Acceleration and Force of Simple Harmonic Motion Questions in Gujarati

(A) $SHM$ એ મધ્યમાન સ્થાનની આસપાસ થતી આંદોલિત ગતિ છે. પુનઃસ્થાપક બળ,અને પરિણામે પ્રવેગ,હંમેશા પદાર્થને પાછો લાવવા માટે મધ્યમાન સ્થાન તરફ હોય છે. $SHM$ માં પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે. ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રવેગ હંમેશા સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે,તેથી તે હંમેશા મધ્યમાન સ્થાન તરફ હોય છે. આપેલ કારણ સાચું છે કે પદાર્થે અંતિમ સ્થાન પર અટકવું પડે છે અને આ પ્રવેગને કારણે મધ્યમાન સ્થાન પર પાછા ફરવું પડે છે. તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(N/A) મધ્યસ્થ સ્થાન $O$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $A$ એ $x = -5 \; cm$ પર અને $B$ એ $x = +5 \; cm$ પર છે. ધન દિશા $A \to B$ છે. સરળ આવર્ત ગતિમાં,પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ અને બળ $F = ma = -m\omega^2 x$ છે.
$(a)$ $A$ પર $(x = -5 \; cm)$: વેગ $v = 0$ (અંતિમ બિંદુ). પ્રવેગ $a = -\omega^2(-5) > 0$ (ધન). બળ $F$ ધન છે.
$(b)$ $B$ પર $(x = +5 \; cm)$: વેગ $v = 0$ (અંતિમ બિંદુ). પ્રવેગ $a = -\omega^2(+5) < 0$ (ઋણ). બળ $F$ ઋણ છે.
$(c)$ $O$ પર $(x = 0)$ $A$ તરફ જતી વખતે: વેગ $v < 0$ (ડાબી તરફ ગતિ). પ્રવેગ $a = 0$. બળ $F = 0$.
$(d)$ $B$ થી $2 \; cm$ દૂર $A$ તરફ જતી વખતે $(x = +3 \; cm)$: વેગ $v < 0$ (ડાબી તરફ ગતિ). પ્રવેગ $a = -\omega^2(+3) < 0$ (ઋણ). બળ $F$ ઋણ છે.
$(e)$ $A$ થી $3 \; cm$ દૂર $B$ તરફ જતી વખતે $(x = -2 \; cm)$: વેગ $v > 0$ (જમણી તરફ ગતિ). પ્રવેગ $a = -\omega^2(-2) > 0$ (ધન). બળ $F$ ધન છે.
$(f)$ $B$ થી $4 \; cm$ દૂર $A$ તરફ જતી વખતે $(x = +1 \; cm)$: વેગ $v < 0$ (ડાબી તરફ ગતિ). પ્રવેગ $a = -\omega^2(+1) < 0$ (ઋણ). બળ $F$ ઋણ છે.

(N/A) $1$. ધારો કે એક કણ $P$ એ $A$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં અચળ કોણીય વેગ $\omega$ સાથે ગતિ કરે છે. આ ગતિનો વ્યાસ (ધારો કે $x$-અક્ષ) પરનો પ્રક્ષેપ $SHM$ દર્શાવે છે.
$2$. કોઈપણ સમયે $t$ પર કણનું સ્થાન $x = A \cos(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3$. કણનો વેગ $v = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \phi)$ છે.
$4$. તાત્કાલિક પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-A\omega \sin(\omega t + \phi))$.
$5$. વિકલન કરતા,આપણને $a = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi)$ મળે છે.
$6$. કારણ કે $x = A \cos(\omega t + \phi)$,આપણે આ કિંમત પ્રવેગના સમીકરણમાં મૂકી શકીએ છીએ,જેથી $a = -\omega^2 x$ મળે છે.

(N/A) $SHM$ કણનો પ્રવેગ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે દ્વિતીય વિકલન છે.
$SHM$ કણનું $t$ સમયે સ્થાનાંતર:
$x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$
સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા વેગ $v(t)$ મળે છે:
$v(t) = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \phi)$
ફરીથી સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા પ્રવેગ $a(t)$ મળે છે:
$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A \omega^2 \cos(\omega t + \phi)$
અહીં $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ હોવાથી,આપણે પ્રવેગના સમીકરણમાં કિંમત મૂકી શકીએ:
$a(t) = -\omega^2 x(t)$
સામાન્ય રીતે,$a = -\omega^2 x$.
વિશેષ કિસ્સાઓ:
$(1)$ મધ્યમાન સ્થાને,$x = 0$,તેથી $a = -\omega^2(0) = 0$. પ્રવેગ શૂન્ય છે અને વેગ મહત્તમ છે.
$(2)$ અંતિમ બિંદુઓ પર,$x = \pm A$,તેથી $a = \mp \omega^2 A$. પ્રવેગનું મૂલ્ય મહત્તમ હોય છે,$a_{\max} = A \omega^2$.

