Spectral Emissive Power and Wien's Displacement Law Questions in Gujarati

(A) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_m T = \text{અચળ}$.
તેથી,$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$.
આપેલ છે: $\lambda_1 = 11 \times 10^{-5} \ cm$ અને $\lambda_2 = 5.5 \times 10^{-5} \ cm$.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = T$ છે અને નવું તાપમાન $T_2 = nT$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(11 \times 10^{-5}) \times T = (5.5 \times 10^{-5}) \times (nT)$.
$11 = 5.5 \times n$.
$n = \frac{11}{5.5} = 2$.
આમ,$n$ ની કિંમત $2$ છે.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,તાપમાન $T$ અને મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઈ $\lambda_m$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
$T_1 \lambda_{m1} = T_2 \lambda_{m2}$
આપેલ છે: $T_1 = 2000 \ K$,$\lambda_{m1} = \lambda_m$,$T_2 = 3000 \ K$.
કિંમતો મૂકતા:
$2000 \times \lambda_m = 3000 \times \lambda_{m2}$
$\lambda_{m2} = \frac{2000}{3000} \lambda_m$
$\lambda_{m2} = \frac{2}{3} \lambda_m$

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, $\lambda_m T = \text{અચળ}$, જેનો અર્થ છે કે $\lambda_m \propto \frac{1}{T}$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 1227 + 273 = 1500 \ K$.
પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = 5000 \mathring{A}$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 1227 + 1000 + 273 = 2500 \ K$.
સંબંધ $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{T_1}{T_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_2 = \lambda_1 \times \frac{T_1}{T_2} = 5000 \times \frac{1500}{2500}$.
$\lambda_2 = 5000 \times \frac{3}{5} = 3000 \mathring{A}$.

(C) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,કાળા પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત મહત્તમ ઉર્જાને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ $\lambda_m$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\lambda_m T = \text{અચળ}$.
તેથી,$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$.
આપેલ છે: $\lambda_1 = 14 \; \mu m$,$T_1 = 2000 \; K$,$T_2 = 1000 \; K$.
કિંમતો મૂકતા: $14 \times 2000 = \lambda_2 \times 1000$.
$\lambda_2 = \frac{14 \times 2000}{1000} = 28 \; \mu m$.

(C) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, $\lambda_m T = b$, જ્યાં $b$ અચળાંક છે。
તેથી, $\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$.
આપેલ છે: $\lambda_{m1} = 4000 \ \mathring{A}$, $T_1 = 2000^\circ C = 2000 + 273 = 2273 \ K$.
આપેલ છે: $\lambda_{m2} = 2000 \ \mathring{A}$, $T_2 = ?$.
કિંમતો મૂકતા: $4000 \times 2273 = 2000 \times T_2$.
$T_2 = 2 \times 2273 = 4546 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2(^\circ C) = 4546 - 273 = 4273^\circ C$.

(A) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, નિરપેક્ષ તાપમાન અને મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઈનો ગુણાકાર અચળ હોય છે: $\lambda_m T = \text{constant}$.
તેથી, $\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$.
આપેલ છે: $T_1 = 2000 \ K$, $\lambda_{m1} = 4 \ \mu m$, $T_2 = 2400 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $4 \times 2000 = \lambda_{m2} \times 2400$.
$\lambda_{m2} = \frac{4 \times 2000}{2400} = \frac{8000}{2400} = \frac{80}{24} = \frac{10}{3} \ \mu m$.
$\lambda_{m2} \approx 3.33 \ \mu m$.

(B) બંને પદાર્થો દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ વિકિરણ પાવર સમાન છે: $P_A = P_B$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ $P = e \sigma A T^4$ મુજબ,અને $A_A = A_B$ હોવાથી,$e_A T_A^4 = e_B T_B^4$ મળે.
$T_B = T_A \left( \frac{e_A}{e_B} \right)^{1/4} = 5802 \left( \frac{0.01}{0.81} \right)^{1/4} = 5802 \left( \frac{0.1}{0.9} \right) = 644.67 \ K$.
વીનના સ્થાનાંતરણ નિયમ મુજબ,$\lambda_A T_A = \lambda_B T_B$.
$\lambda_B = 1.0 \mu m$ આપેલ છે,તેથી $\lambda_A (5802) = (1.0) (644.67)$.
$\lambda_A = \frac{644.67}{5802} \approx 0.11 \mu m$. જો પ્રશ્નમાં આપેલ ઉકેલ મુજબ ગણતરી કરીએ તો સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_m T = b$,જ્યાં $b = 3 \times 10^{-3} \ m \cdot K$ છે.
શરૂઆતમાં,$T_1 = 3000 \ K$ છે. તેથી શરૂઆતની તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \frac{b}{T_1} = \frac{3 \times 10^{-3}}{3000} = 1 \times 10^{-6} \ m = 1 \ \mu m$ મળે.
જેમ પદાર્થ ઠંડો પડે છે,તેમ તરંગલંબાઈમાં $\Delta \lambda = 9 \ \mu m$ નો ફેરફાર થાય છે. તાપમાન ઘટતું હોવાથી,મહત્તમ ઉર્જા ઘનતા ધરાવતી તરંગલંબાઈ વધશે: $\lambda_2 = \lambda_1 + \Delta \lambda = 1 \ \mu m + 9 \ \mu m = 10 \ \mu m = 10 \times 10^{-6} \ m$.
હવે,નવું તાપમાન $T_2$ શોધતા: $T_2 = \frac{b}{\lambda_2} = \frac{3 \times 10^{-3}}{10 \times 10^{-6}} = \frac{3 \times 10^{-3}}{10^{-5}} = 300 \ K$.

