Gravitational Intensity Questions in Gujarati

(D) ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્ર $g$ માં $m$ દળ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણીય બળ $F = mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં,ગુરુત્વાકર્ષણીય બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણીય દળ $m$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે. ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $g$ ને એકમ દળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$g = F/m$,જેનો અર્થ છે $F = mg$. કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્ર $g$ એ દળની આસપાસની જગ્યાનો ગુણધર્મ છે,અને બળ $F$ એ આંતરક્રિયા છે,તેથી ગુરુત્વાકર્ષણીય દળ આ તમામ રાશિઓ સાથે મૂળભૂત રીતે સંબંધિત છે. આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદાર્થનું દળ $m_1 = 100 \, kg$ અને બીજા પદાર્થનું દળ $m_2 = 10000 \, kg$ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $r = 1 \, m$ છે.
ધારો કે જે બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા શૂન્ય છે તે નાના દળ $(m_1)$ થી $x$ અંતરે છે.
$m_1$ ને કારણે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E_1 = \frac{G m_1}{x^2}$ અને $m_2$ ને કારણે $E_2 = \frac{G m_2}{(1-x)^2}$ છે.
કુલ તીવ્રતા શૂન્ય થવા માટે,$E_1 = E_2$,તેથી $\frac{G \times 100}{x^2} = \frac{G \times 10000}{(1-x)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{10}{x} = \frac{100}{1-x}$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $10(1-x) = 100x \Rightarrow 10 - 10x = 100x \Rightarrow 110x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{110} = \frac{1}{11} \, m$.

(C) સમાન ગોલીય કવચની અંદરના દરેક બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા શૂન્ય હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવેલા કણ પર કવચના વિવિધ ભાગો દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સંમિતિને કારણે સંપૂર્ણપણે નાબૂદ થઈ જાય છે.
જો કણને કેન્દ્રથી દૂર ખસેડવામાં આવે તો પણ,નજીકની બાજુથી લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાં થતો વધારો એ દૂરની બાજુએ રહેલા વધુ દળ દ્વારા બરાબર સંતુલિત થઈ જાય છે,જેના પરિણામે કવચની અંદર દરેક જગ્યાએ ચોખ્ખું ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર શૂન્ય રહે છે.

(A) ધારો કે $m$ દળના ત્રણ કણો $L$ બાજુ લંબાઈ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ પર મૂકવામાં આવ્યા છે. ત્રિકોણનું કેન્દ્ર $O$ છે.
દરેક કણ કેન્દ્ર $O$ પર પોતાની તરફ દિશામાન ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા ઉત્પન્ન કરે છે.
કેન્દ્ર પર દરેક કણને કારણે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતાનું મૂલ્ય $I = \frac{Gm}{r^2}$ છે,જ્યાં $r$ એ શિરોબિંદુથી કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,ત્રણેય કણો માટે અંતર $r$ સમાન છે.
આમ,ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતાના મૂલ્યો સમાન છે: $|\vec{I}_A| = |\vec{I}_B| = |\vec{I}_C| = I$.
કોઈપણ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $120^\circ$ છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,કેન્દ્ર પરનું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર સદિશ સરવાળો છે: $\vec{I}_{net} = \vec{I}_A + \vec{I}_B + \vec{I}_C$.
આ ત્રણેય સદિશો મૂલ્યમાં સમાન હોવાથી અને એકબીજા સાથે $120^\circ$ ના ખૂણે હોવાથી,તેમનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે.

(B) $m$ દળના કણ પર કેન્દ્રથી $r$ અંતરે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = m \cdot E(r)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E(r)$ એ તે બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
$1$. $0 \le r \le R_1$ માટે: કણ પોલાણની અંદર છે. શેલ પ્રમેય મુજબ,સમાન ગોળાકાર શેલની અંદર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. તેથી,$F = 0$.
$2$. $R_1 \le r \le R_2$ માટે: કણ ગોળાના દ્રવ્યની અંદર છે. બળમાં ફાળો આપતું અસરકારક દળ $M_{eff}$ એ $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાનું દળ માઈનસ પોલાણનું દળ છે. $M_{eff} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi(r^3 - R_1^3)$,જ્યાં $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi(R_2^3 - R_1^3)}$. બળ $F = \frac{G \cdot M_{eff} \cdot m}{r^2}$,જે $r$ વધતા વધે છે.
$3$. $r > R_2$ માટે: કણ ગોળાની બહાર છે. ગોળો કેન્દ્ર પર $M$ દળના બિંદુવત પદાર્થ તરીકે વર્તે છે. તેથી,$F = \frac{G M m}{r^2}$,જેનો અર્થ છે કે $F \propto \frac{1}{r^2}$.
આ શરતોની સરખામણી કરતા,જે આલેખ $r < R_1$ માટે $F=0$,$R_1 < r < R_2$ માટે વધતો વક્ર અને $r > R_2$ માટે ઘટતો $1/r^2$ વક્ર દર્શાવે છે,તે વિકલ્પ $(B)$ દ્વારા રજૂ થાય છે.

(D) $M$ દળ અને $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલીય કવચ માટે:
$1$. કવચની અંદર $(r < a)$,ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્રની તીવ્રતા $(I)$ શૂન્ય હોય છે કારણ કે સમાન ગોલીય કવચની અંદરના બિંદુ દળ પર લાગતું ચોખ્ખું ગુરુત્વાકર્ષી બળ શૂન્ય હોય છે.
$2$. કવચની બહાર $(r \ge a)$,કવચ તેના કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત બિંદુ દળ તરીકે વર્તે છે. તેથી,ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્રની તીવ્રતા $I = \frac{GM}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $I \propto \frac{1}{r^2}$.
$3$. આમ,આલેખમાં $r < a$ માટે $I = 0$ અને $r \ge a$ માટે $I \propto \frac{1}{r^2}$ દર્શાવતો વક્ર હોવો જોઈએ.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે,ગૌસનો નિયમ $\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{q}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર માટે,ક્ષેત્રની તીવ્રતા $\vec{g} = -\frac{Gm}{r^2} \hat{r}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથેની સામ્યતા દ્વારા,જ્યાં અચળાંક $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ એ $G$ ને અનુરૂપ છે,અને વિદ્યુતભાર $q$ એ દળ $m$ ને અનુરૂપ છે,આપણે $\frac{1}{\epsilon_0}$ ને $4\pi G$ વડે બદલીએ છીએ.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હંમેશા આકર્ષી પ્રકારનું હોવાથી,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું ગુરુત્વાકર્ષણ ફ્લક્સ ઋણ હોય છે.
તેથી,ગૌસના નિયમનું ગુરુત્વાકર્ષણ સ્વરૂપ $\oint \vec{g} \cdot d\vec{s} = -4\pi Gm$ છે.

