Thermal Expansion for fluid Questions in Gujarati

(B) જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે પદાર્થનું કદ $V$ વધે છે,જ્યારે તેનું દળ $m$ અચળ રહે છે. ઘનતા $\rho = m/V$ હોવાથી,ઘનતામાં ઘટાડો થાય છે.
કદ પ્રસરણ માટેનો સંબંધ: $V = V_0(1 + \gamma \Delta \theta)$,જ્યાં $\gamma$ એ કદ પ્રસરણાંક છે.
તાપમાન $\theta$ પર ઘનતા $\rho = m/V$ છે અને પ્રારંભિક તાપમાન $\theta_0$ પર $\rho_0 = m/V_0$ છે.
તેથી,$\frac{\rho}{\rho_0} = \frac{V_0}{V} = \frac{V_0}{V_0(1 + \gamma \Delta \theta)} = (1 + \gamma \Delta \theta)^{-1}$.
નાના $\gamma \Delta \theta$ માટે દ્વિપદી અંદાજનો ઉપયોગ કરતા,$(1 + \gamma \Delta \theta)^{-1} \approx (1 - \gamma \Delta \theta)$ મળે છે.
આમ,$\rho = \rho_0(1 - \gamma \Delta \theta)$.

(A) પ્રવાહીના સ્તંભ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = h \rho g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બંને સ્તંભો એકબીજાને સંતુલિત કરે છે,તેથી તેમનું દબાણ સમાન છે: $h_1 \rho_1 g = h_2 \rho_2 g$,જેનો અર્થ છે કે $h_1 \rho_1 = h_2 \rho_2$.
તાપમાન સાથે ઘનતામાં થતા ફેરફાર માટેના સંબંધ $\rho = \frac{\rho_0}{1 + \gamma \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{h_1}{h_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{1 + \gamma \theta_1}{1 + \gamma \theta_2}$.
અહીં $h_1 = 50 \ cm$,$\theta_1 = 50^{\circ}C$,$h_2 = 60 \ cm$,અને $\theta_2 = 100^{\circ}C$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{50}{60} = \frac{1 + 50\gamma}{1 + 100\gamma}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $50(1 + 100\gamma) = 60(1 + 50\gamma)$.
$50 + 5000\gamma = 60 + 3000\gamma$.
$2000\gamma = 10$.
$\gamma = \frac{10}{2000} = 0.005 \ ^{\circ}C^{-1}$.

(D) અચળ દબાણે કદ અને તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ $V_t = V_0(1 + \gamma t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ કદ પ્રસરણાંક છે.
બે અલગ-અલગ તાપમાન $t_1$ અને $t_2$ માટે,આપણી પાસે $\frac{V_1}{V_2} = \frac{1 + \gamma t_1}{1 + \gamma t_2}$ છે.
આપેલ છે કે $V_1 = 100 \, cm^3$ તાપમાન $t_1 = 20^{\circ}C$ પર અને $V_2 = 125 \, cm^3$ તાપમાન $t_2 = 100^{\circ}C$ પર.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{100}{125} = \frac{1 + 20\gamma}{1 + 100\gamma}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $0.8 = \frac{1 + 20\gamma}{1 + 100\gamma}$.
$0.8(1 + 100\gamma) = 1 + 20\gamma$.
$0.8 + 80\gamma = 1 + 20\gamma$.
$60\gamma = 0.2$.
$\gamma = \frac{0.2}{60} = \frac{1}{300} \approx 0.0033 \, ^{\circ}C^{-1}$.

(A) ઘનતા અને તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ $\rho = \frac{\rho_0}{1 + \gamma \Delta \theta} \approx \rho_0(1 - \gamma \Delta \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$0^{\circ}C$ $(273 \, K)$ તાપમાને $\rho_0 = 13.6 \, g/cm^3$.
$\gamma = 0.18 \times 10^{-3} \, ^{\circ}C^{-1}$.
અંતિમ તાપમાન $T = 473 \, K$,જે $473 - 273 = 200^{\circ}C$ થાય.
તેથી,$\Delta \theta = 200^{\circ}C - 0^{\circ}C = 200^{\circ}C$.
કિંમતો મૂકતા:
$\rho = 13.6 \times [1 - (0.18 \times 10^{-3} \times 200)]$
$\rho = 13.6 \times [1 - 0.036]$
$\rho = 13.6 \times 0.964 = 13.1104 \, g/cm^3$.
આમ,$473 \, K$ તાપમાને ઘનતા આશરે $13.11 \, g/cm^3$ છે.

(B) પ્રવાહીનું આભાસી પ્રસરણ એ તેના વાસ્તવિક પ્રસરણ અને પાત્રના પ્રસરણ વચ્ચેનો તફાવત છે.
કાચના પાત્રનો કદ પ્રસરણાંક $(\gamma_{vessel})$ એ રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha)$ સાથે $\gamma_{vessel} = 3\alpha$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$\gamma_{vessel} = 3 \times 0.000009 = 0.000027 \text{ /}^{\circ}\text{C}$.
આભાસી કદ પ્રસરણાંક $(\gamma_{app})$ એ $\gamma_{app} = \gamma_{real} - \gamma_{vessel}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\gamma_{app} = 0.000597 - 0.000027 = 0.00057 \text{ /}^{\circ}\text{C}$.

(C) પાણી અસામાન્ય વિસ્તરણ દર્શાવે છે. $4^{\circ}C$ તાપમાને તેની ઘનતા મહત્તમ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે આ તાપમાને તેનું કદ ન્યૂનતમ હોય છે.
જો પાણીને $4^{\circ}C$ થી ઉપર ગરમ કરવામાં આવે,તો તેની ઘનતા ઘટે છે,જેના કારણે તેનું કદ વધે છે.
જો પાણીને $4^{\circ}C$ થી નીચે ઠંડુ કરવામાં આવે,તો પણ તેની ઘનતા ઘટે છે,જેના કારણે તેનું કદ વધે છે.
બીકર $4^{\circ}C$ તાપમાને પહેલેથી જ સંપૂર્ણ ભરેલું હોવાથી,ગરમ કરવા અથવા ઠંડુ કરવાને કારણે કદમાં થતો કોઈપણ વધારો પાણીને ઉભરાવા માટે મજબૂર કરશે. તેથી,બંને કિસ્સાઓમાં પાણી ઉભરાશે.