(B) વિનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ તીવ્રતાની તરંગલંબાઈ $(\lambda_m)$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
$\lambda_m T = \text{અચળ}$
તેથી,$\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$
આપેલ છે: $\lambda_{m1} = 4800 \, \mathring{A}$,$T_1 = 6000 \, K$,$T_2 = 3000 \, K$.
કિંમતો મૂકતા:
$4800 \times 6000 = \lambda_{m2} \times 3000$
$\lambda_{m2} = \frac{4800 \times 6000}{3000}$
$\lambda_{m2} = 4800 \times 2 = 9600 \, \mathring{A}$.

(B) વિનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_m T = b$ (અચળ).
તેથી,$\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$.
અહીં,$\lambda_{m1} = \lambda_m$,$T_1 = 2000 \, K$,અને $T_2 = 3000 \, K$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda_m \times 2000 = \lambda_{m2} \times 3000$.
$\lambda_{m2} = \frac{2000}{3000} \lambda_m = \frac{2}{3} \lambda_m$.

(B) તારાઓ દ્વારા ઉત્સર્જિત થતા વિકિરણનું વિશ્લેષણ કરીને વિવિધ તરંગલંબાઇઓ પર ઉર્જાનું વિતરણ નક્કી કરી શકાય છે.
વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,વિકિરણની મહત્તમ તીવ્રતાને અનુરૂપ તરંગલંબાઇ $\lambda_{m}$ એ તારાના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે સંબંધ $\lambda_{m} T = b$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $b$ એ વીનનો અચળાંક છે.
જે તરંગલંબાઇ પર તારો મહત્તમ વિકિરણ ઉત્સર્જિત કરે છે તે માપીને,ખગોળશાસ્ત્રીઓ તારાની સપાટીનું તાપમાન ગણી શકે છે.
તેથી,આ હેતુ માટે વીનના સ્થાનાંતરના નિયમનો ઉપયોગ થાય છે.

(D) વિનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_m T = b$ (અચળ),જ્યાં $\lambda_m$ એ મહત્તમ તીવ્રતા ધરાવતી તરંગલંબાઈ છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
તેથી,$\frac{T_1}{T_2} = \frac{(\lambda_m)_2}{(\lambda_m)_1}$.
અહીં $(\lambda_m)_1 = 0.5 \times 10^{-6} \ m$ (સૂર્ય માટે) અને $(\lambda_m)_2 = 10^{-4} \ m$ (ચંદ્ર માટે) આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{10^{-4}}{0.5 \times 10^{-6}} = \frac{100 \times 10^{-6}}{0.5 \times 10^{-6}} = \frac{100}{0.5} = 200$.
આમ,તેમના તાપમાનનો ગુણોત્તર $200$ છે.

(B) વિનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ તીવ્રતાને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ $\lambda_m$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\lambda_m \propto \frac{1}{T}$.
આપેલ આલેખ પરથી,આપણે ત્રણ તાપમાનો માટે મહત્તમ તીવ્રતાને અનુરૂપ તરંગલંબાઈઓનું અવલોકન કરી શકીએ છીએ:
$\lambda_{m1} < \lambda_{m3} < \lambda_{m2}$.
જેમ કે $\lambda_m \propto \frac{1}{T}$,નાની તરંગલંબાઈ ઊંચા તાપમાનને અનુરૂપ છે.
તેથી,તેમના તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 > T_3 > T_2$ છે.

(C) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ વર્ણપટીય ઉત્સર્જન શક્તિને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ $(\lambda_m)$ એ પદાર્થના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\lambda_m \propto \frac{1}{T}$ અથવા $\lambda_m T = b$,જ્યાં $b$ એ વીનનો અચળાંક છે.
તેથી,પદાર્થમાંથી ઉત્સર્જાતા વિકિરણની તરંગલંબાઈ સપાટીના તાપમાન પર આધારિત છે.

(C) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઇ $(\lambda_m)$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
$\lambda_m T = b$ (અચળ)
આપેલ છે:
$T_1 = 200 \, K$,$(\lambda_m)_1 = 14 \, \mu m$
$T_2 = 1000 \, K$,$(\lambda_m)_2 = ?$
સંબંધ $\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\lambda_m)_2 = \frac{(\lambda_m)_1 T_1}{T_2}$
$(\lambda_m)_2 = \frac{14 \, \mu m \times 200 \, K}{1000 \, K}$
$(\lambda_m)_2 = \frac{14 \times 200}{1000} \, \mu m = \frac{2800}{1000} \, \mu m = 2.8 \, \mu m$.