(D) ધારો કે પૃથ્વીનું દળ $M_E$ અને ચંદ્રનું દળ $M_M$ છે. આપેલ છે કે $M_E = 81 M_M$ અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $D$ છે.
ધારો કે જે બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે તે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે છે.
આ બિંદુએ,પૃથ્વીને કારણે ઉદ્ભવતું ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર અને ચંદ્રને કારણે ઉદ્ભવતું ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર મૂલ્યમાં સમાન હોવા જોઈએ.
$\frac{G M_E}{x^2} = \frac{G M_M}{(D - x)^2}$
$M_E = 81 M_M$ મૂકતા:
$\frac{81 M_M}{x^2} = \frac{M_M}{(D - x)^2}$
$\frac{81}{x^2} = \frac{1}{(D - x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{9}{x} = \frac{1}{D - x}$
$9(D - x) = x$
$9D - 9x = x$
$10x = 9D$
$x = \frac{9D}{10}$

(C) ધારો કે $M_e = M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $M_m = \frac{M}{81}$ એ ચંદ્રનું દળ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = 60R$ છે.
ધારો કે જે બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણની તીવ્રતા શૂન્ય છે તે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે છે. તો ચંદ્રના કેન્દ્રથી તેનું અંતર $(d - x)$ થશે.
આ બિંદુએ,પૃથ્વી અને ચંદ્રને કારણે ઉદ્ભવતું ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવું જોઈએ:
$\frac{GM_e}{x^2} = \frac{GM_m}{(d - x)^2}$
$\frac{M}{x^2} = \frac{M/81}{(60R - x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{x} = \frac{1/9}{60R - x}$
$60R - x = \frac{x}{9}$
$9(60R - x) = x$
$540R - 9x = x$
$10x = 540R$
$x = 54R$
આ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે. ચંદ્રના કેન્દ્રથી અંતર $d - x = 60R - 54R = 6R$ થશે.

(B) ગુરુત્વતીવ્રતા $I$ અને ગુરુત્વસ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$I = -\nabla V = - \left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$.
અહીં $V = 3x + 4y + 12z$ આપેલ છે.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = 3$,$\frac{\partial V}{\partial y} = 4$,અને $\frac{\partial V}{\partial z} = 12$.
તેથી,તીવ્રતાનું સદિશ સ્વરૂપ $I = -(3\hat{i} + 4\hat{j} + 12\hat{k})$ મળે.
ગુરુત્વતીવ્રતાનું મૂલ્ય $|I| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + (-12)^2}$ થાય.
$|I| = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 \ N \ kg^{-1}$.

(D) $O$ બિંદુ પાસે અનેક કણોને કારણે ઉદ્ભવતી કુલ ગુરુત્વતીવ્રતા $I$ એ દરેક કણની વ્યક્તિગત તીવ્રતાનો સરવાળો છે:
$I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 + \dots$
$I = \frac{GM}{r_1^2} + \frac{GM}{r_2^2} + \frac{GM}{r_3^2} + \frac{GM}{r_4^2} + \dots$
અહીં $M = 3 \ kg$ અને અંતર $r = 1, 2, 4, 8, \dots$ આપેલ છે.
$I = GM \left[ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{8^2} + \dots \right]$
$I = GM \left[ 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \dots \right]$
આ એક અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{4}$ છે. શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$ થાય.
કિંમત મૂકતા:
$I = GM \times \frac{4}{3}$
$I = G \times 3 \times \frac{4}{3} = 4G$.

(D) શેલ પ્રમેય મુજબ,ગોળીય કવચની અંદર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
$r_1 < r < r_2$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,આ બિંદુ અંદરના કવચ (દળ $M_1$) ની બહાર અને બહારના કવચ (દળ $M_2$) ની અંદર આવેલું છે.
અંદરના કવચને કારણે $r$ અંતરે ગુરુત્વતીવ્રતા $I_1 = \frac{GM_1}{r^2}$ થાય.
બહારના કવચને કારણે $r$ અંતરે ગુરુત્વતીવ્રતા $I_2 = 0$ થાય (કારણ કે તે કવચની અંદર છે).
તેથી,કુલ ગુરુત્વતીવ્રતા $I = I_1 + I_2 = \frac{GM_1}{r^2} + 0 = \frac{GM_1}{r^2}$ થાય.

(C) સમાન ગોળીય કવચની અંદરના દરેક બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
ધારો કે ઉપરના ભાગને કારણે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $\vec{I_1}$ છે અને નીચેના ભાગને કારણે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $\vec{I_2}$ છે.
કવચની અંદર $P$ બિંદુએ કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી,આપણી પાસે $\vec{I_1} + \vec{I_2} = 0$ છે.
આનો અર્થ એ થાય છે કે $\vec{I_1} = -\vec{I_2}$.
બંને બાજુનું મૂલ્ય લેતા,આપણને $|\vec{I_1}| = |-\vec{I_2}|$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $I_1 = I_2$.

(A) ધારો કે પૃથ્વીનું દળ $M_e$ અને ચંદ્રનું દળ $M_m$ છે. આપેલ છે કે $M_e = 81 M_m$.
ધારો કે ચંદ્રના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે પરિણામી ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી આ બિંદુનું અંતર $(60R - x)$ થશે.
આ બિંદુએ,પૃથ્વીને કારણે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા અને ચંદ્રને કારણે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા સમાન હોવી જોઈએ:
$\frac{G M_e}{(60R - x)^2} = \frac{G M_m}{x^2}$
$M_e = 81 M_m$ મૂકતા:
$\frac{81 M_m}{(60R - x)^2} = \frac{M_m}{x^2}$
$\frac{81}{(60R - x)^2} = \frac{1}{x^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{9}{60R - x} = \frac{1}{x}$
$9x = 60R - x$
$10x = 60R$
$x = 6R$
આમ,ચંદ્રના કેન્દ્રથી અંતર $6\,R$ છે.

