Molar Specific Heat of gas and relation between them (Mayer's formula) Questions in Gujarati

(D) આદર્શ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \frac{7}{2}R$ છે અને અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{5}{2}R$ છે.
જ્યારે અચળ દબાણે $dQ$ જેટલી ઉષ્મા આપવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ઉષ્મા $dQ = n C_p dT = n (\frac{7}{2}R) dT$ થાય છે.
આંતરિક ઉર્જા વધારવા માટે વપરાતી ઉષ્મા $dU = n C_v dT = n (\frac{5}{2}R) dT$ છે.
આંતરિક ઉર્જા વધારવા માટે વપરાતી ઉષ્માનો અંશ $f = \frac{dU}{dQ} = \frac{n (\frac{5}{2}R) dT}{n (\frac{7}{2}R) dT} = \frac{5/2}{7/2} = \frac{5}{7}$ થાય છે.

(C) આપેલ છે,અચળ દબાણે ઉષ્મા $Q_p = 306 \ J$.
મોલની સંખ્યા,$n = 2$.
તાપમાનમાં ફેરફાર,$\Delta T = 35 - 25 = 10 \ K$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Q_p = n C_p \Delta T$.
કિંમતો મૂકતા: $306 = 2 \times C_p \times 10$.
તેથી,$C_p = \frac{306}{20} = 15.3 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$.
મેયરના સંબંધ મુજબ,$C_p - C_V = R$.
$R \approx 8.314 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$ લેતા,$C_V = 15.3 - 8.314 = 6.986 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$.
અચળ કદ પર જરૂરી ઉષ્મા $Q_V = n C_V \Delta T$ છે.
$Q_V = 2 \times 6.986 \times 10 = 139.72 \ J \approx 140 \ J$.

(C) અચળ કદ પર આપેલી ઉષ્માનું સૂત્ર $Q = n C_v \Delta T$ છે.
અહીં,$n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$C_v$ એ અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે,અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{m}{M} = \frac{35}{32} \ mol$.
ઓક્સિજન એ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી તેની મુક્તિની માત્રા (degree of freedom) $f = 5$ છે.
આમ,$C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$.
કિંમતો મૂકતા: $Q = \left( \frac{35}{32} \right) \times \left( \frac{5}{2} \times 8.3 \right) \times 80$.
$Q = \frac{35}{32} \times 5 \times 8.3 \times 40$.
$Q = 35 \times 5 \times 8.3 \times 1.25 = 1815.625 \ J$.
$Q \approx 1.81 \ kJ$.

(B) એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,$\text{મુક્તિના અંશો (degrees of freedom)}$ $f = 3$ છે.
અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{f}{2}R = \frac{3}{2}R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = C_V + R = \frac{3}{2}R + R = \frac{5}{2}R$ છે.
આપેલ છે કે $R = 8.3 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$.
$R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $C_P = \frac{5}{2} \times 8.3 = 2.5 \times 8.3 = 20.75 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$.

(A) $n$ સ્વતંત્રતાના અંશો ધરાવતા વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{n}{2}R$ છે.
મેયરના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = C_V + R = \frac{n}{2}R + R = \left(\frac{n}{2} + 1\right)R = \left(\frac{n+2}{2}\right)R$ થાય.
વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_p}{C_V}$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$\gamma = \frac{(\frac{n+2}{2})R}{(\frac{n}{2})R} = \frac{n+2}{n}$.

(D) આપેલ છે,$C_V = 12.6 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$ અને $R = 8.314 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$.
આદર્શ વાયુ માટે મેયરના સંબંધ મુજબ,અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_p)$ અને અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$ વચ્ચેનો સંબંધ $C_p - C_V = R$ છે.
તેથી,$C_p = C_V + R$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$C_p = 12.6 + 8.314 = 20.914 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $C_p \approx 20.9 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$ મળે છે.

(A) બહુપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = (3 + f)R$ છે,જ્યાં $f$ એ કંપનશીલ સ્વતંત્રતાના અંશો છે અને $R$ એ વાયુ અચળાંક છે.
હવે,
$C_p = C_V + R$
$C_p = (3 + f)R + R$
$C_p = (4 + f)R$
હવે,$C_p$ અને $C_V$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{C_p}{C_V} = \frac{(4 + f)R}{(3 + f)R} = \frac{4 + f}{3 + f}$.

(A) શોષાયેલી ઉષ્માનું સૂત્ર $\Delta Q = n C \Delta T$ છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$C$ એ મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
સૌ પ્રથમ,$CO_2$ ના મોલની સંખ્યા $n$ ગણો:
$n = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} = \frac{176 \text{ g}}{44 \text{ g/mol}} = 4 \text{ મોલ}$.
આપેલ છે કે $\Delta Q = 3600 \text{ J}$ અને $\Delta T = 30^{\circ} C - 0^{\circ} C = 30 \text{ K}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$3600 = 4 \times C \times 30$
$3600 = 120 \times C$
$C = \frac{3600}{120} = 30 \text{ J mol}^{-1} K^{-1}$.