(A) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, ${\lambda _m T = \text{અચળ}}$, તેથી ${\lambda _1 T_1 = \lambda _2 T_2}$.
અહીં ${\lambda _1 = \lambda _0}$ અને ${\lambda _2 = \frac{3\lambda _0}{4}}$ આપેલ છે.
તેથી, $\frac{T_2}{T_1} = \frac{\lambda _1}{\lambda _2} = \frac{\lambda _0}{3\lambda _0 / 4} = \frac{4}{3}$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, ઉત્સર્જન પાવર $E \propto T^4$.
આમ, ઉત્સર્જન પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$ થશે.
કિંમતો મૂકતા, $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{4}{3} \right)^4 = \frac{256}{81}$.

(B) વિનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઈ $(\lambda_m)$ અને પદાર્થના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર એક અચળાંક $(b)$ છે.
$\lambda_m T = b$
આપેલ છે:
$\lambda_m = 2.93 \times 10^{-10} \, m$
$b = 2.93 \times 10^{-3} \, m \cdot K$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{2.93 \times 10^{-3}}{2.93 \times 10^{-10}}$
$T = 10^{(-3 - (-10))} \, K = 10^7 \, K$
આમ,તારાનું તાપમાન $10^7 \, K$ છે.

(D) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ વર્ણપટ ઉત્સર્જન શક્તિને અનુરૂપ તરંગલંબાઇ $\lambda_m T = b$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\lambda_m = \frac{b}{T} = \frac{2.88 \times 10^6 \, nm \cdot K}{2880 \, K} = 1000 \, nm$.
કૃષ્ણ પદાર્થના વિકિરણ વક્રનું શિખર $\lambda_m = 1000 \, nm$ પર મળે છે,તેથી આ તરંગલંબાઇ પર વર્ણપટ ઊર્જા ઘનતા $E_\lambda$ મહત્તમ હોય છે.
નાના તરંગલંબાઇના ગાળા $\Delta \lambda$ માં ઊર્જા $U$,$E_\lambda \Delta \lambda$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. કારણ કે ગાળા સમાન છે $(\Delta \lambda = 1 \, nm)$,તેથી ઊર્જા તે તરંગલંબાઇ પર વક્રની ઊંચાઈના સીધા પ્રમાણમાં છે.
આપેલ ગાળા પર ઊંચાઈની સરખામણી કરતા: $1000 \, nm$ ની આસપાસનો ગાળો (જ્યાં $U_2$ વ્યાખ્યાયિત છે) શિખર પર છે,જ્યારે $500 \, nm$ અને $1500 \, nm$ ની આસપાસના ગાળા ઢાળ પર છે.
આમ,$U_2$ મહત્તમ છે,અને $U_2 > U_1$.

(B) $Wien$ ના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ તીવ્રતાની તરંગલંબાઈ $(\lambda_{\max})$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે:
$\lambda_{\max} T = b$ (અચળ)
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 1227^{\circ}C = 1227 + 273 = 1500\;K$
પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_{\max 1} = 5000\;\mathring{A}$
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 1227^{\circ}C + 1000^{\circ}C = 2227^{\circ}C = 2227 + 273 = 2500\;K$
$\lambda_{\max 1} T_1 = \lambda_{\max 2} T_2$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_{\max 2} = \frac{\lambda_{\max 1} T_1}{T_2}$
$\lambda_{\max 2} = \frac{5000 \times 1500}{2500}$
$\lambda_{\max 2} = 5000 \times 0.6 = 3000\;\mathring{A}$
તેથી,મહત્તમ તીવ્રતા $3000\;\mathring{A}$ પર જોવા મળશે.

(B) $Wien$ ના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, મહત્તમ તીવ્રતાને અનુરૂપ તરંગલંબાઇ $(\lambda_m)$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર અચળ હોય છે:
$\lambda_m T = \text{constant}$
$\lambda_m = \frac{\text{constant}}{T}$
જેમ જેમ લોખંડના ટુકડાનું તાપમાન $(T)$ વધે છે, તેમ મહત્તમ તીવ્રતા ધરાવતી તરંગલંબાઇ $(\lambda_m)$ ઘટે છે.
શરૂઆતમાં, નીચા તાપમાને, ઉત્સર્જિત વિકિરણ લાંબી તરંગલંબાઇના વિસ્તારમાં (લાલ) હોય છે. જેમ તાપમાન વધે છે, તેમ ઉત્સર્જન વર્ણપટની ટોચ ટૂંકી તરંગલંબાઇ (લાલ-પીળો) તરફ ખસે છે. જ્યારે તાપમાન પૂરતું ઊંચું થાય છે, ત્યારે પદાર્થ સમગ્ર દ્રશ્ય વર્ણપટમાં વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે, જેના કારણે તે સફેદ-ગરમ દેખાય છે.