(B) ઉગમબિંદુ પર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતાનું મૂલ્ય દરેક $m = 1 \ kg$ દળને કારણે ઉદ્ભવતી ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતાના સરવાળા જેટલું હશે.
ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતાનું સૂત્ર $I = \frac{Gm}{r^2}$ છે.
બધા દળોને કારણે તીવ્રતાનો સરવાળો કરતા:
$I = G \times 1 \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \dots \right)$
આ એક ભૂમિતિ શ્રેણી $(GP)$ છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{4}$ છે.
અનંત $GP$ ના સરવાળાનું સૂત્ર $S = \frac{a}{1 - r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$I = G \left( \frac{1}{1 - 1/4} \right) = G \left( \frac{1}{3/4} \right) = \frac{4G}{3}$.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ માટેના ગૌસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું ગુરુત્વાકર્ષી ફ્લક્સ $\Phi_g = \oint \vec{E_g} \cdot d\vec{S} = -4\pi GM_{enclosed}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિધાન-$1$ માં ફ્લક્સ $4\pi GM$ આપેલું છે,પરંતુ સાચું મૂલ્ય $-4\pi GM$ છે (ગુરુત્વાકર્ષણના આકર્ષી સ્વભાવને કારણે). તેથી,વિધાન-$1$ ખોટું છે.
વિધાન-$2$ ગૌસના નિયમના સામાન્ય સિદ્ધાંતનું વર્ણન કરે છે,જે વ્યસ્ત-વર્ગના નિયમનું પાલન કરતા કોઈપણ ક્ષેત્ર (જેમ કે ગુરુત્વાકર્ષણ અથવા સ્થિર વિદ્યુત) ને લાગુ પડે છે. આ વિધાન સાચું છે.
તેથી,વિધાન-$1$ ખોટું છે અને વિધાન-$2$ સાચું છે.

(C) શેલ પ્રમેય મુજબ,સમાન ગોળાકાર કવચની અંદર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય હોય છે.
સ્થાન $A$ પર (બંને કવચની બહાર): કણ કેન્દ્રથી $r_1$ અંતરે છે. બંને કવચ કેન્દ્ર પર બિંદુવત દળ તરીકે વર્તે છે. કુલ બળ $F_A = \frac{G(m_1 + m_2)m}{r_1^2}$ છે.
સ્થાન $B$ પર (બે કવચની વચ્ચે): કણ કેન્દ્રથી $r_2$ અંતરે છે. તે અંદરના કવચ $(m_1)$ ની બહાર છે પરંતુ બહારના કવચ $(m_2)$ ની અંદર છે. બહારના કવચને કારણે લાગતું બળ $0$ છે. અંદરના કવચને કારણે લાગતું બળ $F_B = \frac{G m_1 m}{r_2^2}$ છે.
સ્થાન $C$ પર (બંને કવચની અંદર): કણ કેન્દ્રથી $r_3$ અંતરે છે. તે બંને કવચની અંદર છે. તેથી,બંને કવચને કારણે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $0$ છે. આમ,$F_C = 0$.
તેથી,$A, B$ અને $C$ પર લાગતા બળો $\frac{G(m_1 + m_2)m}{r_1^2}, \frac{G m_1 m}{r_2^2}, 0$ છે.

(B) ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V$ અને ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dr}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્રની તીવ્રતાનું મૂલ્ય $|E| = |\frac{dV}{dr}|$ છે,જે $V-r$ આલેખનો ઢાળ દર્શાવે છે.
આપેલ આલેખ પરથી,કોઈપણ રેખા માટે,$r$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.
રેખાનો ઢાળ $\tan(\theta) = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.
જોકે,આલેખ જોતા,સ્થિતિમાન $V$ માં $4 \ J/kg$ નો ફેરફાર થાય છે.
આપેલ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,જો આપણે $|E| = \frac{V}{r_{intercept}}$ લઈએ,તો $|E| = \frac{4}{1} = 4$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $4$ છે.

(C) કોઈપણ બિંદુ પર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા એ પદાર્થના તમામ સૂક્ષ્મ દળ ઘટકો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
અર્ધગોળાકાર કવચ માટે,કિનારી પર આવેલા બિંદુ $p$ ના સંદર્ભમાં દળના વિતરણની સમપ્રમાણતાને ધ્યાનમાં લો.
દળના ઘટકો એવી રીતે વિતરિત થયેલા છે કે જેથી ચોખ્ખું ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર કવચના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત થાય છે.
સમપ્રમાણતા દ્વારા,બિંદુ $p$ માંથી પસાર થતી ઉભી ધરીની બંને બાજુએ આવેલા દળના ઘટકો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રના આડા ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
બિંદુ $p$ પર પરિણામી ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા દળના જથ્થા તરફ,એટલે કે નીચેની તરફ અને અર્ધગોળાના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
આપેલ દિશાઓને જોતા,સદિશ $c$ સીધો નીચેની તરફ કવચની અંદર નિર્દેશ કરે છે,જે કિનારીના બિંદુ $p$ પર ચોખ્ખા ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની દિશા દર્શાવે છે.