(A) આભાસી વિસ્તરણનો ગુણાંક $\gamma_{\text{app}}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\gamma_{\text{app}} = \frac{\text{બહાર નીકળેલું દળ}}{\text{બાકી રહેલું દળ} \times \Delta T}$
અહીં આપેલ છે કે બહાર નીકળેલું દળ એ બાકી રહેલા દળના $(1/100)$ ભાગનું છે,ધારો કે બાકી રહેલું દળ $m$ છે. તો બહાર નીકળેલું દળ $m/100$ થશે.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 80^{\circ}C$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\gamma_{\text{app}} = \frac{m/100}{m \times 80} = \frac{1}{100 \times 80} = \frac{1}{8000}$
$\gamma_{\text{app}} = 0.000125 = 1.25 \times 10^{-4} {^{\circ}C^{-1}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) કાચના ફ્લાસ્કની સાપેક્ષમાં પારાનું આભાસી પ્રસરણ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta V = V_0 (\gamma_{real} - \gamma_{glass}) \Delta T$.
કાચના કદ પ્રસરણનો ગુણાંક $\gamma_{glass} = 3\alpha_{glass}$ હોવાથી,$\gamma_{glass} = 3 \times 9 \times 10^{-6} {^{\circ}C}^{-1} = 27 \times 10^{-6} {^{\circ}C}^{-1}$ થાય.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 38^{\circ}C - 18^{\circ}C = 20^{\circ}C$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta V = 50 \times (180 \times 10^{-6} - 27 \times 10^{-6}) \times 20$.
$\Delta V = 50 \times (153 \times 10^{-6}) \times 20 = 1000 \times 153 \times 10^{-6} = 0.153\, cc$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,નિશાનીની ઉપર રહેલા પારાનું પ્રમાણ $0.15\, cc$ છે.

(B) બહાર નીકળતા મર્ક્યુરીનું કદ એ મર્ક્યુરીના કદમાં થતો વધારો અને કાચના ફ્લાસ્કના આંતરિક કદમાં થતા વધારાના તફાવત જેટલું હોય છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક કદ $V_0 = 1000 \, cc$ (કારણ કે $1 \, L = 1000 \, cc$).
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta \theta = 100^{\circ}C - 0^{\circ}C = 100^{\circ}C$.
મર્ક્યુરીના કદ પ્રસરણનો ગુણાંક $\gamma_L = 1.82 \times 10^{-4} \, ^{\circ}C^{-1}$.
કાચના રેખીય પ્રસરણનો ગુણાંક $\alpha_g = 0.1 \times 10^{-4} \, ^{\circ}C^{-1}$.
કાચના કદ પ્રસરણનો ગુણાંક $\gamma_g = 3\alpha_g = 3 \times 0.1 \times 10^{-4} = 0.3 \times 10^{-4} \, ^{\circ}C^{-1}$ થાય.
બહાર નીકળતા મર્ક્યુરીનું કદ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\Delta V = V_0 (\gamma_L - \gamma_g) \Delta \theta$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta V = 1000 \times (1.82 \times 10^{-4} - 0.3 \times 10^{-4}) \times 100$
$\Delta V = 1000 \times (1.52 \times 10^{-4}) \times 100$
$\Delta V = 15.2 \, cc$.
આમ,$15.2 \, cc$ મર્ક્યુરી બહાર નીકળી જશે.

(D) પારાના કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V_0 \gamma \Delta \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદમાં થતો આ ફેરફાર પારાને સ્ટેમમાં ઉપર ચઢાવે છે,તેથી $\Delta V = A \Delta l$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta l$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે.
બંનેને સરખાવતા,$A \Delta l = V_0 \gamma \Delta \theta$ મળે છે.
આપેલ છે: $V_0 = 10^{-6} \, m^3$,$\gamma = 18 \times 10^{-5} \, ^\circ C^{-1}$,$\Delta \theta = 100 \, ^\circ C$,અને $A = 0.004 \, cm^2 = 0.004 \times 10^{-4} \, m^2 = 4 \times 10^{-7} \, m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta l = \frac{V_0 \gamma \Delta \theta}{A} = \frac{10^{-6} \times 18 \times 10^{-5} \times 100}{4 \times 10^{-7}}$.
$\Delta l = \frac{18 \times 10^{-9}}{4 \times 10^{-7}} = 4.5 \times 10^{-2} \, m = 4.5 \, cm$.

(A) ધારો કે સંદર્ભ તાપમાને દરેક ભુજામાં પ્રવાહીની પ્રારંભિક ઊંચાઈ $l_0$ છે.
જ્યારે બે ભુજાઓના તાપમાન અનુક્રમે $t_1$ અને $t_2$ સુધી વધારવામાં આવે છે,ત્યારે નવી ઊંચાઈઓ $l_1$ અને $l_2$ ઉષ્મીય પ્રસરણના સૂત્ર $l = l_0(1 + \gamma \Delta t)$ દ્વારા મળે છે.
જો સંદર્ભ તાપમાન $0^{\circ}C$ હોય,તો:
$l_1 = l_0(1 + \gamma t_1)$ અને $l_2 = l_0(1 + \gamma t_2)$.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ $l_0 = \frac{l_1}{1 + \gamma t_1} = \frac{l_2}{1 + \gamma t_2}$.
$l_0$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$l_1(1 + \gamma t_2) = l_2(1 + \gamma t_1)$
$l_1 + l_1 \gamma t_2 = l_2 + l_2 \gamma t_1$
$l_1 - l_2 = \gamma (l_2 t_1 - l_1 t_2)$
તેથી,કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ નું મૂલ્ય:
$\gamma = \frac{l_1 - l_2}{l_2 t_1 - l_1 t_2}$ થાય.

(D) કદપ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta V = \gamma V_1 \Delta T$ છે.
અહીં,$\Delta V = V_2 - V_1 = 125 \, cm^3 - 100 \, cm^3 = 25 \, cm^3$.
પ્રારંભિક કદ $V_1 = 100 \, cm^3$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 100 \, ^\circ C - 20 \, ^\circ C = 80 \, ^\circ C$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\gamma = \frac{\Delta V}{V_1 \Delta T} = \frac{25}{100 \times 80} = \frac{25}{8000} = 0.003125 \, ^\circ C^{-1}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,મૂલ્ય $0.0031 \, ^\circ C^{-1}$ છે.

