Capillary Tube and Capillarity Questions in Hindi

(A) केशिका नली में द्रव के ऊपर चढ़ने का सूत्र: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
चूँकि $T$,$\theta$,$r$,और $\rho$ स्थिर हैं,इसलिए द्रव स्तंभ की ऊँचाई गुरुत्वीय त्वरण के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $h \propto \frac{1}{g}$।
पृथ्वी की सतह पर,ऊँचाई $X = \frac{k}{g}$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
खदान में '$d$' गहराई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ होता है।
नई ऊँचाई $Y = \frac{k}{g_d} = \frac{k}{g \left(1 - \frac{d}{R}\right)}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{Y}{X} = \frac{k / [g(1 - d/R)]}{k/g} = \frac{1}{1 - d/R} = \left(1 - \frac{d}{R}\right)^{-1}$।

(A) केशिका नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई $h$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$
जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ केशिका नली की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
यदि $T$,$\theta$,$\rho$ और $g$ स्थिर हैं,तो हमारे पास है:
$h \propto \frac{1}{r}$
यह एक व्युत्क्रमानुपाती संबंध को दर्शाता है,जिसे ग्राफ में आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) के रूप में दिखाया जाता है।
दिए गए विकल्पों में से,ग्राफ $(ii)$ $h$ और $r$ के बीच इस व्युत्क्रमानुपाती संबंध को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) केशिका नली में पानी के स्तंभ की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h$ का सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$।
यहाँ,$T = 7 \times 10^{-2} \ N/m$,$r = 0.35 \ mm = 0.35 \times 10^{-3} \ m$,$\theta = 0^{\circ}$ (कांच-पानी संपर्क के लिए),$\rho = 10^3 \ kg/m^3$,और $g = 10 \ m/s^2$ है।
मान रखने पर:
$h = \frac{2 \times (7 \times 10^{-2}) \times \cos 0^{\circ}}{(0.35 \times 10^{-3}) \times 10^3 \times 10} = \frac{14 \times 10^{-2}}{3.5} = 4 \times 10^{-2} \ m = 0.04 \ m = 4 \ cm$।
जब केशिका ऊर्ध्वाधर के साथ $\phi = 60^{\circ}$ के कोण पर झुकी होती है,तो केशिका में पानी के स्तंभ की लंबाई $l = \frac{h}{\cos \phi}$ द्वारा दी जाती है।
$l = \frac{0.04}{\cos 60^{\circ}} = \frac{0.04}{0.5} = 0.08 \ m = 8 \ cm$।

(B) केशिका नली में पानी के ऊपर चढ़ने की ऊँचाई $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है।
पानी के लिए,$\cos \theta \approx 1$,इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$।
यदि नई त्रिज्या $r' = r/3$ है,तो नई ऊँचाई $h' = 3h$ होगी।
केशिका में पानी का द्रव्यमान $m = V \rho = (\pi r^2 h) \rho$ है।
नई केशिका के लिए,द्रव्यमान $m' = \pi (r')^2 h' \rho$ होगा।
$r' = r/3$ और $h' = 3h$ प्रतिस्थापित करने पर:
$m' = \pi (r/3)^2 (3h) \rho = \pi (r^2/9) (3h) \rho = \frac{1}{3} (\pi r^2 h \rho) = \frac{m}{3}$।

(A) केश नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई $h$ का सूत्र इस प्रकार है:
$h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g r}$
जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$\rho$ द्रव का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $r$ केश नली की त्रिज्या है।
दिया गया है कि संपर्क कोण $\theta = 90^{\circ}$ है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$h = \frac{2T \cos 90^{\circ}}{\rho g r}$
चूँकि $\cos 90^{\circ} = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$h = 0$
अतः,द्रव केश नली में न तो ऊपर चढ़ेगा और न ही नीचे गिरेगा।

(B) केश नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
यह दिया गया है कि आंतरिक व्यास समान हैं,इसलिए त्रिज्याएँ समान हैं: $r_A = r_B$.
मान लें कि संपर्क कोण लगभग समान हैं: $\theta_A = \theta_B$.
इस प्रकार,ऊँचाई $h$,$\frac{T}{\rho}$ के समानुपाती है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\rho$ घनत्व है।
इसलिए,ऊँचाइयों का अनुपात: $\frac{h_A}{h_B} = \frac{T_A}{T_B} \times \frac{\rho_B}{\rho_A}$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{4}{3}$ और $\frac{T_A}{T_B} = \frac{6}{5}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{h_A}{h_B} = \frac{6}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$।
अतः,अनुपात $9:10$ है।

(C) केशिका नली में द्रव के चढ़ने की ऊंचाई का सूत्र: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
पानी के लिए: $h_1 = 6 \ cm$,$\theta_1 = 0^{\circ}$,$\rho_1 = 1 \ g/cm^3$,$T_1 = T$.
$6 = \frac{2T \cos 0^{\circ}}{r \cdot 1 \cdot g} \implies 6 = \frac{2T}{rg} \implies rg = \frac{2T}{6} = \frac{T}{3}$.
दूसरे द्रव के लिए: $T_2 = 2T$,$\theta_2 = 60^{\circ}$,$\rho_2 = 2 \ g/cm^3$.
$h_2 = \frac{2T_2 \cos \theta_2}{r \rho_2 g} = \frac{2(2T) \cos 60^{\circ}}{r \cdot 2 \cdot g} = \frac{4T \cdot 0.5}{2rg} = \frac{2T}{2rg} = \frac{T}{rg}$.
$rg = \frac{T}{3}$ का मान $h_2$ के समीकरण में रखने पर:
$h_2 = \frac{T}{T/3} = 3 \ cm$.