(C) $m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગની અક્ષ પર $x$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણીય તીવ્રતા $E$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{Gmx}{(r^2 + x^2)^{3/2}}$
મહત્તમ તીવ્રતા શોધવા માટે,આપણે $E$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરી તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dE}{dx} = Gm \left[ \frac{(r^2 + x^2)^{3/2} - x \cdot \frac{3}{2}(r^2 + x^2)^{1/2} \cdot 2x}{(r^2 + x^2)^3} \right] = 0$
$(r^2 + x^2)^{3/2} - 3x^2(r^2 + x^2)^{1/2} = 0$
$r^2 + x^2 = 3x^2 \implies 2x^2 = r^2 \implies x = \frac{r}{\sqrt{2}}$
$x = \frac{r}{\sqrt{2}}$ ની કિંમત $E$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E_{\text{max}} = \frac{Gm(r/\sqrt{2})}{(r^2 + r^2/2)^{3/2}} = \frac{Gmr/\sqrt{2}}{(3r^2/2)^{3/2}} = \frac{Gmr/\sqrt{2}}{(3\sqrt{3}r^3)/(2\sqrt{2})} = \frac{Gmr}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}r^3} = \frac{2Gm}{3\sqrt{3}r^2}$

(A) પોલા ગોળાકાર કવચને કારણે કોઈ બિંદુ પર ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્રની તીવ્રતા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$1$. કવચની બહારના બિંદુ માટે $(r > R_{shell})$,ક્ષેત્ર $E = -\frac{GM}{r^2}$ છે.
$2$. કવચની અંદરના બિંદુ માટે $(r < R_{shell})$,ક્ષેત્ર $E = 0$ છે.
આપેલ પ્રશ્નમાં,બિંદુ $P$ કેન્દ્રથી $r$ અંતરે છે જ્યાં $R < r < 2R$ છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અંદરના ગોળા માટે,બિંદુ $P$ બહાર છે,તેથી ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E_1 = -\frac{GM}{r^2}$ છે.
$2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બહારના ગોળા માટે,બિંદુ $P$ અંદર છે,તેથી ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E_2 = 0$ છે.
બિંદુ $P$ પર કુલ ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = E_1 + E_2 = -\frac{GM}{r^2} + 0 = -\frac{GM}{r^2}$ થાય છે.

(C) ધારો કે મૂળ સમાન ગોળાનું દળ $M$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R$ છે. નાના ગોળાનું દળ (જે દૂર કરવામાં આવે છે) $m$ છે.
આકૃતિ પરથી,દૂર કરેલા ગોળાની ત્રિજ્યા $r = R/2$ છે.
ગોળાની ઘનતા $\rho$ ધારીએ તો,આપણને મળે છે:
$\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{m}{\frac{4}{3}\pi (R/2)^3}$
$\Rightarrow m = M \cdot \left(\frac{R/2}{R}\right)^3 = \frac{M}{8}$
ગોળાના બાકી રહેલા ભાગનું દળ:
$M' = M - m = M - \frac{M}{8} = \frac{7}{8}M$
મૂળ ગોળાના કેન્દ્રથી ખૂબ મોટા અંતર $x$ પર આવેલા બિંદુ $P$ માટે,બાકી રહેલા દળ $M'$ ને કારણે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E = \frac{GM'}{x^2} = \frac{G(7/8)M}{x^2} = \frac{7}{8} \frac{GM}{x^2}$

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V$ છે,જેનો અર્થ છે કે $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r}$.
આપેલ છે કે $\vec{E} = E_x \hat{i} + E_y \hat{j} = 5\hat{i} + 12\hat{j}$.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી બિંદુ $(x, y)$ સુધી સંકલન કરતા,આપણને મળે છે $V(x, y) - V(0, 0) = -\int_{(0,0)}^{(x,y)} (E_x dx + E_y dy)$.
કારણ કે $V(0,0) = 0$,તેથી $V(x, y) = -(E_x x + E_y y) = -(5x + 12y)$.
બિંદુ $A(12\,m, 0)$ માટે,$V_A = -(5 \times 12 + 12 \times 0) = -60\,J/kg$.
બિંદુ $B(0, 5\,m)$ માટે,$V_B = -(5 \times 0 + 12 \times 5) = -60\,J/kg$.
બિંદુઓ પરના સ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર $\frac{V_A}{V_B} = \frac{-60}{-60} = 1$ છે.

(A) ગોળાકાર રીતે સપ્રમાણ દળ વિતરણની બહારના બિંદુ પર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર એ કેન્દ્ર પર સ્થિત સિસ્ટમના કુલ દળ જેટલા બિંદુ દળ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રની સમકક્ષ હોય છે.
સિસ્ટમનું કુલ દળ એ નક્કર ગોળાના દળ અને ગોળાકાર કવચના દળનો સરવાળો છે:
$M_{total} = M + 2M = 3M$
કેન્દ્રથી અંતર $r = 3a$ છે.
બિંદુ દળ $M_{total}$ થી $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $g$ માટેનું સૂત્ર છે:
$g = \frac{G M_{total}}{r^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$g = \frac{G(3M)}{(3a)^2}$
$g = \frac{3GM}{9a^2}$
$g = \frac{GM}{3a^2}$

(B) ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્ર $E$ અને ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dx}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $V = 4x^2$ આપેલ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $E = -\frac{d(4x^2)}{dx}$ મળે છે.
વિકલન કરતા,$E = -(4 \cdot 2x) = -8x$ મળે છે.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્ર ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં છે.

(B) ધારો કે $\rho$ ઘનતા અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતો એક નક્કર ગોળો છે. નક્કર ગોળાની અંદર કોઈપણ બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $\vec{g} = -\frac{4}{3} \pi G \rho \vec{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{r}$ એ ગોળાના કેન્દ્રથી સ્થાન સદિશ છે.
જ્યારે ગોળાકાર પોલાણ બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે પોલાણની અંદરનું ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર એ મૂળ નક્કર ગોળાને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્ર અને તે જ સ્થાને મૂકવામાં આવેલા ઋણ દળના નાના ગોળા (જે પોલાણ દર્શાવે છે) ને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રનો સદિશ સરવાળો છે.
ધારો કે $\vec{r_1}$ એ મોટા ગોળાના કેન્દ્રથી સ્થાન સદિશ છે અને $\vec{r_2}$ એ પોલાણના કેન્દ્રથી સ્થાન સદિશ છે.
કુલ ક્ષેત્ર $\vec{g}_{net} = \vec{g}_{large} + \vec{g}_{cavity} = -\frac{4}{3} \pi G \rho \vec{r_1} - (-\frac{4}{3} \pi G \rho \vec{r_2})$.
કારણ કે $\vec{r_1} - \vec{r_2} = \vec{d}$,જ્યાં $\vec{d}$ એ ગોળાના કેન્દ્રથી પોલાણના કેન્દ્રને જોડતો અચળ સદિશ છે,તેથી આપણને $\vec{g}_{net} = -\frac{4}{3} \pi G \rho \vec{d}$ મળે છે.
અહીં $\rho$,$G$ અને $\vec{d}$ અચળ હોવાથી,પોલાણની અંદરનું ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર સમાન (Uniform) રહે છે.

