Capillary Tube and Capillarity Questions in Hindi

(A) केशिका नली में पानी के स्तंभ की ऊंचाई $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दिए गए तरल और नली के लिए $T$,$\rho$,$g$ और संपर्क कोण $\theta$ स्थिर हैं,इसलिए $h \cdot r = \text{स्थिरांक}$ होता है।
प्रारंभ में,$h_1 = 8 \ cm$ है। जब नली को इस प्रकार नीचे धकेला जाता है कि जल स्तर से ऊपर की ऊंचाई $h_2 = 5 \ cm$ हो जाती है,तो पानी बाहर नहीं बहता है क्योंकि मेनिस्कस की वक्रता त्रिज्या $R$ संतुलन स्थिति को बनाए रखने के लिए समायोजित हो जाती है।
विशेष रूप से,$h_1 r_1 = h_2 R_2$,जहाँ $R_2$ मेनिस्कस की नई त्रिज्या है।
जैसे ही $h$,$8 \ cm$ से घटकर $5 \ cm$ हो जाता है,दबाव संतुलन बनाए रखने के लिए मेनिस्कस की त्रिज्या $R$ बढ़ जाती है।
इसलिए,पानी बाहर नहीं बहता है; यह केवल अपने मेनिस्कस के आकार को समायोजित करता है।

(C) केशिका नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$d$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
पानी के लिए,घनत्व $d$,$4^{\circ}C$ पर अधिकतम होता है।
चूंकि ऊँचाई $h$,घनत्व $d$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(h \propto \frac{1}{d})$,इसलिए जब घनत्व $d$ अधिकतम होगा,तो ऊँचाई $h$ न्यूनतम होगी।
अतः,केशिका नली में पानी जिस ऊँचाई तक ऊपर चढ़ेगा,वह $4^{\circ}C$ पर न्यूनतम होगी।

(C) केशिका नली में द्रव की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$r$ त्रिज्या है,$d$ घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $\theta$ संपर्क कोण है।
पृष्ठ तनाव के लिए सूत्र: $T = \frac{hrdg}{2 \cos \theta}$.
पानी $(1)$ और पारे $(2)$ के लिए: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{h_1}{h_2} \times \frac{d_1}{d_2} \times \frac{\cos \theta_2}{\cos \theta_1}$.
दिया गया है: $h_1 = 10 \text{ cm}$,$h_2 = 3.112 \text{ cm}$ (अवनमन),$d_1 = 1 \text{ g/cm}^3$,$d_2 = 13.6 \text{ g/cm}^3$,$\theta_1 = 0^o$,$\theta_2 = 135^o$.
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{10}{3.112} \times \frac{1}{13.6} \times \frac{\cos(135^o)}{\cos(0^o)} = \frac{10}{3.112 \times 13.6} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \approx \frac{1}{6}$.

(C) केशिका नली में तरल स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र: $h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$ है।
यहाँ,$T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ केशिका की त्रिज्या है,$d$ तरल का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूँकि केशिका नली समान है,इसलिए $r$ और $g$ स्थिर हैं। अतः,$h \propto \frac{T \cos \theta}{d}$।
पहले तरल (पानी) के लिए: $h_1 = 6 \text{ cm}$,$T_1 = 70 \text{ dynes/cm}$,$\theta_1 = 0^\circ$,$d_1 = 1 \text{ g/cm}^3$।
दूसरे तरल के लिए: $T_2 = 140 \text{ dynes/cm}$,$\theta_2 = 60^\circ$,$d_2 = 2 \text{ g/cm}^3$।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{h_2}{h_1} = \frac{T_2}{T_1} \times \frac{\cos \theta_2}{\cos \theta_1} \times \frac{d_1}{d_2}$।
मान रखने पर: $\frac{h_2}{6} = \frac{140}{70} \times \frac{\cos 60^\circ}{\cos 0^\circ} \times \frac{1}{2}$।
$\frac{h_2}{6} = 2 \times \frac{0.5}{1} \times 0.5 = 2 \times 0.25 = 0.5$।
अतः,$h_2 = 6 \times 0.5 = 3 \text{ cm}$।

(D) केशिका नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ होता है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $h \propto \frac{1}{r}$ है।
यदि त्रिज्या $r$ को आधा कर दिया जाए $(r' = r/2)$,तो नई ऊँचाई $h'$ का मान $h' = \frac{2T \cos \theta}{(r/2) \rho g} = 2h$ होगा।
अतः,द्रव स्तंभ की ऊँचाई दोगुनी हो जाती है,न कि चार गुना।
इसलिए,कथन $(d)$ असत्य है।

(B) केशनली में पानी का चढ़ना $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दिया जाता है। जब नली को $h' = 12 \,cm$ की ऊँचाई पर काटा जाता है,जो कि प्राकृतिक ऊँचाई $16.3 \,cm$ से कम है,तो पानी बाहर नहीं छलकेगा। इसके बजाय,मेनिस्कस की वक्रता त्रिज्या $R$ खुद को इस प्रकार समायोजित कर लेगी कि $h' = \frac{2T \cos \theta'}{R \rho g} = 12 \,cm$ हो जाए। अतः,पानी केवल कटी हुई नली के ऊपरी सिरे तक चढ़ेगा और वहीं स्थिर रहेगा,जिससे एक बड़ी वक्रता त्रिज्या वाला मेनिस्कस बनेगा।

(C) एक वक्र तरल सतह पर दबाव का अंतर यंग-लाप्लास समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\Delta P = \frac{2T}{R}$,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $R$ मेनिस्कस की वक्रता त्रिज्या है।
जब केश नली को उसकी प्रारंभिक स्थिति से $h$ ऊंचाई तक ऊपर उठाया जाता है,तो मेनिस्कस स्तर पर दबाव का संतुलन इस प्रकार है: $P_0 - \frac{2T}{R} = P_0 - \rho gh$,जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है,$\rho$ तरल का घनत्व है,और $g$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है।
इसे सरल करने पर,हमें मिलता है: $\frac{2T}{R} = \rho gh$,जिसका अर्थ है $R = \frac{2T}{\rho gh}$।
यह दर्शाता है कि $R$,$h$ के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $R \propto \frac{1}{h}$।
जैसे-जैसे नली को ऊपर उठाया जाता है ($h$ बढ़ता है),मेनिस्कस की वक्रता त्रिज्या $R$ तब तक बढ़ती है जब तक कि वह नली की त्रिज्या $r$ तक नहीं पहुँच जाती,जिस बिंदु पर तरल मेनिस्कस अलग हो जाता है या ऊंचाई संतुलन केशिका ऊंचाई तक पहुँच जाती है। $R \propto \frac{1}{h}$ को दर्शाने वाला ग्राफ एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) है। दिए गए विकल्पों में से,जो ग्राफ $h$ के बढ़ने के साथ $R$ के घटने को दर्शाता है,वह विकल्प $C$ द्वारा प्रदर्शित है।