(B) केशिका नली में पानी के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
चूँकि पृष्ठ तनाव $T$,त्रिज्या $r$,घनत्व $\rho$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ स्थिर रहते हैं,इसलिए $h \cos \theta$ का मान स्थिर रहता है।
प्रारंभ में,$h \cos 0^{\circ} = h(1) = h$ है।
जब नली को इस प्रकार दबाया जाता है कि सतह के ऊपर की ऊँचाई $h' = \frac{h}{3}$ हो जाती है,तो नया संपर्क कोण $\theta'$ इस प्रकार होगा:
$h' \cos \theta' = h \cos 0^{\circ}$
$\frac{h}{3} \cos \theta' = h(1)$
$\cos \theta' = \frac{1}{3}$
$\theta' = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.

(C) केशिका नली में द्रव के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$।
दिया गया है कि $h, T, r$,और $g$ तीनों द्रवों के लिए नियत हैं।
इसलिए,$\frac{\cos \theta}{\rho} = \text{नियत}$.
इसका अर्थ है: $\frac{\cos \theta_1}{\rho_1} = \frac{\cos \theta_2}{\rho_2} = \frac{\cos \theta_3}{\rho_3}$।
चूँकि $\rho_1 > \rho_2 > \rho_3$,इसलिए $\cos \theta_1 > \cos \theta_2 > \cos \theta_3$ होगा।
चूँकि कोसाइन फलन $[0, \pi/2]$ के अंतराल में एक घटता हुआ फलन है,इसलिए बड़ा कोसाइन मान छोटे कोण को दर्शाता है।
अतः,$\theta_1 < \theta_2 < \theta_3$।

(D) केश नली में द्रव के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$।
चूंकि व्यास $(2r)$,संपर्क कोण $(\theta)$ और गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ स्थिर हैं,इसलिए ऊँचाई पृष्ठ तनाव और घनत्व के अनुपात के समानुपाती होती है: $h \propto \frac{T}{\rho}$।
अतः,ऊँचाइयों का अनुपात होगा: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{T_1}{\rho_1} \times \frac{\rho_2}{T_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right) \times \left(\frac{\rho_2}{\rho_1}\right)$।
दिया गया है कि $\frac{T_1}{T_2} = \frac{6}{5}$ और $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{4}{3}$,इसलिए $\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{3}{4}$।
इन मानों को रखने पर: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{6}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{20} = 0.9$।

(B) केशिका नली में पानी जिस ऊँचाई $h$ तक ऊपर चढ़ता है,वह $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है कि $h \propto \frac{1}{r}$।
केशिका में पानी का द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (\pi r^2 h) \rho$ होता है।
द्रव्यमान के समीकरण में $h \propto \frac{1}{r}$ रखने पर,हमें $m \propto r^2 \times \frac{1}{r}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $m \propto r$ हो जाता है।
नई त्रिज्या $r' = \frac{r}{3}$ के लिए,नया द्रव्यमान $m' = m \times \frac{r'}{r} = m \times \frac{r/3}{r} = \frac{m}{3}$ होगा।

(D) केशिका नली में पानी की ऊँचाई $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है, जिसका अर्थ है $h \propto \frac{1}{r}$।
अतः, $h_1 r_1 = h_2 r_2$।
दिया गया है $r_2 = 2r_1$, इसलिए $h_2 = \frac{h_1 r_1}{2r_1} = \frac{h_1}{2}$।
केशिका में पानी का द्रव्यमान $m = \pi r^2 h \rho$ है।
माना $m_1 = \pi r_1^2 h_1 \rho$ और $m_2 = \pi r_2^2 h_2 \rho$।
अनुपात लेने पर: $\frac{m_2}{m_1} = \frac{\pi (2r_1)^2 h_2 \rho}{\pi r_1^2 h_1 \rho} = 4 \times \frac{h_2}{h_1} = 4 \times \frac{1}{2} = 2$।
इसलिए, $m_2 = 2m$।

