Periodic functions Questions in Hindi

(B) $\sin(ax)$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{|a|}$ होता है।
अतः,$\sin 2x$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{2} = \pi$ है।
फलन $f(x) = |\sin(ax)|$ के लिए,आवर्तकाल $\frac{\pi}{|a|}$ होता है।
इसलिए,$|\sin 2x|$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{2}$ है।

(B) दिया गया व्यंजक $f(\theta) = \sin \theta \cos \theta$ है।
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$f(\theta) = \frac{1}{2} \sin 2\theta$.
$\sin(k\theta)$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{|k|}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$k = 2$ है,इसलिए आवर्तकाल $\frac{2\pi}{2} = \pi$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना $f(\theta) = \frac{\sin \theta + \sin 2\theta}{\cos \theta + \cos 2\theta}$.
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = \frac{2 \sin \left(\frac{3\theta}{2}\right) \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{3\theta}{2}\right) \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)} = \tan \left(\frac{3\theta}{2}\right)$.
$\tan(k\theta)$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{|k|}$ होता है।
यहाँ,$k = \frac{3}{2}$ है,इसलिए आवर्तकाल $\frac{\pi}{3/2} = \frac{2\pi}{3}$ है।

(C) $\cos(ax + b)$ के रूप वाले त्रिकोणमितीय फलन का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{|a|}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 7$ और $b = -5$ है।
अतः,आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{|7|} = \frac{2\pi}{7}$ होगा।

(D) हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = 2 \left( \frac{1}{2} \sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \right)$.
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $2 \sin \left( \theta - \frac{\pi}{3} \right)$ प्राप्त होता है।
$\sin(k\theta)$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{|k|}$ होता है।
यहाँ,$k = 1$ है,इसलिए आवर्तकाल $\frac{2\pi}{1} = 2\pi$ है।

(D) $\sin(ax)$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{|a|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\sin \frac{x}{2}$ के लिए, आवर्तकाल $\frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ है।
$\cos \frac{x}{3}$ के लिए, आवर्तकाल $\frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$ है।
व्यंजक $\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{3}$ का आवर्तकाल $4\pi$ और $6\pi$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ है।
$LCM(4\pi, 6\pi) = 12\pi$.

(C) $\cot 3x$ का आवर्तकाल $T_1 = \frac{\pi }{3}$ है।
$\cos (4x + 3)$ का आवर्तकाल $T_2 = \frac{2\pi }{4} = \frac{\pi }{2}$ है।
फलन $f(x) = \cot 3x - \cos (4x + 3)$ का आवर्तकाल $T_1$ और $T_2$ का $L.C.M.$ है।
$L.C.M. \left( \frac{\pi }{3}, \frac{\pi }{2} \right) = \frac{L.C.M. (\pi, \pi)}{H.C.F. (3, 2)} = \frac{\pi }{1} = \pi$.
अतः,आवर्तकाल $\pi$ है।

(D) माना $f(\theta) = 2\sin 3\theta + 4\cos 3\theta$.
हम इसे $f(\theta) = R\sin(3\theta + \alpha)$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $R = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$.
अतः,$f(\theta) = 2\sqrt{5} \sin(3\theta + \alpha)$.
दिया गया फलन $g(\theta) = |f(\theta)| = |2\sqrt{5} \sin(3\theta + \alpha)|$ है।
$\sin(3\theta + \alpha)$ का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{3}$ है।
$|\sin(3\theta + \alpha)|$ का आवर्तकाल $\frac{T}{2} = \frac{2\pi/3}{2} = \frac{\pi}{3}$ होगा।
अतः,$|2\sin 3\theta + 4\cos 3\theta |$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{3}$ है।

(A) माना $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$ है।
सर्वसमिका $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x$
$f(x) = 1 - 2(\sin x \cos x)^2$
$f(x) = 1 - 2(\frac{\sin 2x}{2})^2$
$f(x) = 1 - \frac{\sin^2 2x}{2}$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} \right)$
$f(x) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x$
$f(x) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x$
$\cos(kx)$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{|k|}$ होता है।
अतः,$f(x)$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।

(D) फलन $f(x) = \sin(kx)$ का आवर्तनांक $\frac{2\pi}{|k|}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$k = \frac{1}{n}$ है।
इसलिए,$f(x) = \sin \left( \frac{x}{n} \right)$ का आवर्तनांक $\frac{2\pi}{|1/n|} = 2n\pi$ है (यह मानते हुए कि $n > 0$ है)।
दिया गया है कि आवर्तनांक $4\pi$ है,इसलिए $2n\pi = 4\pi$ है।
$n$ के लिए हल करने पर,हमें $n = 2$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ होता है।
$\cos(kx)$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{|k|}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$k = 2$ है,इसलिए आवर्तकाल $\frac{2\pi}{2} = \pi$ होगा।
अतः,$\sin^2 x$ का आवर्तकाल $\pi$ है।