(B) दिया गया संबंध $T = \frac{rhg}{2} \times 10^3$ है।
चूंकि $r = D/2$,$r$ में सापेक्ष त्रुटि $D$ में सापेक्ष त्रुटि के समान है,अर्थात $\frac{\Delta r}{r} = \frac{\Delta D}{D}$।
$D$ और $h$ दोनों के लिए अल्पतमांक $\Delta D = \Delta h = 0.01 \times 10^{-2} \; m$ है।
$T$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta T}{T} = \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta h}{h}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{0.01 \times 10^{-2}}{1.25 \times 10^{-2}} + \frac{0.01 \times 10^{-2}}{1.45 \times 10^{-2}} = \frac{0.01}{1.25} + \frac{0.01}{1.45}$।
प्रतिशत त्रुटि $= \left( \frac{0.01}{1.25} + \frac{0.01}{1.45} \right) \times 100 = \frac{1}{1.25} + \frac{1}{1.45} = 0.8 + 0.6896 \approx 1.5 \%$।
अतः,पृष्ठ तनाव में संभावित त्रुटि $1.5 \%$ है।

(B) केश नली में पानी के स्तंभ की ऊंचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
जब पूरी व्यवस्था को मुक्त रूप से गिरती हुई लिफ्ट में रखा जाता है,तो गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g_{eff} = g - a$ हो जाता है। चूंकि लिफ्ट मुक्त रूप से गिर रही है,$a = g$,इसलिए $g_{eff} = 0$ होता है।
जैसे-जैसे $g_{eff} \to 0$ होता है,ऊंचाई $h$ अनंत की ओर प्रवृत्त होती है $(h \propto 1/g_{eff})$।
हालाँकि,पानी का स्तंभ केश नली की भौतिक लंबाई से अधिक नहीं हो सकता है।
इसलिए,पानी केश नली की पूरी लंबाई तक भर जाएगा,जो $20 \ cm$ है।

(B) केशिका नली में द्रव का व्यवहार द्रव और नली की सतह के बीच के संपर्क कोण $\theta$ पर निर्भर करता है।
जो द्रव सतह को भिगोते हैं (जैसे पानी),उनके लिए संपर्क कोण न्यून कोण $(\theta < 90^{\circ})$ होता है,जिसके परिणामस्वरूप केशिका उन्नयन (capillary rise) होता है।
जो द्रव सतह को नहीं भिगोते हैं (जैसे पारा),उनके लिए संपर्क कोण अधिक कोण $(\theta > 90^{\circ})$ होता है।
चूंकि पारा कांच के साथ अधिक कोण बनाता है,इसलिए पारे के अणुओं के बीच ससंजक बल (cohesive force),पारे और कांच के बीच के आसंजक बल (adhesive force) से अधिक मजबूत होता है।
परिणामस्वरूप,केशिका नली में पारे का स्तर पात्र में पारे के स्तर से नीचे चला जाता है,जिसे केशिका अवनमन (capillary depression) कहा जाता है।

(D) केशिका नली में द्रव के स्तर में परिवर्तन (ऊँचाई या अवनमन) का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
पानी के लिए: $h_w = 10 \ cm$,$\theta_w = 0^o$,$\rho_w = 1 \ g/cc$,$T_w$ पानी का पृष्ठ तनाव है।
पारे के लिए: $h_m = -3.42 \ cm$ (अवनमन),$\theta_m = 135^o$,$\rho_m = 13.6 \ g/cc$,$T_m$ पारे का पृष्ठ तनाव है।
अनुपात लेने पर: $\frac{h_w}{h_m} = \frac{T_w \cos \theta_w}{T_m \cos \theta_m} \times \frac{\rho_m}{\rho_w}$.
मान रखने पर: $\frac{10}{-3.42} = \frac{T_w \cos 0^o}{T_m \cos 135^o} \times \frac{13.6}{1}$.
चूँकि $\cos 0^o = 1$ और $\cos 135^o = -\frac{1}{\sqrt{2}} \approx -0.707$ है:
$\frac{10}{-3.42} = \frac{T_w}{T_m \times (-0.707)} \times 13.6$.
$\frac{T_w}{T_m} = \frac{10 \times (-0.707)}{-3.42 \times 13.6} = \frac{-7.07}{-46.512} \approx 0.152$.
$0.152 \approx \frac{1}{6.58}$. अतः,अनुपात लगभग $1:6.5$ है।

(B) केशिका नली में पानी जिस ऊँचाई तक चढ़ता है,वह $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
जब नली को $h' = 12 \, cm$ की ऊँचाई पर (जो मूल ऊँचाई $h = 16.3 \, cm$ से कम है) काटा जाता है,तो पानी नली के ऊपरी सिरे तक चढ़ जाएगा।
यह बाहर नहीं छलकेगा क्योंकि मेनिस्कस की वक्रता त्रिज्या $h \cdot R = \text{स्थिरांक}$ की शर्त को पूरा करने के लिए समायोजित हो जाएगी।
विशेष रूप से,मेनिस्कस अधिक उत्तल हो जाएगा (वक्रता त्रिज्या $R$ बढ़ जाएगी) ताकि $12 \, cm$ की नई ऊँचाई पर दबाव का संतुलन बना रहे।
इसलिए,पानी बिना छलके $12 \, cm$ की ऊँचाई पर नली के ऊपरी सिरे पर स्थिर रहेगा।

(B) ऊर्ध्वाधर केशिका नली में पानी जिस ऊँचाई $h$ तक चढ़ता है,वह $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है।
जब केशिका नली को ऊर्ध्वाधर के साथ $\alpha$ कोण पर झुकाया जाता है,तो ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ स्थिर रहती है क्योंकि यह पृष्ठ तनाव और नली की त्रिज्या पर निर्भर करती है।
यदि $l$ झुकी हुई नली में पानी के स्तंभ की लंबाई है,तो ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h = l \cos \alpha$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $h = 2.0\ cm$ और $\alpha = 60^o$ दिया गया है,इसलिए:
$l = \frac{h}{\cos \alpha} = \frac{2.0}{\cos 60^o} = \frac{2.0}{0.5} = 4.0\ cm$.