(A) जब संपर्क कोण शून्य होता है,तो मेनिस्कस की त्रिज्या $(r)$ नली की त्रिज्या $(d/2)$ के बराबर होती है।
पहली नली में अतिरिक्त दबाव $P_1 = \frac{2T}{r_1} = \frac{2T}{d_1/2} = \frac{4T}{d_1}$ है।
दूसरी नली में अतिरिक्त दबाव $P_2 = \frac{2T}{r_2} = \frac{2T}{d_2/2} = \frac{4T}{d_2}$ है।
दोनों भुजाओं के बीच दबाव का अंतर $h$ ऊंचाई के पानी के स्तंभ के हाइड्रोस्टेटिक दबाव द्वारा संतुलित होता है,जहां $h$ स्तरों में अंतर है।
$\Delta P = P_1 - P_2 = h \rho g$.
$P_1$ और $P_2$ के मान रखने पर:
$h \rho g = \frac{4T}{d_1} - \frac{4T}{d_2} = 4T \left( \frac{1}{d_1} - \frac{1}{d_2} \right)$.
$h \rho g = 4T \left( \frac{d_2 - d_1}{d_1 d_2} \right)$.
अतः,$h = \frac{4T}{\rho g} \left[ \frac{d_2 - d_1}{d_1 d_2} \right]$।

(C) केशिका नली में पानी के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2 T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
इससे स्पष्ट है कि $h \propto \frac{1}{r}$ होता है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,जिसका अर्थ है $r \propto \sqrt{A}$।
अतः,$h \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$ होगा।
प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = A$ और अंतिम क्षेत्रफल $A_2 = \frac{A}{9}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{\frac{A_1}{A_2}} = \sqrt{\frac{A}{A/9}} = \sqrt{9} = 3$।
अतः,नई ऊँचाई $h_2 = 3 h$ होगी।

(B) केशनली में पानी के स्तंभ की ऊँचाई $h$ का सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$.
चूँकि $T, \theta, \rho$ और $g$ नियत हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$ होता है।
केशनली में द्रव का द्रव्यमान $m = V \rho = (\pi r^2 h) \rho$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव्यमान के समीकरण में $h \propto \frac{1}{r}$ रखने पर,हमें $m \propto r^2 \times \frac{1}{r}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $m \propto r$ हो जाता है।
यदि त्रिज्या $r$ से बदलकर $r' = \frac{r}{4}$ हो जाती है,तो नया द्रव्यमान $m' = m \times \frac{r'}{r} = m \times \frac{r/4}{r} = \frac{m}{4}$ होगा।

(B) केशिका नली में पानी की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ पानी का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
पृथ्वी की सतह पर,$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
खदान में $d$ गहराई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g^{\prime} = g(1 - \frac{d}{R})$ हो जाता है।
$d$ गहराई पर नई ऊँचाई $h^{\prime} = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g^{\prime}} = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g(1 - \frac{d}{R})}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{h}{h^{\prime}}$ इस प्रकार है:
$\frac{h}{h^{\prime}} = \frac{\frac{2T \cos \theta}{r \rho g}}{\frac{2T \cos \theta}{r \rho g(1 - \frac{d}{R})}} = 1 - \frac{d}{R}$.

(A) केशिका नली में द्रव के ऊपर चढ़ने की ऊँचाई $h$ का सूत्र इस प्रकार है:
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$
इस व्यंजक से, हम देख सकते हैं कि द्रव स्तंभ की ऊँचाई गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$h \propto \frac{1}{g}$
$h$ को $10 \,cm$ से काफी अधिक बनाने के लिए, $g$ का मान पृथ्वी पर $g$ के मान से काफी कम होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से, गुरुत्वीय त्वरण का मान चंद्रमा की सतह पर न्यूनतम होता है $(g_{moon} \approx \frac{g_{earth}}{6})$।
इसलिए, चंद्रमा पर पानी अधिक ऊँचाई तक चढ़ेगा।

(B) केशिका नली में द्रव जिस ऊँचाई $h$ तक चढ़ता है, उसका सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$।
यहाँ $T$, $\theta$, $\rho$, और $g$ अचर हैं, इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$, जिसका अर्थ है $h_1 r_1 = h_2 r_2$।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है, इसलिए $A \propto r^2$ या $r \propto \sqrt{A}$।
अतः, $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{A_1}{A_2}}$।
दिया गया है कि नया क्षेत्रफल $A_2 = \frac{1}{16} A_1$, इसलिए $\frac{A_1}{A_2} = 16$।
इस प्रकार, $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{16} = 4$, जिसका अर्थ है $r_1 = 4 r_2$।
संबंध $h_2 = h_1 \left( \frac{r_1}{r_2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$h_2 = 2 \,cm \times 4 = 8 \,cm$।

(A) पानी कांच की छड़ और केशिका नली के बीच के स्थान में ऊपर चढ़ता है। संपर्क रेखा की कुल लंबाई नली की आंतरिक परिधि और छड़ की बाहरी परिधि का योग है,जो $L = 2\pi r_1 + 2\pi r_2 = 2\pi(r_1 + r_2)$ है।
पृष्ठ तनाव के कारण ऊपर की ओर लगने वाला बल $F = L \cdot T \cos \theta = 2\pi(r_1 + r_2) T \cos \theta$ है।
वलयाकार स्थान में पानी के स्तंभ का भार $W = \text{आयतन} \times \rho \times g = \pi(r_2^2 - r_1^2) h \rho g$ है।
ऊपर की ओर लगने वाले बल को तरल स्तंभ के भार के बराबर करने पर: $\pi(r_2^2 - r_1^2) h \rho g = 2\pi(r_1 + r_2) T \cos \theta$.
सर्वसमिका $r_2^2 - r_1^2 = (r_2 - r_1)(r_2 + r_1)$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\pi(r_2 - r_1)(r_2 + r_1) h \rho g = 2\pi(r_1 + r_2) T \cos \theta$.
शुद्ध पानी के लिए,$\theta = 0^{\circ}$,इसलिए $\cos \theta = 1$। $h$ के लिए सरल करने पर:
$h = \frac{2T}{(r_2 - r_1)\rho g}$.

