Thermal Expansion for fluid Questions in Gujarati

(B) બહાર નીકળતા પારાનું કદ એ પારો અને કાચના ફ્લાસ્કના કદ પ્રસરણ વચ્ચેના તફાવત જેટલું હોય છે.

$\Delta V = V_0 (\gamma_m - \gamma_g) \Delta \theta$

અહીં $\gamma_g = 3 \alpha_g$ છે, જ્યાં $\alpha_g$ એ કાચનો રેખીય પ્રસરણ ગુણાંક છે।

$\gamma_g = 3 \times (0.1 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C) = 0.3 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C = 30 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$

આપેલ છે કે $\gamma_m = 1.82 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C = 182 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$, $V_0 = 1 \text{ litre} = 1000 \text{ cc}$, અને $\Delta \theta = 100^{\circ} C$.

$\Delta V = 1000 \times (182 \times 10^{-6} - 30 \times 10^{-6}) \times 100$

$\Delta V = 1000 \times (152 \times 10^{-6}) \times 100 = 15.2 \text{ cc}$

આમ, બહાર નીકળતા પારાનું પ્રમાણ $15.2 \text{ cc}$ છે.

(A) તાપમાનમાં વધારા $(\Delta T)$ ને કારણે કદમાં થતો ફેરફાર $(\Delta V)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\Delta V = \alpha_V V \Delta T$ ... $(i)$
જ્યાં $\alpha_V$ એ કદ પ્રસરણાંક છે અને $V$ એ વાયુનું પ્રારંભિક કદ છે.
આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ છે:
$pV = nRT$ ... $(ii)$
અચળ દબાણ $p$ પર,આદર્શ વાયુના સમીકરણનું વિકલન કરતા:
$p \Delta V = nR \Delta T$
$\Delta V = \frac{nR \Delta T}{p}$ ... $(iii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(iii)$ ની સરખામણી કરતા:
$\alpha_V V \Delta T = \frac{nR \Delta T}{p}$
$\alpha_V = \frac{nR}{pV}$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $pV = nRT$ મૂકતા:
$\alpha_V = \frac{nR}{nRT} = \frac{1}{T}$
આમ,$\alpha_V = \frac{1}{T}$.

(B) બહાર નીકળતા પારાનું કદ એ પારો અને કાચના ફ્લાસ્કના કદ પ્રસરણ વચ્ચેના તફાવત જેટલું હોય છે.
$
\Delta V = V_0 [\gamma_m - \gamma_g] \Delta \theta
$
કારણ કે $\gamma_g = 3\alpha_g$,તેથી:
$
\Delta V = V_0 [\gamma_m - 3\alpha_g] \Delta \theta
$
આપેલ છે:
$V_0 = 1 \ L = 1000 \ cc$
$\gamma_m = 1.82 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C = 182 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
$\alpha_g = 0.1 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C = 10 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
$\Delta \theta = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100^{\circ} C$
કિંમતો મૂકતા:
$
\Delta V = 1000 \times [182 \times 10^{-6} - 3(10 \times 10^{-6})] \times 100
$
$
\Delta V = 1000 \times [182 \times 10^{-6} - 30 \times 10^{-6}] \times 100
$
$
\Delta V = 1000 \times [152 \times 10^{-6}] \times 100 = 15.2 \ cc
$

(D) પ્રવાહીના વાસ્તવિક વિસ્તરણનો ગુણાંક $(\gamma_r)$ અચળ હોય છે અને તે આભાસી વિસ્તરણ ગુણાંક $(\gamma_a)$ અને પાત્રના કદ વિસ્તરણ ગુણાંક $(\gamma_v = 3\alpha)$ ના સરવાળા જેટલો હોય છે.
તાંબાના પાત્ર માટે: $\gamma_r = \gamma_{a1} + 3\alpha_{cu}$.
સ્ટીલના પાત્ર માટે: $\gamma_r = \gamma_{a2} + 3\alpha_{st}$.
$\gamma_r$ માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\gamma_{a1} + 3\alpha_{cu} = \gamma_{a2} + 3\alpha_{st}$.
આપેલ છે: $\gamma_{a1} = 6 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$, $\gamma_{a2} = 24 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$, અને $\alpha_{cu} = 18 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.
કિંમતો મૂકતા: $6 \times 10^{-6} + 3(18 \times 10^{-6}) = 24 \times 10^{-6} + 3\alpha_{st}$.
$6 \times 10^{-6} + 54 \times 10^{-6} = 24 \times 10^{-6} + 3\alpha_{st}$.
$60 \times 10^{-6} = 24 \times 10^{-6} + 3\alpha_{st}$.
$3\alpha_{st} = 36 \times 10^{-6}$.
$\alpha_{st} = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.

