Capillary Tube and Capillarity Questions in Hindi

(A) केशिका नली में द्रव का व्यवहार द्रव और कांच की सतह के बीच संपर्क कोण पर निर्भर करता है।
पानी और कांच के लिए, संपर्क कोण न्यून $( < 90^{\circ})$ होता है, जिसके परिणामस्वरूप पृष्ठ तनाव के कारण ऊपर की ओर बल लगता है, जिससे पानी केशिका में ऊपर चढ़ जाता है।
पारे और कांच के लिए, संपर्क कोण अधिक $( > 90^{\circ})$ होता है, जिसके परिणामस्वरूप पृष्ठ तनाव के कारण नीचे की ओर बल लगता है, जिससे पारे का स्तर केशिका में नीचे दब जाता है।
इसलिए, पानी ऊपर चढ़ता है और पारा नीचे दब जाता है।

(N/A) केशिका नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई $h$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$
जहाँ:
$T$ द्रव का पृष्ठ तनाव है।
$\theta$ द्रव और केशिका की दीवार के बीच का संपर्क कोण है।
$r$ केशिका नली की त्रिज्या है।
$\rho$ द्रव का घनत्व है।
$g$ गुरुत्वीय त्वरण है।

(A) केशिका नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
$(i)$ चूँकि $h \propto \frac{1}{r}$,जैसे-जैसे केशिका नली की त्रिज्या $r$ कम होती है,स्तंभ की ऊँचाई $h$ बढ़ती है। अतः,उत्तर 'अधिक' है।
$(ii)$ उत्तल मेनिस्कस के लिए,संपर्क कोण $\theta > 90^\circ$ होता है,जिससे $\cos \theta$ ऋणात्मक हो जाता है,जिसके परिणामस्वरूप द्रव का स्तर नीचे गिर जाता है। अवतल मेनिस्कस के लिए,संपर्क कोण $\theta < 90^\circ$ होता है,जिससे $\cos \theta$ धनात्मक हो जाता है,जिसके परिणामस्वरूप द्रव ऊपर चढ़ता है। अतः,उत्तर क्रमशः 'नीचे गिरता है' और 'ऊपर चढ़ता है' है।

(N/A) दीपक का जलना $Capillarity$ (केशिकात्व) की घटना के कारण होता है।
दीपक में,बत्ती में बहुत महीन छिद्र या केशिकाएं होती हैं।
जब दीपक में तेल भरा जाता है,तो द्रव के पृष्ठ तनाव (surface tension) के कारण तेल बत्ती के इन महीन छिद्रों के माध्यम से ऊपर चढ़ता है।
इस प्रक्रिया को केशिका क्रिया (capillary action) कहा जाता है,जो तेल को बत्ती के ऊपरी सिरे पर स्थित लौ तक पहुँचने देती है,जिससे दीपक लगातार जलता रहता है।

(A) केशिका नली में पानी के चढ़ने की ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ त्रिज्या है,$\rho$ घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $h \propto \frac{1}{r}$ है।
दिया गया है कि प्रारंभिक ऊँचाई $h = 20 \ mm$ है और नई त्रिज्या $r' = \frac{r}{3}$ है।
समानुपातिकता $h' r' = h r$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$h' = h \left( \frac{r}{r'} \right) = 20 \times \left( \frac{r}{r/3} \right) = 20 \times 3 = 60 \ mm$.

(N/A) दीपक की बत्ती पतले सूती रेशों से बनी होती है। ये रेशे सूक्ष्म केशिका नली (capillary tube) के रूप में कार्य करते हैं। केशिकत्व (capillarity) की घटना के कारण,तेल गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध बत्ती के माध्यम से ऊपर चढ़ता है। बत्ती के ऊपरी सिरे पर तेल की यह निरंतर आपूर्ति लौ को बनाए रखती है,जिससे दीपक प्रकाश उत्पन्न करता है।

(N/A) मिट्टी में मिट्टी के कणों की व्यवस्था के कारण सूक्ष्म केशिका नलिकाएं (capillary tubes) बनी होती हैं। इन केशिकाओं के माध्यम से,मिट्टी की निचली परतों से पानी केशिकात्व (capillarity) के कारण सतह पर आता है और वाष्पित हो जाता है,जिससे मिट्टी सूख जाती है। जब खेत को जोता जाता है,तो ये केशिका नलिकाएं टूट जाती हैं। यह व्यवधान पानी को सतह पर ऊपर आने से रोकता है,जिससे मिट्टी में नमी बनी रहती है।

(N/A) सूती कपड़ों में पतले रेशे होते हैं जो केशिकाओं (capillaries) की तरह कार्य करते हैं। केशिकत्व (capillarity) की घटना के कारण,ये रेशे शरीर से पसीने को सोख लेते हैं। जब यह अवशोषित पसीना वातावरण के संपर्क में आता है,तो इसका वाष्पीकरण हो जाता है। चूंकि वाष्पीकरण एक ऊष्माशोषी प्रक्रिया है,यह शरीर से गुप्त ऊष्मा को अवशोषित कर लेती है,जिससे ठंडक का अनुभव होता है और शरीर सूखा रहता है।

(N/A) जब ऐसी पेन से बोर्ड पर लिखा जाता है,तो स्याही को गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध गति करनी पड़ती है। फाइबर रिफिल में,स्याही फाइबर द्वारा निर्मित केशिकाओं (capillaries) में केशिकत्व (capillary phenomenon) के कारण गति करती है। इस प्रकार,यह बोर्ड पर निर्बाध रूप से लिखने में सक्षम बनाती है।

