = a\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{A_{\max}}{v_{\max}} = 10$ પરથી,$\frac{a\omega^2}{a\omega} = 10$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = 10\,s^{-1}$.
સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = a \sin(\omega t + \phi)$ છે.
$t = 0$ સમયે,$x = 5\,m$ અને $\phi = \frac{\pi}{4}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $5 = a \sin(\frac{\pi}{4}) = a \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,કંપવિસ્તાર $a = 5\sqrt{2}\,m$.
મહત્તમ પ્રવેગ $A_{\max} = a\omega^2 = (5\sqrt{2}) \cdot (10)^2 = 5\sqrt{2} \cdot 100 = 500\sqrt{2}\,m/s^2$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણ માટે,બળ $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
આલેખ પરથી,$x = 20\, cm = 0.2\, m$ પર,બળ $F = -2.0\, N$ છે.
તેથી,બળ અચળાંકનું મૂલ્ય $k = \frac{|F|}{|x|} = \frac{2.0\, N}{0.2\, m} = 10\, N/m$ છે.
કણનું દળ $m = 400\, g = 0.4\, kg$ છે.
દોલન આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{10}{0.4}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{25} = \frac{5}{2\pi}\, s^{-1}$ મળે છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણ માટે,મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max} = \omega^2 A = \alpha$ $...(1)$ છે.
મહત્તમ વેગ $v_{\max} = \omega A = \beta$ $...(2)$ છે.
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\omega^2 A}{\omega A} = \frac{\alpha}{\beta}$
$\omega = \frac{\alpha}{\beta}$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f$ હોવાથી,જ્યાં $f$ એ કંપન આવૃત્તિ છે:
$2\pi f = \frac{\alpha}{\beta}$
$f = \frac{\alpha}{2\pi\beta}$

(B) $SHM$ માં,પ્રવેગ $\vec a$ એ $\vec a = -\omega^2 \vec r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec r$ એ સંતુલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતર સદિશ છે.
$\vec a$ અને $\vec r$ નો ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$\vec a \cdot \vec r = (-\omega^2 \vec r) \cdot \vec r = -\omega^2 |\vec r|^2$.
કારણ કે $\omega^2$ હંમેશા ધન છે અને $|\vec r|^2$ હંમેશા અ-ઋણ છે,તેથી ગુણાકાર $\vec a \cdot \vec r$ હંમેશા ઋણ હોય છે (સંતુલન સ્થિતિ સિવાય જ્યાં તે શૂન્ય હોય છે).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણ: $x = x_0 \cos(\omega t + \pi/4)$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = -x_0 \omega \sin(\omega t + \pi/4)$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = -x_0 \omega^2 \cos(\omega t + \pi/4)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $-\cos(\theta) = \cos(\theta + \pi)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પ્રવેગને આ રીતે લખી શકીએ:
$a = x_0 \omega^2 \cos(\omega t + \pi/4 + \pi) = x_0 \omega^2 \cos(\omega t + 5\pi/4)$.
જો આપણે પ્રશ્નમાં આપેલ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લઈએ,તો $x = x_0 \cos(\omega t - \pi/4)$ માટે પ્રવેગ $a = x_0 \omega^2 \cos(\omega t - \pi/4 + \pi) = x_0 \omega^2 \cos(\omega t + 3\pi/4)$ થાય. આમ,$A = x_0 \omega^2$ અને $\delta = 3\pi/4$ મળે છે.

(B) ધારો કે સિક્કાનું દળ $m$ છે અને પ્લેટફોર્મ દ્વારા સિક્કા પર લાગતું લંબબળ $N$ છે.
સિક્કા માટે ઉર્ધ્વ દિશામાં ગતિનું સમીકરણ:
$mg - N = ma$
જ્યાં $a$ એ પ્લેટફોર્મનો પ્રવેગ છે. સરળ આવર્ત ગતિ માટે,પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ છે,જ્યાં $x$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે.
જ્યારે પ્લેટફોર્મ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે પ્રવેગ નીચેની તરફ હોય છે. જ્યારે પ્લેટફોર્મ તેના સૌથી ઊંચા બિંદુએ હોય છે,ત્યારે પ્રવેગ $a = -\omega^2 A$ (જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે) નીચેની તરફ હોય છે.
સિક્કો ત્યારે સંપર્ક છોડશે જ્યારે લંબબળ $N = 0$ થાય.
$mg - 0 = m(\omega^2 A)$
$g = \omega^2 A$
$A = \frac{g}{\omega^2}$
આમ,જ્યારે કંપવિસ્તાર $\frac{g}{\omega^2}$ થાય ત્યારે સિક્કો પ્લેટફોર્મ પરથી સંપર્ક છોડશે.

(B) $S.H.M.$ માટે આપેલ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $A = 2 \, cm$ અને $\omega = \frac{\pi}{2} \, rad/s$ છે.
વેગ $v = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ દ્વારા મળે છે.
પ્રવેગ $a = \frac{d^2y}{dt^2} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા મળે છે.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = |A\omega^2|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $a_{max} = 2 \times \left( \frac{\pi}{2} \right)^2 = 2 \times \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2} \, cm/s^2$.