(B) $SHM$ કરતા કણ માટે,સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi) = -\omega^2 x$ છે.
અંતિમ સ્થાનો પર,સ્થાનાંતર $x = \pm A$ હોય છે.
તેથી,વેગ $v = \pm A\omega \cos(\pm \pi/2) = 0$ થાય છે.
પ્રવેગ $a = -\omega^2(\pm A) = \mp A\omega^2$ થાય છે,જે પ્રવેગનું મહત્તમ મૂલ્ય છે.
આમ,બંને શરતો અંતિમ સ્થાનો પર સંતોષાય છે.

(N/A) $X$-અક્ષ પર $SHM$ કરતા કણ માટે,$t$ સમયે સ્થાનાંતર $x$ એ $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$.
તત્કાલીન પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું દ્વિતીય વિકલન છે:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi)$.
કારણ કે $x = A \sin(\omega t + \phi)$,આપણે આ કિંમતને પ્રવેગના સમીકરણમાં મૂકી શકીએ છીએ:
$a = -\omega^2 x$.
આમ,તત્કાલીન પ્રવેગનું સૂત્ર $a = -\omega^2 x$ છે.

(B) $SHM$ કરતા કણ માટે,પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર $a = -\omega^2 x$ છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $x$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે.
મધ્યમાન સ્થાને,$x = 0$ હોવાથી,પ્રવેગ $a = -\omega^2(0) = 0$ થાય છે. આમ,મધ્યમાન સ્થાને પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે.
અંતિમ સ્થાનો પર,સ્થાનાંતર $x$ એ કંપવિસ્તાર $A$ જેટલું હોય છે (એટલે કે $x = \pm A$). પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = |-\omega^2(\pm A)| = \omega^2 A$ થાય છે,જે મહત્તમ મૂલ્ય છે.
તેથી,પ્રવેગ અંતિમ સ્થાનો પર મહત્તમ અને મધ્યમાન સ્થાને શૂન્ય હોય છે.

(B) $SHM$ (સરળ આવર્ત ગતિ) માં,કણ મધ્યમાન સ્થાનની આસપાસ આગળ-પાછળ ગતિ કરે છે.
$1$. વેગ: કણનો વેગ હંમેશા તેની ગતિની તત્કાલીન દિશામાં હોય છે.
$2$. પ્રવેગ: $SHM$ માં પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે. ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રવેગ હંમેશા મધ્યમાન સ્થાન તરફ હોય છે,પછી ભલે ગતિ કે સ્થાનાંતરની દિશા ગમે તે હોય.

(D) $t$ સમયે $SHM$ કણનું સ્થાનાંતર નીચે મુજબ છે:
$x(t) = A \cos (\omega t + \phi)$
જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ પ્રારંભિક કળા છે.
વેગ શોધવા માટે સ્થાનાંતરના સમીકરણનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$v(t) = \frac{d}{dt} [A \cos (\omega t + \phi)] = -A\omega \sin (\omega t + \phi)$
પ્રવેગ શોધવા માટે વેગના સમીકરણનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા:
$a(t) = \frac{d}{dt} [-A\omega \sin (\omega t + \phi)] = -A\omega^2 \cos (\omega t + \phi)$
કારણ કે $x(t) = A \cos (\omega t + \phi)$,તેથી આપણે તેને પ્રવેગના સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
$a(t) = -\omega^2 x(t)$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$. બંને બાજુ દળ $m$ વડે ગુણતા:
$F = m a(t) = -m\omega^2 x(t)$
બળ અચળાંક $k = m\omega^2$ લેતા,આપણને મળે છે:
$F = -kx(t)$
આ દર્શાવે છે કે પુનઃસ્થાપક બળ એ સ્થાનાંતરના ઋણ મૂલ્યના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $SHM$ માટે બળનો નિયમ છે.

(N/A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં,કણ પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F$ એ સંતુલન સ્થિતિમાંથી તેના સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને તે હંમેશા સંતુલન સ્થિતિ તરફ દિશામાન હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$F = -kx$
જ્યાં:
$F$ એ પુનઃસ્થાપક બળ છે.
$k$ એ બળ અચળાંક (અથવા સ્પ્રિંગ અચળાંક) છે,જે એક ધન અચળાંક છે.
$x$ એ સરેરાશ સ્થિતિથી સ્થાનાંતર છે.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે બળ હંમેશા સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.

(A) $SHM$ (સરળ આવર્ત ગતિ) કરતા $m$ દળના કણ માટે,પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
$SHM$ ના ગતિના સમીકરણ પરથી,આપણી પાસે $F = ma = m\frac{d^2x}{dt^2}$ છે.
જેમ કે $a = -\omega^2x$,આપણે લખી શકીએ $F = m(-\omega^2x) = -(m\omega^2)x$.
$F = -kx$ અને $F = -(m\omega^2)x$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $k = m\omega^2$ મળે છે.

