Fundamentals of Vectors Questions in Hindi

(C) माना कि दो सदिशों का परिमाण $A$ और $B$ है। दिया गया है कि उनका परिमाण समान है,इसलिए $A = B = x$ मान लें।
परिणामी सदिश का परिमाण $R$,सूत्र $R^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
प्रश्न के अनुसार,सदिशों के परिमाणों के गुणनफल का दोगुना परिणामी सदिश के वर्ग के बराबर है: $2(AB) = R^2$।
$A = x$ और $B = x$ रखने पर,हमें मिलता है $2(x \cdot x) = x^2 + x^2 + 2(x \cdot x) \cos \theta$।
इसे सरल करने पर $2x^2 = 2x^2 + 2x^2 \cos \theta$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $2x^2$ घटाने पर,$0 = 2x^2 \cos \theta$ मिलता है।
चूंकि $x \neq 0$,इसलिए $\cos \theta = 0$ होना चाहिए।
अतः,$\theta = 90^{\circ}$।

(A) बल सदिश $\vec{F} = 4\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
बल का परिमाण $|\vec{F}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
क्षैतिज दिशा में बल का घटक $F_x = 4$ है।
कोण $\theta$ के लिए,$\cos \theta = \frac{F_x}{|\vec{F}|} = \frac{4}{5\sqrt{2}}$.
हर और अंश को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर,$\cos \theta = \frac{4\sqrt{2}}{5 \times 2} = \frac{2\sqrt{2}}{5}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{5}\right)$.

(C) माना परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ है।
दिया है कि $\vec{R} \perp \vec{A}$,अतः अदिश गुणनफल $\vec{A} \cdot \vec{R} = 0$ होगा।
$\vec{A} \cdot (\vec{A} + \vec{B}) = 0 \implies A^2 + AB \cos \theta = 0 \implies AB \cos \theta = -A^2$ ... $(i)$
परिणामी सदिश का परिमाण $R = \frac{B}{2}$ दिया है,अतः $R^2 = \frac{B^2}{4}$ होगा।
सदिश योग के नियम के अनुसार,$R^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$.
समीकरण $(i)$ का मान रखने पर:
$\frac{B^2}{4} = A^2 + B^2 + 2(-A^2) = B^2 - A^2$.
अतः $A^2 = B^2 - \frac{B^2}{4} = \frac{3B^2}{4}$,जिसका अर्थ है $A = \frac{\sqrt{3}}{2}B$.
अब $A$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$B(\frac{\sqrt{3}}{2}B) \cos \theta = -(\frac{\sqrt{3}}{2}B)^2$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} B^2 \cos \theta = -\frac{3}{4} B^2$.
$\cos \theta = -\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$\theta = 150^{\circ}$।

(D) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के परिणामी $R$ का परिमाण सूत्र द्वारा दिया जाता है: $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$.
यह दिया गया है कि दोनों सदिशों के परिमाण समान हैं,मान लीजिए $A = B = x$.
यह भी दिया गया है कि परिणामी का परिमाण किसी भी सदिश के परिमाण के बराबर है,इसलिए $R = x$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $x = \sqrt{x^2 + x^2 + 2x^2 \cos \theta}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 = 2x^2 + 2x^2 \cos \theta$.
$x^2$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए): $1 = 2 + 2 \cos \theta$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2 \cos \theta = 1 - 2 = -1$.
अतः,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$.
यह $\theta = 120^{\circ}$ के कोण के अनुरूप है।

(B) दिया गया सदिश $P = 3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ है।
माना दिशा सदिश $Q = \hat{i} + 2 \hat{j}$ है।
सदिश $P$ का सदिश $Q$ की दिशा में घटक प्रक्षेप सूत्र द्वारा दिया जाता है: $P_{Q} = \frac{P \cdot Q}{|Q|}$.
सबसे पहले,अदिश गुणनफल (dot product) ज्ञात करें: $P \cdot Q = (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \cdot (\hat{i} + 2 \hat{j}) = (3 \times 1) + (4 \times 2) = 3 + 8 = 11$.
इसके बाद,सदिश $Q$ का परिमाण ज्ञात करें: $|Q| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
अतः,अभीष्ट घटक $\frac{P \cdot Q}{|Q|} = \frac{11}{\sqrt{5}}$ है।

(B) किसी भी सदिश के लिए,दिक्-कोज्या (direction cosines) $\cos \alpha, \cos \beta$ और $\cos \gamma$ के रूप में परिभाषित होते हैं।
हम जानते हैं कि दिक्-कोज्या के लिए मूल सर्वसमिका $\cos ^2 \alpha + \cos ^2 \beta + \cos ^2 \gamma = 1$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(1 - \sin ^2 \alpha) + (1 - \sin ^2 \beta) + (1 - \sin ^2 \gamma) = 1$.
$3 - (\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta + \sin ^2 \gamma) = 1$.
$\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta + \sin ^2 \gamma = 2$.
अतः,$\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta = 2 - \sin ^2 \gamma$.
चूंकि $\sin ^2 \gamma = 1 - \cos ^2 \gamma$,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta = 2 - (1 - \cos ^2 \gamma) = 1 + \cos ^2 \gamma$.

(B) हम जानते हैं कि दो सदिशों $A$ और $B$ के परिणामी $R$ का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
यहाँ,$R$ अधिकतम तब होता है जब $\cos \theta$ अधिकतम हो।
$\cos \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = 0^{\circ}$ पर प्राप्त होता है।
सूत्र में $\theta = 0^{\circ}$ रखने पर:
$R_{\max} = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB(1)} = \sqrt{(A+B)^2} = A + B$.
अतः,परिणामी सदिश तब अधिकतम होता है जब दो सदिशों के बीच का कोण $0^{\circ}$ हो।

(A) बिंदु $A$ का स्थिति सदिश $\vec{r}_A = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ है।
बिंदु $B$ का स्थिति सदिश $\vec{r}_B = 6 \hat{i} + 6 \hat{j} + 9 \hat{k}$ है।
विस्थापन सदिश $\vec{d}$ स्थिति में परिवर्तन द्वारा प्राप्त होता है: $\vec{d} = \vec{r}_B - \vec{r}_A$.
$\vec{d} = (6 - 2) \hat{i} + (6 - 2) \hat{j} + (9 - 3) \hat{k}$.
$\vec{d} = 4 \hat{i} + 4 \hat{j} + 6 \hat{k}$.

(D) एक सदिश $\vec{A} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}$ इकाई सदिश होता है यदि उसका परिमाण $1$ हो,अर्थात $|\vec{A}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} = 1$.
दिया गया सदिश $0.5 \hat{i} + 0.8 \hat{j} + c \hat{k}$ है।
अतः,$\sqrt{(0.5)^2 + (0.8)^2 + c^2} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(0.5)^2 + (0.8)^2 + c^2 = 1^2$.
$0.25 + 0.64 + c^2 = 1$.
$0.89 + c^2 = 1$.
$c^2 = 1 - 0.89 = 0.11$.
इस प्रकार,$c = \sqrt{0.11}$।