(N/A) केशिका नली में द्रव के ऊपर चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2S \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $S$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ केशिका की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
कांच की केशिका नली में पानी के लिए,संपर्क कोण $\theta$ न्यून कोण (अर्थात $\theta < 90^{\circ}$) होता है,जिससे $\cos \theta$ का मान धनात्मक प्राप्त होता है।
चूँकि $S, r, \rho,$ और $g$ सभी धनात्मक स्थिरांक हैं,इसलिए ऊँचाई $h$ धनात्मक होती है। यह दर्शाता है कि वक्र मेनिस्कस (meniscus) के कारण उत्पन्न दबाव के अंतर को संतुलित करने के लिए पानी केशिका नली में ऊपर की ओर चढ़ता है।

(N/A) केशिका नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2S \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $S$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ केशिका की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
पारे और कांच के लिए,संपर्क कोण $\theta$ अधिक कोण (लगभग $135^{\circ}$) होता है,जो $90^{\circ}$ से अधिक है।
चूंकि $90^{\circ}$ से अधिक कोणों के लिए $\cos \theta$ ऋणात्मक होता है,इसलिए $h$ का मान ऋणात्मक हो जाता है।
ऋणात्मक ऊँचाई यह दर्शाती है कि केशिका नली में पारे का स्तर बाहरी पात्र में पारे के स्तर से नीचे है। इस घटना को केशिका अवनमन (capillary depression) के रूप में जाना जाता है।

(C) केश नली में पानी के स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2S \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $S$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
मुक्त रूप से गिरती हुई लिफ्ट में,प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = 0$ होता है।
जैसे ही $g_{eff} \to 0$ होता है,पानी के स्तंभ की ऊँचाई $h$ अनंत की ओर प्रवृत्त होती है $(h \propto \frac{1}{g})$।
हालाँकि,पानी का स्तंभ केश नली की लंबाई द्वारा सीमित होता है।
इसलिए,पानी नली की पूरी लंबाई तक ऊपर चढ़ जाएगा।
अतः,नली में पानी के स्तंभ की लंबाई $20 \ cm$ होगी।

(N/A) केशिका नली में द्रव जिस ऊँचाई $h$ तक ऊपर चढ़ता है,उसका सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$।
दिए गए मान हैं: $T = 7.28 \times 10^{-2} \ N/m$,$r = 2.5 \times 10^{-5} \ m$,$\theta = 0^{\circ}$,$\rho = 10^3 \ kg/m^3$ (पानी का घनत्व),और $g = 9.8 \ m/s^2$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$h = \frac{2 \times (7.28 \times 10^{-2}) \times \cos 0^{\circ}}{(2.5 \times 10^{-5}) \times 10^3 \times 9.8}$
$h = \frac{14.56 \times 10^{-2}}{2.5 \times 10^{-2} \times 9.8} = \frac{14.56}{24.5} \approx 0.594 \ m \approx 0.6 \ m$।
चूँकि केशिका क्रिया द्वारा प्राप्त ऊँचाई केवल $0.6 \ m$ है,यह ऊँचे पेड़ों (जो $10 \ m$ से $100 \ m$ तक ऊँचे हो सकते हैं) के शीर्ष तक पानी पहुँचाने के लिए अपर्याप्त है। इसलिए,केवल पृष्ठ तनाव सभी पेड़ों के शीर्ष तक पानी की आपूर्ति के लिए जिम्मेदार नहीं हो सकता है।

(C) माना $r$ केशिका नली की त्रिज्या है और $R$ मेनिस्कस की त्रिज्या है।
मेनिस्कस की ज्यामिति से,संपर्क कोण $\theta$ स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण से संबंधित है। चूंकि स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती हैं,इसलिए स्पर्श रेखा और ऊर्ध्वाधर दीवार के बीच का कोण $30^{\circ}$ है। अतः,संपर्क कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
ज्यामिति से,$\cos \theta = \frac{r}{R}$,इसलिए $R = \frac{r}{\cos 30^{\circ}} = \frac{r}{\sqrt{3}/2} = \frac{2r}{\sqrt{3}}$.
दिया गया है $r = 0.15 \times 10^{-3} m$,इसलिए $R = \frac{2 \times 0.15 \times 10^{-3}}{\sqrt{3}} = \frac{0.3 \times 10^{-3}}{\sqrt{3}} m$.
द्रव स्तंभ की ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g r}$ है।
मान रखने पर: $h = \frac{2 \times 0.05 \times \cos 30^{\circ}}{667 \times 10 \times 0.15 \times 10^{-3}}$.
वैकल्पिक रूप से,$h = \frac{2T}{\rho g R}$ का उपयोग करते हुए:
$h = \frac{2 \times 0.05}{667 \times 10 \times (\frac{0.3 \times 10^{-3}}{\sqrt{3}})} = \frac{0.1 \times \sqrt{3}}{6670 \times 0.3 \times 10^{-3}} = \frac{0.1732}{2.001} \approx 0.0865\, m$.
निकटतम मान लेने पर,$h \approx 0.087\, m$.