(N/A) પુનઃસ્થાપક બળ એવું બળ છે જે પદાર્થને તેના સંતુલન સ્થાનથી દૂર કરવામાં આવે ત્યારે તેને ફરીથી તેના સંતુલન સ્થાન પર લાવવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
ગાણિતિક રીતે,સ્પ્રિંગ જેવી રેખીય પ્રણાલી માટે,તે હૂકના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = -kx$,જ્યાં $F$ એ પુનઃસ્થાપક બળ છે,$k$ એ બળ અચળાંક છે,અને $x$ એ સંતુલન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બળ હંમેશા સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.

(B) ધારો કે $SHM$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi) = A \omega \sin(\omega t + \phi + \frac{\pi}{2})$ થાય.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = -A \omega^2 \sin(\omega t + \phi) = A \omega^2 \sin(\omega t + \phi + \pi)$ થાય.
વેગની કળા $(\omega t + \phi + \frac{\pi}{2})$ છે અને પ્રવેગની કળા $(\omega t + \phi + \pi)$ છે.
તેથી,કળા તફાવત $(\omega t + \phi + \pi) - (\omega t + \phi + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$ રેડિયન અથવા $90^{\circ}$ થાય.

(C) $SHM$ કરતા કણ માટે,સ્થાનાંતર $y$ ને $y = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું દ્વિતીય વિકલન છે: $a = \frac{d^2y}{dt^2} = -\omega^2 A \sin(\omega t + \phi)$.
આપણે આને $a = \omega^2 A \sin(\omega t + \phi + \pi)$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
સાઇન વિધેયના આર્ગ્યુમેન્ટ્સની સરખામણી કરતા,સ્થાનાંતરની કળા $(\omega t + \phi)$ છે અને પ્રવેગની કળા $(\omega t + \phi + \pi)$ છે.
તેથી,કળા તફાવત $(\omega t + \phi + \pi) - (\omega t + \phi) = \pi \text{ રેડિયન}$ અથવા $180^{\circ}$ થાય છે.

(B) $SHM$ માં પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $x$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે.
અંતિમ સ્થાન પર,સ્થાનાંતર $x = A = 2 \, cm = 0.02 \, m$ છે.
અંતિમ સ્થાન પર લાગતું બળ $F_{ext} = kA = 4 \, N$ છે.
તેથી,$k = \frac{4}{0.02} = 200 \, N/m$.
મધ્યમાન સ્થાન $(x = 0)$ અને અંતિમ સ્થાન $(x = A)$ ની વચ્ચેના મધ્યબિંદુ પર,સ્થાનાંતર $x = \frac{A}{2} = \frac{2 \, cm}{2} = 1 \, cm = 0.01 \, m$ છે.
આ બિંદુ પર લાગતું બળ $F = kx = 200 \times 0.01 = 2 \, N$ છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં, કણ પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ તેના સંતુલન સ્થાનથી સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને તે સંતુલન સ્થાનની દિશામાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે, આને $F = -kx$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, જ્યાં $F$ એ પુનઃસ્થાપક બળ છે, $x$ એ સરેરાશ સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે, અને $k$ એ બળ અચળાંક (અથવા સ્પ્રિંગ અચળાંક) છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $(x)$ સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $(v)$ એ સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi)$.
પ્રવેગ $(a)$ એ સ્થાનાંતરનું દ્વિતીય વિકલન છે: $a = \frac{d^2x}{dt^2} = -A \omega^2 \sin(\omega t + \phi)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $-\sin(\theta) = \sin(\theta + \pi)$ નો ઉપયોગ કરીને,પ્રવેગને $a = A \omega^2 \sin(\omega t + \phi + \pi)$ તરીકે લખી શકાય છે.
સ્થાનાંતરની કળા $(\omega t + \phi)$ અને પ્રવેગની કળા $(\omega t + \phi + \pi)$ ની સરખામણી કરતા,કળા તફાવત $\pi \; rad$ મળે છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિમાં પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = \omega^2 y$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ પ્રવેગ છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $y$ એ સ્થાનાંતર છે.
આપેલ છે કે $a = 1.0 \, m/s^2$ અને $y = 0.01 \, m$,તેથી:
$1.0 = \omega^2 \times 0.01$
$\omega^2 = \frac{1.0}{0.01} = 100$
$\omega = 10 \, rad/s$
આવર્તકાળ $T$ અને કોણીય આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \, s$.