(B) તાપમાનના વધારા સાથે પારો અને કાચના ફલાસ્ક બંનેના કદમાં વધારો થાય છે.
ફલાસ્કની બહાર ઢોળાતા પારાનું કદ એ પારાના કદમાં થતો વધારો અને કાચના ફલાસ્કના આંતરિક કદમાં થતા વધારા વચ્ચેનો તફાવત છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક કદ $V_0 = 1 \, L = 1000 \, cm^3$
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta \theta = 100 \, ^\circ C - 0 \, ^\circ C = 100 \, ^\circ C$
પારાનો કદપ્રસરણાંક $\gamma_l = 1.82 \times 10^{-4} \, ^\circ C^{-1}$
કાચનો રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha_g = 0.1 \times 10^{-4} \, ^\circ C^{-1}$
કાચનો કદપ્રસરણાંક $\gamma_g = 3 \alpha_g = 3 \times 0.1 \times 10^{-4} = 0.3 \times 10^{-4} \, ^\circ C^{-1}$
બહાર ઢોળાતા પારાનું કદ:
$\Delta V = V_0 (\gamma_l - \gamma_g) \Delta \theta$
$\Delta V = 1000 \times (1.82 \times 10^{-4} - 0.3 \times 10^{-4}) \times 100$
$\Delta V = 1000 \times (1.52 \times 10^{-4}) \times 100$
$\Delta V = 15.2 \, cm^3$

(C) ધારો કે $\rho_0$ અને $\rho_T$ એ અનુક્રમે પ્રારંભિક અને અંતિમ તાપમાને ગ્લિસરીનની ઘનતા છે.
ઘનતા અને તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ $\rho_T = \rho_0(1 - \gamma \Delta T)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ કદ પ્રસરણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{\rho_T}{\rho_0} = 1 - \gamma \Delta T$ મળે છે.
ઘનતામાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\rho_0 - \rho_T}{\rho_0}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
સમીકરણ પરથી,$\frac{\rho_0 - \rho_T}{\rho_0} = \gamma \Delta T$ મળે છે.
અહીં $\gamma = 5 \times 10^{-4} \ K^{-1}$ અને $\Delta T = 40 \ K$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,ઘનતામાં થતો આંશિક ફેરફાર = $(5 \times 10^{-4} \ K^{-1}) \times (40 \ K) = 200 \times 10^{-4} = 0.02$.

(C) તાપમાન $T + \Delta T$ પર પદાર્થની ઘનતા $\rho$ અને તાપમાન $T$ પર તેની પ્રારંભિક ઘનતા $\rho_0$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\rho = \frac{\rho_0}{1 + \gamma \Delta T}$.
અહીં $\gamma \Delta T \ll 1$ હોવાથી,દ્વિપદી અંદાજનો ઉપયોગ કરતા: $\rho \approx \rho_0(1 - \gamma \Delta T)$.
ઘનતામાં થતો ફેરફાર $\Delta \rho = \rho - \rho_0 = -\rho_0 \gamma \Delta T$ છે.
ઘનતામાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{|\Delta \rho|}{\rho_0} = \gamma \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\gamma = 5 \times 10^{-4} \ K^{-1}$ અને $\Delta T = 40^{\circ} C = 40 \ K$.
તેથી,આંશિક ફેરફાર = $5 \times 10^{-4} \times 40 = 200 \times 10^{-4} = 0.02$.

(B) આપેલ આલેખ પરથી,$t = 0 ^oC$ તાપમાને વાયુનું કદ $V_0 = 0.5 \text{ લિટર}$ છે.
કદ પ્રસરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $V_t = V_0(1 + \alpha t)$.
અહીં $\alpha = \frac{1}{273} \text{ પ્રતિ } ^oC$ અને $t = 819 ^oC$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V_t = 0.5 \times (1 + \frac{1}{273} \times 819)$.
$V_t = 0.5 \times (1 + 3) = 0.5 \times 4 = 2 \text{ લિટર}$.
કારણ કે $1 \text{ લિટર} = 10^{-3} \text{ m}^3$,તેથી કદ $2 \times 10^{-3} \text{ m}^3$ થશે.

(D) ધારો કે પાત્રનું પ્રારંભિક કદ $V_0$ છે અને પાત્ર તથા તેલ બંને માટે કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ છે.
જ્યારે તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો વધારો થાય છે,ત્યારે પાત્રનું નવું કદ $V_v = V_0(1 + \gamma \Delta T)$ થાય છે.
તેલનું નવું કદ $V_o = V_0(1 + \gamma \Delta T)$ થાય છે.
પ્રસરણ સમાન હોવાથી,તેલ કોઈપણ પ્રકારના ઉભરાયા વગર પાત્રને સંપૂર્ણપણે ભરેલું રાખશે.
પાત્રનું કદ વધ્યું હોવાથી,તે હવે પ્રારંભિક સ્થિતિની તુલનામાં વધુ કદનું તેલ સમાવી શકે છે.
જો કે,જેમ તેલ પ્રસરણ પામે છે તેમ તેની ઘનતા ઘટે છે,તેથી દળ $m = \rho V$ અચળ રહે છે કારણ કે કદમાં થયેલો વધારો ઘનતામાં થયેલા ઘટાડા દ્વારા સરભર થઈ જાય છે.
આમ,પાત્ર વધુ કદનું તેલ સમાવે છે,પરંતુ તેલનું કુલ દળ સમાન રહે છે.

(A) આભાસી વિસ્તરણનો ગુણાંક $\gamma_a$ એ $\gamma_a = \gamma_l - \gamma_v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma_l$ એ પ્રવાહીના કદ વિસ્તરણનો વાસ્તવિક ગુણાંક છે અને $\gamma_v$ એ પાત્રના કદ વિસ્તરણનો ગુણાંક છે.
તાંબાના પાત્ર માટે: $C = \gamma_l - \gamma_c \implies \gamma_l = C + \gamma_c$.
ચાંદીના પાત્ર માટે: $S = \gamma_l - \gamma_s$,જ્યાં $\gamma_s$ એ ચાંદીના કદ વિસ્તરણનો ગુણાંક છે.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $\gamma_l$ ની કિંમત મૂકતા: $S = (C + \gamma_c) - \gamma_s$.
$\gamma_s$ માટે ગોઠવતા: $\gamma_s = C + \gamma_c - S$.
કદ વિસ્તરણનો ગુણાંક એ રેખીય વિસ્તરણના ગુણાંક કરતા ત્રણ ગણો હોવાથી $(\gamma_s = 3\alpha_s)$,આપણને મળે છે $3\alpha_s = C + \gamma_c - S$.
તેથી,ચાંદીના રેખીય વિસ્તરણનો ગુણાંક $\alpha_s = \frac{C + \gamma_c - S}{3}$ છે.