(A) $Wien$ ના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, મહત્તમ તીવ્રતાને અનુરૂપ તરંગલંબાઇ $(\lambda_m)$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર અચળ હોય છે:
$\lambda_m T = \text{constant} \implies T \propto \frac{1}{\lambda_m}$
તારા $P$ માટે, જાંબલી રંગની તીવ્રતા મહત્તમ છે। જાંબલી રંગની તરંગલંબાઇ ત્રણેયમાં સૌથી ઓછી હોવાથી $(\lambda_V < \lambda_G < \lambda_R)$, તારા $P$ નું તાપમાન સૌથી વધુ હશે.
તારા $R$ માટે, લીલા રંગની તીવ્રતા મહત્તમ છે। લીલા રંગની તરંગલંબાઇ જાંબલી અને લાલની વચ્ચે હોય છે $(\lambda_V < \lambda_G < \lambda_R)$.
તારા $Q$ માટે, લાલ રંગની તીવ્રતા મહત્તમ છે। લાલ રંગની તરંગલંબાઇ ત્રણેયમાં સૌથી વધુ હોવાથી, તારા $Q$ નું તાપમાન સૌથી ઓછું હશે.
તરંગલંબાઇની સરખામણી કરતા: $\lambda_V < \lambda_G < \lambda_R$.
તેથી, તાપમાનનો ક્રમ ઉલટો હશે: $T_P > T_R > T_Q$.

(C) વિનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ વર્ણપટ ઉત્સર્જક પાવરને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ નીચે મુજબ મળે છે:
$\lambda_m = \frac{b}{T} = \frac{2.88 \times 10^6 \ nm \ K}{5760 \ K} = 500 \ nm$
આનો અર્થ એ છે કે કૃષ્ણ પદાર્થના વિકિરણ વક્રનું શિખર $\lambda = 500 \ nm$ પર મળે છે,જ્યાં ઉત્સર્જિત ઉર્જા $U_2$ છે.
વર્ણપટ વિતરણ વક્ર પરથી વિવિધ તરંગલંબાઈઓ પરના મૂલ્યોની સરખામણી કરતા:
$\lambda = 250 \ nm$ પર,ઉર્જા $U_1$ છે.
$\lambda = 500 \ nm$ પર,ઉર્જા $U_2$ (મહત્તમ) છે.
$\lambda = 1000 \ nm$ પર,ઉર્જા $U_3$ છે.
આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $U_2$ એ મહત્તમ મૂલ્ય છે,તેથી $U_2 > U_1$ અને $U_2 > U_3$. આ ઉપરાંત,આલેખ પરથી $U_1$ અને $U_3$ ની સરખામણી કરતા,$U_3 > U_1$ મળે છે. આમ,સાચો સંબંધ $U_2 > U_1$ છે.

(A) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ તીવ્રતાની તરંગલંબાઇ $(\lambda_m)$ અને પદાર્થના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
$\lambda_m T = b$
અવકાશી પદાર્થ માટે આપેલ છે:
$\lambda_1 = 12 \; \mu m = 12 \times 10^{-6} \; m$
$T_1 = 200 \; K$
તારા માટે આપેલ છે:
$\lambda_2 = 4800 \; \mathring A = 4800 \times 10^{-10} \; m$
$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$12 \times 10^{-6} \times 200 = 4800 \times 10^{-10} \times T_2$
$T_2 = \frac{12 \times 10^{-6} \times 200}{4800 \times 10^{-10}}$
$T_2 = \frac{2400 \times 10^{-6}}{4800 \times 10^{-10}} = 0.5 \times 10^4 = 5000 \; K$

(D) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઇ $\lambda_m$ અને પદાર્થના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ નો ગુણાકાર એક અચળાંક હોય છે,જેને વીનનો અચળાંક $(b)$ કહેવામાં આવે છે.
$\lambda_m T = b$
આપેલ છે:
$b = 2892 \times 10^{-6} \text{ m K}$
$\lambda_m = 14.46 \text{ microns} = 14.46 \times 10^{-6} \text{ m}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{2892 \times 10^{-6}}{14.46 \times 10^{-6}}$
$T = \frac{2892}{14.46} = 200 \text{ K}$
આમ,ચંદ્રની સપાટીનું તાપમાન $200 \text{ K}$ છે.

(A) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ વર્ણપટ ઉત્સર્જન શક્તિને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ નિરપેક્ષ તાપમાનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\lambda_m \propto \frac{1}{T}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$.
આપેલ છે: $\lambda_{m1} = 1.4 \times 10^{-6} \ m$,$T_1 = 1000 \ K$,અને $\lambda_{m2} = 2.8 \times 10^{-6} \ m$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $T_2 = \frac{\lambda_{m1} T_1}{\lambda_{m2}}$.
$T_2 = \frac{1.4 \times 10^{-6} \times 1000}{2.8 \times 10^{-6}}$.
$T_2 = \frac{1.4}{2.8} \times 1000 = 0.5 \times 1000 = 500 \ K$.

(A) વિનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_{\max} T = b$.
અહીં $\lambda_{\max} = 289.8 \, nm = 289.8 \times 10^{-9} \, m$ અને $b = 2898 \, \mu m \cdot K = 2898 \times 10^{-6} \, m \cdot K$ આપેલ છે.
તાપમાન $T$ ની ગણતરી કરતા:
$T = \frac{b}{\lambda_{\max}} = \frac{2898 \times 10^{-6}}{289.8 \times 10^{-9}} = 10 \times 10^3 = 10^4 \, K$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,વિકિરણની તીવ્રતા (ઉત્સર્જન પાવર) $E = \sigma T^4$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$E = (5.67 \times 10^{-8}) \times (10^4)^4 = 5.67 \times 10^{-8} \times 10^{16} = 5.67 \times 10^8 \, W/m^2$.