(C) પ્રવાહીના વાસ્તવિક પ્રસરણનો ગુણાંક $(\gamma_r)$ એ આભાસી પ્રસરણના ગુણાંક $(\gamma_a)$ અને પાત્રના કદ પ્રસરણના ગુણાંક $(\gamma_g)$ ના સરવાળા જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\gamma_r = \gamma_a + \gamma_g$.
આઈસોટ્રોપિક ઘન પદાર્થ માટે કદ પ્રસરણનો ગુણાંક $(\gamma_g)$ એ રેખીય પ્રસરણના ગુણાંક $(\alpha_g)$ કરતા ત્રણ ગણો હોય છે,તેથી $\gamma_g = 3 \alpha_g$.
આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\gamma_r = \gamma_a + 3 \alpha_g$ મળે છે.

(B) $0^{\circ} C$ તાપમાને ઘનતા,$\rho_0 = 1.0127 \ g/cm^3$
$100^{\circ} C$ તાપમાને ઘનતા,$\rho_{100} = 1 \ g/cm^3$
પ્રવાહીનો વાસ્તવિક પ્રસરણાંક,$\gamma_{\text{real}} = \frac{\rho_0 - \rho_{100}}{\rho_{100} \times \Delta t}$
$\gamma_{\text{real}} = \frac{1.0127 - 1}{1 \times 100} = 1.27 \times 10^{-4} /^{\circ} C$
કાચનો કદ પ્રસરણાંક,$\gamma_g = 3 \alpha = 3 \times 9 \times 10^{-6} = 0.27 \times 10^{-4} /^{\circ} C$
આભાસી પ્રસરણાંક,$\gamma_{\text{app}} = \gamma_{\text{real}} - \gamma_g = 1.27 \times 10^{-4} - 0.27 \times 10^{-4} = 1 \times 10^{-4} /^{\circ} C$
બહાર નીકળેલું દળ $= m_1 - m_2 = 300 - \frac{300}{1.01} = \frac{3}{1.01} \ g$.

(D) પ્રવાહીના વાસ્તવિક વિસ્તરણનો સહગુણક $(\gamma_{\text{real}})$ આપેલ પ્રવાહી માટે અચળ હોય છે. વાસ્તવિક વિસ્તરણ, આભાસી વિસ્તરણ $(\gamma_{\text{app}})$ અને પાત્રના કદ વિસ્તરણ $(\gamma_{\text{vessel}})$ વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે: $\gamma_{\text{real}} = \gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}}$.
પાત્ર $A$ માટે, કદ વિસ્તરણનો સહગુણક $\gamma_A = 3\alpha$ છે. તેથી, $\gamma_{\text{real}} = \gamma_1 + 3\alpha$.
પાત્ર $B$ માટે, ધારો કે રેખીય વિસ્તરણનો સહગુણક $\alpha_B$ છે. તો $\gamma_B = 3\alpha_B$. તેથી, $\gamma_{\text{real}} = \gamma_2 + 3\alpha_B$.
કારણ કે $\gamma_{\text{real}}$ બંને કિસ્સામાં સમાન છે, આપણે તેમને સરખાવીએ: $\gamma_1 + 3\alpha = \gamma_2 + 3\alpha_B$.
$\alpha_B$ માટે ઉકેલતા: $3\alpha_B = \gamma_1 - \gamma_2 + 3\alpha$.
તેથી, $\alpha_B = \frac{\gamma_1 - \gamma_2}{3} + \alpha$.

(B) ધારો કે $\gamma_L$ એ પ્રવાહીનો વાસ્તવિક કદ પ્રસરણાંક છે.
ધારો કે $\gamma_C$ અને $\gamma_S$ એ અનુક્રમે તાંબા અને ચાંદીના કદ પ્રસરણાંક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કદ પ્રસરણાંક $\gamma = 3 \times \text{રેખીય પ્રસરણાંક } \alpha$.
આપેલ છે કે $\gamma_C = 3A$.
આભાસી પ્રસરણાંકનું સૂત્ર $\gamma_{app} = \gamma_L - \gamma_{vessel}$ છે.
તાંબા માટે: $C = \gamma_L - 3A \implies \gamma_L = C + 3A$.
ચાંદી માટે: $S = \gamma_L - \gamma_S \implies \gamma_S = \gamma_L - S$.
ચાંદીના સમીકરણમાં $\gamma_L = C + 3A$ મૂકતા: $\gamma_S = C + 3A - S$.
કારણ કે $\gamma_S = 3 \alpha_S$,જ્યાં $\alpha_S$ એ ચાંદીનો રેખીય પ્રસરણાંક છે:
$3 \alpha_S = C + 3A - S \implies \alpha_S = \frac{C + 3A - S}{3}$.