(C) ધારો કે $h_1 = 120 \, cm$ એ $0^{\circ}C$ તાપમાને પ્રવાહીની ઊંચાઈ છે (ડાબી નળી).
ધારો કે $h_2 = 120 + 4 = 124 \, cm$ એ $30^{\circ}C$ તાપમાને પ્રવાહીની ઊંચાઈ છે (જમણી નળી).
બંને નળીઓના તળિયે દબાણ સમાન હોવું જોઈએ:
$h_1 \rho_1 g = h_2 \rho_2 g$
$\rho_1 h_1 = \rho_2 h_2$
કારણ કે $\rho_2 = \frac{\rho_1}{1 + \gamma \Delta T}$,જ્યાં $\Delta T = 30^{\circ}C - 0^{\circ}C = 30^{\circ}C$:
$h_1 = h_2 \left( \frac{1}{1 + \gamma \Delta T} \right)$
$1 + \gamma \Delta T = \frac{h_2}{h_1} = \frac{124}{120}$
$\gamma \Delta T = \frac{124}{120} - 1 = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$
$\gamma = \frac{1}{30 \times 30} = \frac{1}{900} \approx 0.00111 \, /^{\circ}C$
$\gamma \approx 11.11 \times 10^{-4} /^{\circ}C$.

(C) $U$-ટ્યુબના તળિયે,સંતુલન માટે બંને પ્રવાહી સ્તંભો દ્વારા લાગતું દબાણ સમાન હોવું જોઈએ.
$P_T = P_0$
$\rho_T h_T g = \rho_0 h_0 g$
$\rho_T h_T = \rho_0 h_0 \quad \dots(1)$
પ્રવાહીની ઘનતા તાપમાન સાથે $\rho_T = \frac{\rho_0}{1 + \gamma T}$ મુજબ બદલાય છે,જ્યાં $\gamma$ એ કદ વિસ્તરણ ગુણાંક છે.
આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\left( \frac{\rho_0}{1 + \gamma T} \right) h_T = \rho_0 h_0$
$h_T = h_0 (1 + \gamma T)$
$h_T = h_0 + h_0 \gamma T$
$h_T - h_0 = h_0 \gamma T$
$\gamma = \frac{h_T - h_0}{h_0 T}$

(B) પાત્રના પદાર્થનો રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ છે. તેથી,પાત્રનો કદ પ્રસરણાંક $\gamma_{container} = 3 \alpha$ થાય.
જ્યારે તંત્રને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે જો પ્રવાહીના કદમાં થતો વધારો પાત્રના કદમાં થતા વધારા કરતા વધારે હોય,તો પ્રવાહી બહાર છલકાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહીનો કદ પ્રસરણાંક $(\gamma)$ એ પાત્રના કદ પ્રસરણાંક $(\gamma_{container})$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
તેથી,$\gamma > 3 \alpha$.

(C) ઘનતા $\rho$ અને તાપમાન $t$ વચ્ચેનો સંબંધ $\rho_t = \rho_0 (1 - \gamma \Delta t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ કદ પ્રસરણનો ગુણાંક છે.
તાપમાનમાં નાના ફેરફાર માટે,ઘનતામાં ફેરફાર $\rho_2 = \rho_1 (1 - \gamma \Delta t)$ દ્વારા મળે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\rho_2 - \rho_1 = -\rho_1 \gamma (t_2 - t_1)$ મળે છે.
મૂલ્ય લેતા,$\gamma = \frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_1 (t_2 - t_1)}$.
અહીં $\rho_1 = 0.998 \, g/cm^3$,$\rho_2 = 0.992 \, g/cm^3$,$t_1 = 20^oC$,અને $t_2 = 40^oC$ આપેલ છે.
$\gamma = \frac{0.998 - 0.992}{0.998 \times (40 - 20)} = \frac{0.006}{0.998 \times 20} \approx \frac{0.006}{19.96} \approx 3.006 \times 10^{-4} \, ^oC^{-1}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $3 \times 10^{-4} \, ^oC^{-1}$ છે.

(D) પ્રવાહીના વાસ્તવિક વિસ્તરણનો ગુણાંક $\gamma_{\text{real}} = \gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma_{\text{vessel}} = 3\alpha$ અને $\alpha$ એ રેખીય વિસ્તરણનો ગુણાંક છે.
પાત્ર $A$ માટે,વાસ્તવિક વિસ્તરણ $\gamma_{\text{real}} = \gamma_1 + 3\alpha$ છે.
પાત્ર $B$ માટે,વાસ્તવિક વિસ્તરણ $\gamma_{\text{real}} = \gamma_2 + 3\alpha_B$ છે,જ્યાં $\alpha_B$ એ પાત્ર $B$ ના રેખીય વિસ્તરણનો ગુણાંક છે.
પ્રવાહી સમાન હોવાથી,$\gamma_{\text{real}}$ અચળ રહે છે. તેથી,$\gamma_1 + 3\alpha = \gamma_2 + 3\alpha_B$.
$\alpha_B$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $3\alpha_B = \gamma_1 - \gamma_2 + 3\alpha$.
આમ,$\alpha_B = \frac{\gamma_1 - \gamma_2}{3} + \alpha$.

(C) જ્યારે કોઈ પાત્રમાં પ્રવાહીને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહીના કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V_{\ell} = V \gamma \Delta T$ છે અને પાત્રના કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V_{c} = V \gamma_{c} \Delta T$ છે,જ્યાં $\gamma_{c} = 3\alpha$ છે.
પ્રવાહી બહાર છલકાય તે માટે,પ્રવાહીનું પ્રસરણ પાત્રના પ્રસરણ કરતા વધારે હોવું જોઈએ,એટલે કે $\Delta V_{\ell} > \Delta V_{c}$.
આ પદોને મૂકતા,આપણને $V \gamma \Delta T > V (3\alpha) \Delta T$ મળે છે.
બંને બાજુ $V \Delta T$ વડે ભાગતા,આપણને $\gamma > 3\alpha$ મળે છે.

(B) ફ્લાસ્કનું કદ $V_0 = 1 \, L = 1000 \, cc$ છે.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \theta = 100 \, ^oC - 0 \, ^oC = 100 \, ^oC$ છે.
મર્ક્યુરીના કદ પ્રસરણનો ગુણાંક $\gamma_m = 1.82 \times 10^{-4} / ^oC$ છે.
કાચના રેખીય પ્રસરણનો ગુણાંક $\alpha_g = 0.1 \times 10^{-4} / ^oC$ છે.
કાચના કદ પ્રસરણનો ગુણાંક $\gamma_g = 3 \alpha_g = 3 \times 0.1 \times 10^{-4} = 0.3 \times 10^{-4} / ^oC$ થશે.
બહાર ઢોળાતા મર્ક્યુરીનું કદ એ મર્ક્યુરીના પ્રસરણ અને કાચના ફ્લાસ્કના પ્રસરણ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta V = V_0 (\gamma_m - \gamma_g) \Delta \theta$
$\Delta V = 1000 \times (1.82 \times 10^{-4} - 0.3 \times 10^{-4}) \times 100$
$\Delta V = 1000 \times (1.52 \times 10^{-4}) \times 100$
$\Delta V = 15.2 \, cc$.