(D) ધારો કે ચંદ્રનું દળ $M$ છે અને પૃથ્વીનું દળ $81M$ છે.
ધારો કે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી જે અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે તે અંતર $x$ છે.
તો ચંદ્રના કેન્દ્રથી અંતર $(D - x)$ થશે.
આ બિંદુએ પૃથ્વીને કારણે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E_E = \frac{G(81M)}{x^2}$ છે.
આ બિંદુએ ચંદ્રને કારણે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E_M = \frac{GM}{(D - x)^2}$ છે.
કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,$E_E = E_M$ હોવું જોઈએ.
$\frac{G(81M)}{x^2} = \frac{GM}{(D - x)^2}$.
$\frac{81}{x^2} = \frac{1}{(D - x)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{9}{x} = \frac{1}{D - x}$ મળે છે.
$9(D - x) = x$.
$9D - 9x = x$.
$9D = 10x$.
$x = \frac{9D}{10}$.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ દ્વારા તેના કેન્દ્રથી $d$ અંતરે તેની અક્ષ પર મૂકવામાં આવેલા $m$ દળ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{GMmd}{(R^2 + d^2)^{3/2}}$
અહીં આપેલ છે કે અંતર $d = R$,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = \frac{GMmR}{(R^2 + R^2)^{3/2}}$
$F = \frac{GMmR}{(2R^2)^{3/2}}$
$F = \frac{GMmR}{2^{3/2} \cdot (R^2)^{3/2}}$
$F = \frac{GMmR}{2\sqrt{2} \cdot R^3}$
$F = \frac{GMm}{2\sqrt{2}R^2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ત્રિજ્યા $R$ અને સમાન ઘનતા $\rho$ ધરાવતા નક્કર ગોળાની અંદર કેન્દ્રથી $r$ $(r < R)$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{G M_{in}}{r^2}$ છે.
અહીં,$M_{in}$ એ $r$ ત્રિજ્યાની અંદર સમાયેલ ગોળાનું દળ છે.
દળ $M_{in}$ ને $M_{in} = \text{ઘનતા} \times \text{કદ} = \rho \times \frac{4}{3} \pi r^3$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આ કિંમત $g$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$g = \frac{G (\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3)}{r^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho r$.

(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની સપાટી પરનું ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $I_{g} = \frac{GM}{R^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આલેખ પરથી,ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રનું મહત્તમ મૂલ્ય ગોળાની સપાટી પર જોવા મળે છે.
ગોળા $(1)$ માટે,ત્રિજ્યા $R_{1} = 1 \; m$ છે અને મહત્તમ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $I_{g1} = 2$ છે.
તેથી,$\frac{GM_{1}}{(1)^{2}} = 2 \implies GM_{1} = 2$.
ગોળા $(2)$ માટે,ત્રિજ્યા $R_{2} = 2 \; m$ છે અને મહત્તમ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $I_{g2} = 3$ છે.
તેથી,$\frac{GM_{2}}{(2)^{2}} = 3 \implies \frac{GM_{2}}{4} = 3 \implies GM_{2} = 12$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{GM_{1}}{GM_{2}} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
તેથી,$\frac{M_{1}}{M_{2}} = \frac{1}{6}$.

(B) સમાન દળ ઘનતા ધરાવતા સંપૂર્ણ ગોળાકાર કવચ માટે,તેની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષી તીવ્રતા શૂન્ય હોય છે. આનું કારણ એ છે કે કવચના વિવિધ ભાગો દ્વારા કેન્દ્રમાં રહેલા કણ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષી બળો સંમિતિને કારણે એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
જો આપણે અર્ધગોળાકાર કવચનો વિચાર કરીએ,તો આપણે તેને એક સંપૂર્ણ ગોળાકાર કવચ તરીકે કલ્પી શકીએ છીએ જેમાંથી ઉપરનો અડધો ભાગ દૂર કરવામાં આવ્યો છે. ધારો કે સંપૂર્ણ કવચને કારણે ગુરુત્વાકર્ષી તીવ્રતા $I_{total} = 0$ છે. ધારો કે $I_{upper}$ એ ઉપરના અર્ધગોળાને કારણે અને $I_{lower}$ એ નીચેના અર્ધગોળાને કારણે કેન્દ્ર $O$ પરની તીવ્રતા છે. તો,$I_{upper} + I_{lower} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $I_{lower} = -I_{upper}$.
કેન્દ્ર $O$ પર ઉપરના અર્ધગોળાને કારણે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષી બળ (અને તેથી તીવ્રતા) નીચેની દિશામાં (નીચેના અર્ધગોળા તરફ) હશે. તેથી,નીચેના અર્ધગોળાને કારણે તીવ્રતા ઉપરની તરફ હોવી જોઈએ,જેથી અસર નાબૂદ થઈ શકે. જો કે,પ્રશ્ન અસ્તિત્વમાં રહેલા અર્ધગોળાકાર કવચ (નીચેનો ભાગ) ને કારણે તીવ્રતા વિશે પૂછે છે. નીચેના અર્ધગોળાકાર કવચ દ્વારા કેન્દ્ર $O$ પર રહેલા કણ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષી બળ દળ તરફ,એટલે કે નીચેની દિશામાં હોય છે. આમ,કેન્દ્ર $O$ પર ગુરુત્વાકર્ષી તીવ્રતા નીચેની દિશામાં હોય છે,જે તીર $c$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.

(C) અર્ધગોળાકાર કવચને કારણે કોઈપણ બિંદુ $P$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ તીવ્રતા કવચના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
અર્ધગોળાકાર કવચ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સંમિતિની ધરી પર,તેની ધારના કેન્દ્રની નીચે આવેલું હોય છે.
દ્રવ્યમાન વિતરણની સંમિતિને ધ્યાનમાં લેતા,ધાર પરના બિંદુ $P$ પર એકમ દ્રવ્યમાન પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અર્ધગોળાના મુખ્ય ભાગ તરફ નિર્દેશિત થશે.
અર્ધગોળાકાર કવચની ભૂમિતિને જોતા,બિંદુ $P$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ તીવ્રતા સદિશ કવચના અંદરના ભાગ તરફ નિર્દેશ કરે છે,જે ખાસ કરીને તીર $e$ દ્વારા દર્શાવેલ દિશામાં છે.