(C) केश नली में द्रव के ऊपर चढ़ने की ऊंचाई का सूत्र $h = \frac{2S \cos \theta}{\rho gr}$ है।
पृष्ठ तनाव $S$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$S = \frac{\rho grh}{2 \cos \theta}$ प्राप्त होता है।
दी गई मान:
त्रिज्या $r = 0.015 \; cm = 1.5 \times 10^{-4} \; m$.
ऊंचाई $h = 15 \; cm = 0.15 \; m$.
घनत्व $\rho = 900 \; kg \; m^{-3}$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \; ms^{-2}$.
संपर्क कोण $\theta = 0^{\circ}$,इसलिए $\cos \theta = 1$.
मान रखने पर:
$S = \frac{900 \times 10 \times 0.15 \times 1.5 \times 10^{-4}}{2 \times 1}$
$S = \frac{9000 \times 0.225 \times 10^{-4}}{2}$
$S = \frac{2025 \times 10^{-4}}{2} = 1012.5 \times 10^{-4} \; N/m$.
$mN/m$ में बदलने पर $(1 \; N/m = 1000 \; mN/m)$:
$S = 1012.5 \times 10^{-4} \times 10^3 \; mN/m = 101.25 \; mN/m$.
निकटतम पूर्णांक $101$ है।

(D) केशिका नली में पानी के चढ़ने की ऊँचाई $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है।
केशिका नली में पानी का द्रव्यमान $m = V \rho = (\pi r^2 h) \rho$ होता है।
$h$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$m = \pi r^2 \left( \frac{2T \cos \theta}{r \rho g} \right) \rho = \frac{2 \pi r T \cos \theta}{g}$.
चूंकि $T$,$\theta$ और $g$ स्थिरांक हैं,इसलिए $m \propto r$ प्राप्त होता है।
पहली नली के लिए,$m_1 = 5 \, g$ और $r_1 = r$ है।
दूसरी नली के लिए,$r_2 = 2r$ है।
समानुपातिकता $m \propto r$ का उपयोग करने पर:
$\frac{m_2}{m_1} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{2r}{r} = 2$.
अतः,$m_2 = 2 \times m_1 = 2 \times 5 \, g = 10 \, g$.

(B) समान क्षैतिज स्तर पर स्थित बिंदुओं $A$ और $B$ पर दबाव समान होना चाहिए,इसलिए $P_A = P_B$।
दोनों भुजाओं में मेनिस्कस के ठीक नीचे का दबाव क्रमशः $P_{atm} - \frac{2T}{r_1}$ और $P_{atm} - \frac{2T}{r_2}$ द्वारा दिया जाता है।
समान क्षैतिज स्तर पर दबावों की तुलना करने पर:
$P_{atm} - \frac{2T}{r_1} + \rho g(x + \Delta h) = P_{atm} - \frac{2T}{r_2} + \rho g x$
$\rho g \Delta h = 2T \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$
यहाँ $r_1 = 2.5 \, mm = 2.5 \times 10^{-3} \, m$ और $r_2 = 4.0 \, mm = 4.0 \times 10^{-3} \, m$ दिया गया है।
$\Delta h = \frac{2T}{\rho g} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$
$\Delta h = \frac{2 \times 7.3 \times 10^{-2}}{1.0 \times 10^3 \times 10} \left( \frac{1}{2.5 \times 10^{-3}} - \frac{1}{4.0 \times 10^{-3}} \right)$
$\Delta h = \frac{14.6 \times 10^{-2}}{10^4} \times 10^3 \left( \frac{1}{2.5} - \frac{1}{4.0} \right)$
$\Delta h = 14.6 \times 10^{-3} \times (0.4 - 0.25) = 14.6 \times 10^{-3} \times 0.15 = 2.19 \times 10^{-3} \, m = 2.19 \, mm$.

(C) $h$ ऊँचाई के द्रव स्तंभ पर कार्य करने वाला कुल बल पृष्ठ तनाव बल,द्रव का भार और श्यान खिंचाव बल के योग द्वारा दिया जाता है।
पृष्ठ तनाव के कारण ऊपर की ओर लगने वाला बल $F_s = T(2 \pi a)$ है।
गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे की ओर लगने वाला बल $F_g = m g = (\pi a^2 h \rho) g$ है।
पॉइज़ुइल के नियम के अनुसार,प्रति इकाई लंबाई में दबाव की कमी $\frac{\Delta P}{h} = \frac{8 \eta v}{a^2}$ है। नीचे की ओर कार्य करने वाला श्यान बल $F_v = \Delta P \cdot A = (\frac{8 \eta v}{a^2} h) (\pi a^2) = 8 \pi \eta h v$ है,जहाँ $v = \frac{dh}{dt}$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,संवेग में परिवर्तन की दर कुल बल के बराबर होती है:
$\frac{dp}{dt} = F_s - F_g - F_v$
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dp}{dt} = T(2 \pi a) - (\pi a^2 \rho g h) - 8 \pi \eta h \frac{dh}{dt}$
इसे दिए गए व्यंजक $\frac{dp}{dt} = -\pi a^2 \rho gh + F$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$F = T(2 \pi a) - 8 \pi \eta h \frac{dh}{dt}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) केशिका नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र इस प्रकार है:
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$
जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
दिए गए द्रव और नली के पदार्थ के लिए $T, \theta, \rho,$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए:
$h \propto \frac{1}{r}$
चूँकि व्यास $d = 2r$ है,इसलिए $h \propto \frac{1}{d}$ होता है।
दिया गया है $h_1 = 4 \,cm$ और $d_2 = \frac{d_1}{2}$,अतः:
$\frac{h_1}{h_2} = \frac{d_2}{d_1}$
$\frac{4}{h_2} = \frac{d_1 / 2}{d_1} = \frac{1}{2}$
$h_2 = 4 \times 2 = 8 \,cm$.
अतः,पानी $8 \,cm$ की ऊँचाई तक चढ़ेगा।