(B) अवतल मेनिस्कस के कारण प्लेटों के बीच तरल स्तंभ के अंदर का दबाव वायुमंडलीय दबाव $P_0$ से कम होता है।
मेनिस्कस के नीचे $y$ गहराई पर दबाव $P(y) = P_0 - \frac{2T}{d} + \rho gy$ है।
बाहर और अंदर के बीच औसत दबाव का अंतर $\Delta P_{avg} = \frac{1}{h} \int_0^h (P_0 - P(y)) dy = \frac{1}{h} \int_0^h (\frac{2T}{d} - \rho gy) dy = \frac{2T}{d} - \frac{\rho gh}{2}$ है।
चूंकि पानी के ऊपर चढ़ने की ऊंचाई $h = \frac{2T}{\rho gd}$ है,इसलिए हम इसे $\Delta P_{avg}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\Delta P_{avg} = \frac{2T}{d} - \frac{\rho g}{2} (\frac{2T}{\rho gd}) = \frac{2T}{d} - \frac{T}{d} = \frac{T}{d}$।
आकर्षण बल $F$ औसत दबाव अंतर और डूबी हुई प्लेटों के क्षेत्रफल $(l \times h)$ का गुणनफल है:
$F = \Delta P_{avg} \times l \times h = (\frac{T}{d}) \times l \times (\frac{2T}{\rho gd}) = \frac{2T^2l}{\rho gd^2}$।

(A) $r$ त्रिज्या वाली केशिका नली में मेनिस्कस के ठीक नीचे का दबाव $P = P_0 - \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है और $T$ पृष्ठ तनाव है।
$R = 2.5 \, mm = 2.5 \times 10^{-3} \, m$ और $r = 1 \, mm = 1 \times 10^{-3} \, m$ त्रिज्या वाली दो नलियों के लिए,द्रव में समान क्षैतिज स्तर $E$ पर दबाव समान होता है।
मान लीजिए $h$ द्रव के स्तरों के बीच का अंतर है। चौड़ी नली में मेनिस्कस के स्तर पर दबाव $P_B = P_0 - \frac{2T}{R}$ है।
संकीर्ण नली में उसी स्तर पर दबाव $P_E = P_0 - \frac{2T}{r} + h \rho g$ है।
दबाव को बराबर करने पर: $P_0 - \frac{2T}{R} = P_0 - \frac{2T}{r} + h \rho g$.
$h$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $h = \frac{2T}{\rho g} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $h = \frac{2 \times 7 \times 10^{-2}}{10^3 \times 10} \left( \frac{1}{1 \times 10^{-3}} - \frac{1}{2.5 \times 10^{-3}} \right)$.
$h = \frac{14 \times 10^{-2}}{10^4} \times 10^3 \left( 1 - \frac{1}{2.5} \right) = 14 \times 10^{-3} \times (1 - 0.4) = 14 \times 10^{-3} \times 0.6 = 8.4 \times 10^{-3} \, m = 8.4 \, mm$.

(A) केश नली में द्रव जिस ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ तक चढ़ता है,वह $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है।
यह ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ केवल द्रव के गुणों और केश नली की त्रिज्या पर निर्भर करती है,जो नली के झुकाव से अपरिवर्तित रहती है।
जब नली को ऊर्ध्वाधर से $\alpha = 60^{\circ}$ के कोण पर झुकाया जाता है,तो नली के अंदर पानी के स्तंभ की लंबाई $l$ और ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ के बीच संबंध $h = l \cos \alpha$ होता है।
यहाँ $h = 2\, cm$ और $\alpha = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $2 = l \cos 60^{\circ}$।
चूँकि $\cos 60^{\circ} = 0.5$,इसलिए $2 = l \times 0.5$।
अतः,$l = \frac{2}{0.5} = 4\, cm$।

(D) केशिका उन्नयन का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$ है।
यहाँ,$h = 5\,cm$,$r = 0.2\,cm$,$\theta = 60^o$,$d = 1\,gm/cm^3$,और $g = 980\,cm/s^2$ है।
पृष्ठ तनाव $T$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$T = \frac{hrdg}{2 \cos \theta}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $T = \frac{5 \times 0.2 \times 1 \times 980}{2 \times \cos 60^o}$.
चूँकि $\cos 60^o = 0.5$,इसलिए $T = \frac{5 \times 0.2 \times 980}{2 \times 0.5}$.
$T = \frac{1 \times 980}{1} = 980\,dynes/cm$.

(C) कांच की छड़ और केशिका नली के बीच के वलयाकार स्थान की प्रभावी त्रिज्या उनकी त्रिज्याओं के अंतर द्वारा दी जाती है: $r_{eff} = r_2 - r_1 = 2.0\,mm - 1.0\,mm = 1.0\,mm = 1.0 \times 10^{-3}\,m$.
वलयाकार स्थान में केशिका वृद्धि के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए: $h = \frac{2T}{\rho g r_{eff}}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $T = 75 \times 10^{-3}\,N/m$,$\rho = 10^3\,kg/m^3$,$g = 10\,m/s^2$,और $r_{eff} = 1.0 \times 10^{-3}\,m$.
$h = \frac{2 \times 75 \times 10^{-3}}{10^3 \times 10 \times 1.0 \times 10^{-3}} = \frac{150 \times 10^{-3}}{10} = 15 \times 10^{-3}\,m$.
मिलीमीटर में बदलने पर: $h = 15\,mm$.