(B) આભાસી વિસ્તરણનો ગુણાંક $\gamma_{app}$ એ પ્રવાહીના વાસ્તવિક વિસ્તરણ ગુણાંક $\gamma_r$ અને પાત્રના કદ વિસ્તરણ ગુણાંક $\gamma_v$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\gamma_{app} = \gamma_r - \gamma_v$.
પાત્ર માટે,કદ વિસ્તરણ ગુણાંક $\gamma_v = 3\alpha$,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય વિસ્તરણ ગુણાંક છે.
આમ,$\gamma_{app} = \gamma_r - 3\alpha$.
સ્ટીલ માટે: $\gamma_{app, steel} = 114 \times 10^{-6} /^{\circ}C$ અને $\alpha_{steel} = 12 \times 10^{-6} /^{\circ}C$.
$\gamma_r = \gamma_{app, steel} + 3\alpha_{steel} = 114 \times 10^{-6} + 3(12 \times 10^{-6}) = 150 \times 10^{-6} /^{\circ}C$.
કાચ માટે: $\gamma_{app, glass} = 132 \times 10^{-6} /^{\circ}C$.
સૂત્ર $\gamma_{app, glass} = \gamma_r - 3\alpha_{glass}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$132 \times 10^{-6} = 150 \times 10^{-6} - 3\alpha_{glass}$.
$3\alpha_{glass} = 18 \times 10^{-6} /^{\circ}C$.
$\alpha_{glass} = 6 \times 10^{-6} /^{\circ}C$.

(D) પ્રવાહીના વિસ્તરણનો વાસ્તવિક ગુણાંક અચળ હોય છે અને તે નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\gamma_{\text{real}} = \gamma_{\text{apparent}} + \gamma_{\text{vessel}}$.
પાત્ર $A$ માટે,કદ વિસ્તરણનો ગુણાંક $\gamma_{v,A} = 3\alpha$ છે. તેથી,$\gamma_{\text{real}} = \gamma_1 + 3\alpha$.
પાત્ર $B$ માટે,ધારો કે રેખીય વિસ્તરણનો ગુણાંક $\alpha_B$ છે. તેથી કદ વિસ્તરણનો ગુણાંક $\gamma_{v,B} = 3\alpha_B$ થાય. આમ,$\gamma_{\text{real}} = \gamma_2 + 3\alpha_B$.
બંને કિસ્સામાં પ્રવાહી માટે $\gamma_{\text{real}}$ સમાન હોવાથી,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$\gamma_1 + 3\alpha = \gamma_2 + 3\alpha_B$.
$\alpha_B$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$3\alpha_B = \gamma_1 - \gamma_2 + 3\alpha$.
$\alpha_B = \frac{\gamma_1 - \gamma_2}{3} + \alpha$.

(C) પાત્રનો કદ પ્રસરણાંક $(\gamma_c)$ અને તેના રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma_c = 3\alpha$ છે.
અહીં આપેલ છે કે પાત્રનો રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = \gamma/3$ છે,તેથી $\gamma_c = 3 \times (\gamma/3) = \gamma$ થાય.
પ્રવાહીનો કદ પ્રસરણાંક $(\gamma_l = \gamma)$ અને પાત્રનો કદ પ્રસરણાંક $(\gamma_c = \gamma)$ સમાન હોવાથી,ગરમ કરવા પર પ્રવાહીનું કદ અને પાત્રનું આંતરિક કદ સમાન પ્રમાણમાં વધે છે.
તેથી,પાત્રમાં પ્રવાહીનું સ્તર અપરિવર્તિત રહેશે.

(C) તાપમાન $T$ પર પદાર્થની ઘનતા $d$ અને પ્રારંભિક તાપમાન $T_0$ પરની ઘનતા $d_i$ વચ્ચેનો સંબંધ $d_f = \frac{d_i}{1 + \gamma \Delta T}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ કદ પ્રસરણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
ઘનતામાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{d_i - d_f}{d_i} = 1 - \frac{d_f}{d_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d_f$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને મળે છે: $1 - \frac{1}{1 + \gamma \Delta T} = \frac{1 + \gamma \Delta T - 1}{1 + \gamma \Delta T} = \frac{\gamma \Delta T}{1 + \gamma \Delta T}$.
અહીં $\gamma \Delta T$ ખૂબ નાનું હોવાથી $(5 \times 10^{-4} \times 40 = 0.02)$,આપણે $1 + \gamma \Delta T \approx 1$ લઈ શકીએ.
તેથી,આંશિક ફેરફાર $\approx \gamma \Delta T$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\text{આંશિક ફેરફાર} = 5 \times 10^{-4} \times 40 = 200 \times 10^{-4} = 0.020$.

(C) ગ્લિસરીનનો કદ પ્રસરણાંક $\alpha_V = 49 \times 10^{-5} \; K^{-1}$ આપેલ છે.
તાપમાનમાં વધારો $\Delta T = 30 \; ^{\circ}C$ છે.
કદ અને ઘનતા વચ્ચેનો સંબંધ $\rho = \frac{m}{V}$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $V$ એ કદ છે.
તાપમાનમાં નાના ફેરફાર માટે,કદ $V' = V(1 + \alpha_V \Delta T)$ મુજબ બદલાય છે.
નવી ઘનતા $\rho'$ એ $\rho' = \frac{m}{V'} = \frac{m}{V(1 + \alpha_V \Delta T)} = \rho(1 + \alpha_V \Delta T)^{-1}$ દ્વારા મળે છે.
દ્વિપદી અંદાજ $(1 + x)^{-1} \approx 1 - x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\rho' \approx \rho(1 - \alpha_V \Delta T)$ મળે છે.
ઘનતામાં ફેરફાર $\Delta \rho = \rho' - \rho = -\rho \alpha_V \Delta T$ છે.
ઘનતામાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{|\Delta \rho|}{\rho} = \alpha_V \Delta T$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{|\Delta \rho|}{\rho} = 49 \times 10^{-5} \times 30 = 1470 \times 10^{-5} = 1.47 \times 10^{-2}$.