(D) केशिका नली के निचले सिरे पर दबाव,नली की गहराई के कारण हाइड्रोस्टेटिक दबाव और केशिका वृद्धि के कारण दबाव का योग होता है।
दिया गया है कि निचले सिरे की गहराई $8 \,cm$ है और केशिका वृद्धि $4 \,cm$ है।
निचले सिरे पर कुल दबाव $P = h_{depth} + h_{rise}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$P = 8 \,cm + 4 \,cm = 12 \,cm$ पानी।
इसलिए,निचले सिरे पर हवा का बुलबुला फुलाने के लिए आवश्यक दबाव $12 \,cm$ पानी है।
अतः,$X = 12$.

(A) केशिका नली में द्रव के ऊपर चढ़ने की ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है, जहाँ $r$ नली की त्रिज्या है।
इसका अर्थ है कि $h \propto \frac{1}{r}$।
चूँकि अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है, इसलिए $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$, जिसका अर्थ है कि $r \propto \sqrt{A}$।
इस संबंध को समानुपातिकता में रखने पर, हमें $h \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $A_1 = A$ के लिए $h_1 = 15 \,mm = 15 \times 10^{-3} \,m$ दिया गया है।
नए क्षेत्रफल $A_2 = A / 3$ के लिए, अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = 3$ है।
संबंध $\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{\frac{A_1}{A_2}}$ का उपयोग करने पर, हमें $\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः, $h_2 = h_1 \times \sqrt{3} = 15 \times 10^{-3} \times \sqrt{3} \,m = 15 \sqrt{3} \times 10^{-3} \,m$।

(D) केशिका नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र है: $h = \frac{2 T \cos \theta}{r \rho g}$।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $h \propto \frac{1}{g}$।
जब लिफ्ट '$a$' त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g - a$ हो जाता है।
चूंकि '$a < g$' है,इसलिए प्रभावी गुरुत्वाकर्षण $g_{eff}$ वास्तविक गुरुत्वाकर्षण '$g$' से कम होता है।
चूंकि $g_{eff} < g$,इसलिए '$h$' का मान बढ़ जाता है क्योंकि '$h$' गुरुत्वाकर्षण त्वरण के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

(B) केश नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि $h \propto \frac{1}{g}$ है।
इसलिए,ऊँचाइयों का अनुपात $\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{g_{2}}{g_{1}}$ होगा।
पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $g_{2} = g_{1} \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ होता है,जहाँ $g_{1}$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है।
इस मान को अनुपात में रखने पर,हमें $\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{g_{1}(1 - d/R)}{g_{1}} = 1 - \frac{d}{R}$ प्राप्त होता है।

(B) केशिका नली में द्रव के चढ़ने की ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है, जहाँ $r$ नली की त्रिज्या है।
चूँकि $h \propto \frac{1}{r}$, और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है, इसलिए $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$, जिसका अर्थ है $r \propto \sqrt{A}$।
अतः, $h \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$, या $h_1 \sqrt{A_1} = h_2 \sqrt{A_2}$।
दिया गया है कि $h_1 = 2.2 \text{ cm}$ और $A_2 = \frac{1}{4} A_1$, इसलिए $\sqrt{A_2} = \frac{1}{2} \sqrt{A_1}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2.2 \times \sqrt{A_1} = h_2 \times \frac{1}{2} \sqrt{A_1}$।
$h_2$ के लिए हल करने पर: $h_2 = 2.2 \times 2 = 4.4 \text{ cm}$।

(A) केशिका नली में द्रव के चढ़ने की ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है, $\theta$ संपर्क कोण है, $r$ नली की त्रिज्या है, $\rho$ घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है。
इससे हमें पता चलता है कि $h \propto \frac{1}{r}$。
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है, जिसका अर्थ है कि $r \propto \sqrt{A}$。
इस संबंध को ऊँचाई के सूत्र में रखने पर, हमें $h \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$ प्राप्त होता है, या $h_1 \sqrt{A_1} = h_2 \sqrt{A_2}$。
यहाँ $h_1 = 3 \,cm$ और $A_2 = \frac{1}{9} A_1$ दिया गया है, इसलिए $\sqrt{A_2} = \frac{1}{3} \sqrt{A_1}$。
इन मानों को रखने पर: $3 \times \sqrt{A_1} = h_2 \times \frac{1}{3} \sqrt{A_1}$。
$h_2$ के लिए हल करने पर: $h_2 = 3 \times 3 = 9 \,cm$。