(B) $y = \sin(ax + b)$ रूप के फलन का आवर्तनांक ज्ञात करने का सूत्र $T = \frac{2\pi}{|a|}$ है।
यहाँ दिए गए फलन $y = \sin 2x$ में $a = 2$ है।
अतः,आवर्तनांक $T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$ होगा।

(C) एक फलन $y = f(t)$ का आवर्तकाल $T$ होता है यदि $f(t + T) = f(t)$ हो।
विकल्प $(a)$ के लिए,पदों की आवृत्तियाँ $2\pi, 3\pi, 5\pi$ हैं। आवर्तकाल $T_1 = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$,$T_2 = \frac{2\pi}{3\pi} = \frac{2}{3}$,$T_3 = \frac{2\pi}{5\pi} = \frac{2}{5}$ हैं। $(1, \frac{2}{3}, \frac{2}{5})$ का ल.स.प. $2$ है।
विकल्प $(b)$ के लिए,आवर्तकाल $T_1 = \frac{2\pi}{\pi/3} = 6$ और $T_2 = \frac{2\pi}{\pi/4} = 8$ हैं। $(6, 8)$ का ल.स.प. $24$ है।
विकल्प $(c)$ के लिए,$\sin t$ का आवर्तकाल $2\pi$ है और $\cos 2t$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{2} = \pi$ है। $(2\pi, \pi)$ का ल.स.प. $2\pi$ है। अतः,फलन $y = \sin t + \cos 2t$ का आवर्तकाल $2\pi$ है।

(D) $\sin \left( \frac{2x}{3} \right)$ का आवर्तनांक $T_1 = \frac{2\pi}{2/3} = 3\pi$ है।
$\sin \left( \frac{3x}{2} \right)$ का आवर्तनांक $T_2 = \frac{2\pi}{3/2} = \frac{4\pi}{3}$ है।
दो आवर्ती फलनों के योग का आवर्तनांक उनके व्यक्तिगत आवर्तनांकों का $L.C.M.$ होता है।
हमें $3\pi$ और $\frac{4\pi}{3}$ का $L.C.M.$ ज्ञात करना है।
$L.C.M. \left( \frac{a}{b}, \frac{c}{d} \right) = \frac{L.C.M.(a, c)}{H.C.F.(b, d)}$.
$L.C.M. \left( \frac{3\pi}{1}, \frac{4\pi}{3} \right) = \frac{L.C.M.(3\pi, 4\pi)}{H.C.F.(1, 3)} = \frac{12\pi}{1} = 12\pi$.
अतः, आवर्तनांक $12\pi$ है।

(A) फलन $f(x) = \cos px + \sin x$ आवर्ती है यदि कोई आवर्तकाल $\lambda > 0$ मौजूद हो ताकि सभी $x \in R$ के लिए $f(x + \lambda) = f(x)$ हो।
इसका अर्थ है $\sin(x + \lambda) + \cos p(x + \lambda) = \sin x + \cos px$।
इसके सत्य होने के लिए,$\sin x$ और $\cos px$ दोनों का एक सामान्य आवर्तकाल $\lambda$ होना चाहिए।
$\sin x$ का आवर्तकाल $2\pi$ है और $\cos px$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{|p|}$ है।
योग के आवर्ती होने के लिए,आवर्तकालों का अनुपात एक परिमेय संख्या होनी चाहिए:
$\frac{2\pi}{2\pi/|p|} = |p| \in Q$।
अतः,$p$ एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।

(A) फलन $f(x) = \sin(ax)$ का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{|a|}$ द्वारा दिया जाता है।
पद $\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right)$ के लिए,आवर्तकाल $T_1 = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$ है।
पद $\cos \left( \frac{\pi x}{2} \right)$ के लिए,आवर्तकाल $T_2 = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$ है।
दो आवर्ती फलनों के योग का आवर्तकाल उनके व्यक्तिगत आवर्तकालों का लघुत्तम समापवर्त्य ($L$.$C$.$M$.) होता है।
अतः,$\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right)$ का आवर्तकाल = $(4, 4)$ का ल.स.प. $= 4$ है।