(B) આપેલ પ્રક્રિયાનું સમીકરણ: $T = T_0(1 + \alpha V^2)$.
$V$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dT}{dV} = T_0(2\alpha V) \Rightarrow dV = \frac{dT}{2\alpha V T_0}$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ: $dQ = dU + dW$.
$n$ મોલ માટે: $nC dT = nC_V dT + P dV$.
$n dT$ વડે ભાગતા: $C = C_V + \frac{P}{n} \frac{dV}{dT}$.
$dV/dT = \frac{1}{2\alpha V T_0}$ મુકતા: $C = C_V + \frac{P}{n} \frac{1}{2\alpha V T_0}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\frac{P}{n} = \frac{RT}{V}$.
$T = T_0(1 + \alpha V^2)$ મુકતા: $\frac{P}{n} = \frac{R T_0(1 + \alpha V^2)}{V}$.
હવે,આ કિંમત $C$ ના સમીકરણમાં મુકતા: $C = C_V + \left[ \frac{R T_0(1 + \alpha V^2)}{V} \right] \left[ \frac{1}{2\alpha V T_0} \right]$.
સાદુરૂપ આપતા: $C = C_V + R \left( \frac{1 + \alpha V^2}{2\alpha V^2} \right)$.
$C = C_V + Rf(V)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(V) = \frac{1 + \alpha V^2}{2\alpha V^2}$ મળે છે.

(A) એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2}R$ અને અચળ દબાણ પર $C_p = \frac{5}{2}R$ છે.
જ્યારે અચળ દબાણે ઉષ્મા $Q$ આપવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ આપેલી ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T$ થાય છે.
આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
આંતરિક ઊર્જા વધારવા માટે વપરાતી ઉષ્માનો અંશ $\frac{\Delta U}{Q} = \frac{n C_v \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{C_v}{C_p}$ છે.
આપેલ છે કે $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{5}{3}$,તેથી $\frac{C_v}{C_p} = \frac{3}{5}$.
વપરાતી ઉષ્મા ઊર્જાની ટકાવારી = $\frac{3}{5} \times 100 = 60\%$.

(B) $T$ તાપમાને વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{f}{2} \mu R T$
જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degree of freedom) છે.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર:
$\Delta U = \frac{f}{2} \mu R \Delta T$
અચળ કદ પરની પ્રક્રિયા માટે,આપેલી ઉષ્મા એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલી હોય છે:
$\Delta Q_V = \mu C_V \Delta T = \Delta U$
$\Delta U$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\mu C_V \Delta T = \frac{f}{2} \mu R \Delta T$
$C_V = \frac{f}{2} R$
દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય અણુઓ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય) છે.
સૂત્રમાં $f = 5$ મૂકતા:
$C_V = \frac{5}{2} R$

(B) અચળ દબાણે પૂરી પાડવામાં આવેલ ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંતરિક ઉર્જા વધારવા માટે વપરાતી ઉષ્મા ઉર્જાનો અંશ $f = \frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{n C_v \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{C_v}{C_p}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ છે,તેથી $\frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$.
એક-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$ છે.
તેથી,અંશ $f = \frac{1}{5/3} = 3/5$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta U = n C_{v} \Delta T$.
એકપરમાણ્વિય વાયુ માટે,અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{v} = \frac{3}{2} R$ થાય છે.
આપેલ કિંમતો:
$n = 1 \text{ mol}$
$\Delta T = T_{2} - T_{1} = (100 + 273) - (0 + 273) = 100 \text{ K}$
$R = 8.32 \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta U = 1 \times \left( \frac{3}{2} \times 8.32 \right) \times 100$
$\Delta U = 1.5 \times 8.32 \times 100$
$\Delta U = 1248 \text{ J}$
વિકલ્પોમાં આપેલ નજીકની કિંમત મુજબ,$\Delta U \approx 1.25 \times 10^{3} \text{ J}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: ઉષ્મા $\Delta Q = 300 \ J$,$C_{p} = \frac{7}{2}R$,$\Delta T = 30 \ K$.
કદ અચળ હોવાથી,અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{v}$ નો ઉપયોગ થાય છે.
મેયરના સંબંધ મુજબ: $C_{v} = C_{p} - R = \frac{7}{2}R - R = \frac{5}{2}R$.
અચળ કદે ઉષ્માનું સૂત્ર: $\Delta Q = n C_{v} \Delta T$.
કિંમતો મૂકતા: $300 = n \times \frac{5}{2} \times 8.314 \times 30$.
$300 = n \times 124.71$.
$n = \frac{300}{124.71} \approx 2.405 \ mol$.
જો પ્રશ્ન મુજબ $n$ ને જ દળ ગણવામાં આવે (અથવા $M=1$ હોય),તો જવાબ $0.48 \ g$ મળે છે.

(D) $1$. સંબંધ $c_p - c_v = R$ નો ઉપયોગ કરો.
$2$. આપેલ છે કે $c_p = 8 \ \text{cal/mol} \cdot ^\circ \text{C}$ અને $R = 8.36 \ \text{J/mol} \cdot ^\circ \text{C}$. $1 \ \text{cal} \approx 4.18 \ \text{J}$ હોવાથી,$R \approx 8.36 / 4.18 = 2 \ \text{cal/mol} \cdot ^\circ \text{C}$ મળે.
$3$. $c_v$ ની ગણતરી કરો: $c_v = c_p - R = 8 - 2 = 6 \ \text{cal/mol} \cdot ^\circ \text{C}$.
$4$. અચળ કદ પર આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n c_v \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$5$. અહીં $n = 5 \ \text{moles}$,$c_v = 6 \ \text{cal/mol} \cdot ^\circ \text{C}$,અને $\Delta T = 20^\circ \text{C} - 10^\circ \text{C} = 10^\circ \text{C}$ છે.
$6$. તેથી,$\Delta U = 5 \times 6 \times 10 = 300 \ \text{cal}$.