(A) केशिका नली में पानी की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
चूँकि $T, \theta, \rho,$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$,जिसका अर्थ है $hr = \text{स्थिरांक}$.
$r_1 = r$ त्रिज्या वाली केशिका के लिए ऊँचाई $h_1 = h$ है। $r_2 = \frac{r}{4}$ त्रिज्या वाली केशिका के लिए नई ऊँचाई $h_2$ ज्ञात करने पर: $h_1 r_1 = h_2 r_2$.
$h \times r = h_2 \times \frac{r}{4} \implies h_2 = 4h$.
केशिका में पानी का द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (\pi r^2 h) \rho$ है।
नई केशिका के लिए द्रव्यमान $m'$ की गणना करने पर: $m' = \pi (r_2)^2 h_2 \rho$.
$r_2 = \frac{r}{4}$ और $h_2 = 4h$ रखने पर:
$m' = \pi \left(\frac{r}{4}\right)^2 (4h) \rho = \pi \left(\frac{r^2}{16}\right) (4h) \rho = \frac{1}{4} (\pi r^2 h \rho) = \frac{m}{4}$.

(D) केशनलिका में द्रव जिस ऊँचाई $h$ तक चढ़ता है,उसका सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $h \propto \frac{1}{g}$ है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ नीचे जाती है,तो प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g' = g - a$ हो जाता है। चूँकि $g' < g$ है,इसलिए $h$ का मान बढ़ जाएगा।
हालाँकि,पृथ्वी की परिक्रमा कर रहे उपग्रह में प्रभावी गुरुत्व $g'$ शून्य $(0)$ हो जाता है (भारहीनता की स्थिति)। जैसे-जैसे $g' \to 0$ होता है,$h \to \infty$ हो जाता है। अतः,अन्य विकल्पों की तुलना में उपग्रह में $h$ का मान सबसे अधिक बढ़ जाएगा।

(D) केशनली में द्रव जिस ऊँचाई $h$ तक चढ़ता है,उसका सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$।
चूँकि $T$,$\theta$,$\rho$ और $g$ दिए गए द्रव और नली के लिए नियत हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$ होता है,जिसका अर्थ है $h_{1} r_{1} = h_{2} r_{2}$।
दिया गया है कि $h_{1} = h$,$r_{1} = r$,और $r_{2} = \frac{r}{3}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $h \cdot r = h_{2} \cdot \frac{r}{3}$।
अतः,$h_{2} = 3h$।

(D) केशिका नली में द्रव के ऊपर चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र है: $h = \frac{2 T \cos \theta}{r \rho g}$।
संपर्क कोण के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\cos \theta = \frac{h r \rho g}{2 T}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$h$ (ऊँचाई),$r$ (त्रिज्या),और $T$ (पृष्ठ तनाव) तीनों द्रवों के लिए स्थिर हैं।
अतः,$\cos \theta \propto \rho$ है।
दिया गया है कि घनत्व $\varrho_{1} > \varrho_{2} > \varrho_{3}$ है,इसलिए $\cos \theta_{1} > \cos \theta_{2} > \cos \theta_{3}$ होगा।
चूँकि कोसाइन फलन $0$ से $\frac{\pi}{2}$ के बीच एक घटता हुआ फलन है,इसलिए बड़ा कोसाइन मान छोटे कोण के अनुरूप होता है।
अतः,$\theta_{1} < \theta_{2} < \theta_{3}$ होगा।

(D) केश नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र है: $h = \frac{2 T \cos \theta}{\rho g r}$,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$\rho$ द्रव का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $r$ केश नली की त्रिज्या है।
इस सूत्र से हम देख सकते हैं कि $h \propto \frac{1}{r}$ है।
इसका अर्थ है कि पानी के ऊपर चढ़ने की ऊँचाई केश नली की त्रिज्या (या व्यास) के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
इसलिए,छोटे व्यास वाली नली में पानी का स्तर अधिक ऊँचाई तक चढ़ेगा।

(B) केशिका नली में पानी के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूँकि $T, \theta, \rho$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$,जिसका अर्थ है $rh = \text{constant}$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,इसलिए $r \propto \sqrt{A}$ होता है।
प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = A$ और अंतिम क्षेत्रफल $A_2 = \frac{A}{9}$ दिया गया है।
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{\frac{A_2}{A_1}} = \sqrt{\frac{A/9}{A}} = \frac{1}{3}$ है।
संबंध $r_1 h_1 = r_2 h_2$ का उपयोग करने पर,$h_2 = h_1 \left( \frac{r_1}{r_2} \right)$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$h_2 = h \times 3 = 3h$ होगा।