(D) $\sin \frac{\pi x}{2}$ का आवर्तनांक $T_1 = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$ है।
$\cos \frac{\pi x}{3}$ का आवर्तनांक $T_2 = \frac{2\pi}{\pi/3} = 6$ है।
$\tan \frac{\pi x}{4}$ का आवर्तनांक $T_3 = \frac{\pi}{\pi/4} = 4$ है।
अतः,$f(x)$ का आवर्तनांक $(T_1, T_2, T_3)$ का ल.स.प. $= L.C.M.(4, 6, 4) = 12$ होगा।

(D) फलन $f(x) = |\sin(\pi x)|$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $\sin(ax)$ का आवर्तनांक $\frac{2\pi}{|a|}$ होता है।
फलन $|\sin(ax)|$ के लिए,आवर्तनांक $\frac{\pi}{|a|}$ होता है।
यहाँ,$a = \pi$ है।
अतः,आवर्तनांक $\frac{\pi}{\pi} = 1$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \sin \left( \frac{\pi x}{n - 1} \right) + \cos \left( \frac{\pi x}{n} \right)$ है।
$\sin \left( \frac{\pi x}{n - 1} \right)$ का आवर्तकाल $T_1 = \frac{2\pi}{\left( \frac{\pi}{n - 1} \right)} = 2(n - 1)$ है।
$\cos \left( \frac{\pi x}{n} \right)$ का आवर्तकाल $T_2 = \frac{2\pi}{\left( \frac{\pi}{n} \right)} = 2n$ है।
$f(x)$ का आवर्तकाल $T_1$ और $T_2$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ है,जो $2(n - 1)$ और $2n$ का $LCM$ है।
चूंकि $n$ और $n-1$ सह-अभाज्य (coprime) हैं,इसलिए $LCM(2(n-1), 2n) = 2n(n - 1)$ होगा।
अतः,आवर्तकाल $2n(n - 1)$ है।

(A) $n = 2$ के लिए,फलन $f(x) = \frac{\sin(2x)}{\sin(x/2)}$ है।
सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$ का उपयोग करने पर,$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) = 4\sin(x/2)\cos(x/2)\cos(x)$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = 4\cos(x/2)\cos(x)$।
$\cos(x)$ का आवर्तकाल $2\pi$ है और $\cos(x/2)$ का आवर्तकाल $4\pi$ है।
दो फलनों के गुणनफल का आवर्तकाल उनके व्यक्तिगत आवर्तकालों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ होता है। $2\pi$ और $4\pi$ का $LCM$ $4\pi$ है।
अतः,सही मान $n = 2$ है।

(C) मान लीजिए कि $f(x)$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T > 0$ है।
परिभाषा के अनुसार,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x + T) = f(x)$ होता है।
दिए गए फलन $f(x) = x - [x]$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x + T) - [x + T] = x - [x]$
$x + T - [x + T] = x - [x]$
$T = [x + T] - [x]$
सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए इस समीकरण को सत्य होने के लिए,$T$ का एक पूर्णांक होना आवश्यक है।
इस शर्त को पूरा करने वाला सबसे छोटा धनात्मक मान $T = 1$ है।
अतः,फलन $f(x) = x - [x]$ (जिसे भिन्नात्मक भाग फलन ${x}$ भी कहा जाता है) का आवर्तकाल $1$ है।

(D) एक फलन $f(x)$ आवर्ती होता है जिसका आवर्तकाल $T$ है यदि सभी $x$ के लिए $f(x + T) = f(x)$ हो।
माना $g(x) = f(ax + b)$ है।
हमें वह आवर्तकाल $T'$ ज्ञात करना है जिसके लिए $g(x + T') = g(x)$ हो।
$g(x + T') = f(a(x + T') + b) = f(ax + aT' + b)$।
इसे $f(ax + b)$ के बराबर होने के लिए,$aT' = T$ होना चाहिए।
अतः,$T' = T/a$।
इस प्रकार,फलन $f(ax + b)$ का आवर्तकाल $T/a$ है।

(A) दिया गया है कि $f(x)$ एक विषम फलन है,इसलिए $f(-x) = -f(x)$।
किसी भी विषम फलन के लिए,$f(0) = -f(0)$,जिसका अर्थ है $2f(0) = 0$,अतः $f(0) = 0$।
दिया गया है कि $f(x)$,$T = 1$ आवर्तकाल वाला एक आवर्ती फलन है,इसलिए सभी $x$ के लिए $f(x + 1) = f(x)$।
आवर्तकाल के गुणधर्म के अनुसार,किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $f(x + nT) = f(x)$।
इसलिए,$f(2) = f(0 + 2 \times 1) = f(0)$।
चूंकि $f(0) = 0$,इसलिए $f(2) = 0$ होगा।