(C) केशिका नली में तरल स्तंभ की ऊँचाई आरोहण सूत्र द्वारा दी जाती है:
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$
जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ तरल का घनत्व है,और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
पानी और साबुन के घोल दोनों के लिए,मेनिस्कस ऊपर की ओर अवतल होता है,जिसका अर्थ है कि संपर्क कोण $\theta$ न्यून कोण $(< 90^{\circ})$ है,इसलिए $\cos \theta$ धनात्मक है।
साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव $(T)$ शुद्ध पानी की तुलना में काफी कम होता है।
चूंकि $h \propto T$,साबुन के घोल वाली केशिका नली $(B)$ में तरल स्तंभ की ऊँचाई पानी वाली केशिका नली $(A)$ की ऊँचाई से कम होगी।
इसलिए,नली $(A)$ में पानी का स्तंभ नली $(B)$ में साबुन के घोल के स्तंभ से अधिक ऊँचाई तक उठेगा और दोनों में मेनिस्कस अवतल होगा।

(D) जब उंगली हटा दी जाती है,तो पानी के स्तंभ को ऊपरी और निचले दोनों मेनिस्कस (meniscus) पर लगने वाले पृष्ठ तनाव बलों द्वारा सहारा मिलता है।
पृष्ठ तनाव के कारण कुल ऊपर की ओर बल $F_{up} = 2 \pi r T + 2 \pi r T = 4 \pi r T$ है।
पानी के स्तंभ के वजन के कारण नीचे की ओर बल $F_{down} = Mg = V \rho g = \pi r^2 h \rho g$ है।
संतुलन के लिए,$F_{up} = F_{down}$,इसलिए $4 \pi r T = \pi r^2 h \rho g$।
ऊंचाई $h$ के लिए हल करने पर,हमें $h = \frac{4 T}{r \rho g}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $T = 70 \,\, dyne/cm$,$r = 1 \,\, mm = 0.1 \,\, cm$,$\rho = 1 \,\, g/cm^3$,और $g = 980 \,\, cm/sec^2$:
$h = \frac{4 \times 70}{0.1 \times 1 \times 980} = \frac{280}{98} = 2.857 \approx 2.86 \,\, cm$।
अतः,केवल $2.86 \,\, cm$ पानी केशिका में रहेगा और बाकी नीचे गिर जाएगा।

(B) केशिका नली में द्रव के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$,जहाँ:
$T$ द्रव का पृष्ठ तनाव है,
$\theta$ संपर्क कोण है,
$r$ केशिका नली की त्रिज्या है,
$\rho$ द्रव का घनत्व है,
$g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से स्पष्ट है कि ऊँचाई $h$,$T, \theta, r, \rho,$ और $g$ पर निर्भर करती है।
यह वायुमंडलीय दाब पर निर्भर नहीं करती है।

(A) मिश्रण का घनत्व $(\rho_{\text{mix}})$ इस प्रकार ज्ञात किया जाता है: $\rho_{\text{mix}} = \frac{\text{कुल द्रव्यमान}}{\text{कुल आयतन}} = \frac{m + m}{\frac{m}{0.8} + \frac{m}{1}} = \frac{2m}{1.25m + m} = \frac{2}{2.25} = \frac{200}{225} = \frac{8}{9} \, g/cm^3$.
केशिका उन्नयन का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है। संपर्क कोण $\theta = 0^\circ$ $(\cos 0^\circ = 1)$ मानते हुए:
$T = \frac{h r \rho g}{2}$.
दिया गया है: $h = 5 \, cm$, $r = 1 \, mm = 0.1 \, cm$, $\rho = \frac{8}{9} \, g/cm^3$, और $g = 980 \, cm/s^2$.
$T = \frac{5 \times 0.1 \times (8/9) \times 980}{2}$.
$T = \frac{0.5 \times 8 \times 980}{18} = \frac{4 \times 980}{18} = \frac{3920}{18} \approx 217.77 \, dyne/cm$.
निकटतम विकल्प के अनुसार, मान $217.9 \, dyne/cm$ है।

(A) केशिका नली में द्रव जिस ऊँचाई $h$ तक चढ़ता है,वह निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$
जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $h \propto \frac{1}{r}$,जिसका अर्थ है कि $h_1 r_1 = h_2 r_2$।
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात इस प्रकार होगा:
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{h_2}{h_1}$
यहाँ $h_1 = 6.6\,cm$ और $h_2 = 2.2\,cm$ दिया गया है:
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{2.2}{6.6} = \frac{1}{3}$
इस प्रकार,त्रिज्याओं का अनुपात $1:3$ है।

(A) केशिका नली पर कार्य करने वाले बल इसका भार $(mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है और पृष्ठ तनाव के कारण ऊपर की ओर लगने वाला बल $(F_s)$ है जो द्रव-वायु इंटरफेस पर नली की परिधि के साथ कार्य करता है।
दिया गया है:
नली का द्रव्यमान $m = \pi \,g = \pi \times 10^{-3} \,kg$.
त्रिज्या $r = 2\,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$.
पृष्ठ तनाव $T = 0.1\,N/m$.
संपर्क कोण $\theta = 0^\circ$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$.
नली का भार $W = mg = (\pi \times 10^{-3}) \times 10 = 10\pi \times 10^{-3} \,N = 10\pi \,mN$.
पृष्ठ तनाव के कारण बल $F_s = T \times (2\pi r) \times \cos(\theta)$.
चूंकि $\theta = 0^\circ$,$\cos(0^\circ) = 1$.
$F_s = 0.1 \times 2\pi \times (2 \times 10^{-3}) = 0.4\pi \times 10^{-3} \,N = 0.4\pi \,mN$.
नली को संतुलन में रखने के लिए,ऊपर की ओर लगाया गया बाहरी बल $F$ इस प्रकार होना चाहिए:
$F = W + F_s = 10\pi \,mN + 0.4\pi \,mN = 10.4\pi \,mN$.

(A) केश नली में पानी के स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ पानी का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूँकि $T, \theta, r,$ और $\rho$ स्थिरांक हैं,इसलिए ऊँचाई $h$ गुरुत्वीय त्वरण $g$ के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $h \propto \frac{1}{g}$।
पृथ्वी की सतह पर ऊँचाई $x = \frac{k}{g}$ है,जहाँ $k = \frac{2T \cos \theta}{r \rho}$।
खदान में $d$ गहराई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g' = g \left( 1 - \frac{d}{R} \right)$ हो जाता है।
नई ऊँचाई $y = \frac{k}{g'} = \frac{k}{g \left( 1 - \frac{d}{R} \right)}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{x}{y} = \frac{k/g}{k / [g(1 - d/R)]} = 1 - \frac{d}{R}$ होगा।