(D) सही उत्तर $D$ है।
दीपक की बत्ती में मिट्टी के तेल का ऊपर चढ़ना केशिकत्व (Capillary action) की घटना के कारण होता है।
बत्ती रेशों का एक समूह होती है जो असंख्य सूक्ष्म छिद्र या संकरी जगहें बनाती है,जो केशिकाओं (capillaries) के रूप में कार्य करती हैं।
द्रव के पृष्ठ तनाव और द्रव तथा बत्ती के पदार्थ के बीच लगने वाले आसंजक बलों के कारण,मिट्टी का तेल गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध इन केशिकाओं के माध्यम से ऊपर चढ़ता है,जिससे यह लौ तक पहुँच पाता है।

(B) जुताई करने से मिट्टी में बनी केशिकाएं (capillaries) टूट जाती हैं,जिससे मिट्टी में नमी बनी रहती है।
केशिकाएं मिट्टी में बने सूक्ष्म छिद्र या नलिकाएं होती हैं,जिनके माध्यम से पृष्ठ तनाव (surface tension) के कारण पानी सतह तक ऊपर आ जाता है और वाष्पित हो जाता है।
इन केशिकाओं को तोड़ने से पानी का ऊपर की ओर जाना रुक जाता है,जिससे वाष्पीकरण कम हो जाता है और मिट्टी में नमी बनी रहती है।

(A) केशिका नली में तरल स्तंभ की ऊँचाई $h$ का सूत्र है: $h = \frac{2S \cos \theta}{r \rho g}$,जहाँ $S$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$\rho$ तरल का घनत्व है,$r$ नली की त्रिज्या है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
केशिका नली में तरल का द्रव्यमान $M$ इस प्रकार दिया जाता है: $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (\pi r^2 h) \rho$.
द्रव्यमान के समीकरण में $h$ का मान रखने पर:
$M = \pi r^2 \left( \frac{2S \cos \theta}{r \rho g} \right) \rho$
$M = \frac{2 \pi S \cos \theta}{g} \times r$.
इस समीकरण से स्पष्ट है कि द्रव्यमान $M$,केशिका नली की त्रिज्या $r$ के सीधे समानुपाती है $(M \propto r)$।
यदि नली की त्रिज्या दोगुनी कर दी जाए $(r' = 2r)$,तो नया द्रव्यमान $M'$ होगा:
$M' \propto r' = 2r$
$M' = 2M$.
अतः,केशिका नली में ऊपर चढ़ने वाले तरल का द्रव्यमान $2M$ होगा।

(D) केशिका में द्रव की ऊँचाई $h = \frac{2T}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$r$ त्रिज्या है,$\rho$ घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
केशिका में पानी के स्तर को पात्र के स्तर के समान रखने के लिए,हमें केशिका में पानी पर एक अतिरिक्त दबाव $P$ लागू करना होगा।
मेनिस्कस के आर-पार दबाव का अंतर $\Delta P = \frac{2T}{r} = \frac{4T}{d}$ है,जहाँ $d$ व्यास है।
दिया गया है $T = 0.07 \,N/m$ और $d = 0.28 \times 10^{-3} \,m$,इसलिए दबाव का अंतर $\Delta P = \frac{4 \times 0.07}{0.28 \times 10^{-3}} = \frac{0.28}{0.28 \times 10^{-3}} = 10^3 \,N/m^2$ है।
कुल आवश्यक दबाव $P = P_0 + \Delta P$ है,जहाँ $P_0 = 10^5 \,N/m^2$ है।
$P = 10^5 + 10^3 = 100 \times 10^3 + 1 \times 10^3 = 101 \times 10^3 \,N/m^2$ है।
अतः,सही मान $101$ है।

(A) केश नली में पानी के स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
मुक्त रूप से गिरती हुई लिफ्ट में,प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g - a$ होता है। चूंकि लिफ्ट मुक्त रूप से गिर रही है,$a = g$,इसलिए $g_{eff} = 0$ हो जाता है।
जैसे-जैसे $g_{eff} \to 0$ होता है,पानी के स्तंभ की ऊँचाई $h \to \infty$ हो जाती है।
हालाँकि,पानी केश नली के ऊपरी सिरे तक पहुँचने तक ऊपर चढ़ेगा। चूंकि नली की लंबाई $20 \, cm$ है,इसलिए पानी पूरी नली में भर जाएगा।

(A) केशिका नली में पानी जिस अधिकतम ऊँचाई $h$ तक चढ़ सकता है,वह $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है।
पानी और कांच के लिए संपर्क कोण $\theta = 0^{\circ}$ मानते हुए,अधिकतम ऊँचाई $h_{max} = \frac{2T}{r \rho g}$ है।
मान रखने पर: $h_{max} = \frac{2 \times 0.07}{0.25 \times 10^{-3} \times 1000 \times 9.8} = \frac{0.14}{2.45} = 0.0571 \, m = 5.71 \, cm$.
चूंकि नली पानी की सतह से केवल $2 \, cm$ ऊपर है,पानी नली के ऊपरी सिरे तक चढ़ जाएगा और संतुलन स्थिति $h' = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ को बनाए रखने के लिए अपने संपर्क कोण $\theta$ को समायोजित करेगा,जहाँ $h' = 2 \, cm = 0.02 \, m$.
अतः,$\cos \theta = \frac{h' r \rho g}{2T} = \frac{0.02 \times 0.25 \times 10^{-3} \times 1000 \times 9.8}{2 \times 0.07} = \frac{0.049}{0.14} = 0.35$.
कोण की गणना करने पर,$\theta = \cos^{-1}(0.35) \approx 69.5^{\circ} \approx 70^{\circ}$.