(D) एक फलन $f(x)$ आवर्ती होता है यदि एक ऐसा स्थिरांक $T > 0$ मौजूद हो कि डोमेन के सभी $x$ के लिए $f(x + T) = f(x)$ हो।
$f(x) = \cos \sqrt{x}$ के लिए,हम जाँचते हैं कि क्या $\cos \sqrt{x + T} = \cos \sqrt{x}$ है।
इसका अर्थ है $\sqrt{x + T} = \sqrt{x} + 2n\pi$ या $\sqrt{x + T} = 2n\pi - \sqrt{x}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x + T = x + 4n\pi\sqrt{x} + 4n^2\pi^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $T$ को $x$ से स्वतंत्र एक स्थिरांक होना चाहिए,और व्यंजक में $\sqrt{x}$ शामिल है,इसलिए ऐसा कोई स्थिरांक $T$ मौजूद नहीं है।
अतः,$f(x) = \cos \sqrt{x}$ एक आवर्ती फलन नहीं है।

(A) माना $f(x) = \frac{|\sin x| + |\cos x|}{|\sin x - \cos x|}$ है।
फलन को सरल बनाने के लिए वर्ग करने पर: $f(x)^2 = \frac{(|\sin x| + |\cos x|)^2}{(|\sin x - \cos x|)^2} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x + 2|\sin x \cos x|}{\sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x} = \frac{1 + |\sin 2x|}{1 - \sin 2x}$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,समरूपता देखने पर: $f(x + \pi/2) = \frac{|\sin(x + \pi/2)| + |\cos(x + \pi/2)|}{|\sin(x + \pi/2) - \cos(x + \pi/2)|} = \frac{|\cos x| + |\sin x|}{|\cos x - (-\sin x)|} = \frac{|\sin x| + |\cos x|}{|\cos x + \sin x|} = f(x)$।
चूँकि $f(x + \pi/2) = f(x)$,इसलिए फलन का आवर्तनांक $\pi/2$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = nx + n - [nx + n]$ है।
हम जानते हैं कि भिन्नात्मक भाग फलन (fractional part function) $\{y\} = y - [y]$ के रूप में परिभाषित होता है।
अतः,$f(x) = \{nx + n\}$।
चूँकि $n$ एक पूर्णांक है,इसलिए $nx + n = n(x + 1)$ लिखा जा सकता है।
इस प्रकार,$f(x) = \{n(x + 1)\}$।
भिन्नात्मक भाग फलन $\{u\}$ का मूल आवर्तनांक $1$ होता है।
फलन $f(x) = g(ax)$ के लिए,आवर्तनांक $\frac{T}{|a|}$ होता है,जहाँ $T$,$g(x)$ का आवर्तनांक है।
यहाँ,$\{u\}$ का आवर्तनांक $1$ है,इसलिए $\{n(x + 1)\}$ का आवर्तनांक $\frac{1}{|n|}$ होगा।
चूँकि $n \in N$ और $n > 0$,इसलिए आवर्तनांक $\frac{1}{n}$ है।

(D) एक फलन $f(x)$ आवर्ती कहलाता है यदि कोई धनात्मक वास्तविक संख्या $T$ मौजूद हो ताकि प्रांत के सभी $x$ के लिए $f(x + T) = f(x)$ हो।
$1$. $f(x) = x - [x]$ के लिए,यह भिन्नात्मक भाग फलन है,जिसे $\{x\}$ के रूप में दर्शाया जाता है। यह $T = 1$ के आवर्तकाल के साथ आवर्ती है,क्योंकि $\{x + 1\} = (x + 1) - [x + 1] = x + 1 - ([x] + 1) = x - [x] = \{x\}$। अतः,$(A)$ आवर्ती है।
$2$. $w(x) = \sin^{-1} (\sin x)$ के लिए,यह फलन $T = 2\pi$ के आवर्तकाल के साथ आवर्ती है। चूंकि $\sin(x + 2\pi) = \sin x$,इसलिए $\sin^{-1}(\sin(x + 2\pi)) = \sin^{-1}(\sin x)$ होता है। अतः,$(B)$ आवर्ती है।
$3$. $h(x) = x \cos x$ के लिए,जैसे-जैसे $x \to \infty$ होता है,दोलनों का आयाम रैखिक रूप से बढ़ता है,इसलिए यह नियमित अंतराल पर अपने मानों को दोहराता नहीं है। अतः,$(C)$ आवर्ती नहीं है।
अतः,$(A)$ और $(B)$ दोनों आवर्ती फलन हैं।

