Change in Gravitational Potential Energy, Energy Conservation Questions in Gujarati

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_1 = -\frac{G M m}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટીથી $h = \frac{R}{3}$ ઊંચાઈએ,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h = R + \frac{R}{3} = \frac{4R}{3}$ થાય છે.
આ ઊંચાઈએ ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_2 = -\frac{G M m}{r} = -\frac{G M m}{4R/3} = -\frac{3 G M m}{4R}$ છે.
પદાર્થને ઉપર લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = U_2 - U_1 = \left( -\frac{3 G M m}{4R} \right) - \left( -\frac{G M m}{R} \right)$.
$W = \frac{G M m}{R} - \frac{3 G M m}{4R} = \frac{4 G M m - 3 G M m}{4R} = \frac{G M m}{4R}$.

(A) નિષ્ક્રમણ ઝડપ $v_E = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E_1 = KE_1 + PE_1 = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$ છે.
$v = \alpha v_E = \alpha \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ મૂકતા,આપણને $KE_1 = \frac{1}{2}m(\alpha^2 \cdot \frac{2GM}{R}) = \frac{GMm\alpha^2}{R}$ મળે છે.
તેથી,$E_1 = \frac{GMm\alpha^2}{R} - \frac{GMm}{R} = \frac{GMm}{R}(\alpha^2 - 1)$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,વેગ $0$ છે,તેથી $KE_2 = 0$ અને $PE_2 = -\frac{GMm}{R+h}$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$E_1 = E_2$:
$\frac{GMm}{R}(\alpha^2 - 1) = -\frac{GMm}{R+h}$.
$\alpha^2 - 1 = -\frac{R}{R+h} = -\frac{6400}{6400+800} = -\frac{6400}{7200} = -\frac{8}{9}$.
$\alpha^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$.
તેથી,$\alpha = \frac{1}{3}$.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_1 = -\frac{GMm}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
$h = 3R$ ઊંચાઈ પર,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h = R + 3R = 4R$ થાય છે.
આ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_2 = -\frac{GMm}{4R}$ છે.
ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_2 - U_1$ છે.
$\Delta U = -\frac{GMm}{4R} - \left(-\frac{GMm}{R}\right) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{4R} = \frac{3GMm}{4R}$.
સંબંધ $g = \frac{GM}{R^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $GM = gR^2$ મળે છે.
આ કિંમત $\Delta U$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta U = \frac{3(gR^2)m}{4R} = \frac{3}{4}mgR$.

(A) ધારો કે $m = 1 \ kg$ એ દરેક ગોળાનું દળ છે અને $r = 2 \ m$ એ ત્રિજ્યા છે. કોઈપણ બે ગોળાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d_i = 10 \ m$ છે.
અથડામણ સમયે,ગોળાઓ એકબીજાને સ્પર્શે છે. તેઓ સમાન હોવાથી,અથડામણ સમયે કોઈપણ બે ગોળાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d_f = 2r = 2 \times 2 = 4 \ m$ થાય.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક સ્થિતિમાં કુલ ઉર્જા = અંતિમ સ્થિતિમાં કુલ ઉર્જા: $U_i + K_i = U_f + K_f$.
શરૂઆતમાં,$K_i = 0$. ત્રણ ગોળાઓની સિસ્ટમની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -3 \times \frac{G m^2}{d}$ છે.
તેથી,$-3 \frac{G m^2}{d_i} = -3 \frac{G m^2}{d_f} + 3 \times (\frac{1}{2} m v^2)$,જ્યાં $v$ એ દરેક ગોળાની ઝડપ છે.
$3m/2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $v^2 = 2 G m (\frac{1}{d_f} - \frac{1}{d_i})$.
કિંમતો મૂકતા: $v^2 = 2 \times G \times 1 \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{10}) = 2 G (\frac{5-2}{20}) = 2 G (\frac{3}{20}) = \frac{3 G}{10}$.
તેથી,$v = \sqrt{\frac{3 G}{10}}$.

