Gravitational Intensity Questions in Gujarati

(A) $L$ લંબાઈ અને $M$ દળના સળિયા દ્વારા બનેલી વર્તુળાકાર રીંગનો વિચાર કરો. ધારો કે આ વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. પરિઘ $2 \pi r = L$ છે, તેથી $r = \frac{L}{2 \pi}$ થાય.
રીંગ પરના બે વ્યાસાંતે વિરુદ્ધ દિશામાં આવેલા નાના દળના ખંડો $dM_1$ અને $dM_2$ નો વિચાર કરો.
કેન્દ્ર પર રહેલા $m$ દળ પર ખંડ $dM_1$ દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_1 = \frac{G m dM_1}{r^2}$ છે, જે $dM_1$ ની દિશામાં લાગે છે.
કેન્દ્ર પર રહેલા $m$ દળ પર વ્યાસાંતે વિરુદ્ધ આવેલા ખંડ $dM_2$ દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_2 = \frac{G m dM_2}{r^2}$ છે, જે $dM_2$ ની દિશામાં લાગે છે.
ખંડો વ્યાસાંતે વિરુદ્ધ હોવાથી, બળો $F_1$ અને $F_2$ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ છે $(F_1 = -F_2)$.
તેથી, આ બે ખંડોને કારણે પરિણામી બળ $F_1 + F_2 = 0$ થાય છે.
સંમિતિને કારણે, રીંગ પરના દરેક દળના ખંડ માટે તેની સામે વ્યાસાંતે વિરુદ્ધ દિશામાં એક સમાન ખંડ હોય છે જે કેન્દ્ર પરના $m$ દળ પર સમાન અને વિરુદ્ધ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લગાડે છે.
આખી રીંગ પર આ બળોનો સરવાળો કરતા, કેન્દ્ર પરના $m$ દળ પર લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય થાય છે.

(B) ઘન ગોળો (દળ $m$,ત્રિજ્યા $r$) અને સમકેન્દ્રી કવચ (દળ $m$,ત્રિજ્યા $2r$) ધરાવતી સિસ્ટમના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E$ એ બંને પદાર્થોના ક્ષેત્રોના સરવાળા (superposition) દ્વારા મળે છે.
$r < x < 2r$ માટે,કવચને કારણે ક્ષેત્ર $0$ છે (કવચની અંદર),અને ઘન ગોળાને કારણે ક્ષેત્ર $\frac{Gm}{x^2}$ છે. તેથી,$E = \frac{Gm}{x^2}$.
$x = 1.5r = \frac{3}{2}r$ માટે,$E = \frac{Gm}{(1.5r)^2} = \frac{Gm}{2.25r^2} = \frac{4}{9} \frac{Gm}{r^2}$.
$x > 2r$ માટે,બંને કેન્દ્ર પર બિંદુવત દળ તરીકે વર્તે છે. $E = \frac{G(m+m)}{x^2} = \frac{2Gm}{x^2}$.
$x = 2.5r = \frac{5}{2}r$ માટે,$E = \frac{2Gm}{(2.5r)^2} = \frac{2Gm}{6.25r^2} = \frac{2Gm}{(25/4)r^2} = \frac{8}{25} \frac{Gm}{r^2}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન ગોળા માટે:
$1$. $r_1 > R$ અંતરે (ગોળાની બહાર),ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્ર $E_1 = \frac{GM}{r_1^2}$ છે.
$2$. $r_2 < R$ અંતરે (ગોળાની અંદર),ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્ર $E_2 = \frac{GMr_2}{R^3}$ છે.
$3$. ગુણોત્તર $E_1 : E_2$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{GM/r_1^2}{GMr_2/R^3} = \frac{GM}{r_1^2} \times \frac{R^3}{GMr_2} = \frac{R^3}{r_1^2 r_2}$.