(B) જ્યારે શેલ્ફનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ કરતા વધી જાય ત્યારે પુસ્તક શેલ્ફ સાથેનો સંપર્ક ગુમાવે છે.
સંપર્ક ગુમાવવાની શરત $a_{\max} \geq g$ છે.
શેલ્ફ સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે,તેથી મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max} = \omega^2 A$ છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપનવિસ્તાર છે.
$a_{\max} = g$ લેતા,આપણને $\omega^2 A = g$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \sqrt{\frac{g}{A}}$.
અહીં $A = 2.5 \,cm = 0.025 \,m$ અને $g = 10 \,m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $\omega = \sqrt{\frac{10}{0.025}} = \sqrt{400} = 20 \,rad/s$.
આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{20}{2\pi} = \frac{10}{\pi} \approx 3.18 \,Hz$ થાય છે.

(C) જ્યારે કોઈ કણ સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ કરતો હોય,ત્યારે તેનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબના સંબંધ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
$a = -\omega^2 x$
જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $x$ એ સરેરાશ સ્થાનથી તેનું સ્થાનાંતર છે.
પ્રવેગ $a$ એ સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,જેમ કણ ગતિ કરે છે તેમ પ્રવેગ બદલાય છે.
તેથી,પ્રવેગ અનિયમિત છે કારણ કે તે કણના સ્થાન $x$ પર આધાર રાખે છે,સમય પર સીધી રીતે રેખીય રીતે નહીં (તે સમય સાથે સાઈન વિધેય મુજબ બદલાય છે).
આમ,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 10 \,g = 0.01 \,kg$,કંપવિસ્તાર $A = 10 \,cm = 0.1 \,m$,આવર્તકાળ $T = 0.1 \,s$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.1} = 20\pi \,rad/s$.
$S.H.M.$ માં મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\text{max}} = \omega^2 A$ છે.
મહત્તમ બળ $F_{\text{max}} = m \cdot a_{\text{max}} = m \omega^2 A$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $F_{\text{max}} = 0.01 \times (20\pi)^2 \times 0.1$.
$F_{\text{max}} = 0.001 \times 400 \pi^2 = 0.4 \pi^2$.
$\pi^2 \approx 9.87$ લેતા,$F_{\text{max}} \approx 0.4 \times 9.87 = 3.948 \,N$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$F_{\text{max}} \approx 4 \,N$.

(B) ગતિનું સમીકરણ $x = A \cos(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $A = 5.0 \, m$ અને $\omega = 2 \pi \, rad \, s^{-1}$ છે.
$S.H.M.$ માં પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર $a = -\omega^2 x$ છે.
પ્રથમ,$t = 1.5 \, s$ સમયે સ્થાનાંતર $x$ શોધો:
$x = 5 \cos(2 \pi \times 1.5 + \pi / 4) = 5 \cos(3 \pi + \pi / 4)$.
કારણ કે $\cos(3 \pi + \theta) = -\cos(\theta)$:
$x = -5 \cos(\pi / 4) = -5 / \sqrt{2} \, m$.
હવે,પ્રવેગની ગણતરી કરો:
$a = -\omega^2 x = -(2 \pi)^2 \times (-5 / \sqrt{2})$.
$a = 4 \pi^2 \times (5 / \sqrt{2}) = 4 \times 9.8696 \times 3.5355 \approx 139.56 \, m / s^2$.

(A) આલેખ પરથી,કંપવિસ્તાર $A = 1 \ m$ અને આવર્તકાળ $T = 8 \ s$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \ rad/s$ થાય.
ગતિનું સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega t) = 1 \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right)$ છે.
પ્રવેગ $a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x = -\omega^2 A \sin(\omega t)$ દ્વારા મળે છે.
$t = 2 \ s$ સમયે કિંમતો મૂકતા:
$a = -\left(\frac{\pi}{4}\right)^2 \times 1 \times \sin\left(\frac{\pi}{4} \times 2\right)$
$a = -\frac{\pi^2}{16} \times \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$
કારણ કે $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$,તેથી:
$a = -\frac{\pi^2}{16} \ m/s^2$.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે।
$x-t$ આલેખ પરથી, $t = 0$ સમયે, કણ $x = 0$ પર છે।
તેથી, કણ તેની સરેરાશ સ્થિતિ (mean position) થી સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ શરૂ કરે છે।
$SHM$ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $x = A \sin(\omega t)$ છે।
આલેખ પરથી, આવર્તકાળ $T = 8 \,s$ અને કંપવિસ્તાર $A = 1 \,cm$ છે।
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \,rad/s$ છે।
આમ, ગતિનું સમીકરણ $x = 1 \sin\left(\frac{\pi t}{4}\right)$ થશે।
$t = 4/3 \,s$ સમયે, સ્થાનાંતર $x = \sin\left(\frac{\pi}{4} \times \frac{4}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \,cm$ મળે।
પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર $a = -\omega^2 x$ છે।
કિંમતો મૂકતા, $a = -\left(\frac{\pi}{4}\right)^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi^2}{16} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}\pi^2}{32} \,cm/s^2$ મળે।