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$r = R$,તેથી $U_i = -\frac{GMm}{R}$.
$h = R$ ઊંચાઈ માટે,કેન્દ્રથી અંતર $r = R + R = 2R$ છે. સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = -\frac{GMm}{2R}$ છે.
જરૂરી ઉર્જા $W$ એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે:
$W = U_f - U_i = -\frac{GMm}{2R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{2R}$.
$h = 2R$ ઊંચાઈ માટે,કેન્દ્રથી અંતર $r = R + 2R = 3R$ છે. સ્થિતિ ઉર્જા $U_f' = -\frac{GMm}{3R}$ છે.
જરૂરી ઉર્જા $W'$ છે:
$W' = U_f' - U_i = -\frac{GMm}{3R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{3R} = \frac{2GMm}{3R}$.
કારણ કે $W = \frac{GMm}{2R}$,તેથી $\frac{GMm}{R} = 2W$ મળે.
આ કિંમત $W'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$W' = \frac{2}{3} \times (2W) = \frac{4W}{3}$.

(C) $\text{ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ } h \text{ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.}$
$\text{સપાટી પર: } E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
$\text{મહત્તમ ઊંચાઈ પર: } E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$E_i = E_f \text{ ને સરખાવતા: } \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$m \text{ વડે ભાગતા અને } GM = gR^2 \text{ નો ઉપયોગ કરતા: } \frac{v^2}{2} - gR = - \frac{gR^2}{R+h}$
$\text{ગોઠવણી કરતા: } \frac{gR^2}{R+h} = gR - \frac{v^2}{2} = gR(1 - \frac{v^2}{2gR})$
$\frac{R}{R+h} = 1 - \frac{v^2}{2gR} = 1 - \frac{(8000)^2}{2 \times 10 \times 6400 \times 10^3} = 1 - \frac{64 \times 10^6}{128 \times 10^6} = 1 - 0.5 = 0.5$
$\frac{R}{R+h} = 0.5 \implies R+h = 2R \implies h = R$
$\text{કારણ કે } R = 6400 \,km, \text{ તેથી મહત્તમ ઊંચાઈ } h = 6400 \,km \text{ થાય.}$

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોવી જોઈએ.
સપાટી પર: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{G M m}{R}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર: $E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{G M m}{R+h}$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{G M m}{R} = - \frac{G M m}{R+h}$.
$m$ વડે ભાગતા અને પદો ગોઠવતા:
$\frac{v_0^2}{2} = G M \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = G M \left( \frac{h}{R(R+h)} \right)$.
કારણ કે $g = \frac{G M}{R^2}$,તેથી $G M = g R^2$.
$G M$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{v_0^2}{2} = g R^2 \left( \frac{h}{R(R+h)} \right) = \frac{g R h}{R+h}$.
$v_0^2 (R+h) = 2 g R h$.
$v_0^2 R + v_0^2 h = 2 g R h$.
$v_0^2 R = h (2 g R - v_0^2)$.
$h = \frac{R v_0^2}{2 g R - v_0^2}$.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$r = R$,તેથી $U_i = -\frac{GMm}{R}$.
સપાટીથી $h = R$ ઊંચાઈ પર,કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h = R + R = 2R$ થાય છે.
આમ,$h$ ઊંચાઈ પર સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = -\frac{GMm}{2R}$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{2R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી,$GM = gR^2$ મળે છે.
આ કિંમત $\Delta U$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$\Delta U = \frac{(gR^2)m}{2R} = \frac{mgR}{2}$ મળે છે.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$r = R$,તેથી $U_i = -\frac{GMm}{R}$.
સપાટીથી $h = nR$ ઊંચાઈ પર,કેન્દ્રથી અંતર $r = R + nR = R(1+n)$ થાય.
તેથી,$U_f = -\frac{GMm}{R(1+n)}$.
ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{R(1+n)} - (-\frac{GMm}{R})$ છે.
$\Delta U = \frac{GMm}{R} \left(1 - \frac{1}{1+n}\right) = \frac{GMm}{R} \left(\frac{1+n-1}{1+n}\right) = \frac{GMm}{R} \left(\frac{n}{1+n}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$.
આ કિંમત મૂકતા,$\Delta U = \frac{gR^2 m}{R} \left(\frac{n}{n+1}\right) = \left(\frac{n}{n+1}\right) mgR$.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પરથી $m$ દળને $h$ ઊંચાઈ સુધી લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ એ ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_f - U_i$.
અહીં,સપાટી પર પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = -\frac{GMm}{R}$ છે.
$h = R$ ઊંચાઈ પર અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f = -\frac{GMm}{R+R} = -\frac{GMm}{2R}$ છે.
તેથી,$W = -\frac{GMm}{2R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}$.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી,આપણે $GM = gR^2$ લખી શકીએ.
આ કિંમત કાર્યના સમીકરણમાં મૂકતા: $W = \frac{(gR^2)m}{2R} = \frac{mgR}{2}$.