(A) શેલ પ્રમેય (shell theorem) મુજબ,એક સમાન ગોલીય કવચ દ્વારા તેની અંદર રહેલા કણ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે કવચના વિવિધ ભાગો દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અંદરના કોઈપણ બિંદુએ એકબીજાની અસરને નાબૂદ કરે છે.
તેથી,એક સમાન ગોલીય કવચની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા $0$ હોય છે.

(N/A) બે પદાર્થો વચ્ચે અમુક અંતરે લાગતું બળ ક્ષેત્ર દ્વારા કેવી રીતે ઉદભવે છે તે નીચે મુજબ સમજાવી શકાય:
$(1)$ દરેક પદાર્થ તેના દળને કારણે તેની આસપાસ ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
$(2)$ આ ક્ષેત્રમાં રહેલા બીજા પદાર્થ પર આ ક્ષેત્ર બળ લગાડે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા: 'કોઈ આપેલા બિંદુએ એકમ દળના પદાર્થ પર આપેલા પદાર્થ દ્વારા લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણીય બળને તે બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $(\overrightarrow{I})$ કહે છે'. તેને ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્ર અથવા ગુરુત્વાકર્ષણીય તીવ્રતા તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.
ધારો કે $M$ દળનો પદાર્થ યામ પદ્ધતિના ઉગમબિંદુ $O$ પર છે અને $m = 1 \text{ kg}$ દળનો પદાર્થ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ધરાવતા બિંદુ $P$ પર મૂકેલો છે.
$m$ અને $M$ દળના પદાર્થો પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,$\overrightarrow{F} = -\frac{GMm}{r^{2}} \hat{r}$.
જો $m = 1 \text{ kg}$ હોય,તો $\overrightarrow{F} = \overrightarrow{I}$ (ગુરુત્વાકર્ષણની તીવ્રતા),તેથી:
$\overrightarrow{I} = -\frac{GM(1)}{r^{2}} \hat{r} \quad \ldots \ldots \ldots(1)$
અહીં,$M$ દળના પદાર્થ દ્વારા $m$ દળના પદાર્થ પર લાગતું બળ $O$ ની દિશામાં છે,જ્યારે સ્થાન સદિશ અને એકમ સદિશ $O$ થી $P$ તરફ છે,તેથી સૂત્રમાં ઋણ નિશાની આવે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણની તીવ્રતાનું મૂલ્ય,
$I = \frac{GM}{r^{2}} \quad \ldots \ldots \ldots(2)$
તેનો એકમ: $\text{N/kg}$ અને પારિમાણિક સૂત્ર $M^{0} L^{1} T^{-2}$ છે.
જો આ બિંદુ $P$ પર $m$ દળનો પદાર્થ મૂકવામાં આવે,તો તેના પર ક્ષેત્ર દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{I} = -\frac{GMm}{r^{2}} \hat{r}$ થાય છે.

(N/A) બે પદાર્થો વચ્ચે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રના ખ્યાલ દ્વારા નીચે મુજબ સમજાવી શકાય છે:
$(1)$ દરેક પદાર્થ તેના દળને કારણે પોતાની આસપાસ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
$(2)$ આ ક્ષેત્ર તેમાં રહેલા અન્ય પદાર્થ પર બળ લગાડે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતાની વ્યાખ્યા: કોઈ આપેલા બિંદુએ એકમ દળના પદાર્થ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને તે બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા $(\overrightarrow{I})$ કહે છે. તેને ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની પ્રબળતા પણ કહેવામાં આવે છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $O$ પર $M$ દળનો પદાર્થ છે અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ધરાવતા બિંદુ $P$ પર $m = 1 \text{ kg}$ દળનો પદાર્થ મૂકેલો છે.
$m$ દળના પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\overrightarrow{F} = -\frac{GMm}{r^2} \hat{r}$ છે.
જો $m = 1 \text{ kg}$ હોય,તો $\overrightarrow{F} = \overrightarrow{I}$ થાય. તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા:
$\overrightarrow{I} = -\frac{GM}{r^2} \hat{r}$
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ આકર્ષી પ્રકારનું છે અને તે સ્ત્રોત દળ $M$ તરફ (સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં) લાગે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ તીવ્રતાનું મૂલ્ય:
$I = \frac{GM}{r^2}$
એકમ: $\text{N/kg}$ (અથવા $\text{m/s}^2$).
પારિમાણિક સૂત્ર: $[M^0 L^1 T^{-2}]$.
જો બિંદુ $P$ પર $m$ દળનો પદાર્થ મૂકવામાં આવે,તો ક્ષેત્ર દ્વારા તેના પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{I} = -\frac{GMm}{r^2} \hat{r}$ થાય.

(A) કોઈ બિંદુએ ગુરુત્વીય તીવ્રતા $I$ હોય,તો $m$ દળના પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વબળ $F$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$F = I \times m$
આપેલ છે:
ગુરુત્વીય તીવ્રતા $I = 0.7\, N/kg$
પદાર્થનું દળ $m = 5\, kg$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$F = 0.7\, N/kg \times 5\, kg$
$F = 3.5\, N$
આમ,ગુરુત્વબળનું મૂલ્ય $3.5\, N$ થશે.

(A) ગુરુત્વતીવ્રતા $(I)$ એ ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $(V)$ ના ઋણ વિકલન (gradient) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,આ સંબંધ $I = -\frac{dV}{dr}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત દળ $m$ માટે,સ્થિતિમાન $V = -\frac{Gm}{r}$ છે અને તીવ્રતા $I = \frac{Gm}{r^2}$ છે.
$V$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}(-\frac{Gm}{r}) = \frac{Gm}{r^2}$ મળે છે.
આમ,$I = -\frac{dV}{dr}$ સંબંધ સાચો છે.