(D) વીનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ જણાવે છે કે નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ અને જે તરંગલંબાઈ $(\lambda_{\max})$ પર ઉત્સર્જિત પાવર મહત્તમ હોય છે, તેમનો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
તેનું ગાણિતિક સ્વરૂપ નીચે મુજબ છે:
$\lambda_{\max} T = b$
જ્યાં $b$ એ વીનનો અચળાંક છે.
તેથી, આ નિયમ મહત્તમ ઉર્જાને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ અને પદાર્થના નિરપેક્ષ તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે.

(A) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_m T = \text{અચળ}$.
તેથી,$\lambda_m T = \lambda_m' T'$.
અહીં $\lambda_m = 20,000 \ \mathring{A}$,$T = 1500 \ K$,અને $\lambda_m' = 5500 \ \mathring{A}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$T' = \frac{\lambda_m}{\lambda_m'} \times T$.
$T' = \frac{20,000 \ \mathring{A}}{5500 \ \mathring{A}} \times 1500 \ K$.
$T' = \frac{200}{55} \times 1500 \ K = \frac{40}{11} \times 1500 \ K \approx 5454.54 \ K$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,સૂર્યનું તાપમાન $5454 \ K$ મળે છે.

(A) વીનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ જણાવે છે કે:
$\lambda_{m} T = b$ (અચળાંક)
આનો અર્થ એ છે કે મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઈ અને નિરપેક્ષ તાપમાનનો ગુણાકાર કૃષ્ણ પદાર્થ માટે અચળ રહે છે.
તેથી,$\lambda_{1} T_{S_{1}} = \lambda_{2} T_{S_{2}}$
તાપમાનનો ગુણોત્તર શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{T_{S_{1}}}{T_{S_{2}}} = \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_{S_{1}}}{T_{S_{2}}} = \frac{560 \, nm}{420 \, nm} = \frac{56}{42} = \frac{4}{3}$
આમ,$S_1$ અને $S_2$ ના તાપમાનનો ગુણોત્તર $4/3$ છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કુલ ઉત્સર્જન પાવર (જે વર્ણપટ ઉત્સર્જન પાવર વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે) તે નિરપેક્ષ તાપમાનની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$E = \sigma T^4$
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $A \propto T^4$,તેથી:
$A_1 = k T_1^4 = A$
$A_2 = k T_2^4 = 9A$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4 = 9$
બે વાર વર્ગમૂળ લેતા:
$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = 3$
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{3}$
વીનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઉત્સર્જનને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ અને નિરપેક્ષ તાપમાનનો ગુણાકાર અચળ રહે છે:
$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$
તેથી,ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{T_2}{T_1} = \sqrt{3}$

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ તીવ્રતાને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ $\lambda_m$ એ કૃષ્ણ પદાર્થના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\lambda_m \propto \frac{1}{T}$.
આપેલ આલેખ પરથી,આપણે ત્રણ તાપમાન માટે મહત્તમ તીવ્રતાને અનુરૂપ તરંગલંબાઈઓ $\lambda_{m1} < \lambda_{m3} < \lambda_{m2}$ તરીકે જોઈ શકીએ છીએ.
જેમ કે $\lambda_m \propto \frac{1}{T}$,નાની તરંગલંબાઈ ઊંચા તાપમાનને અનુરૂપ છે.
તેથી,તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 > T_3 > T_2$ છે.

(D) વિનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_m T = b$,જ્યાં $\lambda_m$ એ મહત્તમ તીવ્રતાને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે,અને $b$ એ વિનનો સ્થાનાંતર અચળાંક છે.
આપેલ આલેખ પરથી,મહત્તમ તીવ્રતા $\lambda_m = 2 \ \mu m = 2 \times 10^{-6} \ m$ પર મળે છે.
આપેલ છે કે $b = 2.9 \times 10^{-3} \ mK$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{2.9 \times 10^{-3}}{2 \times 10^{-6}} = 1.45 \times 10^3 \ K = 1450 \ K$.
આપેલા વિકલ્પોની નજીકની કિંમત લેતા,આશરે તાપમાન $1500 \ K$ મળે છે.

(D) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઈ અને નિરપેક્ષ તાપમાનનો ગુણાકાર અચળ હોય છે: $\lambda_m T = b$ (અચળાંક).
તેથી,$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$.
આપેલ છે: $\lambda_1 = \lambda_m$,$T_1 = 2000\,K$,અને $T_2 = 3000\,K$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda_m \times 2000 = \lambda_2 \times 3000$.
$\lambda_2$ માટે ઉકેલતા: $\lambda_2 = \frac{2000}{3000} \lambda_m = \frac{2}{3} \lambda_m$.

(C) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઇ અને કૃષ્ણ પદાર્થના નિરપેક્ષ તાપમાનનો ગુણાકાર અચળ હોય છે,એટલે કે $\lambda_m T = \text{અચળ}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$.
તેથી,તેમના તાપમાનનો ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \frac{\lambda_{m2}}{\lambda_{m1}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\lambda_{m1} = 3600 \ \mathring{A}$ અને $\lambda_{m2} = 4800 \ \mathring{A}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{T_1}{T_2} = \frac{4800}{3600} = \frac{48}{36} = \frac{4}{3}$ મળે છે.
આમ,તેમના તાપમાનનો ગુણોત્તર $4 : 3$ છે.

