Acceleration and Force of Simple Harmonic Motion Questions in Gujarati

(A) કણનું સ્થાનાંતર $x=x_0 \cos \left(\omega t-\frac{\pi}{4}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = -x_0 \omega \sin \left(\omega t-\frac{\pi}{4}\right)$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = -x_0 \omega^2 \cos \left(\omega t-\frac{\pi}{4}\right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(\theta + \pi) = -\cos(\theta)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પ્રવેગને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$a = x_0 \omega^2 \cos \left(\omega t - \frac{\pi}{4} + \pi\right) = x_0 \omega^2 \cos \left(\omega t + \frac{3\pi}{4}\right)$.
$a = A \cos(\omega t - \delta)$ સ્વરૂપ સાથે સરખાવવા માટે,આપણે ફેઝને $\omega t - (-\frac{3\pi}{4})$ તરીકે લખીએ છીએ.
આમ,$A = x_0 \omega^2$ અને $\delta = -\frac{3\pi}{4}$ મળે છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = 6 \cos \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right)$ આપેલ છે.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે પ્રથમ વિકલન છે:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left[6 \cos \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right)\right] = -6 \sin \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right) \times 2 \pi = -12 \pi \sin \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right)$.
પ્રવેગ $a$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \left[-12 \pi \sin \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right)\right] = -12 \pi \cos \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right) \times 2 \pi = -24 \pi^2 \cos \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right)$.
$t = 1 \ s$ સમયે,પ્રવેગ:
$a = -24 \pi^2 \cos \left(2 \pi(1) + \frac{\pi}{3}\right) = -24 \pi^2 \cos \left(2 \pi + \frac{\pi}{3}\right)$.
કારણ કે $\cos(2 \pi + \theta) = \cos \theta$,તેથી $\cos \left(2 \pi + \frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$a = -24 \pi^2 \times \frac{1}{2} = -12 \pi^2 \ m/s^2$.
પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = 12 \pi^2 \ m/s^2$ થાય.

(B) પદાર્થનું સ્થાનાંતર $x = 3 \cos \left( 2 \pi t + \frac{\pi}{4} \right)$ છે.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = -3 \sin \left( 2 \pi t + \frac{\pi}{4} \right) \cdot (2 \pi) = -6 \pi \sin \left( 2 \pi t + \frac{\pi}{4} \right)$.
પ્રવેગ $a$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = -6 \pi \cos \left( 2 \pi t + \frac{\pi}{4} \right) \cdot (2 \pi) = -12 \pi^2 \cos \left( 2 \pi t + \frac{\pi}{4} \right)$.
$t = 2 \text{ s}$ સમયે,પ્રવેગ $a = -12 \pi^2 \cos \left( 2 \pi (2) + \frac{\pi}{4} \right) = -12 \pi^2 \cos \left( 4 \pi + \frac{\pi}{4} \right)$ થશે.
કારણ કે $\cos(4 \pi + \theta) = \cos \theta$,તેથી $a = -12 \pi^2 \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = -12 \pi^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -6 \sqrt{2} \pi^2 \text{ m/s}^2$ મળે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા દોલકનો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
મહત્તમ વેગ $v_{max} = \omega A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,મહત્તમ પ્રવેગનું મૂલ્ય મહત્તમ વેગ કરતા $\pi$ ગણું છે:
$a_{max} = \pi \cdot v_{max}$
સૂત્રો મૂકતા:
$\omega^2 A = \pi \cdot \omega A$
બંને બાજુ $\omega A$ વડે ભાગતા (ધારી લો કે $\omega, A \neq 0$):
$\omega = \pi$
આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવર્તકાળ $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
$\omega = \pi$ મૂકતા:
$\pi = \frac{2\pi}{T}$
$T = 2 \text{ s}$.

(D) $SHM$ માટે આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $y = 2 \sin \left(\frac{\pi t}{2} + \phi\right) \text{ cm}$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કંપવિસ્તાર $A = 2 \text{ cm}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{\pi}{2} \text{ rad/s}$ મળે છે.
$SHM$ માં મહત્તમ પ્રવેગનું સૂત્ર $a_{\max} = \omega^2 A$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$a_{\max} = \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \times 2$.
$a_{\max} = \frac{\pi^2}{4} \times 2 = \frac{\pi^2}{2} \text{ cm/s}^2$.

(A) સરળ આવર્ત ગતિમાં,પ્રવેગ $f$ એ $f = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
મૂલ્ય લેતા,આપણી પાસે $|f| = \omega^2 |x|$ છે.
આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ગુણાકાર $|fT|$ છે:
$|fT| = |f| \cdot T = (\omega^2 |x|) \cdot \left(\frac{2\pi}{\omega}\right) = 2\pi\omega |x|$.
અહીં $2\pi\omega$ એ અચળ હોવાથી,સંબંધ $|fT| = (2\pi\omega) |x|$ એ $y = mx$ સ્વરૂપનું રેખીય સમીકરણ દર્શાવે છે,જ્યાં $y = |fT|$ અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
આમ,$|fT|$ વિરુદ્ધ $x$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં,કંપન કરતા કણનો પ્રવેગ $a$ એ સંબંધ $a = \omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $x$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે.
આપેલ છે: પ્રવેગ $a = 16 \ cm/s^2$ અને સ્થાનાંતર $x = 4 \ cm$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$16 = \omega^2 \times 4$
$\omega^2 = \frac{16}{4} = 4$
$\omega = 2 \ rad/s$
આવર્તકાળ $T$ એ કોણીય આવૃત્તિ સાથે $T = \frac{2\pi}{\omega}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$T = \frac{2\pi}{2} = \pi \ s$
$\pi \approx 3.142$ લેતા,આપણને $T = 3.142 \ s$ મળે છે.