(N/A) ધારો કે દરેક સમાન ભારે ગોળાનું દળ અને ત્રિજ્યા અનુક્રમે $M$ અને $R$ છે. $m$ દળનો એક પદાર્થ તેમના કેન્દ્રોને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુ $P$ પર મૂકવામાં આવે છે.
દરેક ગોળાને કારણે મધ્યબિંદુ પર મૂકવામાં આવેલા પદાર્થ પર લાગતું બળ $F_{1} = F_{2} = \frac{GMm}{(5R)^{2}}$ છે. આ બળોની દિશાઓ વિરુદ્ધ હોવાથી,પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે. આ એક સંતુલન સ્થિતિ છે.
જો આપણે પદાર્થને ગોળા $A$ તરફ $x$ જેટલા નાના અંતરે ખસેડીએ,તો નવા બળો નીચે મુજબ હશે:
$F_{1}^{\prime} = \frac{GMm}{(5R - x)^{2}}$
$F_{2}^{\prime} = \frac{GMm}{(5R + x)^{2}}$
અહીં $F_{1}^{\prime} > F_{2}^{\prime}$ હોવાથી,પદાર્થ પર ગોળા $A$ તરફ એક પરિણામી બળ $(F_{1}^{\prime} - F_{2}^{\prime})$ લાગે છે. પરિણામે,પદાર્થ સંતુલન સ્થિતિમાં પાછા ફરવાને બદલે ગોળા $A$ તરફ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે. તેથી,આ સંતુલન અસ્થિર છે.

(A) $M$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર રીંગની અક્ષ પર $h$ અંતરે મૂકવામાં આવેલા $m$ દળ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{GMmh}{(r^2 + h^2)^{3/2}}$
જ્યારે દળને $2h$ અંતરે ખસેડવામાં આવે,ત્યારે નવું બળ $F'$:
$F' = \frac{GMm(2h)}{(r^2 + (2h)^2)^{3/2}} = \frac{2GMmh}{(r^2 + 4h^2)^{3/2}}$
આપેલ છે કે $h = r$,તેથી:
$F = \frac{GMmr}{(r^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{GMmr}{(2r^2)^{3/2}} = \frac{GMm}{2\sqrt{2}r^2}$
$F' = \frac{2GMmr}{(r^2 + 4r^2)^{3/2}} = \frac{2GMmr}{(5r^2)^{3/2}} = \frac{2GMm}{5\sqrt{5}r^2}$
હવે,ગુણોત્તર $F'/F$ શોધતા:
$\frac{F'}{F} = \frac{2GMm}{5\sqrt{5}r^2} \times \frac{2\sqrt{2}r^2}{GMm} = \frac{4\sqrt{2}}{5\sqrt{5}}$
આમ,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\frac{4\sqrt{2}}{5\sqrt{5}}$ ના અવયવથી ઘટશે.

(B) ગ્રહની અંદર $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ માટેના ગૌસના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E(4\pi r^{2}) = 4\pi G M(r)$,જ્યાં $M(r)$ એ $r$ ત્રિજ્યાની અંદર સમાવિષ્ટ દળ છે.
$M(r) = \int_{0}^{r} \rho(r) 4\pi r^{2} dr = 4\pi \rho_{0} \int_{0}^{r} \left(1 - \frac{r^{2}}{R^{2}}\right) r^{2} dr$.
$M(r) = 4\pi \rho_{0} \left[ \frac{r^{3}}{3} - \frac{r^{5}}{5R^{2}} \right]$.
આમ,$E = \frac{G M(r)}{r^{2}} = 4\pi G \rho_{0} \left( \frac{r}{3} - \frac{r^{3}}{5R^{2}} \right)$.
મહત્તમ ક્ષેત્ર શોધવા માટે,$\frac{dE}{dr} = 0$ લેતા:
$\frac{dE}{dr} = 4\pi G \rho_{0} \left( \frac{1}{3} - \frac{3r^{2}}{5R^{2}} \right) = 0$.
$\frac{1}{3} = \frac{3r^{2}}{5R^{2}} \Rightarrow r^{2} = \frac{5R^{2}}{9} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{5}{9}} R$.

(D) $m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ દ્વારા તેના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે તેની અક્ષ પર ઉદ્ભવતું ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{Gmx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$
ગોળો રીંગના કેન્દ્રથી $x = \sqrt{8}R$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો હોવાથી,રીંગ દ્વારા $M$ દળના ગોળા પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$:
$F = M \cdot E = \frac{GMm(\sqrt{8}R)}{(R^2 + (\sqrt{8}R)^2)^{3/2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{GMm(\sqrt{8}R)}{(R^2 + 8R^2)^{3/2}}$
$F = \frac{GMm(\sqrt{8}R)}{(9R^2)^{3/2}}$
$F = \frac{GMm(\sqrt{8}R)}{27R^3}$
$F = \frac{\sqrt{8}}{27} \cdot \frac{GMm}{R^2}$

(A) કોઈ બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા $I_g$ ને તે બિંદુએ મૂકવામાં આવેલા એકમ દળ દીઠ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$I_g = \frac{F}{m}$
આપેલ છે:
દળ $m = 60 \, g = 60 \times 10^{-3} \, kg = 0.06 \, kg$
બળ $F = 3.0 \, N$
કિંમતો મૂકતા:
$I_g = \frac{3.0 \, N}{0.06 \, kg} = 50 \, N/kg$
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતાનું મૂલ્ય $50 \, N/kg$ છે.

(A) ષટ્કોણના સેન્ટ્રોઇડ (ઉગમબિંદુ) પર રહેલા $m$ દળ માટે, જ્યારે $\Sigma F_x = 0$ અને $\Sigma F_y = 0$ હોય ત્યારે કુલ બળ શૂન્ય થાય છે.
ઉગમબિંદુથી $r$ અંતરે રહેલા $m_k$ દળ દ્વારા $m$ દળ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_k = \frac{G m m_k}{r^2}$ છે.
બળનો $x$-ઘટક $F_{kx} = -\frac{G m m_k}{r^2} \cos \theta_k$ છે (પદાર્થ તરફ નિર્દેશિત).
$x$-ઘટકોનો સરવાળો કરતા: $\Sigma F_x = -\frac{G m M}{r^2} \sum_{k=1}^{6} k^i |\cos \theta_k| \cos \theta_k = 0$.
નિયમિત ષટ્કોણના શિરોબિંદુઓ માટે, ખૂણાઓ $\theta_k$ એ $0^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}, 180^{\circ}, 240^{\circ}, 300^{\circ}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$1^i |\cos 0^{\circ}| \cos 0^{\circ} + 2^i |\cos 60^{\circ}| \cos 60^{\circ} + 3^i |\cos 120^{\circ}| \cos 120^{\circ} + 4^i |\cos 180^{\circ}| \cos 180^{\circ} + 5^i |\cos 240^{\circ}| \cos 240^{\circ} + 6^i |\cos 300^{\circ}| \cos 300^{\circ} = 0$
$1^i(1)(1) + 2^i(1/2)(1/2) + 3^i(1/2)(-1/2) + 4^i(1)(-1) + 5^i(1/2)(-1/2) + 6^i(1/2)(1/2) = 0$
$1^i + \frac{2^i}{4} - \frac{3^i}{4} - 4^i - \frac{5^i}{4} + \frac{6^i}{4} = 0$
$i=0$ લેતા:
$1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0$. આ સાચું છે.
આમ, $i$ નું મૂલ્ય $0$ છે.