(B) केशिका नली में द्रव के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ केशिका की त्रिज्या है,$d$ घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
कथन-$II$ सत्य है क्योंकि तापमान बढ़ने के साथ द्रव का पृष्ठ तनाव $T$ सामान्यतः घटता है।
सूत्र के अनुसार,चूँकि $h \propto T$,यदि तापमान बढ़ने पर पृष्ठ तनाव $T$ घटता है,तो द्रव के चढ़ने की ऊँचाई $h$ भी घटनी चाहिए।
अतः,कथन-$I$ असत्य है क्योंकि यह दावा करता है कि तापमान के साथ ऊँचाई $h$ बढ़ती है,जबकि वास्तव में यह घटती है।

(C) संपर्क कोण $\theta$ का निर्धारण संबंध $\cos \theta = \frac{T_{SA} - T_{SL}}{T_{LA}}$ द्वारा किया जाता है,जहाँ $T_{SA}$,$T_{SL}$ और $T_{LA}$ क्रमशः ठोस-वायु,ठोस-द्रव और द्रव-वायु अंतरापृष्ठ के पृष्ठ तनाव हैं।
साधारण कांच की केशिका के लिए,पानी सतह को गीला करता है,जिसके परिणामस्वरूप न्यून कोण $(\theta < 90^{\circ})$ प्राप्त होता है और केशिका में पानी ऊपर चढ़ता है $(h > 0)$।
जब आंतरिक दीवार पर मोम की परत लगाई जाती है,तो सतह हाइड्रोफोबिक हो जाती है। मोम वाली सतह पर पानी के लिए,पानी और मोम के बीच का आसंजक बल पानी के ससंजक बल से कमजोर होता है। इससे पृष्ठ तनाव का संबंध ऐसा हो जाता है कि $\cos \theta$ ऋणात्मक हो जाता है।
परिणामस्वरूप,संपर्क कोण $\theta$ बढ़कर अधिक कोण $(90^{\circ} < \theta < 180^{\circ})$ हो जाता है।
चूंकि केशिका में ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,इसलिए जब $\theta > 90^{\circ}$ होता है,तो $\cos \theta$ ऋणात्मक हो जाता है,जिसका अर्थ है कि केशिका नली में द्रव का स्तर बाहरी स्तर की तुलना में नीचे गिर जाता है। अतः,$h$ घट जाता है।

(D) केशनली में द्रव के ऊपर चढ़ने की ऊँचाई $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho rg}$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि $T, \theta, \rho,$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$ होता है।
जब त्रिज्या $2r$ हो जाती है,तो नई ऊँचाई $h' = h/2$ हो जाती है।
केशनली में द्रव का द्रव्यमान $M = \pi r^2 h \rho$ है।
नई नली के लिए,द्रव्यमान $M' = \pi (2r)^2 h' \rho$ होगा।
$h' = h/2$ रखने पर,हमें $M' = \pi (4r^2) (h/2) \rho = 2 \pi r^2 h \rho = 2M$ प्राप्त होता है।

(D) केशिका नली में द्रव के चढ़ने या गिरने की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2S \cos \theta}{r \rho g}$ है।
पारे के लिए $(1)$: $h = \frac{2S_1 \cos \theta_1}{r_1 \rho_1 g}$.
पानी के लिए $(2)$: $h = \frac{2S_2 \cos \theta_2}{r_2 \rho_2 g}$.
चूंकि $h$ का मान समान है,इसलिए: $\frac{2S_1 \cos \theta_1}{r_1 \rho_1 g} = \frac{2S_2 \cos \theta_2}{r_2 \rho_2 g}$.
अनुपात $\frac{r_1}{r_2}$ के लिए हल करने पर: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{S_1}{S_2} \cdot \frac{\rho_2}{\rho_1} \cdot \frac{\cos \theta_1}{\cos \theta_2}$.
दिया गया है: $\frac{S_1}{S_2} = 7.5$,$\frac{\rho_1}{\rho_2} = 13.6 \Rightarrow \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{1}{13.6}$,$\theta_1 = 135^o$,$\theta_2 = 0^o$.
$\cos 135^o = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos 0^o = 1$.
केवल परिमाण लेने पर: $\frac{r_1}{r_2} = 7.5 \times \frac{1}{13.6} \times \frac{1/\sqrt{2}}{1} \approx 0.39$.
यह मान $2/5 = 0.4$ के करीब है।

(C) $r$ त्रिज्या वाली ट्यूब में केशिका उन्नयन $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g r}$ द्वारा दिया जाता है।
पानी के लिए,संपर्क कोण $\theta \approx 0^\circ$ है,इसलिए $\cos \theta = 1$ है।
$r_1$ और $r_2$ त्रिज्या वाली भुजाओं वाली $U$-ट्यूब में स्तरों का अंतर $\Delta h = h_1 - h_2 = \frac{2T}{\rho g} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$ है।
दिया गया है: $T = 0.07\,N/m$,$\Delta h = 3.6\,cm = 3.6 \times 10^{-2}\,m$,$\rho = 1000\,kg/m^3$,$g = 9.8\,m/s^2$,और $d_1 = 0.4\,mm = 0.4 \times 10^{-3}\,m$ (इसलिए $r_1 = 0.2 \times 10^{-3}\,m$)।
मान रखने पर: $3.6 \times 10^{-2} = \frac{2 \times 0.07}{1000 \times 9.8} \left( \frac{1}{0.2 \times 10^{-3}} - \frac{1}{r_2} \right)$.
$3.6 \times 10^{-2} = \frac{0.14}{9800} \left( 5000 - \frac{1}{r_2} \right)$.
$r_2$ के लिए हल करने पर,हमें $r_2 = 4 \times 10^{-3}\,m$ प्राप्त होता है।
चूंकि $d = 2r_2$,इसलिए $d = 8 \times 10^{-3}\,m$।

(D) पृष्ठ तनाव के कारण ऊपर की ओर लगने वाला बल $F = T \times L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ केशिका नली की परिधि है $(L = 2 \pi r)$।
यह दिया गया है कि ऊपर की ओर लगने वाला बल पानी के भार को संतुलित करता है,इसलिए:
$T \times (2 \pi r) = \text{पानी का भार}$
$T \times L = 75 \times 10^{-4} \ N$
पृष्ठ तनाव $T = 12 \times 10^{-2} \ N/m$ का मान रखने पर:
$(12 \times 10^{-2}) \times L = 75 \times 10^{-4}$
$L = \frac{75 \times 10^{-4}}{12 \times 10^{-2}}$
$L = 6.25 \times 10^{-2} \ m$
अतः,केशिका नली की आंतरिक परिधि $6.25 \times 10^{-2} \ m$ है।

