Capillary Tube and Capillarity Questions in Hindi

(D) मान लीजिए कि केशनली का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ है।
प्रारंभ में,नली $p_{0}$ दबाव और $V = lA$ आयतन वाली हवा से भरी है।
जब नली को $x$ लंबाई तक डुबोया जाता है,तो हवा $(l-x)$ लंबाई में संकुचित हो जाती है। मान लीजिए नया दबाव $p^{\prime}$ है।
बॉयल के नियम का उपयोग करते हुए: $p_{0}(lA) = p^{\prime}(l-x)A$,जिससे $p^{\prime} = \frac{p_{0}l}{l-x}$ प्राप्त होता है।
चूंकि केशनली के अंदर और बाहर पानी का स्तर समान है,मेनिस्कस पर दबाव का अंतर यंग-लाप्लास समीकरण द्वारा दिया जाता है: $p^{\prime} - p_{0} = \frac{2\gamma}{r}$।
$p^{\prime}$ का मान रखने पर: $\frac{p_{0}l}{l-x} - p_{0} = \frac{2\gamma}{r}$।
$p_{0} \left( \frac{l}{l-x} - 1 \right) = \frac{2\gamma}{r} \implies p_{0} \left( \frac{l - l + x}{l-x} \right) = \frac{2\gamma}{r}$।
$\frac{p_{0}x}{l-x} = \frac{2\gamma}{r} \implies p_{0}xr = 2\gamma l - 2\gamma x$।
$x(p_{0}r + 2\gamma) = 2\gamma l$।
$x = \frac{2\gamma l}{p_{0}r + 2\gamma} = \frac{l}{\frac{p_{0}r}{2\gamma} + 1} = \frac{l}{1 + \frac{p_{0}r}{2\gamma}}$।

(D) केश नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ होता है।
मुक्त रूप से गिरते हुए प्लेटफॉर्म में,प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff}$ शून्य हो जाता है क्योंकि प्रणाली भारहीनता की स्थिति में होती है।
जैसे-जैसे $g_{eff} \to 0$ होता है,ऊँचाई $h$ अनंत की ओर प्रवृत्त होती है $(h \propto \frac{1}{g_{eff}})$।
हालाँकि,द्रव केश नली की भौतिक लंबाई से ऊपर नहीं बढ़ सकता है।
इसलिए,पानी केश नली की पूरी लंबाई तक भर जाएगा,जो कि $20 cm$ है।

(A) केशिका उन्नयन का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g r}$ द्वारा दिया जाता है।
यह मानते हुए कि दोनों द्रवों के लिए संपर्क कोण $\theta$ समान है और घनत्व $\rho$ बराबर है,हमारे पास $h \propto \frac{1}{r}$ है।
चूंकि $r_1 > r_2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{r_1} < \frac{1}{r_2}$ होगा।
अतः,$h_1 < h_2$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रश्न में $T_1 = T_2$ दिया गया है,इसलिए सही संबंध $h_1 < h_2$ और $T_1 = T_2$ है।

(D) केशिका नली में द्रव की ऊँचाई $h$ का सूत्र: $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho gr}$ है।
यह मानते हुए कि संपर्क कोण $\theta$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ स्थिर रहते हैं, सापेक्ष परिवर्तन: $\frac{\Delta h}{h} = \frac{\Delta T}{T} - \frac{\Delta \rho}{\rho} - \frac{\Delta r}{r}$ होगा।
दिया गया है कि $T$, $\rho$, और $r$ प्रत्येक $1\%$ कम हो जाते हैं, इसलिए $\frac{\Delta T}{T} = -0.01$, $\frac{\Delta \rho}{\rho} = -0.01$, और $\frac{\Delta r}{r} = -0.01$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\Delta h}{h} = (-0.01) - (-0.01) - (-0.01) = -0.01 + 0.01 + 0.01 = +0.01$ प्राप्त होता है।
अतः, ऊँचाई में $+1\%$ का परिवर्तन होगा।