(N/A) પાણીનું અસામાન્ય વિસ્તરણ:
પાણીનું ઉષ્મીય વિસ્તરણ તાપમાન સાથે અસમાન હોય છે.
પાણી $0^{\circ} C$ અને $4^{\circ} C$ ની વચ્ચે ગરમ કરવાથી સંકોચાય છે. ઓરડાના તાપમાનથી ઠંડુ પાડતા પાણીનું કદ ઘટે છે, જ્યાં સુધી તેનું તાપમાન $4^{\circ} C$ સુધી ન પહોંચે.
$4^{\circ} C$ થી નીચે, કદ વધે છે અને તેથી ઘનતા ઘટે છે.
આનો અર્થ એ છે કે પાણીની ઘનતા $4^{\circ} C$ પર મહત્તમ હોય છે.
આ ગુણધર્મની પર્યાવરણીય અસર મહત્વપૂર્ણ છે: સરોવરો અને તળાવો જેવા જળાશયો પહેલા ઉપરથી થીજી જાય છે.
જેમ જેમ સરોવર $4^{\circ} C$ તરફ ઠંડુ થાય છે, તેમ સપાટીની નજીકનું પાણી વાતાવરણમાં ઉર્જા ગુમાવે છે, વધુ ઘટ્ટ બને છે અને નીચે બેસે છે; તળિયે રહેલું ગરમ અને ઓછી ઘનતાવાળું પાણી ઉપર આવે છે. જો કે, એકવાર ઉપરનું ઠંડુ પાણી $4^{\circ} C$ થી નીચેના તાપમાને પહોંચે, ત્યારે તે ઓછી ઘનતા ધરાવતું બને છે અને સપાટી પર જ રહે છે, જ્યાં તે થીજી જાય છે.
જો પાણીમાં આ ગુણધર્મ ન હોત, તો સરોવરો અને તળાવો તળિયેથી ઉપર તરફ થીજી ગયા હોત, જેનાથી તેમાં રહેલા મોટાભાગના પ્રાણીઓ અને વનસ્પતિઓનો નાશ થયો હોત.

(N/A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$PV = \mu RT$
જ્યાં $P$ એ દબાણ છે,$V$ એ કદ છે,$\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
અચળ દબાણે,જો તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો ફેરફાર થાય,તો કદમાં $\Delta V$ જેટલો ફેરફાર થાય છે:
$P(V + \Delta V) = \mu R(T + \Delta T)$
$PV + P\Delta V = \mu RT + \mu R\Delta T$
$PV = \mu RT$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$P\Delta V = \mu R\Delta T$
આ સમીકરણને મૂળ સમીકરણ $PV = \mu RT$ વડે ભાગતા:
$\frac{P\Delta V}{PV} = \frac{\mu R\Delta T}{\mu RT}$
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta T}{T}$
કદ પ્રસરણાંક $\alpha_V$ ની વ્યાખ્યા $\alpha_V = \frac{1}{V} \frac{\Delta V}{\Delta T}$ છે.
તેથી,$\alpha_V = \frac{1}{T}$.
આદર્શ વાયુ માટે,$\alpha_V$ તાપમાન પર આધાર રાખે છે અને તે નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ $\alpha_V$ ઘટે છે. $0^{\circ}C$ $(273.15 \ K)$ તાપમાને,$\alpha_V \approx 3.66 \times 10^{-3} \ K^{-1}$ હોય છે,જે ઘન અને પ્રવાહી કરતા ઘણું વધારે છે.

(N/A) કદ પ્રસરણ એટલે તાપમાનમાં વધારો થવાને કારણે પદાર્થના કદમાં થતો વધારો. જ્યારે ઘન,પ્રવાહી કે વાયુને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેના અણુઓ વધુ જોરથી કંપન કરે છે,જેના કારણે પદાર્થ ત્રણેય પરિમાણોમાં વિસ્તરે છે.
કદ પ્રસરણાંક $(\gamma)$ ને તાપમાનમાં એકમ ફેરફાર દીઠ કદમાં થતા આંશિક ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે આ મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે: $\gamma = \frac{1}{V} \frac{\Delta V}{\Delta T}$,જ્યાં $\Delta V$ એ કદમાં ફેરફાર છે,$V$ એ મૂળ કદ છે,અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં ફેરફાર છે.
કદ પ્રસરણાંકનો $SI$ એકમ પ્રતિ કેલ્વિન $(K^{-1})$ અથવા પ્રતિ ડિગ્રી સેલ્સિયસ $(^{\circ}C^{-1})$ છે.

(N/A) $\alpha_V$ ને કદ પ્રસરણાંક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તે તાપમાનમાં એકમ ફેરફાર દીઠ કદમાં થતા આંશિક ફેરફારને દર્શાવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$\alpha_V = \frac{1}{V} \frac{dV}{dT}$.
$\alpha_V$ એ પદાર્થના દ્રવ્યના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે.
તેનો $SI$ એકમ $\text{K}^{-1}$ અથવા $^\circ\text{C}^{-1}$ છે.

(A) કદ પ્રસરણાંક $\alpha_V$ એ તાપમાનમાં એકમ ફેરફાર દીઠ કદમાં થતા આંશિક ફેરફારને દર્શાવે છે.
પ્રવાહી સામાન્ય રીતે ઘન પદાર્થો કરતા વધુ વિસ્તરણ પામે છે,અને પ્રવાહીઓમાં,જેમના આંતરઆણ્વિય બળો નબળા હોય છે તેઓ સામાન્ય રીતે ઉચ્ચ પ્રસરણાંક દર્શાવે છે.
આલ્કોહોલ એ એક કાર્બનિક પ્રવાહી છે જેમાં મર્ક્યુરીમાં રહેલા ધાત્વિક બંધની તુલનામાં આંતરઆણ્વિય બળો પ્રમાણમાં નબળા હોય છે.
પ્રાયોગિક મૂલ્યો દર્શાવે છે કે આલ્કોહોલ માટે $\alpha_V$ આશરે $1.1 \times 10^{-3} \ K^{-1}$ છે,જ્યારે મર્ક્યુરી માટે તે આશરે $0.18 \times 10^{-3} \ K^{-1}$ છે.
તેથી,આલ્કોહોલ માટે કદ પ્રસરણાંક વધારે છે.

(N/A) કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ ને $\gamma = \frac{1}{V} \left( \frac{dV}{dT} \right)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. $4\,^{\circ}C$ તાપમાને પાણીની ઘનતા મહત્તમ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું કદ $V$ ન્યૂનતમ હોય છે. આ તાપમાને કદ ન્યૂનતમ હોવાથી,તાપમાનની સાપેક્ષમાં કદમાં થતો ફેરફાર $\left( \frac{dV}{dT} \right)$ શૂન્ય થાય છે. તેથી,$4\,^{\circ}C$ તાપમાને પાણીનો કદ પ્રસરણાંક $0$ હોય છે.

(C) પાણી અસામાન્ય વિસ્તરણ દર્શાવે છે. જ્યારે પાણીને $0\,^{\circ}C$ થી $4\,^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની ઘનતા વધે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું કદ ઘટે છે.
$4\,^{\circ}C$ તાપમાને પહોંચ્યા પછી,પાણી સામાન્ય પ્રવાહીની જેમ વર્તે છે અને તેને $4\,^{\circ}C$ થી $10\,^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરતા તેનું કદ વધે છે.
તેથી,પાણીનું કદ પહેલા ઘટે છે અને પછી વધે છે.