(A) $r$ त्रिज्या वाली केशनली में द्रव का उन्नयन $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho rg}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
पहली भुजा के लिए जिसकी त्रिज्या $r_1$ है,केशिकत्व उन्नयन $h_1 = \frac{2T \cos 0^o}{\rho r_1 g} = \frac{2T}{\rho r_1 g}$ है।
दूसरी भुजा के लिए जिसकी त्रिज्या $r_2$ है,केशिकत्व उन्नयन $h_2 = \frac{2T \cos 0^o}{\rho r_2 g} = \frac{2T}{\rho r_2 g}$ है।
दोनों भुजाओं के बीच स्तर का अंतर $h = h_1 - h_2$ है।
$h_1$ और $h_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $h = \frac{2T}{\rho g} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$.
कोष्ठक में पद को सरल करने पर: $h = \frac{2T}{\rho g} \left( \frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2} \right)$.
पृष्ठ तनाव $T$ के लिए हल करने पर: $T = \frac{h \rho g r_1 r_2}{2(r_2 - r_1)}$.

(B) दिया गया है: केशिका की त्रिज्या $r = 2.5 \times 10^{-5} \, m$,पृष्ठ तनाव $S = 7.28 \times 10^{-2} \, N \, m^{-1}$,संपर्क कोण $\theta = 0^{\circ}$,घनत्व $\rho = 10^3 \, kg \, m^{-3}$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m \, s^{-2}$।
केशिका उन्नयन की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2 S \cos \theta}{r \rho g}$ है।
मान रखने पर:
$h = \frac{2 \times (7.28 \times 10^{-2}) \times \cos 0^{\circ}}{(2.5 \times 10^{-5}) \times 10^3 \times 9.8}$.
चूंकि $\cos 0^{\circ} = 1$:
$h = \frac{14.56 \times 10^{-2}}{2.5 \times 10^{-2} \times 9.8} = \frac{14.56}{24.5} \approx 0.594 \, m$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,ऊँचाई $0.59 \, m$ है।

(C) $r$ त्रिज्या वाली केशिका नली में पानी जिस ऊँचाई $h$ तक चढ़ता है,वह $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है।
केशिका नली में पानी का द्रव्यमान $m = V \rho = (\pi r^2 h) \rho$ होता है।
$h$ का मान रखने पर:
$m = \pi r^2 \left( \frac{2T \cos \theta}{r \rho g} \right) \rho = \frac{2 \pi r T \cos \theta}{g}$.
इस समीकरण से स्पष्ट है कि $m \propto r$ है।
दूसरी केशिका नली के लिए जिसकी त्रिज्या $r' = 2r$ है,द्रव्यमान $m'$ होगा:
$\frac{m'}{m} = \frac{r'}{r} = \frac{2r}{r} = 2$.
अतः,$m' = 2m = 2 \times 5 \, g = 10 \, g$.

(D) केश नली में पानी के स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
मुक्त रूप से गिरती हुई लिफ्ट में,गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g_{eff}$ शून्य $(0)$ हो जाता है।
जैसे ही $g_{eff} \to 0$ होता है,ऊँचाई $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g_{eff}}$ अनंत की ओर प्रवृत्त होती है।
हालाँकि,पानी का स्तंभ भौतिक रूप से केश नली की लंबाई द्वारा सीमित है।
इसलिए,पानी केश नली की पूरी लंबाई तक ऊपर चढ़ जाएगा,जो कि $20\, cm$ है।

(A) केशिका नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र इस प्रकार है:
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$
जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ केशिका की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से स्पष्ट है कि $h \propto \frac{1}{g}$।
चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण $g_m = \frac{g}{6}$ होता है,जहाँ $g$ पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण है।
इसलिए,चंद्रमा पर नई ऊँचाई $h'$ होगी:
$h' = \frac{2T \cos \theta}{r \rho (g/6)} = 6 \times \left( \frac{2T \cos \theta}{r \rho g} \right) = 6h$।
अतः,चंद्रमा पर पानी $6h$ ऊँचाई तक चढ़ेगा।

(C) केशिका नली में द्रव जिस ऊँचाई तक चढ़ता है,वह $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ सूत्र द्वारा दी जाती है। यह ऊँचाई $h$ पृष्ठ तनाव बलों और द्रव स्तंभ के वजन के बीच संतुलन द्वारा निर्धारित होती है। यदि नली की भौतिक लंबाई $h$ से कम है,तो द्रव नली के ऊपरी सिरे तक चढ़ जाएगा। ऊपरी सिरे पर,मेनिस्कस की वक्रता त्रिज्या इस प्रकार समायोजित हो जाएगी कि नई ऊँचाई $h'$ नली की लंबाई के बराबर हो जाए। द्रव बाहर नहीं बहेगा क्योंकि संपर्क कोण $\theta$ संतुलन स्थिति $h' = \frac{2T \cos \theta'}{r \rho g}$ को संतुष्ट करने के लिए बढ़ जाएगा,जहाँ $\theta' > \theta$ है। इस प्रकार,पानी बिना बाहर बहे ऊपरी सिरे पर ही स्थिर रहता है।

(B) केशिका नली में द्रव की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है। पानी के लिए संपर्क कोण $\theta = 0^\circ$ मानते हुए,सूत्र $h = \frac{2T}{r \rho g}$ हो जाता है।
त्रिज्या $r$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$r = \frac{2T}{h \rho g}$ प्राप्त होता है।
दी गई मान:
$T = 73 \times 10^{-3}\, N/m$
$h = 10\, cm = 0.1\, m$
$\rho = 10^3\, kg/m^3$
$g = 9.8\, m/s^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$r = \frac{2 \times 73 \times 10^{-3}}{0.1 \times 10^3 \times 9.8}$
$r = \frac{0.146}{98} \approx 0.00149\, m = 0.149\, cm$.
गणना के अनुसार,विकल्प $B$ $(0.015\, cm)$ सही उत्तर है।

(B) कांच की केशिका नली में पानी के लिए,संपर्क कोण न्यून होता है,जिसके परिणामस्वरूप अवतल मेनिस्कस बनता है।
पानी के स्तंभ के वजन को संतुलित करने के लिए,पृष्ठ तनाव के कारण शुद्ध बल ऊपर की ओर कार्य करना चाहिए।
यदि ऊपर की सतह अवतल है,तो पृष्ठ तनाव बल ऊपर की ओर कार्य करता है।
यदि नीचे की सतह उत्तल है,तो पृष्ठ तनाव बल भी ऊपर की ओर कार्य करता है।
इस प्रकार,पानी के स्तंभ को सहारा देने के लिए ऊपर की सतह का अवतल और नीचे की सतह का उत्तल होना आवश्यक है,ताकि शुद्ध बल ऊपर की ओर प्राप्त हो सके।