(C) केशिका नली में पानी के चढ़ने की ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g R_{eff}}$ है,जहाँ $R_{eff}$ मेनिस्कस की प्रभावी त्रिज्या है।
इस मामले में,पानी $R$ त्रिज्या वाली केशिका नली और $r$ त्रिज्या वाले तार के बीच के वलयाकार स्थान में ऊपर चढ़ता है।
इस वलयाकार स्थान के लिए प्रभावी त्रिज्या दोनों त्रिज्याओं का अंतर है,यानी $R_{eff} = R - r$।
पानी और कांच/धातु के लिए संपर्क कोण $\theta = 0$ मानते हुए,$\cos \theta = 1$ होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें $h = \frac{2T}{\rho g (R - r)}$ प्राप्त होता है।

(C) केशिका नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$।
द्रव '$A$' के लिए दिया गया है: $h_1 = 5 \,cm$,पृष्ठ तनाव = $T_1$,घनत्व = $\rho_1$।
द्रव '$B$' के लिए दिया गया है: पृष्ठ तनाव $T_2 = 2T_1$,घनत्व $\rho_2 = 2\rho_1$,और नली की त्रिज्या $r$ तथा संपर्क कोण $\theta$ समान रहते हैं।
द्रव '$B$' के लिए सूत्र में मान रखने पर:
$h_2 = \frac{2T_2 \cos \theta}{r \rho_2 g} = \frac{2(2T_1) \cos \theta}{r(2\rho_1) g} = \frac{4T_1 \cos \theta}{2r \rho_1 g} = \frac{2T_1 \cos \theta}{r \rho_1 g}$।
चूंकि $h_1 = \frac{2T_1 \cos \theta}{r \rho_1 g} = 5 \,cm$ है,इसलिए $h_2 = h_1 = 5 \,cm$ प्राप्त होता है।
मीटर में बदलने पर: $5 \,cm = 0.05 \,m$।

(B) केश नली में द्रव के ऊपर चढ़ने की ऊँचाई $h$ का सूत्र इस प्रकार है:
$h = \frac{2 T \cos \theta}{r \rho g}$
चूँकि समान द्रव और नली के लिए $T$,$\theta$,$\rho$ और $g$ नियत हैं,इसलिए:
$h \propto \frac{1}{r}$
चूँकि व्यास $D = 2r$ होता है,इसलिए हम लिख सकते हैं $h \propto \frac{1}{D}$।
दिया गया है कि $h_P = \frac{2}{3} h_Q$,अतः $\frac{h_P}{h_Q} = \frac{2}{3}$।
व्युत्क्रमानुपाती संबंध $h \propto \frac{1}{D}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{h_P}{h_Q} = \frac{D_Q}{D_P} = \frac{2}{3}$
अतः,उनके व्यासों का अनुपात $\frac{D_P}{D_Q} = \frac{3}{2}$ या $3: 2$ है।

(C) केश नली में पानी की ऊँचाई का सूत्र इस प्रकार है:
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$
जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ केश नली की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है,और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $h \propto \frac{1}{r}$।
चूँकि ऊँचाई $h$ नली की त्रिज्या $r$ के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए छोटे व्यास (छोटी त्रिज्या) वाली नली में पानी का स्तर अधिक ऊँचाई तक चढ़ेगा।

(A) संकीर्ण नलियों या छिद्रयुक्त पदार्थों में द्रवों के ऊपर चढ़ने या नीचे उतरने की घटना को केशिकात्व कहा जाता है।
पादप रेशे सूक्ष्म केशिका नलियों के जाल के रूप में कार्य करते हैं।
अतः,केशिकात्व की घटना के कारण पादप रेशों में पानी ऊपर चढ़ता है।

(B) दिया गया है: केशिका नली की त्रिज्या $r = 0.1 \,mm = 0.1 \times 10^{-3} \,m$.
पानी के चढ़ने की ऊँचाई $h = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$.
पृष्ठ तनाव $T = 0.072 \,N/m$.
पानी का घनत्व $\rho = 10^3 \,kg/m^3$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$.
केशिका उन्नयन का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g r}$ है।
$\cos \theta$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\cos \theta = \frac{h \rho g r}{2T}$.
मान रखने पर: $\cos \theta = \frac{(2 \times 10^{-2}) \times (10^3) \times (10) \times (0.1 \times 10^{-3})}{2 \times 0.072}$.
$\cos \theta = \frac{2 \times 10^{-2} \times 10^4 \times 0.1 \times 10^{-3}}{0.144} = \frac{0.02}{0.144} = \frac{20}{144} = \frac{1}{7.2}$.
अतः, $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{7.2}\right)$.

(C) नली में केशिकत्व उन्नयन की ऊंचाई $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ केशिका नली की त्रिज्या है और $\rho$ द्रव का घनत्व है।
दिया गया है: $T = 0.03 \ Nm^{-1}$,$\rho = 1500 \ kgm^{-3}$,$\theta = 0^\circ$ (अतः $\cos \theta = 1$),$g = 10 \ ms^{-2}$,$r_1 = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,और $r_2 = 4 \ mm = 4 \times 10^{-3} \ m$.
दोनों भुजाओं में ऊंचाइयां $h_1 = \frac{2T}{r_1 \rho g}$ और $h_2 = \frac{2T}{r_2 \rho g}$ हैं।
द्रव स्तरों में अंतर $\Delta h = h_1 - h_2 = \frac{2T}{\rho g} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$ है।
मान रखने पर: $\Delta h = \frac{2 \times 0.03}{1500 \times 10} \left( \frac{1}{2 \times 10^{-3}} - \frac{1}{4 \times 10^{-3}} \right)$.
$\Delta h = \frac{0.06}{15000} \left( 500 - 250 \right) = \frac{0.06}{15000} \times 250 = \frac{0.06}{60} = 0.001 \ m$.
अतः,$\Delta h = 1 \ mm$.