(C) ગોળાની બહારના બિંદુ $(r > R)$ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $F = \frac{G M}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$r_1 > R$ માટે,$F_1 = \frac{G M}{r_1^2}$.
ગોળાની અંદરના બિંદુ $(r < R)$ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $F = \frac{G M r}{R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$r_2 < R$ માટે,$F_2 = \frac{G M r_2}{R^3}$.
$F_1$ અને $F_2$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{G M}{r_1^2} \times \frac{R^3}{G M r_2} = \frac{R^3}{r_1^2 r_2}$.

(A) ધારો કે પૃથ્વીનું દળ $M_E$ છે અને ચંદ્રનું દળ $M_M$ છે. આપેલ છે કે $M_E = 81 M_M$.
ધારો કે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે એક પરીક્ષણ દળ $m$ પરનું ચોખ્ખું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય છે.
આ બિંદુએ,પૃથ્વી દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને ચંદ્ર દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ મૂલ્યમાં સમાન હોવા જોઈએ.
$\frac{G M_E}{x^2} = \frac{G M_M}{(R - x)^2}$
$M_E = 81 M_M$ મૂકતા:
$\frac{G (81 M_M)}{x^2} = \frac{G M_M}{(R - x)^2}$
$\frac{81}{x^2} = \frac{1}{(R - x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{9}{x} = \frac{1}{R - x}$
$9(R - x) = x$
$9R - 9x = x$
$9R = 10x$
$x = \frac{9}{10} R$

(D) $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળને કારણે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા $I = \frac{Gm}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનંત દળો હોવાથી,બિંદુ $O$ પર કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા દરેક દળને કારણે ઉદ્ભવતી તીવ્રતાનો સરવાળો છે:
$I_{total} = \sum \frac{Gm_i}{r_i^2} = G \sum \frac{3}{r_i^2} = 3G \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{8^2} + \dots \right)$.
આ એક અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{4}$ છે.
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$S = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
તેથી,$I_{total} = 3G \times \frac{4}{3} = 4G$.

(C) સમાન ગોલીય કવચની અંદર દરેક બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
ધારો કે $I_1$ એ કવચના ઉપરના ભાગને કારણે બિંદુ $P$ પરનું ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર છે અને $I_2$ એ કવચના નીચેના ભાગને કારણે બિંદુ $P$ પરનું ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર છે.
આખા કવચને કારણે બિંદુ $P$ પરનું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર તેના ભાગોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે: $\vec{I}_{total} = \vec{I}_1 + \vec{I}_2 = 0$.
બિંદુ $P$ એ કાપેલા સમતલ પર હોવાથી,$\vec{I}_1 + \vec{I}_2 = 0$ ની શરત સંતોષવા માટે ક્ષેત્ર સદિશો $\vec{I}_1$ અને $\vec{I}_2$ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન છે: $I_1 = I_2$.

(B) ધારો કે બે દળ $m_1 = 90 \ kg$ બિંદુ $A$ પર અને $m_2 = 160 \ kg$ બિંદુ $B$ પર છે. બિંદુ $C$ એ $A$ થી $r_1 = 3 \ m$ અને $B$ થી $r_2 = 4 \ m$ ના અંતરે છે. $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $5 \ m$ છે.
$3^2 + 4^2 = 5^2$ હોવાથી,ત્રિકોણ $ABC$ એ $C$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
દળ $m_1$ ને કારણે $C$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E_A = \frac{G m_1}{r_1^2} = \frac{G \times 90}{3^2} = 10G$ છે.
દળ $m_2$ ને કારણે $C$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E_B = \frac{G m_2}{r_2^2} = \frac{G \times 160}{4^2} = 10G$ છે.
$E_A$ અને $E_B$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ હોવાથી,પરિણામી તીવ્રતા $E$ નીચે મુજબ મળે:
$E = \sqrt{E_A^2 + E_B^2} = \sqrt{(10G)^2 + (10G)^2} = 10G\sqrt{2}$.
$G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \ m^2 \ kg^{-2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = 10 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 1.414 \approx 9.43 \times 10^{-10} \ N \ kg^{-1}$.