(D) जब एक केशनली को ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर झुकाया जाता है,तो द्रव स्तंभ की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ स्थिर रहती है क्योंकि यह केवल पृष्ठ तनाव,नली की त्रिज्या और द्रव के घनत्व पर निर्भर करती है।
यदि $l$ झुकी हुई केशनली में जल स्तंभ की लंबाई है,तो ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h = l \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\theta = 45^o$ और ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ दी गई है,इसलिए:
$h = l \cos 45^o$
$h = l \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$l = h\sqrt{2}$
अतः,झुकी हुई केशनली में जल स्तंभ की लंबाई $h\sqrt{2}$ हो जाएगी।

(C) केशिका उन्नयन की ऊँचाई $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है। दी गई नली और द्रव के लिए,यदि नली की लंबाई $L$ संतुलन ऊँचाई $h$ से कम है,तो पानी बाहर नहीं बहता है।
इसके बजाय,मेनिस्कस की वक्रता त्रिज्या $R$ नई ऊँचाई $L$ के साथ समायोजित हो जाती है ताकि $h \cdot r = L \cdot R$ हो।
चूँकि $R = \frac{r}{\cos \theta'}$,जहाँ $\theta'$ नया संपर्क कोण है,हमारे पास $h \cdot r = L \cdot \frac{r}{\cos \theta'}$ है।
इसका अर्थ है $\cos \theta' = \frac{L}{h}$।
यहाँ $h = 5\, cm$ और $L = 3\, cm$ दिया गया है,इसलिए $\cos \theta' = \frac{3}{5} = 0.6$।
पानी-कांच के लिए मूल संपर्क कोण लगभग $0^\circ$ $(\cos 0^\circ = 1)$ होता है,और चूँकि $\cos \theta' = 0.6 < 1$ है,इसलिए नया संपर्क कोण $\theta'$ $0^\circ$ से अधिक होना चाहिए।
अतः,संपर्क कोण बढ़ जाता है।

(C) केशिका नली में द्रव के चढ़ने की ऊँचाई $h$ और नली की त्रिज्या $r$ के बीच का संबंध $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
चूंकि केशिका का पदार्थ और द्रव समान हैं,इसलिए $T$,$\theta$,$\rho$ और $g$ स्थिरांक हैं।
अतः,$h \propto \frac{1}{r}$,जिसका अर्थ है $h_1 r_1 = h_2 r_2$।
दिया गया है कि $h_1 = 22 \ cm$ और $h_2 = 66 \ cm$।
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{h_2}{h_1}$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{r_1}{r_2} = \frac{66}{22} = \frac{3}{1}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $3 : 1$ है।

(C) केशिका नली में पानी की ऊँचाई $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है।
केशिका नली में पानी का द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (\pi r^2 h) \rho$ होता है।
$h$ का मान द्रव्यमान के समीकरण में रखने पर: $m = \pi r^2 \left( \frac{2T \cos \theta}{r \rho g} \right) \rho = \frac{2 \pi r T \cos \theta}{g}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $T$,$\theta$ और $g$ स्थिरांक हैं,इसलिए $m \propto r$ है।
पहली केशिका नली के लिए,$m_1 = m$ और $r_1 = r$ है।
दूसरी केशिका नली के लिए,$r_2 = 2r$ है। मान लीजिए द्रव्यमान $m_2$ है।
अतः,$\frac{m_2}{m_1} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{2r}{r} = 2$ है।
इस प्रकार,$m_2 = 2m$।

(A) केशिका नली में द्रव स्तंभ की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ ऊर्ध्वाधर से झुकाव कोण $\theta$ से स्वतंत्र रहती है।
इसलिए,द्रव स्तंभ की लंबाई $l$ और ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ के बीच का संबंध $h = l \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों स्थितियों के लिए,$h = l_1 \cos 45^o$ और $h = l_2 \cos 60^o$ है।
$h$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $l_1 \cos 45^o = l_2 \cos 60^o$।
मान रखने पर: $l_1 \times (1 / \sqrt{2}) = l_2 \times (1 / 2)$।
अनुपात $l_1 / l_2$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $l_1 / l_2 = \sqrt{2} / 2 = 1 / \sqrt{2}$।
अतः,$l_1 : l_2$ का अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।

(A) जब एक केशिका नली को ऊर्ध्वाधर (vertical) के साथ $\alpha$ कोण पर झुकाया जाता है,तो जल स्तंभ की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ स्थिर रहती है क्योंकि यह पृष्ठ तनाव,नली की त्रिज्या और द्रव के घनत्व पर निर्भर करती है।
नली के अनुदिश जल स्तंभ की लंबाई $\ell$ और ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ के बीच का संबंध है:
$\cos \alpha = \frac{h}{\ell}$
अतः,जल स्तंभ की लंबाई होगी:
$\ell = \frac{h}{\cos \alpha}$
दिया गया है $h = 4 \, cm$ और $\alpha = 30^{\circ}$:
$\ell = \frac{4}{\cos 30^{\circ}}$
चूँकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$\ell = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \, cm$

(C) केशिका नली में द्रव के चढ़ने या गिरने का सूत्र $h = \frac{2 \sigma \cos \theta}{r \rho g}$ है।
इससे,हम लिख सकते हैं $\sigma = \frac{h r \rho g}{2 \cos \theta}$.
चूंकि केशिका नली समान है,$r$ स्थिर है। अतः,$\sigma \propto \frac{h \rho}{\cos \theta}$.
पानी के लिए: $h_w = 10 \, cm$,$\rho_w = 1 \, g/cm^3$,$\theta_w = 0^{\circ}$.
पारे के लिए: $h_m = -3.1 \, cm$ (नीचे गिरता है),$\rho_m = 13.6 \, g/cm^3$,$\theta_m = 135^{\circ}$.
पृष्ठ तनाव का अनुपात $\frac{\sigma_w}{\sigma_m} = \frac{h_w \rho_w}{\cos \theta_w} \times \frac{\cos \theta_m}{h_m \rho_m}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{\sigma_w}{\sigma_m} = \frac{10 \times 1}{\cos 0^{\circ}} \times \frac{\cos 135^{\circ}}{-3.1 \times 13.6}$.
चूंकि $\cos 0^{\circ} = 1$ और $\cos 135^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \approx -0.707$,इसलिए:
$\frac{\sigma_w}{\sigma_m} = \frac{10 \times (-0.707)}{-3.1 \times 13.6} = \frac{-7.07}{-42.16} \approx \frac{1}{6}$.