(D) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_{m} T = \text{અચળ}$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 1227 + 273 = 1500\,K$.
પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = 5000\,\mathring{A}$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = T_1 + 1000 = 1500 + 1000 = 2500\,K$.
સંબંધ $\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5000 \times 1500 = \lambda_2 \times 2500$.
$\lambda_2$ માટે ગણતરી કરતા:
$\lambda_2 = \frac{5000 \times 1500}{2500} = 2 \times 1500 = 3000\,\mathring{A}$.
આમ,મહત્તમ તીવ્રતા $3000\,\mathring{A}$ તરંગલંબાઈ પર હશે.

(C) વિનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, $\lambda_{m} T = \text{અચળ}$, જ્યાં $\lambda_{m}$ એ મહત્તમ ઉર્જાને અનુરૂપ તરંગલંબાઇ છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
તેથી, $\lambda_{1} T_{1} = \lambda_{2} T_{2}$.
અહીં $\lambda_{1} = 11 \times 10^{-5} \ cm$ અને $\lambda_{2} = 5.5 \times 10^{-5} \ cm$ આપેલ છે.
આપણને $T_{1} = n T_{2}$ આપેલ છે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $(11 \times 10^{-5}) \times (n T_{2}) = (5.5 \times 10^{-5}) \times T_{2}$.
$n = \frac{5.5 \times 10^{-5}}{11 \times 10^{-5}} = \frac{5.5}{11} = 0.5$.

(D) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ તીવ્રતાની તરંગલંબાઇ $(\lambda_m)$ અને પદાર્થના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
$\lambda_m T = b$ (અચળ)
તેથી,સૂર્ય અને ચંદ્ર માટે:
$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$
જ્યાં $\lambda_1 = 0.5 \times 10^{-6} \ m$ (સૂર્ય) અને $\lambda_2 = 10^{-4} \ m$ (ચંદ્ર) છે.
તાપમાનનો ગુણોત્તર $(T_1 / T_2)$ શોધવા માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{10^{-4}}{0.5 \times 10^{-6}} = \frac{10^{-4}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{10^3}{5} = 200$
આમ,તેમના તાપમાનનો ગુણોત્તર $200$ છે.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_{m} T = \text{અચળ}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$.
આપેલ છે:
$T_1 = 200^{\circ}C = 200 + 273 = 473\,K$
$\lambda_{m1} = 400\,\mathring{A}$
$\lambda_{m2} = 200\,\mathring{A}$
સંબંધ $\frac{\lambda_{m2}}{\lambda_{m1}} = \frac{T_1}{T_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{200}{400} = \frac{473}{T_2}$
$\frac{1}{2} = \frac{473}{T_2} \Rightarrow T_2 = 473 \times 2 = 946\,K$.
તાપમાનને $^{\circ}C$ માં ફેરવવા માટે:
$T_2(^{\circ}C) = 946 - 273 = 673^{\circ}C$.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ તીવ્રતાની તરંગલંબાઇ $(\lambda_m)$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે:
$\lambda_m T = b$ (અચળ)
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 6000\,K$
પ્રારંભિક મહત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda_{m1} = 4800\,\mathring{A}$
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 3000\,K$
$\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$4800 \times 6000 = \lambda_{m2} \times 3000$
$\lambda_{m2}$ માટે ઉકેલતા:
$\lambda_{m2} = \frac{4800 \times 6000}{3000}$
$\lambda_{m2} = 4800 \times 2$
$\lambda_{m2} = 9600\,\mathring{A}$

(C) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઇ $(\lambda_m)$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર અચળ હોય છે.
ગાણિતિક રીતે, $\lambda_m T = \text{અચળ}$.
સૂર્ય અને તારા માટે, આપણે લખી શકીએ:
$\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$
આપેલ છે:
$\lambda_{m1} = 500 \, nm$, $T_1 = 6000 \, K$
$\lambda_{m2} = 400 \, nm$, $T_2 = ?$
કિંમતો મૂકતા:
$500 \times 6000 = 400 \times T_2$
$T_2$ માટે ઉકેલતા:
$T_2 = \frac{500 \times 6000}{400}$
$T_2 = 5 \times 1500 = 7500 \, K$.

(D) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઈ $(\lambda_m)$ અને પદાર્થના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર અચળ $(b)$ હોય છે।
$\lambda_m \times T = b$
આપેલ છે:
$\lambda_m = 2.93 \times 10^{-10} \, m$
$b = 2.93 \times 10^{-3} \, mK$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{2.93 \times 10^{-3}}{2.93 \times 10^{-10}}$
$T = 1 \times 10^{(-3 - (-10))} \, K$
$T = 10^7 \, K$

(C) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ (Wien's displacement law) મુજબ, $\lambda_m T = \text{અચળ}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda_m \propto 1/T$. તેથી, જેમ તાપમાન $T$ વધે છે, તેમ મહત્તમ ઉત્સર્જન તરંગલંબાઈ $\lambda_m$ ઘટે છે. આમ, વિધાન સાચું છે.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા $E = \sigma T^4$ છે. આ નિયમ ઉર્જા અને તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે, મહત્તમ તરંગલંબાઈ સાથે નહીં. મહત્તમ તરંગલંબાઈ વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે, તાપમાનના ચતુર્થ ઘાત દ્વારા નહીં. તેથી, કારણ ખોટું છે.