(C) આપેલ છે, ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા, $I = (5 \hat{i} + 12 \hat{j}) \text{ N kg}^{-1}$.
પદાર્થનું દળ, $m = 3 \text{ kg}$.
ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = m \int_{(0,0)}^{(8,-2)} \vec{I} \cdot d\vec{r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\Delta U = 3 \int_{(0,0)}^{(8,-2)} (5 \hat{i} + 12 \hat{j}) \cdot (dx \hat{i} + dy \hat{j})$
$\Delta U = 3 [5x + 12y]_{(0,0)}^{(8,-2)}$
$\Delta U = 3 [5(8) + 12(-2)] - 3 [5(0) + 12(0)]$
$\Delta U = 3 [40 - 24] = 3 [16] = 48 \text{ J}$.

(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે તેની અક્ષ પર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{GMx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$
ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર ક્યાં સૌથી પ્રબળ છે તે શોધવા માટે,આપણે $E$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:
$\frac{dE}{dx} = 0$
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d}{dx} \left[ \frac{GMx}{(R^2 + x^2)^{3/2}} \right] = GM \left[ \frac{(R^2 + x^2)^{3/2}(1) - x \cdot \frac{3}{2}(R^2 + x^2)^{1/2}(2x)}{(R^2 + x^2)^3} \right] = 0$
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$(R^2 + x^2)^{3/2} - 3x^2(R^2 + x^2)^{1/2} = 0$
$(R^2 + x^2)^{1/2} [R^2 + x^2 - 3x^2] = 0$
$R^2 - 2x^2 = 0$
$2x^2 = R^2$
$x = \frac{R}{\sqrt{2}}$
આમ,ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર કેન્દ્રથી $\frac{R}{\sqrt{2}}$ અંતરે સૌથી પ્રબળ હોય છે.

(D) $dr$ જાડાઈ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર કવચનું કદ $dV = 4\pi r^2 dr$ છે.
આ કવચનું દળ $dM = \rho dV = \left( 20 \frac{r^2}{R^2} \right) \cdot 4\pi r^2 dr = \frac{80\pi r^4}{R^2} dr$ છે.
નક્કર ગોળાનું કુલ દળ $M$ મેળવવા માટે $0$ થી $R$ સુધી સંકલન કરતા:
$M = \int_0^R dM = \int_0^R \frac{80\pi r^4}{R^2} dr = \frac{80\pi}{R^2} \left[ \frac{r^5}{5} \right]_0^R = \frac{80\pi R^5}{5R^2} = 16\pi R^3$.
ગોળાની બહાર $r = 4R$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,ગોળો તેના કેન્દ્ર પર રહેલા બિંદુવત દળ $M$ તરીકે વર્તે છે. ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે:
$E = \frac{GM}{r^2} = \frac{G(16\pi R^3)}{(4R)^2} = \frac{16\pi G R^3}{16R^2} = \pi GR$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{E}{GR} = \pi$ થાય.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળામાં સમાયેલ દળ $M(r)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$M(r) = \int_0^r \rho(r') \cdot 4\pi r'^2 dr' = \int_0^r \rho_0 \left(\frac{r'}{R}\right)^\beta \cdot 4\pi r'^2 dr' = \frac{4\pi \rho_0}{R^\beta} \int_0^r r'^{\beta+2} dr' = \frac{4\pi \rho_0}{R^\beta} \cdot \frac{r^{\beta+3}}{\beta+3}$.
$r = \frac{R}{2}$ માટે,સમાયેલ દળ $M_1 = \frac{4\pi \rho_0}{R^\beta} \cdot \frac{(R/2)^{\beta+3}}{\beta+3} = \frac{4\pi \rho_0 R^3}{\beta+3} \cdot \frac{1}{2^{\beta+3}}$.
$r = \frac{R}{2}$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E_1 = \frac{G M_1}{(R/2)^2} = \frac{G}{(R/2)^2} \cdot \frac{4\pi \rho_0 R^3}{(\beta+3) 2^{\beta+3}} = \frac{16 G \pi \rho_0 R}{(\beta+3) 2^{\beta+3}}$.
$r = 2R$ માટે,ગોળાનું કુલ દળ $M_2 = \frac{4\pi \rho_0}{R^\beta} \cdot \frac{R^{\beta+3}}{\beta+3} = \frac{4\pi \rho_0 R^3}{\beta+3}$.
$r = 2R$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E_2 = \frac{G M_2}{(2R)^2} = \frac{G}{4R^2} \cdot \frac{4\pi \rho_0 R^3}{\beta+3} = \frac{G \pi \rho_0 R}{\beta+3}$.
આપેલ છે કે $\frac{E_2}{E_1} = 4$:
$\frac{\frac{G \pi \rho_0 R}{\beta+3}}{\frac{16 G \pi \rho_0 R}{(\beta+3) 2^{\beta+3}}} = 4 \Rightarrow \frac{2^{\beta+3}}{16} = 4 \Rightarrow 2^{\beta+3} = 64 = 2^6$.
તેથી,$\beta + 3 = 6$,જે દર્શાવે છે કે $\beta = 3$.