(N/A) જે પદાર્થનું તાપમાન વધતા તે સંકોચન પામે છે તે પદાર્થ $Ice$ (બરફ) છે ($0^{\circ}C$ થી $4^{\circ}C$ ની વચ્ચે). આ ઘટનાને પાણીનું અસામાન્ય વિસ્તરણ (anomalous expansion of water) કહેવામાં આવે છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
અચળ દબાણે,$V = (nR/P)T$ થાય.
કદ પ્રસરણાંક $\alpha_V$ ને $\alpha_V = \frac{1}{V} \left( \frac{dV}{dT} \right)_P$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અચળ દબાણે $V$ નું $T$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dT} = \frac{nR}{P}$ મળે છે.
આ કિંમત વ્યાખ્યામાં મૂકતા,$\alpha_V = \frac{1}{V} \left( \frac{nR}{P} \right) = \frac{1}{V} \left( \frac{V}{T} \right) = \frac{1}{T}$ મળે.
$0\,^{\circ}\text{C}$ તાપમાને,નિરપેક્ષ તાપમાન $T = 273.15 \, \text{K}$ થાય.
તેથી,$\alpha_V = \frac{1}{273.15} \approx 3.66 \times 10^{-3} \, \text{K}^{-1}$.
ભૌતિકશાસ્ત્રના દાખલાઓમાં વપરાતા પ્રમાણિત અંદાજ મુજબ,$\alpha_V \approx 3.3 \times 10^{-3} \, \text{K}^{-1}$ (જેને ઘણીવાર $1/273 \, \text{K}^{-1}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે).

(A) આદર્શ વાયુ માટે અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે।
અચળ દબાણે, $P \Delta V = nR \Delta T$ થાય।
કદ પ્રસરણાંક $\alpha_{V}$ ની વ્યાખ્યા $\alpha_{V} = \frac{1}{V} \frac{dV}{dT}$ છે।
આદર્શ વાયુના નિયમ પરથી, $\frac{dV}{dT} = \frac{nR}{P} = \frac{V}{T}$ મળે।
તેથી, $\alpha_{V} = \frac{1}{V} (\frac{V}{T}) = \frac{1}{T}$।
ઓરડાના તાપમાને $(T \approx 300 \ K)$, $\alpha_{V} = \frac{1}{300} \approx 3.33 \times 10^{-3} \ K^{-1}$ થાય।

(A) ધારો કે $V_{0}$ એ બીકરની કુલ ક્ષમતા છે અને $V_{m}$ એ $30^{\circ} C$ તાપમાને મર્ક્યુરીનું કદ છે. ખાલી કદ $\Delta V = V_{0} - V_{m}$ છે.
જ્યારે તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો વધારો થાય છે,ત્યારે બીકરની નવી ક્ષમતા $V_{0}' = V_{0}(1 + \gamma_{b} \Delta T)$ અને મર્ક્યુરીનું નવું કદ $V_{m}' = V_{m}(1 + \gamma_{m} \Delta T)$ થાય છે.
ખાલી કદ અચળ રહે છે,તેથી $\Delta V' = \Delta V$,જેનો અર્થ છે કે $V_{0}' - V_{m}' = V_{0} - V_{m}$.
$V_{0}'$ અને $V_{m}'$ ના સમીકરણો મૂકતા:
$V_{0}(1 + \gamma_{b} \Delta T) - V_{m}(1 + \gamma_{m} \Delta T) = V_{0} - V_{m}$
$V_{0} + V_{0} \gamma_{b} \Delta T - V_{m} - V_{m} \gamma_{m} \Delta T = V_{0} - V_{m}$
$V_{0} \gamma_{b} \Delta T = V_{m} \gamma_{m} \Delta T$
$V_{m} = \frac{V_{0} \gamma_{b}}{\gamma_{m}}$
આપેલ છે કે $V_{0} = 500\, cc$,$\gamma_{b} = 6 \times 10^{-6}{ }^{\circ} C^{-1}$,અને $\gamma_{m} = 1.5 \times 10^{-4}{ }^{\circ} C^{-1}$:
$V_{m} = \frac{500 \times 6 \times 10^{-6}}{1.5 \times 10^{-4}} = \frac{3000 \times 10^{-6}}{1.5 \times 10^{-4}} = \frac{3 \times 10^{-3}}{1.5 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^{1} = 20\, cc$.

(B) પ્રવાહીના વાસ્તવિક વિસ્તરણ ગુણાંક $(\gamma_r)$ અને આભાસી વિસ્તરણ ગુણાંક $(\gamma_a)$ તથા પાત્રના કદ વિસ્તરણ ગુણાંક $(\gamma_v)$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\gamma_r = \gamma_a + \gamma_v$ છે.
ધારો કે પ્રવાહીનો વાસ્તવિક કદ વિસ્તરણ ગુણાંક $\gamma_L$ છે.
પિત્તળના પાત્ર માટે: $\gamma_L = X + 3\alpha$, જ્યાં $3\alpha$ એ પિત્તળનો કદ વિસ્તરણ ગુણાંક છે.
ટીનના પાત્ર માટે: $\gamma_L = Y + 3\alpha_{\text{tin}}$, જ્યાં $\alpha_{\text{tin}}$ એ ટીનનો રેખીય વિસ્તરણ ગુણાંક છે.
$\gamma_L$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$X + 3\alpha = Y + 3\alpha_{\text{tin}}$
$\alpha_{\text{tin}}$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$3\alpha_{\text{tin}} = X + 3\alpha - Y$
$\alpha_{\text{tin}} = \frac{X + 3\alpha - Y}{3}$

(A) આપેલ છે: કદ પ્રસરણાંક $\gamma = 49 \times 10^{-5} \, K^{-1}$ અને તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 30^{\circ} C = 30 \, K$.
તાપમાન $T + \Delta T$ પર પદાર્થની ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho_2 = \frac{\rho_1}{1 + \gamma \Delta T} \approx \rho_1(1 - \gamma \Delta T)$ છે,જ્યાં $\gamma \Delta T$ ના નાના મૂલ્યો માટે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_1} = \gamma \Delta T$ મળે છે.
ઘનતામાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta \rho}{\rho_1} = \gamma \Delta T$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta \rho}{\rho_1} = (49 \times 10^{-5}) \times 30 = 1470 \times 10^{-5} = 1.47 \times 10^{-2}$.