(A) केशिका नली में पानी का स्तंभ दोनों सिरों पर अवतल मेनिस्कस बनाता है।
माना $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है।
ऊपरी मेनिस्कस के ठीक नीचे दबाव $P_{upper} = P_0 - \frac{2T}{r}$ है।
निचले मेनिस्कस के ठीक नीचे दबाव $P_{lower} = P_0 - \frac{2T}{r}$ है।
$L$ लंबाई के पानी के स्तंभ में ऊपरी मेनिस्कस से निचले मेनिस्कस तक जाने पर,दबाव में परिवर्तन इस प्रकार होता है:
$P_{lower} = P_{upper} + \rho g L$
मान रखने पर:
$P_0 - \frac{2T}{r} = (P_0 - \frac{2T}{r}) + \rho g L$
वास्तव में,संतुलन के लिए दबाव का अंतर हाइड्रोस्टेटिक दबाव $\rho g L$ को संतुलित करना चाहिए।
ऊपरी सिरे पर दबाव $P_0 - \frac{2T}{r}$ है और निचले सिरे पर दबाव $P_0 - \frac{2T}{r}$ है। स्तंभ के दोनों सिरों पर दबाव का अंतर $\rho g L = \frac{4T}{r}$ होता है।
अतः,$L = \frac{4T}{r \rho g}$.

(C) केशिका नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2S \cos \theta}{r \rho g}$ है।
यह मानते हुए कि संपर्क कोण $\theta$ और त्रिज्या $r$ स्थिर रहते हैं,हमारे पास $h \propto \frac{S}{\rho}$ है।
द्रव $A$ के लिए: $h_1 = 5 \ cm$,पृष्ठ तनाव $= S_1$,घनत्व $= \rho_1$.
द्रव $B$ के लिए: पृष्ठ तनाव $S_2 = 2S_1$,घनत्व $\rho_2 = 2\rho_1$.
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{S_1}{S_2} \times \frac{\rho_2}{\rho_1}$.
मान रखने पर: $\frac{5}{h_2} = \frac{S_1}{2S_1} \times \frac{2\rho_1}{\rho_1} = \frac{1}{2} \times 2 = 1$.
अतः,$h_2 = 5 \ cm = 0.05 \ m$ होगा।

(C) केशिका उन्नयन की ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho gr}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$\rho$ घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $r$ केशिका नली की त्रिज्या है।
जैसे-जैसे पानी का तापमान बढ़ता है,पानी का पृष्ठ तनाव $T$ कम हो जाता है।
चूँकि $h \propto T$,पृष्ठ तनाव में कमी के कारण केशिका उन्नयन की ऊँचाई में कमी आती है।
इसलिए,ठंडे पानी की तुलना में गर्म पानी में केशिका उन्नयन की ऊँचाई कम होती है।
अतः,कथन $I$ सत्य है और कथन $II$ असत्य है।

(C) कथन $I$ सही है क्योंकि संपर्क कोण ठोस और द्रव की सतहों की प्रकृति के साथ-साथ अणुओं के बीच ससंजक (cohesive) और आसंजक (adhesive) बलों पर निर्भर करता है।
कथन $II$ गलत है क्योंकि केशनली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g r}$ होता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$\rho$ द्रव का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $r$ केशनली की आंतरिक त्रिज्या है। चूँकि $h \propto \frac{1}{r}$,इसलिए द्रव का ऊपर चढ़ना नली की त्रिज्या पर निर्भर करता है।
अतः,कथन $I$ सही है और कथन $II$ गलत है।

(B) मेनिस्कस पर दबाव का संतुलन $\frac{2 \sigma}{R} = \rho g h$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ मेनिस्कस की त्रिज्या है।
मेनिस्कस की ज्यामिति से,$R = \frac{r}{\cos \theta}$,जहाँ $r$ केशिका की त्रिज्या है और $\theta$ संपर्क कोण है।
ऊंचाई के समीकरण में $R$ का मान रखने पर: $h = \frac{2 \sigma \cos \theta}{\rho g r}$ प्राप्त होता है।
$(A)$ दिए गए पदार्थ के लिए,$\theta$ स्थिर है,इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$। अतः,$r$ बढ़ने पर $h$ घटता है। यह कथन सत्य है।
$(B)$ सूत्र से,$h \propto \sigma$,इसलिए $h$,$\sigma$ पर निर्भर करता है। यह कथन असत्य है।
$(C)$ यदि लिफ्ट $a$ त्वरण से ऊपर जा रही है,तो प्रभावी गुरुत्वाकर्षण $g_{\text{eff}} = g + a$ हो जाता है। नई ऊंचाई $h' = \frac{2 \sigma \cos \theta}{\rho (g+a) r}$ होगी। चूंकि $g+a > g$,इसलिए $h'$ घट जाता है। यह कथन सत्य है।
$(D)$ सूत्र से,$h \propto \cos \theta$,न कि $\theta$ के। यह कथन असत्य है।
अतः,कथन $(A)$ और $(C)$ सत्य हैं।

(D) मान लीजिए $R_c$ मेनिस्कस की वक्रता त्रिज्या है। केशिका नली की ज्यामिति से,ऊर्ध्वाधर अक्ष और नली की दीवार के बीच का कोण $\alpha/2$ है। संपर्क कोण $\theta$ को तरल सतह के स्पर्शरेखा और नली की दीवार के बीच मापा जाता है।
आकृति में दिखाई गई ज्यामिति से,हमारे पास $\cos(\theta + \alpha/2) = \frac{b}{R_c}$ है,जिसका अर्थ है $R_c = \frac{b}{\cos(\theta + \alpha/2)}$।
वक्र मेनिस्कस के आर-पार दबाव का अंतर $\Delta P = \frac{2S}{R_c}$ द्वारा दिया जाता है।
नली के अंदर मेनिस्कस के स्तर पर दबाव को वायुमंडलीय दबाव $P_0$ के बराबर करने पर,हमें $P_0 - \frac{2S}{R_c} + h\rho g = P_0$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $h\rho g = \frac{2S}{R_c}$ मिलता है।
$R_c$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $h\rho g = \frac{2S \cos(\theta + \alpha/2)}{b}$ प्राप्त होता है।
अतः,$h = \frac{2S}{b\rho g} \cos(\theta + \alpha/2)$।