(D) $S.H.M.$ માં કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે, જ્યાં $k = m \omega^2$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે ગતિઊર્જા $K$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ સમાન છે, એટલે કે $K = U = \frac{E}{2}$.
સ્થાનાંતર $x$ પર સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ થાય.
તેથી, $\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} k A^2) \implies x^2 = \frac{A^2}{2} \implies x = \frac{A}{\sqrt{2}}$.
સ્થાનાંતર $x$ પર કણ પર લાગતું બળ $F = kx = m \omega^2 x$ છે.
મહત્તમ બળ $F_m = k A = 50 \,N$ છે.
સ્થાનાંતર $x$ પર બળનું મૂલ્ય $F' = kx = k (\frac{A}{\sqrt{2}}) = \frac{F_m}{\sqrt{2}}$.
$F_m = 50 \,N$ મૂકતા, આપણને $F' = \frac{50}{\sqrt{2}} = 25 \sqrt{2} \,N$ મળે છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ ($S$.$H$.$M$.) કરતા કણ માટે,સ્થાનાંતર $x$ પર સ્થિતિ ઊર્જા $E$ એ $E = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
સ્થાનાંતર $x$ પર કણ પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F$ એ $F = -k x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિ ઊર્જાના સમીકરણ પરથી,આપણી પાસે $2 E = k x^2$ છે.
આ સમીકરણને બળ $F = -k x$ ના સમીકરણ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2 E}{F} = \frac{k x^2}{-k x}$
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2 E}{F} = -x$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2 E}{F} + x = 0$
આમ,સાચો સંબંધ $\frac{2 E}{F} + x = 0$ છે.

(A) $S.H.M.$ માં, સ્થાનાંતર $y = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ પર લાગતું બળ $F = -ky = -k A \sin(\omega t)$ છે, જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે બળ એ સ્થાનાંતર સાથે $180^{\circ}$ (અથવા $\pi$ રેડિયન) કળા તફાવત ધરાવે છે.
જો સ્થાનાંતરનો આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતો સાઈન તરંગ હોય, તો બળનો આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતો ઉલટો સાઈન તરંગ (ઋણ સાઈન તરંગ) હોવો જોઈએ.
તેથી, બળ-સમયનો આલેખ એ સમયની ધરી પર સ્થાનાંતર-સમયના આલેખનું પ્રતિબિંબ હશે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max}$ એ સૂત્ર $a_{max} = \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2$ સમાન છે $(A_1 = A_2 = A)$,તેથી મહત્તમ પ્રવેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{a_{max,1}}{a_{max,2}} = \frac{\omega_1^2 A}{\omega_2^2 A} = \left( \frac{\omega_1}{\omega_2} \right)^2$
આપેલ કિંમતો $\omega_1 = 300 \ rad/s$ અને $\omega_2 = 3000 \ rad/s$ મૂકતા:
$\frac{a_{max,1}}{a_{max,2}} = \left( \frac{300}{3000} \right)^2 = \left( \frac{1}{10} \right)^2 = \frac{1}{100} = 1: 10^2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $S.H.M.$ માં,કણનું સ્થાનાંતર $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ અંતિમ સ્થાનથી શરૂ થતો હોવાથી,$t = 0$ સમયે,$x = A$,જેનો અર્થ છે કે $\phi = 0$. તેથી,$x(t) = A \cos(\omega t)$.
પ્રવેગ $a(t)$ એ સ્થાનાંતરના દ્વિતીય વિકલન દ્વારા મળે છે: $a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 A \cos(\omega t)$.
આપણે પ્રવેગને $a(t) = \omega^2 A \cos(\omega t + \pi)$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
સ્થાનાંતર $(\omega t)$ અને પ્રવેગ $(\omega t + \pi)$ ની કળાની સરખામણી કરતા,કળા તફાવત $\pi \ rad$ મળે છે.

(B) સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.
ખ્યાલ: $SHM$ માટે,પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
વેગ એ સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$.
પ્રવેગ એ વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi)$.
અંતિમ સ્થાનો પર,સ્થાનાંતર $x = \pm A$ હોય છે,તેથી પ્રવેગ $a = \mp A\omega^2$ મહત્તમ (મૂલ્યમાં) હોય છે,અને વેગ $v = 0$ હોય છે.
મધ્યમાન સ્થાન પર,સ્થાનાંતર $x = 0$ હોય છે,તેથી પ્રવેગ $a = 0$ હોય છે,અને વેગ $v = \pm A\omega$ મહત્તમ હોય છે.
તેથી,જ્યારે '$a$' મહત્તમ હોય,ત્યારે '$v$' શૂન્ય હોય છે.