(C) $f(x) = \sin^2 x + \cos^4 x + 2$
$= \sin^2 x + (1 - \sin^2 x)^2 + 2$
$= \sin^2 x + 1 - 2\sin^2 x + \sin^4 x + 2$
$= \sin^4 x - \sin^2 x + 3$
$= (\sin^2 x - \frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}$
$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर,$f(x) = \frac{1}{8} \cos 4x + \frac{23}{8}$ प्राप्त होता है।
$\cos 4x$ का आवर्तकाल $T_1 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
$g(x) = \cos(\cos x) + \cos(\sin x)$ के लिए,
$g(x + \frac{\pi}{2}) = \cos(\cos(x + \frac{\pi}{2})) + \cos(\sin(x + \frac{\pi}{2})) = \cos(-\sin x) + \cos(\cos x) = g(x)$।
अतः,$T_2 = \frac{\pi}{2}$ है।
इसलिए,$T_1 = T_2$।

(B) हम जानते हैं कि भिन्नात्मक भाग फलन (fractional part function) $\{x\} = x - [x]$ के रूप में परिभाषित है।
दिया गया फलन $f(x) = \left( \frac{x}{3} - \left[ \frac{x}{3} - 5 \right] \right) + \left( \frac{x}{4} - \left[ \frac{x}{4} - 5 \right] \right) + \left( \frac{x}{5} - \left[ \frac{x}{5} - 5 \right] \right)$ है।
किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $[x - n] = [x] - n$ होता है,इसलिए $\left[ \frac{x}{k} - 5 \right] = \left[ \frac{x}{k} \right] - 5$ होगा।
इस मान को फलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \left( \frac{x}{3} - \left[ \frac{x}{3} \right] + 5 \right) + \left( \frac{x}{4} - \left[ \frac{x}{4} \right] + 5 \right) + \left( \frac{x}{5} - \left[ \frac{x}{5} \right] + 5 \right)$.
$f(x) = \left\{ \frac{x}{3} \right\} + \left\{ \frac{x}{4} \right\} + \left\{ \frac{x}{5} \right\} + 15$.
$\{ax\}$ का आवर्तनांक $\frac{1}{|a|}$ होता है।
अतः,प्रत्येक पद के आवर्तनांक $T_1 = 3$,$T_2 = 4$,और $T_3 = 5$ हैं।
इन फलनों के योग का आवर्तनांक उनके व्यक्तिगत आवर्तनांकों का ल.स.प. ($L$.$C$.$M$.) होगा।
$T = L.C.M.(3, 4, 5) = 60$.

(C) दिया गया फलन $f(x) = \cos^2(\sin x) + \sin^2(\cos x)$ है।
हम वह आवर्तनांक $T$ ज्ञात करते हैं जिसके लिए $f(x+T) = f(x)$ हो।
आइए $T = \pi$ के लिए जाँच करें:
$f(x + \pi) = \cos^2(\sin(x + \pi)) + \sin^2(\cos(x + \pi))$
चूंकि $\sin(x + \pi) = -\sin x$ और $\cos(x + \pi) = -\cos x$,इसलिए:
$f(x + \pi) = \cos^2(-\sin x) + \sin^2(-\cos x)$
$\cos(-\theta) = \cos \theta$ और $\sin(-\theta) = -\sin \theta$ के गुणों का उपयोग करने पर:
$f(x + \pi) = \cos^2(\sin x) + (-\sin(\cos x))^2 = \cos^2(\sin x) + \sin^2(\cos x) = f(x)$.
अतः,$f(x + \pi) = f(x)$ है,इसलिए फलन का आवर्तनांक $\pi$ है।

(A) फलन $f(x) = \log(\cos 2x) + \sin 4x$ का आवर्तनांक ज्ञात करने के लिए,हम इसके घटकों का विश्लेषण करते हैं।
पद $\log(\cos 2x)$ के लिए,फलन केवल तब परिभाषित होता है जब $\cos 2x > 0$ हो।
$\cos 2x$ का आवर्तनांक $\frac{2\pi}{2} = \pi$ है।
पद $\sin 4x$ के लिए,आवर्तनांक $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
दो फलनों के योग का आवर्तनांक उनके व्यक्तिगत आवर्तनांकों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ होता है।
$\pi$ और $\frac{\pi}{2}$ का $LCM$ $\pi$ है।
अतः,फलन $f(x)$ का आवर्तनांक $\pi$ है।