(A) केशिका नली में पानी के स्तंभ की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h$ को सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho gr}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मान हैं: $T = 70 \ dyn/cm$,$\theta = 0^{\circ}$,$\rho = 1 \ g/cm^3$,$g = 980 \ cm/s^2$,और $r = 0.1 \ mm = 0.01 \ cm$.
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$h = \frac{2 \times 70 \times \cos 0^{\circ}}{1 \times 980 \times 0.01} = \frac{140}{9.8} = \frac{1400}{98} = \frac{100}{7} \ cm$.
नली ऊर्ध्वाधर के साथ $30^{\circ}$ पर झुकी हुई है,जिसका अर्थ है कि क्षैतिज के साथ कोण $\alpha = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
नली के साथ पानी के स्तंभ की लंबाई $\ell$ का ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h$ से संबंध $\ell = \frac{h}{\sin \alpha}$ है।
$\alpha = 60^{\circ}$ रखने पर:
$\ell = \frac{100/7}{\sin 60^{\circ}} = \frac{100/7}{\sqrt{3}/2} = \frac{200}{7\sqrt{3}} \approx 16.49 \ cm$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) केशिकीय नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है।
जब नली पर्याप्त लंबी होती है,तो द्रव $h = 2 \ cm$ की ऊँचाई तक चढ़ता है और संपर्क कोण $\theta = 0^{\circ}$ होता है।
जब नली को इस प्रकार काटा या नीचे किया जाता है कि द्रव की सतह से उसकी लंबाई $h' = 1 \ cm$ रह जाए,तो द्रव नली के ऊपरी सिरे तक चढ़ जाएगा और संतुलन बनाए रखने के लिए अपना संपर्क कोण $\theta'$ में समायोजित कर लेगा।
चूंकि $T$,$r$,$\rho$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए $h \cos \theta = h' \cos \theta'$ होगा।
मान रखने पर: $2 \times \cos(0^{\circ}) = 1 \times \cos(\theta')$.
चूंकि $\cos(0^{\circ}) = 1$,इसलिए $2 \times 1 = \cos(\theta')$,जिसका अर्थ है $\cos(\theta') = 0.5$.
अतः,$\theta' = \cos^{-1}(0.5) = 60^{\circ}$.

(D) केशिका नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
पृष्ठ तनाव $T$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $T = \frac{h r \rho g}{2 \cos \theta}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान: $h = 10 \ cm = 0.1 \ m$,$r = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,$\rho = 10^3 \ kg/m^3$,$\theta = 0^{\circ}$,और $g = 10 \ m/s^2$ (मानक गुरुत्व मानते हुए)।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \frac{0.1 \times (2 \times 10^{-3}) \times 10^3 \times 10}{2 \times \cos(0^{\circ})}$
$T = \frac{0.1 \times 2 \times 10}{2 \times 1} = \frac{2}{2} = 1 \ N/m$.

(B) केशिका नली में जल स्तंभ की ऊंचाई $h = \frac{2S \cos \theta}{\rho rg}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,पानी $h_1 = 8 \ cm$ की ऊंचाई तक चढ़ता है,जहां संपर्क कोण $\theta_1 = 0^{\circ}$ है (पानी और कांच के लिए)।
जब नली को $h_2 = 6 \ cm$ की ऊंचाई पर काटा जाता है,तो पानी नली के ऊपरी सिरे तक भर जाएगा क्योंकि $6 \ cm < 8 \ cm$ है।
अतः,जल स्तंभ की नई ऊंचाई $6 \ cm$ होगी।
चूंकि $h \propto \cos \theta$,इसलिए $\frac{h_1}{\cos \theta_1} = \frac{h_2}{\cos \theta_2}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{8}{\cos 0^{\circ}} = \frac{6}{\cos \theta_2}$।
चूंकि $\cos 0^{\circ} = 1$,इसलिए $\cos \theta_2 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,नया संपर्क कोण $\theta_2 = \cos^{-1} \left( \frac{3}{4} \right)$ होगा।

(B) पृष्ठ तनाव के कारण द्रव स्तंभ पर लगने वाला ऊपर की ओर बल $F = (2 \pi R) T \cos \theta_C$ द्वारा दिया जाता है।
साम्यावस्था में,पृष्ठ तनाव के कारण लगने वाला बल द्रव के भार को संतुलित करता है: $(2 \pi R) T \cos \theta_C = W$.
केशिका में ऊपर चढ़ने वाले द्रव के लिए संपर्क कोण $\theta_C = 0^{\circ}$ मानते हुए,$\cos 0^{\circ} = 1$ होता है।
अतः,$T = \frac{W}{2 \pi R}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $T = \frac{6.2 \times 10^{-4}}{2 \times 3.14 \times 2 \times 10^{-3}}$.
$T = \frac{6.2 \times 10^{-4}}{12.56 \times 10^{-3}} \approx 0.04936 \,N/m \approx 5 \times 10^{-2} \,N/m$.