(C) ખ્યાલ: જો પાટિયાનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ કરતા વધી જાય,તો લાકડાનો સમઘન ઉપરના અંતિમ સ્થાને પાટિયાને છોડી દેશે.
બ્લોક પાટિયાને છોડે નહીં તે માટે,લંબબળ $N \geq 0$ હોવું જોઈએ.
બ્લોકના ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ પરથી,ગતિનું સમીકરણ: $mg - N = ma$.
બ્લોક સંપર્કમાં રહે તે માટે,$N \geq 0$,જેનો અર્થ છે $mg \geq ma$,અથવા $a \leq g$.
$S$.$H$.$M$. માં,મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,બ્લોક પાટિયાને ન છોડે તે માટેની શરત $\omega^2 A \leq g$,અથવા $A \leq \frac{g}{\omega^2}$ છે.
આપેલ આવૃત્તિ $f = \frac{3}{\pi} \text{ Hz}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2\pi \left( \frac{3}{\pi} \right) = 6 \text{ rad/s}$.
કિંમતો મૂકતા: $A \leq \frac{10}{6^2} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \text{ m}$.
આમ,મહત્તમ કંપવિસ્તાર $\frac{5}{18} \text{ m}$ છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 5 \,g = 5 \times 10^{-3} \,kg$,કંપવિસ્તાર $A = 0.3 \,m$,આવર્તકાળ $T = \frac{\pi}{5} \,s$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi/5} = 10 \,rad/s$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં કણ પર લાગતું મહત્તમ બળ $F_{max} = m\omega^2A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $F_{max} = (5 \times 10^{-3} \,kg) \times (10 \,rad/s)^2 \times (0.3 \,m)$.
$F_{max} = 5 \times 10^{-3} \times 100 \times 0.3 = 5 \times 10^{-1} \times 0.3 = 0.5 \times 0.3 = 0.15 \,N$.

(C) સ્થાનાંતર માટેનું આપેલ સમીકરણ $x = 5 \sin (3t + 3)$ છે.
$S.H.M.$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $x = A \sin (\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કંપવિસ્તાર $A = 5 \ cm$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 3 \ rad/s$
$S.H.M.$ માં કણના મહત્તમ પ્રવેગનું સૂત્ર $a_{max} = A \omega^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $a_{max} = 5 \times (3)^2$ મળે છે.
$a_{max} = 5 \times 9 = 45 \ cm \ s^{-2}$.

(A) સરળ આવર્ત ગતિમાં,પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર $a = -\omega^2 x$ છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $x$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે.
મધ્યમાન સ્થાન પર,સ્થાનાંતર $x = 0$ હોય છે.
સૂત્રમાં $x = 0$ મૂકતા,આપણને $a = -\omega^2 (0) = 0$ મળે છે.
તેથી,મધ્યમાન સ્થાન પર વજનનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે.

(A) $S.H.M.$ કરતા કણ માટે,સમય $t$ ના વિધેય તરીકે સ્થાનાંતર $x$ એ $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
$S.H.M.$ માટે હૂકના નિયમ મુજબ,પુનઃસ્થાપક બળ $F$ એ $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
$x$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા,આપણને $F = -k(A \sin(\omega t)) = -kA \sin(\omega t)$ મળે છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે બળ $F$ એ સ્થાનાંતર $x$ ના ઋણ મૂલ્યના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,બળ-સમયનો આલેખ એ સ્થાનાંતર-સમયના આલેખનું ઉલટું સ્વરૂપ હશે. જો સ્થાનાંતરનો આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થઈને ધન દિશામાં જાય,તો બળનો આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થઈને ઋણ દિશામાં જવો જોઈએ.

(D) દોલનનો વિસ્તાર $L$ એ બે અંતિમ સ્થાનો વચ્ચેનું કુલ અંતર છે,જે $2A$ જેટલું થાય છે,જ્યાં $A$ એ દોલનનો કંપવિસ્તાર છે.
તેથી,$A = \frac{L}{2}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ $\omega = 2 \pi f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$S.H.M.$ માં કણનો પ્રવેગ $a = -\omega^{2} x$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
દોલનના સૌથી ઉપરના બિંદુએ (અંતિમ સ્થાન),સ્થાનાંતર $x = A = \frac{L}{2}$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = \omega^{2} A = (2 \pi f)^{2} \times \frac{L}{2}$ મળે છે.
$|a| = 4 \pi^{2} f^{2} \times \frac{L}{2} = 2 \pi^{2} f^{2} L$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) $SHM$ ની પથ લંબાઈ $2A$ જેટલી હોય છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ પથ લંબાઈ $= 0.01 \ m$,તેથી $2A = 0.01 \ m$,જેનો અર્થ છે કે $A = 0.005 \ m$.
આવૃત્તિ $f = 50 \ Hz$.
$SHM$ માં કણ પર લાગતું મહત્તમ બળ $F_{max} = m \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\omega = 2 \pi f$,તેથી $F_{max} = m (2 \pi f)^2 A = m (4 \pi^2 f^2) A$.
કિંમતો મૂકતા: $F_{max} = 1 \times 4 \times \pi^2 \times (50)^2 \times 0.005$.
$F_{max} = 4 \times \pi^2 \times 2500 \times 0.005$.
$F_{max} = 10000 \times \pi^2 \times 0.005 = 50 \pi^2 \ N$.