(A) फलन $f(x) = e^{\{x\} + |\cos \pi x| + |\cos 2\pi x| + \dots + |\cos n\pi x|}$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $\{x\} = x - [x]$ भिन्नात्मक भाग फलन है।
$1$. भिन्नात्मक भाग फलन $\{x\}$ का आवर्तकाल $T_0 = 1$ है।
$2$. $|\cos(k\pi x)|$ के प्रत्येक पद के लिए,आवर्तकाल $T_k = \frac{\pi}{k\pi} = \frac{1}{k}$ होता है,जहाँ $k = 1, 2, \dots, n$ है।
$3$. फलन $f(x)$ का आवर्तकाल इसके व्यक्तिगत घटकों के आवर्तकाल का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ है: $T = \text{LCM}(T_0, T_1, T_2, \dots, T_n) = \text{LCM}(1, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{n})$।
$4$. भिन्नों $\frac{a}{b}, \frac{c}{d}, \dots$ का $LCM$ $\frac{\text{LCM}(a, c, \dots)}{\text{GCD}(b, d, \dots)}$ सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$5$. अतः,$T = \frac{\text{LCM}(1, 1, 1, \dots, 1)}{\text{GCD}(1, 2, 3, \dots, n)} = \frac{1}{1} = 1$।
अतः,फलन का आवर्तकाल $1$ है।

(B) माना $f(x) = |\sin 4x| + |\cos 2x|$.
हम जानते हैं कि $|\sin ax|$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{|a|}$ होता है और $|\cos ax|$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{|a|}$ होता है।
$|\sin 4x|$ के लिए,आवर्तकाल $T_1 = \frac{\pi}{4}$ है।
$|\cos 2x|$ के लिए,आवर्तकाल $T_2 = \frac{\pi}{2}$ है।
दो आवर्ती फलनों के योग का आवर्तकाल उनके व्यक्तिगत आवर्तकालों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ होता है।
$T = \text{LCM}\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\text{LCM}(\pi, \pi)}{\text{HCF}(4, 2)} = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$f(x)$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{2}$ है।

(C) माना कि $f(x) = |\cos x|$ है।
हम जानते हैं कि फलन $\cos x$ का आवर्तकाल $2\pi$ होता है।
हालाँकि,जब हम मापांक (absolute value) लेते हैं,तो ग्राफ के ऋणात्मक भाग $x$-अक्ष के ऊपर परावर्तित हो जाते हैं।
विशेष रूप से,$|\cos(x + \pi)| = |-\cos x| = |\cos x|$ है।
चूंकि $f(x + \pi) = f(x)$ है,इसलिए फलन $f(x) = |\cos x|$ का मूल आवर्तकाल $\pi$ है।
जैसा कि ग्राफ में दिखाया गया है,फलन का पैटर्न हर $\pi$ इकाइयों के बाद दोहराया जाता है।

(D) फलन $\cos (kx)$ का आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{|k|}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रत्येक विकल्प की जाँच करने पर:
$A) \cos \left( \frac{\pi}{3} x \right) \implies T = \frac{2 \pi}{\pi/3} = 6$.
$B) \cos \left( \frac{\pi}{2} x \right) \implies T = \frac{2 \pi}{\pi/2} = 4$.
$C) \cos (2 \pi x) \implies T = \frac{2 \pi}{2 \pi} = 1$.
$D) \cos (\pi x) \implies T = \frac{2 \pi}{\pi} = 2$.
अतः,$2$ आवर्तकाल वाला फलन $\cos (\pi x)$ है।

(C) फलन $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ का आवर्तकाल $g(x)$ और $h(x)$ के आवर्तकालों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ होता है।
यहाँ $g(x) = \cos(nx)$ है,जिसका आवर्तकाल $T_1 = \frac{2\pi}{n}$ है।
यहाँ $h(x) = \sin\left(\frac{x}{n}\right)$ है,जिसका आवर्तकाल $T_2 = \frac{2\pi}{1/n} = 2n\pi$ है।
भागफल का आवर्तकाल $T_1$ और $T_2$ का $LCM$ है।
चूंकि $T_2$,$T_1$ का एक गुणज है $(2n\pi = n^2 \cdot \frac{2\pi}{n})$,इसलिए फलन का आवर्तकाल $T_2 = 2n\pi$ है।
दिया गया है कि $2n\pi = 4\pi$,अतः $n = 2$ प्राप्त होता है।

