क्षैतिज $X-Y$ तल में वक्र पथ पर गति कर रहे एक कण का वेग समय के साथ $\vec{v} = (2t\hat{i} + t^2\hat{j}) \ m/s$ के अनुसार बदलता है। यहाँ,$t$ सेकंड में है। $t = 1 \ s$ पर:

एक कण पर नियत परिमाण का बल कार्य करता है जो हमेशा कण के वेग के लंबवत होता है। कण की गति एक समतल में होती है। इसका परिणाम यह है कि:

समतल में द्विविमीय गति का अध्ययन स्थिति,वेग और त्वरण को कार्तीय निर्देशांकों में $\vec{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j}$ के रूप में व्यक्त करके किया जा सकता है,जहाँ $\hat{i}$ और $\hat{j}$ क्रमशः $x$ और $y$ दिशाओं में इकाई सदिश हैं और $A_{x}$ और $A_{y}$ $\vec{A}$ के संगत घटक हैं। गति का अध्ययन वृत्तीय ध्रुवीय निर्देशांकों में सदिशों को $\vec{A} = A_{r} \hat{r} + A_{\theta} \hat{\theta}$ के रूप में व्यक्त करके भी किया जा सकता है,जहाँ $\hat{r} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ और $\hat{\theta} = -\sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}$ उन दिशाओं में इकाई सदिश हैं जिनमें $r$ और $\theta$ बढ़ रहे हैं।
$(a)$ $\hat{i}$ और $\hat{j}$ को $\hat{r}$ और $\hat{\theta}$ के पदों में व्यक्त कीजिए।
$(b)$ दर्शाइए कि $\hat{r}$ और $\hat{\theta}$ दोनों इकाई सदिश हैं और एक-दूसरे के लंबवत हैं।
$(c)$ दर्शाइए कि $\frac{d}{dt}(\hat{r}) = \omega \hat{\theta}$,जहाँ $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ और $\frac{d}{dt}(\hat{\theta}) = -\omega \hat{r}$ है।
$(d)$ $\vec{r} = a\theta \hat{r}$ द्वारा दी गई सर्पिल गति करने वाले कण के लिए,जहाँ $a = 1$ (इकाई),$a$ की विमा ज्ञात कीजिए।
$(e)$ $(d)$ में वर्णित सर्पिल पथ पर गति करने वाले कण के लिए ध्रुवीय सदिश निरूपण में वेग और त्वरण ज्ञात कीजिए।

$m$ द्रव्यमान का एक कण $F$ बल के प्रभाव में $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर $v$ रैखिक गति से घूम रहा है। यदि $m, v$ और $r$ तीनों में $50 \%$ की वृद्धि की जाती है,तो कण को एकसमान वृत्तीय गति में बनाए रखने के लिए आवश्यक बल में परिवर्तन क्या होगा ($\%$ में)?

एक प्रक्षेप्य समान ऊंचाई $H$ की दो दीवारों को सममित रूप से पार करता है जैसा कि दिखाया गया है। प्रक्षेप्य का प्रक्षेपण कोण क्या है?

एक कण $xy$-समतल में गति कर रहा है और समय $t=0$ पर मूल बिंदु से गुजरता है। कण की गति का समीकरण $y=4x^2$ है। यदि कण का वेग $\vec{v}=(2\hat{i}+2\hat{j}) \text{ m s}^{-1}$ और त्वरण $\vec{a}=(a\hat{j}) \text{ m s}^{-2}$ है,तो $a$ का परिमाण क्या है?