(C) $SHM$ કરતા કણનો પ્રવેગ $a = -\omega^{2} x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
એક સંપૂર્ણ દોલન ($T$ સમયગાળા) દરમિયાન સરેરાશ પ્રવેગ શોધવા માટે,આપણે $[0, T]$ અંતરાલ પર પ્રવેગનું સંકલન કરીએ છીએ અને તેને $T$ વડે ભાગીએ છીએ.
$\text{સરેરાશ પ્રવેગ} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} a(t) dt = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} -\omega^{2} A \sin(\omega t + \phi) dt$.
કારણ કે એક સંપૂર્ણ આવર્તકાળ પર સાઈન વિધેયનું સંકલન શૂન્ય થાય છે,તેથી સરેરાશ પ્રવેગ $0$ છે.

(B) $SHM$ માં રહેલા કણનો મહત્તમ વેગ $v = a \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ સ્થાનાંતરનો કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આના પરથી,આપણે કોણીય આવૃત્તિ શોધી શકીએ છીએ: $\omega = \frac{v}{a}$.
મહત્તમ પ્રવેગ (પ્રવેગનો કંપવિસ્તાર) $A_{max} = \omega^2 a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવેગના સૂત્રમાં $\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$A_{max} = \left(\frac{v}{a}\right)^2 \times a = \frac{v^2}{a^2} \times a = \frac{v^2}{a}$.

(C) વસ્તુ પ્લેટફોર્મ પર રહે તે માટે, લંબબળ $N$ શૂન્ય અથવા તેનાથી વધુ હોવું જોઈએ। $m$ દળ ધરાવતી વસ્તુ માટે ગતિનું સમીકરણ $mg - N = ma$ છે, જ્યાં $a$ એ પ્લેટફોર્મનો પ્રવેગ છે।
વસ્તુ સપાટી સાથેનો સંપર્ક ગુમાવે તે માટે, લંબબળ $N = 0$ થાય।
તેથી, $mg = ma$, જેનો અર્થ છે કે $a = g$.
$S.H.M.$ માં કણનો પ્રવેગ $a = A\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે।
અલગ થવાથી બચવા માટે, પ્લેટફોર્મનો મહત્તમ નીચેની તરફનો પ્રવેગ $g$ કરતા વધવો જોઈએ નહીં।
તેથી, $A\omega^2 \leq g$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા, $A = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$ અને $g = 10 \text{ m/s}^2$:
$0.4 \omega^2 = 10$
$\omega^2 = \frac{10}{0.4} = 25$
$\omega = 5 \text{ rad/s}$.
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$, આપણી પાસે છે:
$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{5} = 0.4\pi \text{ s}$.
આમ, દોલનનો ન્યૂનતમ આવર્તકાળ $0.4\pi \text{ s}$ છે।

(B) આપેલ આવૃત્તિ $f = 0.5 \,Hz$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi (0.5) = \pi \,rad/s$ થાય.
બ્લોક પિસ્ટનના સંપર્કમાં રહે તે માટે, અંતિમ સ્થાને પિસ્ટનનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ કરતા વધવો જોઈએ નહીં.
બ્લોક સંપર્ક ગુમાવે નહીં તે માટેની શરત $a_{max} = g$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a_{max} = \omega^2 A$, તેથી $\omega^2 A = g$.
કિંમતો મૂકતા, $\pi^2 A = 10$.
$\pi^2 \approx 10$ લેતા, આપણને $10 A = 10$ મળે છે.
તેથી, $A = 1 \,m$.

(D) આપેલ બળનું સમીકરણ $F = -75 y$ છે। તેને સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $F = -ky$ સાથે સરખાવતા, બળ અચળાંક $k = 75 \,N/m$ મળે છે।
આપેલ દળ $m = 3 \,kg$ માટે, કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5 \,rad/s$ થાય.
મધ્યમાન સ્થાને વેગ એ મહત્તમ વેગ $V_{\max} = 2.5 \,m/s$ છે.
$V_{\max} = A\omega$ હોવાથી, કંપવિસ્તાર $A = \frac{V_{\max}}{\omega} = \frac{2.5}{5} = 0.5 \,m$ મળે.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max} = \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, $a_{\max} = (5)^2 \times 0.5 = 25 \times 0.5 = 12.5 \,m/s^2$ થાય.