(D) हम सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A + B) \sin(A - B)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$A = \frac{\pi}{8} + \frac{x}{2}$ और $B = \frac{\pi}{8} - \frac{x}{2}$ है।
तब $A + B = \frac{\pi}{8} + \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} - \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4}$ होता है।
और $A - B = \frac{\pi}{8} + \frac{x}{2} - \left(\frac{\pi}{8} - \frac{x}{2}\right) = x$ होता है।
अतः,$f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(x)$ प्राप्त होता है।
$\sin(x)$ का आवर्तनांक $2\pi$ है।
इसलिए,$f(x)$ का आवर्तनांक $2\pi$ है।

(C) $\tan 5x$,$\cos 3x$,और $\sin 6x$ के आवर्तकाल क्रमशः $\frac{\pi}{5}$,$\frac{2\pi}{3}$,और $\frac{\pi}{3}$ हैं।
$f(x) = \frac{\tan 5x \cos 3x}{\sin 6x}$ का आवर्तकाल $\alpha$ ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक को सरल करते हैं:
$f(x) = \frac{\tan 5x \cos 3x}{2 \sin 3x \cos 3x} = \frac{\tan 5x}{2 \sin 3x}$.
$\tan 5x$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{5}$ है और $\sin 3x$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{3}$ है।
$f(x)$ का आवर्तकाल $\alpha$,$\frac{\pi}{5}$ और $\frac{2\pi}{3}$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ है,जो $2\pi$ है।
अतः,$\alpha = 2\pi$.
हमें $f\left(\frac{\alpha}{8}\right) = f\left(\frac{2\pi}{8}\right) = f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan(5\pi/4)}{2 \sin(3\pi/4)} = \frac{1}{2 \times (1/\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) एक फलन $f(x) = f_1(x) + f_2(x)$ आवर्ती होता है यदि $f_1(x)$ और $f_2(x)$ दोनों आवर्ती हों और उनके आवर्तकालों का अनुपात एक परिमेय संख्या हो।
यहाँ,$f_1(x) = \cos(ax)$ का आवर्तकाल $T_1 = \frac{2\pi}{|a|}$ है और $f_2(x) = \sin(x)$ का आवर्तकाल $T_2 = 2\pi$ है।
$f(x)$ के आवर्ती होने के लिए,अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi/|a|}{2\pi} = \frac{1}{|a|}$ एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।
यदि $\frac{1}{|a|}$ एक परिमेय संख्या है,तो $|a|$ एक परिमेय संख्या होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि $a$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,$a$ एक परिमेय संख्या होनी चाहिए। इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(C) $\cos(nx)$ का आवर्तकाल $T_1 = \frac{2\pi}{n}$ है।
$\sin(x/n)$ का आवर्तकाल $T_2 = \frac{2\pi}{1/n} = 2n\pi$ है।
भागफल $\frac{\cos(nx)}{\sin(x/n)}$ का आवर्तकाल अंश और हर के आवर्तकालों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ होता है।
दिया गया है कि आवर्तकाल $4\pi$ है,इसलिए $2n\pi = 4\pi$ है।
$n$ के लिए हल करने पर,हमें $n = 2$ प्राप्त होता है।

(B) $k$ का मान प्रथम $20$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग है:
$k = \sum_{n=1}^{20} n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ जहाँ $n=20$.
$k = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = 70 \times 41 = 2870$.
हमें $f(y) = \tan(2870y) + \sin(2870y)$ का आवर्तकाल ज्ञात करना है।
$\tan(ky)$ का आवर्तकाल $T_1 = \frac{\pi}{k} = \frac{\pi}{2870}$ है।
$\sin(ky)$ का आवर्तकाल $T_2 = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2870} = \frac{\pi}{1435}$ है।
दो फलनों के योग का आवर्तकाल उनके व्यक्तिगत आवर्तकालों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ होता है।
$LCM\left(\frac{\pi}{2870}, \frac{2\pi}{2870}\right) = \frac{2\pi}{2870} = \frac{\pi}{1435}$.

(A) $f(x) = 3 \sin \frac{\pi x}{3} - \cos \frac{\pi x}{2} + \tan \frac{\pi x}{4}$ का आवर्तकाल इसके घटकों के आवर्तकाल का ल.स.प. है। आवर्तकाल $T_1 = \frac{2\pi}{\pi/3} = 6$,$T_2 = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$,और $T_3 = \frac{\pi}{\pi/4} = 4$ हैं। अतः,$\alpha = \text{LCM}(6, 4, 4) = 12$ है।
$\beta$ के लिए,सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B)$ का उपयोग करें। यहाँ,$\sin^2 \left( \frac{\pi}{7} + \frac{x}{4} \right) - \sin^2 \left( \frac{\pi}{7} - \frac{x}{4} \right) = \sin \left( \frac{2\pi}{7} \right) \sin \left( \frac{x}{2} \right)$ है। आवर्तकाल $\beta = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ है।
$\gamma$ के लिए,$\cos^4 x + \sin^4 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x) = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos(4x)}{2} \right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos(4x)$ है। आवर्तकाल $\gamma = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
अंत में,$\frac{\alpha \gamma}{\beta} = \frac{12 \times \frac{\pi}{2}}{4\pi} = \frac{6\pi}{4\pi} = \frac{3}{2}$।