(D) केशिका नली में पृष्ठ तनाव के कारण द्रव के ऊपर चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र है: $h = \frac{2 S \cos \theta}{r \rho g}$।
दिए गए मान हैं: द्रव के ऊपर चढ़ने की ऊँचाई $h = 7.5 \ cm = 7.5 \times 10^{-2} \ m$,पृष्ठ तनाव $S = 7.5 \times 10^{-2} \ N \ m^{-1}$,संपर्क कोण $\theta = 0^{\circ}$,पानी का घनत्व $\rho = 1000 \ kg \ m^{-3}$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m \ s^{-2}$ है।
त्रिज्या $r$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $r = \frac{2 S \cos \theta}{h \rho g}$।
मान रखने पर: $r = \frac{2 \times (7.5 \times 10^{-2}) \times \cos 0^{\circ}}{(7.5 \times 10^{-2}) \times 1000 \times 10}$।
चूंकि $\cos 0^{\circ} = 1$,हमें प्राप्त होता है: $r = \frac{2 \times 7.5 \times 10^{-2}}{7.5 \times 10^{-2} \times 10^4} = \frac{2}{10^4} = 2 \times 10^{-4} \ m$।
मिलीमीटर में बदलने पर: $r = 2 \times 10^{-4} \times 10^3 \ mm = 0.2 \ mm$।

(D) मान लीजिए कि $r$ त्रिज्या वाली एक केशिका नली को एक द्रव में डुबोया जाता है। द्रव नली के ऊपरी सिरे पर एक मेनिस्कस बनाता है।
मान लीजिए $R$ मेनिस्कस की वक्रता त्रिज्या है और $\theta$ संपर्क कोण है।
मेनिस्कस की ज्यामिति से,हम एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं जहाँ कर्ण $R$ है,आधार $r$ है और मेनिस्कस की त्रिज्या तथा क्षैतिज के बीच का कोण $\theta$ है।
त्रिकोणमिति का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\cos \theta = \frac{r}{R}$ है।
इसलिए,मेनिस्कस की वक्रता त्रिज्या $R = \frac{r}{\cos \theta}$ है।

(A) केशनलिका में पानी की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
चूँकि $T$,$\theta$,$\rho$ और $g$ नियत हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$ होगा।
अतः,$h_1 = \frac{k}{R}$ और $h_2 = \frac{k}{2R}$,जहाँ $k$ एक नियतांक है।
नली में पानी का द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (\pi r^2 h) \rho$ होता है।
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ का मान रखने पर,$m = \pi r^2 \left( \frac{2T \cos \theta}{r \rho g} \right) \rho = \frac{2 \pi T r \cos \theta}{g}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $T$,$\theta$ और $g$ नियत हैं,इसलिए $m \propto r$ होगा।
अतः,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$.

(A) $r$ त्रिज्या वाली केशनली में मेनिस्कस के ठीक नीचे का दबाव $P = P_0 - \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है और $T$ पृष्ठ तनाव है।
$R_1 = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$ और $R_2 = 4 \ mm = 4 \times 10^{-3} \ m$ त्रिज्या वाली दो नलियों के लिए,समान क्षैतिज स्तर $OO'$ पर दबाव समान होता है।
मान लीजिए कि $OO'$ स्तर के ऊपर दोनों नलियों में पानी के स्तंभ की ऊँचाई $h_1$ और $h_2$ है। दोनों नलियों में $OO'$ स्तर पर दबाव:
$P_{OO'} = P_0 - \frac{2T}{R_1} + \rho g h_1 = P_0 - \frac{2T}{R_2} + \rho g h_2$
चूंकि पानी की मात्रा स्थिर है,स्तरों में अंतर $x = h_1 - h_2$ केशिका उन्नयन के अंतर द्वारा निर्धारित होता है:
$x = h_1 - h_2 = \frac{2T}{\rho g} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
मान रखने पर:
$x = \frac{2 \times 7.3 \times 10^{-2}}{1.0 \times 10^3 \times 10} \left( \frac{1}{2 \times 10^{-3}} - \frac{1}{4 \times 10^{-3}} \right)$
$x = \frac{14.6 \times 10^{-2}}{10^4} \left( \frac{2 - 1}{4 \times 10^{-3}} \right) = 14.6 \times 10^{-6} \times \frac{1}{4 \times 10^{-3}} = 3.65 \times 10^{-3} \ m = 3.65 \ mm$.
अतः,पानी के स्तरों के बीच का अंतर $3.65 \ mm$ है।