(C) ધારો કે પાત્રનો રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ છે. આપેલ છે કે $\alpha = 1 \times 10^{-5} /^{\circ} C$.
પાત્રનો કદ પ્રસરણાંક $\gamma_{\text{vessel}} = 3\alpha = 3 \times 1 \times 10^{-5} /^{\circ} C = 3 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ થાય.
ધારો કે $Hg$ નો કદ પ્રસરણાંક $\gamma_{\text{Hg}}$ છે.
જ્યારે પાત્રને ગરમ કરવામાં આવે ત્યારે $Hg$ બહાર ન છલકાય તે માટે,$Hg$ નું કદ પ્રસરણ એ પાત્રના કદ પ્રસરણ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\gamma_{\text{Hg}} \leq \gamma_{\text{vessel}}$.
કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\gamma_{\text{Hg}} \leq 3 \times 10^{-5} /^{\circ} C$.

(C) પાત્રનો કદ પ્રસરણાંક $(\gamma_v)$ અને તેના રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma_v = 3\alpha$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $\alpha = \frac{\gamma}{3}$,તેથી $\gamma_v = 3 \times (\frac{\gamma}{3}) = \gamma$ થાય.
પ્રવાહીનો કદ પ્રસરણાંક $(\gamma_l = \gamma)$ એ પાત્રના કદ પ્રસરણાંક $(\gamma_v = \gamma)$ જેટલો હોવાથી,તાપમાનમાં થતા ફેરફાર માટે પ્રવાહી અને પાત્ર બંને સમાન કદના પ્રમાણમાં વિસ્તરણ પામશે.
તેથી,પાત્રમાં પ્રવાહીનું સ્તર લગભગ સમાન રહેશે.

(D) પાણી $0^{\circ} C$ અને $4^{\circ} C$ ની વચ્ચે અસામાન્ય વિસ્તરણ દર્શાવે છે.
જ્યારે પાણીને $0^{\circ} C$ થી $4^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની ઘનતા વધે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું કદ ઘટે છે.
$4^{\circ} C$ તાપમાને,પાણી તેની મહત્તમ ઘનતા અને ન્યૂનતમ કદ પ્રાપ્ત કરે છે.
જ્યારે પાણીને $4^{\circ} C$ થી $10^{\circ} C$ સુધી વધુ ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે સામાન્ય પ્રવાહીની જેમ વિસ્તરે છે અને તેનું કદ વધે છે.
તેથી,પાણીનું કદ પહેલા ઘટે છે અને પછી વધે છે.

(B) કદ પ્રસરણ એટલે તાપમાનમાં વધારાને કારણે વાયુના કદમાં થતું પ્રસરણ.
$\therefore$ કદ પ્રસરણાંક $\alpha_{V}$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\alpha_{V} = \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_{p} ... (i)$
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $pV = nRT$ પરથી,આપણને મળે છે $V = \frac{nRT}{p}$.
અચળ દબાણ $p$ પર તાપમાન $T$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_{p} = \frac{nR}{p}$
આ કિંમતને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\alpha_{V} = \frac{1}{V} \left( \frac{nR}{p} \right) = \frac{1}{V} \left( \frac{pV}{T} \cdot \frac{1}{p} \right) = \frac{1}{T}$
આમ,$\alpha_{V} = \frac{1}{T}$.
આ દર્શાવે છે કે $\alpha_{V}$ એ $\frac{1}{T}$ ના સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,$\alpha_{V}$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{T}$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા મળશે. આ વિકલ્પ $(b)$ માં યોગ્ય રીતે દર્શાવેલ છે.

(B) ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{m}{V}$ છે.
દળ $m$ અચળ રહેતું હોવાથી,$\rho \propto \frac{1}{V}$ થાય.
લોગેરિધમિક વિકલન લેતા,$\frac{d\rho}{\rho} = -\frac{dV}{V}$ મળે.
નાના ફેરફારો માટે,$\frac{\Delta \rho}{\rho} = -\frac{\Delta V}{V}$ લખી શકાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta V = V_0 \gamma \Delta T$,જ્યાં $\gamma$ એ કદ પ્રસરણાંક છે.
તેથી,$\frac{\Delta \rho}{\rho} = -\gamma \Delta T$ થાય.
ઘનતામાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = -\gamma \Delta T \times 100$ છે.
અહીં $\gamma = 18.2 \times 10^{-5} \ K^{-1}$ અને $\Delta T = 60^{\circ} C - 10^{\circ} C = 50 \ K$ આપેલ છે.
ટકાવારી ફેરફાર $= 18.2 \times 10^{-5} \times 50 \times 100 = 18.2 \times 10^{-5} \times 5000 = 0.91 \%$.

(A) બહાર વહી જતા પ્રવાહીનું કદ એ પ્રવાહીના પ્રસરણ અને કાચના પાત્રના પ્રસરણ વચ્ચેના તફાવત જેટલું હોય છે.
પ્રવાહીના કદમાં થતો વધારો,$\Delta V_L = V_0 \gamma_L \Delta T$.
કાચના પાત્રના કદમાં થતો વધારો,$\Delta V_g = V_0 \gamma_g \Delta T$.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma_g = 3\alpha_g$ હોવાથી,$\Delta V_g = V_0 (3\alpha_g) \Delta T$ મળે.
બહાર વહી જતા પ્રવાહીનું કદ $\Delta V_{overflow} = \Delta V_L - \Delta V_g$ થાય.
$\Delta V_{overflow} = V_0 \gamma_L \Delta T - V_0 (3\alpha_g) \Delta T$.
$\Delta V_{overflow} = V_0 \Delta T (\gamma_L - 3\alpha_g)$.

(B) બહાર નીકળતા પારાનું કદ એ પારો અને કાચના ફ્લાસ્કના કદ પ્રસરણ વચ્ચેના તફાવત જેટલું હોય છે.

$\Delta V = V_0 (\gamma_m - \gamma_g) \Delta \theta$

અહીં $\gamma_g = 3 \alpha_g$ છે, જ્યાં $\alpha_g$ એ કાચનો રેખીય પ્રસરણ ગુણાંક છે।

$\gamma_g = 3 \times (0.1 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C) = 0.3 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C = 30 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$

આપેલ છે કે $\gamma_m = 1.82 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C = 182 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$, $V_0 = 1 \text{ litre} = 1000 \text{ cc}$, અને $\Delta \theta = 100^{\circ} C$.

$\Delta V = 1000 \times (182 \times 10^{-6} - 30 \times 10^{-6}) \times 100$

$\Delta V = 1000 \times (152 \times 10^{-6}) \times 100 = 15.2 \text{ cc}$

આમ, બહાર નીકળતા પારાનું પ્રમાણ $15.2 \text{ cc}$ છે.