(D) $\sin(a\theta)$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{|a|}$ है और $\cos(b\theta)$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{|b|}$ है।
$f(\theta) = \sin \frac{\theta}{3} + \cos \frac{\theta}{2}$ के लिए, $\sin \frac{\theta}{3}$ का आवर्तकाल $T_1 = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$ है।
$\cos \frac{\theta}{2}$ का आवर्तकाल $T_2 = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ है।
दो आवर्ती फलनों के योग का आवर्तकाल उनके व्यक्तिगत आवर्तकालों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ होता है।
हमें $LCM(6\pi, 4\pi)$ ज्ञात करना है।
$LCM(6, 4) = 12$.
अतः, $f(\theta)$ का आवर्तकाल $12\pi$ है।

(C) $\cos(3x + 4)$ का आवर्तनांक $T_1 = \frac{2\pi}{3}$ है।
$\tan(2x - 3)$ का आवर्तनांक $T_2 = \frac{\pi}{2}$ है।
$\sin(5x)$ का आवर्तनांक $T_3 = \frac{2\pi}{5}$ है।
$f(x)$ का आवर्तनांक $k$,$T_1, T_2, T_3$ का ल.स.प. है,जो $\text{L.C.M.}\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{5}\right) = 2\pi$ है।
अतः,$k = 2\pi$.
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $\tan \frac{k}{3} = \tan \frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}$.

(D) माना $f(x) = \frac{\sin x}{\cos 3x} + \frac{\sin 3x}{\cos 9x} + \frac{\sin 9x}{\cos 27x} + \frac{\sin 27x}{\cos 81x}$.
सर्वसमिका $\tan \theta - \tan \phi = \frac{\sin(\theta - \phi)}{\cos \theta \cos \phi}$ का उपयोग करते हुए,प्रत्येक पद को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{\sin x}{\cos 3x} = \frac{1}{2}(\tan 3x - \tan x)$.
इसी प्रकार,$\frac{\sin 3x}{\cos 9x} = \frac{1}{2}(\tan 9x - \tan 3x)$,
$\frac{\sin 9x}{\cos 27x} = \frac{1}{2}(\tan 27x - \tan 9x)$,
$\frac{\sin 27x}{\cos 81x} = \frac{1}{2}(\tan 81x - \tan 27x)$.
योग करने पर,$f(x) = \frac{1}{2}(\tan 81x - \tan x)$ प्राप्त होता है।
$\tan(kx)$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{|k|}$ होता है।
$\tan 81x$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{81}$ और $\tan x$ का आवर्तकाल $\pi$ है।
अतः कुल आवर्तकाल $\text{L.C.M.}\left(\frac{\pi}{81}, \pi\right) = \pi$ होगा।

(A) $f(x)$ का आवर्तनांक ज्ञात करने के लिए,हम अंश और हर में त्रिकोणमितीय फलनों के आवर्तनांक ज्ञात करते हैं।
अंश: $2 \sin \left(\frac{\pi x}{3}\right) \cos \left(\frac{2 \pi x}{5}\right) = \sin \left(\frac{11 \pi x}{15}\right) - \sin \left(\frac{\pi x}{15}\right)$.
$\sin \left(\frac{11 \pi x}{15}\right)$ का आवर्तनांक $T_1 = \frac{30}{11}$ है।
$\sin \left(\frac{\pi x}{15}\right)$ का आवर्तनांक $T_2 = 30$ है।
अंश का आवर्तनांक $\text{LCM} \left(\frac{30}{11}, 30\right) = 30$ है।
हर: $\tan \left(\frac{7 \pi x}{2}\right)$ का आवर्तनांक $T_3 = \frac{2}{7}$ है।
$\sec \left(\frac{5 \pi x}{3}\right)$ का आवर्तनांक $T_4 = \frac{6}{5}$ है।
हर का आवर्तनांक $\text{LCM} \left(\frac{2}{7}, \frac{6}{5}\right) = 6$ है।
$f(x)$ का आवर्तनांक $\text{LCM}(30, 6) = 30$ है।