(A) केश नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$ है।
पानी के लिए: $h_1 = \frac{2T_1 \cos \theta_1}{rdg}$. दिया गया है $T_1 = T$,$\theta_1 = 0^{\circ}$ (अतः $\cos \theta_1 = 1$),और द्रव्यमान $m_1 = 5 \times 10^{-3} \ kg$ है।
चूँकि $m = \pi r^2 h d$,इसलिए $h_1 = \frac{m_1}{\pi r^2 d}$ होगा।
दूसरे द्रव के लिए: $T_2 = \sqrt{2}T$ और $\theta_2 = 45^{\circ}$ है।
नई ऊँचाई $h_2 = \frac{2T_2 \cos \theta_2}{rdg} = \frac{2(\sqrt{2}T) \cos 45^{\circ}}{rdg} = \frac{2\sqrt{2}T \times (1/\sqrt{2})}{rdg} = \frac{2T}{rdg} = h_1$ है।
केश नली की त्रिज्या '$r$' और घनत्व '$d$' स्थिर रहने के कारण,और $h_2 = h_1$ होने से,द्रव का द्रव्यमान $m_2 = \pi r^2 h_2 d = m_1 = 5 \times 10^{-3} \ kg$ होगा।

(B) केशिका नली में द्रव के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र: $h = \frac{2 S \cos \theta}{r \rho g}$,जहाँ $r$ नली की त्रिज्या है।
द्रव $A$ के लिए: $h_A = 10 \ cm$,$\rho_A = 1 \ g/cm^3$,$\theta_A = 0^{\circ}$.
$10 = \frac{2 S_A \cos(0^{\circ})}{r \times 1 \times g} = \frac{2 S_A}{r g}$ --- $(1)$
द्रव $B$ के लिए: $h_B = -2 \ cm$ (नीचे गिरता है),$\rho_B = 10 \ g/cm^3$,$\theta_B = 135^{\circ}$.
$-2 = \frac{2 S_B \cos(135^{\circ})}{r \times 10 \times g} = \frac{2 S_B (-1/\sqrt{2})}{10 r g} = -\frac{S_B}{5 \sqrt{2} r g}$
$2 = \frac{S_B}{5 \sqrt{2} r g}$ --- $(2)$
$(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2}{10} = \frac{S_B / (5 \sqrt{2} r g)}{2 S_A / (r g)} = \frac{S_B}{5 \sqrt{2} r g} \times \frac{r g}{2 S_A} = \frac{S_B}{10 \sqrt{2} S_A}$
$\frac{1}{5} = \frac{S_B}{10 \sqrt{2} S_A} \Rightarrow \frac{S_B}{S_A} = \frac{10 \sqrt{2}}{5} = 2 \sqrt{2}$.

(D) दोनों सिरों पर खुली केशिका नली के लिए,जल स्तंभ मेनिस्कस पर पृष्ठ तनाव बलों द्वारा समर्थित होता है।
जब $h$ लंबाई का जल स्तंभ एक केशिका नली में रखा जाता है,तो पृष्ठ तनाव के कारण होने वाला दाबांतर जल स्तंभ के हाइड्रोस्टेटिक दबाव को संतुलित करना चाहिए।
दोनों सिरों पर खुली नली के लिए,यदि नली ऊर्ध्वाधर है तो पानी को सहारा नहीं दिया जा सकता क्योंकि ऊपर और नीचे के मेनिस्कस पर दबाव वायुमंडलीय दबाव के बराबर होगा,और गुरुत्वाकर्षण पानी को नीचे खींच लेगा।
अतः,जल स्तंभ गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे गिर जाएगा।
इसलिए,बिना गिरे रह सकने वाले जल स्तंभ की अधिकतम लंबाई $0 \ cm$ है।

(C) केशिका नली में पानी जिस ऊँचाई तक चढ़ता है,वह $h = \frac{2T}{\rho g r}$ द्वारा दी जाती है।
पानी के स्तंभ की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{mgh}{2}$ है।
चूँकि $m = \pi r^2 h \rho$,इसलिए $U = \frac{(\pi r^2 h \rho) g h}{2} = \frac{\pi r^2 \rho g h^2}{2}$ होता है।
$h = \frac{2T}{\rho g r}$ का मान रखने पर,$U = \frac{\pi r^2 \rho g}{2} \left( \frac{2T}{\rho g r} \right)^2 = \frac{2 \pi T^2}{\rho g}$ प्राप्त होता है।
पृष्ठ तनाव बल द्वारा किया गया कार्य $W = (2 \pi r T) h = 2 \pi r T \left( \frac{2T}{\rho g r} \right) = \frac{4 \pi T^2}{\rho g}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,उत्पन्न ऊष्मा $Q$ किए गए कार्य और प्राप्त स्थितिज ऊर्जा का अंतर है:
$Q = W - U = \frac{4 \pi T^2}{\rho g} - \frac{2 \pi T^2}{\rho g} = \frac{2 \pi T^2}{\rho g}$।