(C) ધારો કે જે બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્રની તીવ્રતા શૂન્ય છે,તે $m$ દળથી $r$ અંતરે છે. તો આ બિંદુનું $2m$ દળથી અંતર $(d-r)$ થશે.
આ બિંદુએ,બંને દળોને કારણે ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્રની તીવ્રતા મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ.
$\frac{Gm}{r^2} = \frac{G(2m)}{(d-r)^2}$
$\frac{1}{r^2} = \frac{2}{(d-r)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{r} = \frac{\sqrt{2}}{d-r}$
$d-r = \sqrt{2}r$
$d = r(1+\sqrt{2})$
$r = \frac{d}{1+\sqrt{2}}$
આમ,તે બિંદુ $m$ દળથી $\frac{d}{1+\sqrt{2}}$ અંતરે છે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષી તીવ્રતા $\vec{I}$ અને ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\vec{I} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$.
આપેલ છે કે $V = -(x + y + z)$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = -1$,$\frac{\partial V}{\partial y} = -1$,અને $\frac{\partial V}{\partial z} = -1$.
આ કિંમતોને $\vec{I}$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\vec{I} = -[(-1)\hat{i} + (-1)\hat{j} + (-1)\hat{k}] = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \text{ N/kg}$.
આમ,$(2, 2, 2)$ બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષી તીવ્રતા $(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \text{ N/kg}$ મળે છે.

(A) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ એ સૂત્ર $F = m \times E$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 1.5 \,kg$
બળ $F = 45 \,N$
આપણે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ શોધવાની છે.
સૂત્ર $E = \frac{F}{m}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{45}{1.5} = 30 \,N/kg$.
તેથી,તે બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા $30 \,N/kg$ છે.

(C) ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા $\vec{E}$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V$ છે.
આપેલ છે કે $V = -\frac{K}{x}$,તેથી $x$-અક્ષ પર ક્ષેત્રની તીવ્રતાનો ઘટક $E_x = -\frac{dV}{dx}$ થશે.
$E_x = -\frac{d}{dx} \left( -\frac{K}{x} \right) = K \frac{d}{dx} (x^{-1}) = K (-1) x^{-2} = -\frac{K}{x^2}$.
અહીં સ્થિતિમાન ફક્ત $x$ પર આધાર રાખે છે,તેથી $E_y$ અને $E_z$ ઘટકો શૂન્ય થશે.
બિંદુ $(2, 0, 3) \ m$ પર,$x$-યામ $2$ છે.
$E_x$ ના સૂત્રમાં $x = 2$ મૂકતા:
$E_x = -\frac{K}{2^2} = -\frac{K}{4}$.

(D) અર્ધવર્તુળાકાર ચાપની લંબાઈ $L = \pi R$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $R = \frac{L}{\pi}$ થાય.
તારના એક સૂક્ષ્મ ખંડ $dl = R d\theta$ નો વિચાર કરો. આ ખંડનું દળ $dm = \lambda dl = \frac{M}{L} R d\theta$ છે.
કેન્દ્ર પર રહેલા $m$ દળના કણ પર આ ખંડ દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $dF = \frac{G m dm}{R^2} = \frac{G m (M/L) R d\theta}{R^2} = \frac{GMm}{LR} d\theta$ છે.
સંમિતિને કારણે,બળના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે અને શિરોલંબ ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
કુલ બળ $F = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} dF \sin\theta = \frac{GMm}{LR} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin\theta d\theta$ ગણતરી કરતા,અર્ધવર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પરનું ક્ષેત્ર $E = \frac{2GM}{LR}$ મળે છે.
$R = L/\pi$ મૂકતા,આપણને $F = mE = m \left( \frac{2GM}{L(L/\pi)} \right) = \frac{2GMm\pi}{L^2}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે $100 \ kg$ ના દળથી જે અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા શૂન્ય થાય છે તે અંતર $x$ છે.
આ બિંદુએ,બંને દળોને કારણે ઉદ્ભવતું ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $m_1 = 100 \ kg$ અને $m_2 = 10^4 \ kg$. તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = 1 \ m$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર શૂન્ય થવાની શરત છે:
$\frac{G m_1}{x^2} = \frac{G m_2}{(d - x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{\sqrt{m_1}}{x} = \frac{\sqrt{m_2}}{d - x}$
$x$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$x = \frac{d \sqrt{m_1}}{\sqrt{m_1} + \sqrt{m_2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{1 \times \sqrt{100}}{\sqrt{100} + \sqrt{10^4}} = \frac{10}{10 + 100} = \frac{10}{110} = \frac{1}{11} \ m$.

(C) સમાન ગોળાકાર કવચની અંદર દરેક બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
ધારો કે $\vec{I}_1$ એ ઉપરના ભાગને કારણે બિંદુ $P$ પરનું ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર છે અને $\vec{I}_2$ એ નીચેના ભાગને કારણે બિંદુ $P$ પરનું ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર છે.
આખા કવચને કારણે બિંદુ $P$ પરનું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $\vec{I}_{\text{Total}} = \vec{I}_1 + \vec{I}_2 = \vec{0}$ છે.
આનો અર્થ એ થાય છે કે $\vec{I}_1 = -\vec{I}_2$.
બંને બાજુ મૂલ્ય લેતા,આપણને $I_1 = I_2$ મળે છે.