(B) $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના બિંદુવત પદાર્થને કારણે ઉગમબિંદુ પર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E = \frac{Gm}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં દળ $r = 1, 2, 4, 8, 16, \dots$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યા હોવાથી,ઉગમબિંદુ પર કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર દરેક દળને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો થશે:
$E = \frac{Gm}{1^2} + \frac{Gm}{2^2} + \frac{Gm}{4^2} + \frac{Gm}{8^2} + \dots$
$E = Gm \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \dots \right)$
કૌંસમાં રહેલી શ્રેણી એ અનંત ભૌમિતિક શ્રેણી (Geometric Progression) છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{4}$ છે.
અનંત ભૌમિતિક શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ થાય છે.
$S = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
તેથી,કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E = Gm \left( \frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} Gm$ થશે.

(A) ધારો કે કેન્દ્રથી દરેક ખૂણાનું અંતર $r$ છે. કેન્દ્ર પર $m_{0}$ જેટલું પરીક્ષણ દળ મૂકવામાં આવ્યું છે.
પ્રારંભિક ગોઠવણીમાં,ખૂણાઓ પરના દળો દ્વારા $m_{0}$ પર લાગતું બળ ખૂણાઓ તરફ હોય છે. ધારો કે $k = \frac{Gm_{0}}{r^{2}}$.
બળો $F_{M} = kM$,$F_{2M} = 2kM$,$F_{3M} = 3kM$,અને $F_{4M} = 4kM$ છે.
સામેની જોડીઓ $(M, 3M)$ અને $(2M, 4M)$ છે.
$M$ અને $3M$ વાળા વિકર્ણ પરનું ચોખ્ખું બળ $F_{diag1} = (3M - M)k = 2kM$ ($3M$ તરફ) છે.
$2M$ અને $4M$ વાળા વિકર્ણ પરનું ચોખ્ખું બળ $F_{diag2} = (4M - 2M)k = 2kM$ ($4M$ તરફ) છે.
વિકર્ણો પરસ્પર લંબ હોવાથી,$F_{1} = \sqrt{(2kM)^{2} + (2kM)^{2}} = 2\sqrt{2}kM$.
નવી ગોઠવણીમાં,$3M$ અને $4M$ ની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે. ખૂણાઓ પર હવે $M, 2M, 4M,$ અને $3M$ ક્રમમાં છે.
સામેની જોડીઓ $(M, 4M)$ અને $(2M, 3M)$ છે.
$M$ અને $4M$ વાળા વિકર્ણ પરનું ચોખ્ખું બળ $F'_{diag1} = (4M - M)k = 3kM$ ($4M$ તરફ) છે.
$2M$ અને $3M$ વાળા વિકર્ણ પરનું ચોખ્ખું બળ $F'_{diag2} = (3M - 2M)k = kM$ ($3M$ તરફ) છે.
$F_{2} = \sqrt{(3kM)^{2} + (kM)^{2}} = \sqrt{9+1}kM = \sqrt{10}kM$.
ગુણોત્તર $\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{2\sqrt{2}kM}{\sqrt{10}kM} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
$\frac{\alpha}{\sqrt{5}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2$ મળે છે.