(C) केशिका नली में द्रव के ऊपर चढ़ने या नीचे गिरने का सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$।
दी गई मान: पृष्ठ तनाव $T = 0.465 \ N/m$,त्रिज्या $r = 1.00 \ mm = 10^{-3} \ m$,घनत्व $\rho = 13.6 \times 10^3 \ kg/m^3$,संपर्क कोण $\theta = 135^{\circ}$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \ m/s^2$।
मान रखने पर: $h = \frac{2 \times 0.465 \times \cos(135^{\circ})}{10^{-3} \times 13.6 \times 10^3 \times 9.8}$।
चूंकि $\cos(135^{\circ}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \approx -0.707$,ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि स्तर नीचे गिरेगा।
$h = \frac{2 \times 0.465 \times (-0.707)}{13.6 \times 9.8} \times 10^3 \approx -4.93 \times 10^{-3} \ m$।
$h \approx -5 \times 10^{-3} \ m = -5 \ mm$।
अतः,पारे के स्तर में गिरावट लगभग $5 \ mm$ है।

(D) केशिका उन्नयन का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g_{eff}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g_{eff}$ प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण है।
इस संबंध से,हम देखते हैं कि $h \propto \frac{1}{g_{eff}}$ है।
$A$: बृहस्पति पर,$g$ पृथ्वी की तुलना में बहुत अधिक है,इसलिए $h$ पृथ्वी की ऊँचाई से कम होगी। यह सत्य है।
$B$: एकसमान त्वरण $a$ के साथ ऊपर जा रही लिफ्ट में,$g_{eff} = g + a > g$,इसलिए $h$ पृथ्वी की ऊँचाई से कम होगी। यह सत्य है।
$C$: चंद्रमा पर,$g$ पृथ्वी की तुलना में कम है,इसलिए $h$ पृथ्वी की ऊँचाई से अधिक होगी। यह सत्य है।
$D$: एकसमान त्वरण $a$ के साथ नीचे आ रही लिफ्ट में,$g_{eff} = g - a < g$,इसलिए $h$ पृथ्वी की ऊँचाई से अधिक होगी। अतः यह कथन कि ऊँचाई $h$ से कम है,गलत है।

(C) केशिका नली में पानी के चढ़ने की ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
चूँकि अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है, इसलिए $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$, जिसका अर्थ है कि $r \propto \sqrt{A}$।
इस मान को सूत्र में रखने पर, हमें $h \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक ऊँचाई $h_1 = 20 \,mm$ और क्षेत्रफल $A_1 = A$ दिया गया है।
नए क्षेत्रफल $A_2 = \frac{A}{4}$ के लिए, नई ऊँचाई $h_2$ की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
$\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{\frac{A_1}{A_2}} = \sqrt{\frac{A}{A/4}} = \sqrt{4} = 2$।
अतः, $h_2 = 2 \times h_1 = 2 \times 20 \,mm = 40 \,mm$।
सेंटीमीटर में बदलने पर, $h_2 = 4 \,cm$ प्राप्त होता है।

(A) पृष्ठ तनाव के कारण ऊपर की ओर लगने वाला बल $(F)$ सूत्र $F = T \times L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $L$ केशिका नली की आंतरिक परिधि है।
दिया गया है: $F = 98 \text{ dyne} = 98 \times 10^{-5} \text{ N}$ (चूंकि $1 \text{ dyne} = 10^{-5} \text{ N}$)।
पृष्ठ तनाव $T = 7 \times 10^{-2} \text{ Nm}^{-1}$।
हमें परिधि $L$ ज्ञात करनी है।
सूत्र $F = T \times L$ का उपयोग करने पर,हमें $L = F / T$ प्राप्त होता है।
$L = (98 \times 10^{-5} \text{ N}) / (7 \times 10^{-2} \text{ Nm}^{-1})$।
$L = 14 \times 10^{-3} \text{ m}$।
$L = 0.014 \text{ m} = 1.4 \text{ cm}$।

(C) केशिका नली में द्रव स्तंभ की ऊंचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ केशिका की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
समान द्रव और कांच के लिए $T, \theta, \rho$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$ या $h \propto \frac{1}{d}$ होता है,जहाँ $d$ व्यास है।
माना $h_P = 2.4 \ cm$ और $d_P$ केशिका $P$ का व्यास है।
केशिका $Q$ के लिए,व्यास $d_Q = 0.80 \times d_P$ है।
संबंध $h_P d_P = h_Q d_Q$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$h_Q = h_P \times \frac{d_P}{d_Q} = 2.4 \times \frac{d_P}{0.80 \times d_P} = \frac{2.4}{0.80} = 3.0 \ cm$.
अतः,केशिका $Q$ में द्रव की ऊंचाई $3.0 \ cm$ है।

(B) केशिका नली में पानी की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ पानी का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूँकि $T, \theta, r,$ और $\rho$ स्थिर हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{g}$ है।
पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g_0$ है। अतः,$x = \frac{k}{g_0}$।
खदान में $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g_0(1 - \frac{d}{R}) = g_0(\frac{R-d}{R})$ होता है।
अतः,नई ऊँचाई $Y = \frac{k}{g_d} = \frac{k}{g_0(\frac{R-d}{R})} = \frac{k}{g_0} \cdot \frac{R}{R-d}$ है।
$x = \frac{k}{g_0}$ रखने पर,हमें $Y = x \cdot \frac{R}{R-d}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,अनुपात $Y:x = \frac{R}{R-d}$,जो कि $R:(R-d)$ है।