(N/A) ચોક્કસ તાપમાને રહેલી વસ્તુ તરંગલંબાઇનો સતત વર્ણપટ ઉત્પન્ન કરે છે. કૃષ્ણ પદાર્થના કિસ્સામાં,મહત્તમ તીવ્રતા ધરાવતી તરંગલંબાઇ વિયનના સ્થાનાંતરના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda_{m} = \frac{0.29}{T} \; cm \cdot K$.
જ્યાં,$\lambda_{m}$ એ મહત્તમ તીવ્રતાની તરંગલંબાઇ છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને,આપણે વિવિધ તરંગલંબાઇ માટે તાપમાનની ગણતરી કરી શકીએ છીએ:
$1$. $\lambda_{m} = 10^{-4} \; cm$ (ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તાર) માટે,$T = \frac{0.29}{10^{-4}} = 2900 \; K$.
$2$. $\lambda_{m} = 5 \times 10^{-5} \; cm$ (દ્રશ્ય પ્રકાશ વિસ્તાર) માટે,$T = \frac{0.29}{5 \times 10^{-5}} = 5800 \; K$.
$3$. $\lambda_{m} = 10^{-6} \; cm$ (અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિસ્તાર) માટે,$T = \frac{0.29}{10^{-6}} = 290000 \; K$.
મેળવેલી સંખ્યાઓ સૂચવે છે કે વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના વિવિધ ભાગોમાં વિકિરણો મેળવવા માટે ચોક્કસ તાપમાનની શ્રેણી જરૂરી છે. જેમ તરંગલંબાઇ ઘટે છે,તેમ તે વિકિરણ ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી તાપમાન વધે છે.

(N/A) કોઈપણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત થતા ઉષ્મીય વિકિરણો વિવિધ તરંગલંબાઈ ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના બનેલા હોય છે અને આ તરંગો એક સતત વર્ણપટ રચે છે, પરંતુ અમુક ચોક્કસ આવૃત્તિવાળા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનું પ્રમાણ વધારે હોય છે.
ઉદાહરણ તરીકે, ઓરડાના તાપમાને $(300 \; K)$ કૃષ્ણ પદાર્થના વિકિરણમાં મોટાભાગના વિકિરણો $95,500 \; \mathring{A}$ તરંગલંબાઈ ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો (ઇન્ફ્રારેડ તરંગો) હોય છે.
જેમ તાપમાન વધારવામાં આવે છે, તેમ નાની તરંગલંબાઈવાળા તરંગોનું પ્રમાણ વધે છે.
આશરે $1100 \; K$ તાપમાને, લાલ રંગને અનુરૂપ તરંગલંબાઈવાળા તરંગોનું પ્રમાણ વધારે હોવાથી પદાર્થ લાલ દેખાય છે.
વીનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ: "કોઈપણ પદાર્થની સપાટી પરથી ઉત્સર્જિત થતા વિકિરણની મહત્તમ વર્ણપટ ઉત્સર્જન શક્તિને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ $(\lambda_{m})$, ઉત્સર્જક સપાટીના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે."
ગાણિતિક રીતે, $\lambda_{m} \propto \frac{1}{T}$ અથવા $\lambda_{m} T = b$, જ્યાં $b$ એ વીનનો અચળાંક છે.
વીનનો અચળાંકનું મૂલ્ય $2.9 \times 10^{-3} \; m \cdot K$ છે.
નોંધ: અહીં $\lambda_{m}$ એ મહત્તમ તરંગલંબાઈ નથી, પરંતુ તે તરંગલંબાઈ છે કે જેના પર વિકિરણ ઉર્જા ઘનતા મહત્તમ હોય છે.
આ નિયમ સમજાવે છે કે લોખંડના ટુકડાને ગરમ કરવાથી તે પહેલા લાલ, પછી લીલો-પીળો અને અંતે સફેદ કેમ દેખાય છે.
વીનનો નિયમ સૂર્ય, ચંદ્ર અને તારાઓ જેવા અવકાશી પદાર્થોની સપાટીનું તાપમાન અંદાજવા માટે ઉપયોગી છે.

(A) વિયનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ $\lambda_m T = b$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $b$ એ વિયનનો અચળાંક છે.
$SI$ એકમમાં,વિયનના અચળાંકનું મૂલ્ય $b \approx 2.898 \times 10^{-3} \ m \cdot K$ છે.
આને $CGS$ એકમમાં ફેરવવા માટે,આપણે મીટરને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવીએ છીએ $(1 \ m = 100 \ cm)$:
$b = 2.898 \times 10^{-3} \ m \cdot K = 2.898 \times 10^{-3} \times 100 \ cm \cdot K = 0.2898 \ cm \cdot K$.
આમ,મૂલ્યો $2.898 \times 10^{-3} \ m \cdot K$ અને $0.2898 \ cm \cdot K$ છે.