(D) पारे और सोडा लाइम कांच के बीच संपर्क कोण $\theta = 140^{\circ}$ है।
संकीर्ण नली की त्रिज्या $r = 1.00 \; mm = 1.00 \times 10^{-3} \; m$ है।
पारे का पृष्ठ तनाव $s = 0.465 \; N m^{-1}$ है।
पारे का घनत्व $\rho = 13.6 \times 10^{3} \; kg m^{-3}$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \; m s^{-2}$ है।
केशिका नली में पारे के स्तर में गिरावट $h$ का सूत्र है:
$h = \frac{2s \cos \theta}{r \rho g}$
मान रखने पर:
$h = \frac{2 \times 0.465 \times \cos(140^{\circ})}{1.00 \times 10^{-3} \times 13.6 \times 10^{3} \times 9.8}$
चूंकि $\cos(140^{\circ}) \approx -0.766$ है:
$h = \frac{0.93 \times (-0.766)}{133.28} \approx -0.00534 \; m$
$h = -5.34 \; mm$.
ऋणात्मक चिह्न पारे के स्तर में गिरावट को दर्शाता है। अतः,पारा $5.34 \; mm$ नीचे उतर जाएगा।

(A) $r$ त्रिज्या वाली ट्यूब में केशिकत्व उन्नयन $h = \frac{2S \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $S = 7.3 \times 10^{-2} \;N m^{-1}$,$\theta = 0^\circ$,$\rho = 1.0 \times 10^3 \;kg m^{-3}$,$g = 9.8 \;m s^{-2}$.
त्रिज्याएँ $r_1 = 1.5 \times 10^{-3} \;m$ और $r_2 = 3.0 \times 10^{-3} \;m$ हैं।
स्तरों में अंतर $\Delta h = h_1 - h_2 = \frac{2S \cos \theta}{\rho g} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$ है।
मान रखने पर: $\Delta h = \frac{2 \times 7.3 \times 10^{-2} \times 1}{10^3 \times 9.8} \left( \frac{1}{1.5 \times 10^{-3}} - \frac{1}{3.0 \times 10^{-3}} \right)$.
$\Delta h = \frac{14.6 \times 10^{-2}}{9.8 \times 10^3} \left( \frac{2 - 1}{3.0 \times 10^{-3}} \right) = \frac{14.6 \times 10^{-2}}{9.8 \times 10^3} \times \frac{1}{3.0 \times 10^{-3}} = \frac{14.6}{9.8 \times 3} \times 10^{-2} \;m$.
$\Delta h \approx 0.4966 \times 10^{-2} \;m = 4.966 \;mm \approx 5 \;mm$.

(N/A) केशिका नली (द्रव में ऊर्ध्वाधर रखी गई) में द्रव के ऊपर चढ़ने या नीचे गिरने की घटना को केशिकात्व (Capillarity) कहते हैं। इस घटना में द्रव का पृष्ठ तनाव एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।
लैटिन भाषा में 'कैपिला' (Capilla) का अर्थ बाल होता है। यदि नली बाल जितनी पतली हो,तो जिस द्रव के लिए संपर्क कोण न्यून होता है,उसमें द्रव बहुत ऊंचाई तक चढ़ता है। इस प्रकार की नली को केशिका नली कहा जाता है।
मान लीजिए कि $a$ त्रिज्या वाली एक ऊर्ध्वाधर केशिका नली को पानी से भरे पात्र में डाला जाता है। पानी और कांच के बीच का संपर्क कोण $\theta$ न्यून $(\theta < 90^{\circ})$ है। अतः,केशिका में पानी की सतह अवतल होती है। इसका अर्थ है कि ऊपरी सतह के दोनों ओर दबाव का अंतर है।
$P_{i} - P_{0} = \frac{2S}{r}$,जहाँ $r$ मेनिस्कस की त्रिज्या है ...$(1)$
ज्यामिति से,$\cos \theta = \frac{a}{r}$,इसलिए $r = \frac{a}{\cos \theta}$ ...$(2)$
समीकरण $(2)$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$P_{i} - P_{0} = \frac{2S \cos \theta}{a}$ ...$(3)$
पात्र में द्रव की मुक्त सतह के समान क्षैतिज स्तर पर,नली के अंदर का दबाव वायुमंडलीय दबाव $P_{0}$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$P_{0} = P_{i} + h \rho g$,जहाँ $h$ द्रव स्तंभ की ऊँचाई है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
$P_{0} - P_{i} = h \rho g$
इसकी तुलना समीकरण $(3)$ से करने पर:
$h \rho g = \frac{2S \cos \theta}{a}$
अतः,द्रव के ऊपर चढ़ने की ऊँचाई:
$h = \frac{2S \cos \theta}{a \rho g}$

(N/A) केशिकात्व वह घटना है जिसमें किसी द्रव को केशिका नली (बहुत महीन छिद्र वाली नली) में डुबोने पर द्रव ऊपर चढ़ता है या नीचे गिरता है। यह प्रभाव द्रव के पृष्ठ तनाव और द्रव-ठोस अंतरापृष्ठ पर कार्य करने वाले आसंजक (adhesive) और ससंजक (cohesive) बलों के कारण होता है।
केशिकात्व के दो व्यावहारिक उदाहरण निम्नलिखित हैं:
$1$. दीपक की बत्ती में तेल का ऊपर चढ़ना: बत्ती के धागों के बीच मौजूद महीन स्थानों से केशिका क्रिया के कारण तेल ऊपर चढ़ता है,जिससे यह लौ तक पहुँच पाता है।
$2$. ब्लोटिंग पेपर द्वारा स्याही का अवशोषण: ब्लोटिंग पेपर में बड़ी संख्या में महीन छिद्र होते हैं जो केशिका नली के रूप में कार्य करते हैं,जो केशिका क्रिया के माध्यम से स्याही को कागज में खींच लेते हैं।