(B) केश नली में द्रव स्तंभ की ऊंचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि दोनों नलियों के लिए व्यास (और इसलिए त्रिज्या $r$) समान है,और संपर्क कोण $\theta$ भी समान है,इसलिए ऊंचाई $h$,$\frac{T}{\rho}$ के समानुपाती है।
अतः,ऊंचाइयों का अनुपात $\frac{h_1}{h_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right) \times \left(\frac{\rho_2}{\rho_1}\right)$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{T_1}{T_2} = \frac{6}{5}$ और $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{4}{3}$,इसलिए $\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{3}{4}$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{h_1}{h_2} = \left(\frac{6}{5}\right) \times \left(\frac{3}{4}\right) = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$ प्राप्त होता है।

(B) केश नली में द्रव स्तंभ की ऊंचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ केश नली की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $h \propto \frac{1}{g}$ है।
मान लीजिए $g_e$ पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण है और $g_m$ चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण है।
दिया गया है कि $g_e = 6g_m$,या $g_m = \frac{g_e}{6}$ है।
मान लीजिए $h_e$ पृथ्वी पर ऊंचाई है और $h_m$ चंद्रमा पर ऊंचाई है।
तब,$\frac{h_m}{h_e} = \frac{g_e}{g_m} = \frac{g_e}{g_e / 6} = 6$ है।
अतः,$h_m = 6h_e$ है।
चंद्रमा की सतह पर द्रव स्तंभ की ऊंचाई पृथ्वी की सतह की तुलना में छह गुना होगी।

(A) केशिका नली में द्रव जिस ऊँचाई $h$ तक ऊपर चढ़ता है,वह $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\rho$ घनत्व है और $r$ नली की त्रिज्या है।
चूँकि $h \propto \frac{1}{r}$,यदि त्रिज्या $\frac{r}{5}$ हो जाती है,तो नई ऊँचाई $h' = 5h$ होगी।
केशिका में पानी का द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (\pi r^2 h) \rho$ द्वारा दिया जाता है।
नई केशिका के लिए,नया द्रव्यमान $m' = \pi (r')^2 h' \rho$ होगा।
$r' = \frac{r}{5}$ और $h' = 5h$ प्रतिस्थापित करने पर:
$m' = \pi (\frac{r}{5})^2 (5h) \rho = \pi (\frac{r^2}{25}) (5h) \rho = \frac{1}{5} (\pi r^2 h \rho) = \frac{m}{5}$.

(C) केशिका नली में पानी के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है,और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से,हम देखते हैं कि $h \propto \frac{1}{r}$।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $a = \pi r^2$ है,जिसका अर्थ है $r = \sqrt{\frac{a}{\pi}}$,इसलिए $r \propto \sqrt{a}$।
अतः,$h \propto \frac{1}{\sqrt{a}}$।
मान लीजिए कि क्षेत्रफल $a_1 = a$ के लिए ऊँचाई $h_1 = h$ है और क्षेत्रफल $a_2 = 4a$ के लिए ऊँचाई $h_2$ है।
तब,$\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{\frac{a_1}{a_2}} = \sqrt{\frac{a}{4a}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
इस प्रकार,$h_2 = \frac{h}{2}$।

(A) पृष्ठ तनाव के कारण ऊपर की ओर लगने वाला बल $(F)$ सूत्र $F = T \cdot L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $L$ केशिका नली की आंतरिक परिधि है।
दिया गया है: $F = 105 \text{ dyne} = 105 \times 10^{-5} \text{ N} = 1.05 \times 10^{-3} \text{ N}$.
पृष्ठ तनाव $T = 7 \times 10^{-2} \text{ N/m}$.
हमें परिधि $L$ ज्ञात करनी है।
सूत्र $L = F / T$ का उपयोग करने पर:
$L = (1.05 \times 10^{-3} \text{ N}) / (7 \times 10^{-2} \text{ N/m})$
$L = 0.15 \times 10^{-1} \text{ m} = 0.015 \text{ m}$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $L = 0.015 \times 100 \text{ cm} = 1.5 \text{ cm}$.
अतः,केशिका नली की आंतरिक परिधि $1.5 \text{ cm}$ है।

(D) केश नली में पानी के स्तंभ की ऊंचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ केश नली की त्रिज्या है,$\rho$ पानी का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि $T, \theta, r,$ और $\rho$ स्थिर रहते हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{g}$ होता है।
अतः,$\frac{h_2}{h_1} = \frac{g_1}{g_2}$,जहाँ $g_1$ पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $g_2$ गहराई $d$ पर गुरुत्वीय त्वरण है।
गहराई $d$ पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_2 = g_1 \left(1 - \frac{d}{R}\right) = g_1 \left(\frac{R-d}{R}\right)$ होता है।
इस मान को अनुपात में रखने पर,$\frac{h_2}{h_1} = \frac{g_1}{g_1 \left(\frac{R-d}{R}\right)} = \frac{R}{R-d}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) पृष्ठ तनाव के कारण केशिका की परिधि पर कार्य करने वाला ऊपर की ओर बल $(F)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = T \times L$,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $L$ केशिका की आंतरिक परिधि है।
दिया गया है: $F = 108 \ dyne = 108 \times 10^{-5} \ N$ (चूंकि $1 \ dyne = 10^{-5} \ N$)।
दिया गया है: $T = 7.2 \times 10^{-2} \ N/m$।
हमें परिधि $L$ ज्ञात करनी है।
सूत्र $F = T \times L$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$L = F / T$
$L = (108 \times 10^{-5}) / (7.2 \times 10^{-2})$
$L = (108 / 7.2) \times 10^{-3}$
$L = 15 \times 10^{-3} \ m$
$L = 1.5 \times 10^{-2} \ m = 1.5 \ cm$।
अतः,केशिका की आंतरिक परिधि $1.5 \ cm$ है।