(N/A) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ અને મહત્તમ વર્ણપટ ઉત્સર્જન શક્તિને અનુરૂપ તરંગલંબાઇ $\lambda_m$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે,જે $\lambda_m T = b$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $b \approx 2.898 \times 10^{-3} \ m \cdot K$ એ વીનનો અચળાંક છે.
$1$. સૂર્ય માટે: સૂર્ય $500 \ nm$ $(500 \times 10^{-9} \ m)$ ની આસપાસની તરંગલંબાઇ પર મહત્તમ વિકિરણ ઉત્સર્જિત કરે છે. આ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$T = b / \lambda_m = (2.898 \times 10^{-3}) / (500 \times 10^{-9}) \approx 5800 \ K$.
$2$. ચંદ્ર માટે: ચંદ્ર સૂર્યપ્રકાશનું પરાવર્તન કરે છે પરંતુ તે ઉષ્મીય વિકિરણ પણ ઉત્સર્જિત કરે છે. તેની સપાટીનું તાપમાન દિવસ/રાત્રિના ચક્ર મુજબ બદલાય છે,પરંતુ સરેરાશ સપાટીનું તાપમાન આશરે $200 \ K$ થી $400 \ K$ ની વચ્ચે હોય છે,જેમાં સરેરાશ મૂલ્ય સામાન્ય રીતે $250 \ K$ થી $300 \ K$ ની આસપાસ ગણવામાં આવે છે.

(A) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઇ $\lambda_{m}$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ નો ગુણાકાર અચળ હોય છે,એટલે કે $\lambda_{m} T = b$.
આનો અર્થ એ છે કે $T \propto \frac{1}{\lambda_{m}}$.
રંગોને અનુરૂપ પ્રકાશની તરંગલંબાઇનો ક્રમ આ મુજબ છે: $\lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{yellow}} < \lambda_{\text{red}}$.
આપેલ છે કે તારો $A$ વાદળી,તારો $C$ પીળો અને તારો $B$ લાલ છે,તેથી તેમની તરંગલંબાઇ $\lambda_{A} < \lambda_{C} < \lambda_{B}$ છે.
તાપમાન એ તરંગલંબાઇના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,આપણને $T_{A} > T_{C} > T_{B}$ મળે છે.

(A) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, $\lambda_m T = \text{અચળાંક} (b)$.
પ્રથમ ગોળા માટે: $\lambda T_1 = b \implies T_1 = \frac{b}{\lambda}$.
બીજા ગોળા માટે: $(2\lambda) T_2 = b \implies T_2 = \frac{b}{2\lambda} = \frac{T_1}{2}$.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતી વિકિરણ ઉર્જા એ પાવર $P = \sigma A T^4 = \sigma (4\pi R^2) T^4$ છે.
આમ, $P \propto R^2 T^4$.
ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$ ની ગણતરી કરતા.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{r}{2r} \right)^2 \left( \frac{T_1}{T_1/2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 (2)^4 = \frac{1}{4} \times 16 = 4$.
તેથી, ગુણોત્તર $4: 1$ છે.

(D) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થની મહત્તમ તીવ્રતાની તરંગલંબાઈ $(\lambda_m)$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર અચળ હોય છે.
$\lambda_m T = b$ (અચળ)
તેથી,$\lambda_{Sun} T_{Sun} = \lambda_{Moon} T_{Moon}$.
આપેલ છે: $\lambda_{Sun} = 0.5 \times 10^{-6} \, m$ અને $\lambda_{Moon} = 10^{-4} \, m$.
$\frac{T_{Sun}}{T_{Moon}} = \frac{\lambda_{Moon}}{\lambda_{Sun}} = \frac{10^{-4}}{0.5 \times 10^{-6}}$.
$\frac{T_{Sun}}{T_{Moon}} = \frac{10^{-4}}{0.5 \times 10^{-6}} = \frac{100 \times 10^{-6}}{0.5 \times 10^{-6}} = \frac{100}{0.5} = 200$.
આમ,તેમના તાપમાનનો ગુણોત્તર $200$ છે.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
વર્ણપટ્ટીય ઉત્સર્જન શક્તિ $e_\lambda$ ને એકમ સમય દીઠ,એકમ સપાટીના ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ તરંગલંબાઈના ગાળા દીઠ ઉત્સર્જિત ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કુલ ઉત્સર્જન શક્તિ $E$ એ $0$ થી $\infty$ સુધીની તમામ શક્ય તરંગલંબાઈઓ પર વર્ણપટ્ટીય ઉત્સર્જન શક્તિનું સંકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$E = \int \limits_0^{\infty} e_\lambda d \lambda$.
ભૌમિતિક રીતે,સંકલન $\int \limits_0^{\infty} e_\lambda d \lambda$ એ વર્ણપટ્ટીય ઉત્સર્જન શક્તિ $(e_\lambda)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચે દોરવામાં આવેલા આલેખના વક્ર નીચેનો વિસ્તાર દર્શાવે છે.
આ કુલ ઉત્સર્જન શક્તિ સપાટી દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણની કુલ તીવ્રતા દર્શાવે છે.