(D) કણનું સ્થાનાંતર $x = x_0 \sin \left(\omega t - \frac{\pi}{6}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવેગ $a$ એ $a = \frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x$ દ્વારા મળે છે.
$x$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા:
$a = -\omega^2 x_0 \sin \left(\omega t - \frac{\pi}{6}\right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $-\sin(\theta) = \sin(\theta + \pi)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a = \omega^2 x_0 \sin \left(\omega t - \frac{\pi}{6} + \pi\right)$.
$a = \omega^2 x_0 \sin \left(\omega t + \frac{5\pi}{6}\right)$.
આને $a = A \sin(\omega t + \delta)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = x_0 \omega^2$ અને $\delta = \frac{5\pi}{6}$ મળે છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ પર લાગતું મહત્તમ બળ $F_{\max} = m \omega^2 a = 10 \,N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $m$ એ દળ છે, $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
મધ્યમાન સ્થાન પર, સ્થાનાંતર $y = 0$ હોય છે. અંત્ય સ્થાન પર, સ્થાનાંતર $y = a$ હોય છે.
કોઈપણ સ્થાનાંતર $y$ પર કણ પર લાગતું બળ $F = m \omega^2 y$ છે.
જ્યારે કણ મધ્યમાન અને અંત્ય સ્થાનની વચ્ચે હોય, ત્યારે સ્થાનાંતર $y = \frac{a}{2}$ થાય છે.
આ કિંમતને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = m \omega^2 \left(\frac{a}{2}\right) = \frac{1}{2} (m \omega^2 a)$.
કારણ કે $m \omega^2 a = 10 \,N$ છે, તેથી આપણને મળે છે:
$F = \frac{1}{2} \times 10 \,N = 5 \,N$.

(C) $SHM$ કરતા કણનો પ્રવેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\alpha = -\omega^2 y$
જ્યાં $\alpha$ એ પ્રવેગ છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,અને $y$ એ સંતુલન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે.
સંબંધ $\alpha \propto y$ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે પ્રવેગનું મૂલ્ય સંતુલન સ્થાનથી સ્થાનાંતરના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
સંતુલન સ્થાનથી કણનું મહત્તમ સ્થાનાંતર એ કંપવિસ્તાર $A$ જેટલું હોય છે.
તેથી,જ્યારે સ્થાનાંતર $y$ મહત્તમ હોય (એટલે કે અંતિમ સ્થાનો પર જ્યાં $y = \pm A$ હોય),ત્યારે પ્રવેગ મહત્તમ હોય છે.

(A) આકૃતિમાં દર્શાવેલ સ્થાનાંતર-સમયનો આલેખ સાઈન તરંગ છે, તેથી સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t)$ છે.
આલેખ પરથી, કંપવિસ્તાર $A = 1 \,cm$ અને આવર્તકાળ $T = 8 \,s$ છે.
તેથી, કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{8} = \frac{\pi}{4} \,rad/s$.
સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = 1 \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right)$ થાય.
સરળ આવર્ત ગતિમાં પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર $a = -\omega^2 x = -\omega^2 A \sin(\omega t)$ છે.
$t = \frac{4}{3} \,s$ સમયે કિંમતો મૂકતા:
$a = -\left(\frac{\pi}{4}\right)^2 \times 1 \times \sin\left(\frac{\pi}{4} \times \frac{4}{3}\right)$
$a = -\frac{\pi^2}{16} \times \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$
$a = -\frac{\pi^2}{16} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{32} \pi^2 \,cm \,s^{-2}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) સરળ આવર્ત દોલક માટે મધ્યસ્થ સ્થિતિથી $x$ સ્થાનાંતરે પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = \omega^2 x$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,જે $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપેલ છે: આવર્તકાળ $T = 2 \ s$,સ્થાનાંતર $x = 0.25 \ m$.
પ્રથમ,કોણીય આવૃત્તિની ગણતરી કરો: $\omega = \frac{2 \pi}{2} = \pi \ rad/s$.
હવે,કિંમતોને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકો: $a = (\pi)^2 \times 0.25$.
કારણ કે $0.25 = \frac{1}{4}$,તેથી આપણને $a = \pi^2 \times \frac{1}{4} = \frac{\pi^2}{4} \ m \ s^{-2}$ મળે છે.

(B) $SHM$ માં કણનો પ્રવેગ $a(t) = -\omega^2 x = -\omega^2 A \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંતિમ સ્થાન પર,$x = A$ $(t = 0)$,અને સંતુલન સ્થાન પર,$x = 0$ $(t = \frac{\pi}{2\omega})$.
સરેરાશ પ્રવેગ $A_{\text{avg}}$ ને $\frac{1}{\Delta t} \int_{0}^{\Delta t} a(t) dt$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અહીં,$\Delta t = \frac{\pi}{2\omega}$.
$A_{\text{avg}} = \frac{1}{\pi / 2\omega} \int_{0}^{\pi / 2\omega} \omega^2 A \cos(\omega t) dt = \frac{2\omega}{\pi} [A \sin(\omega t)]_{0}^{\pi / 2\omega} = \frac{2\omega A}{\pi} (1 - 0) = \frac{2\omega^2 A}{\pi}$.
મહત્તમ પ્રવેગ $A_{\max} = \omega^2 A$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{A_{\text{avg}}}{A_{\max}} = \frac{2\omega^2 A / \pi}{\omega^2 A} = \frac{2}{\pi}$ થાય છે.