Periodic functions Questions in Hindi

(A) माना कि दिया गया व्यंजक $f(\theta) = \left(\tan \theta - \frac{1}{3} \tan^3 \theta\right) \left(\frac{1}{3} - \tan^2 \theta\right)^{-1}$ है।
$f(\theta) = \frac{\tan \theta - \frac{1}{3} \tan^3 \theta}{\frac{1}{3} - \tan^2 \theta} = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{3(1 - 3 \tan^2 \theta)} \times 3 = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}$.
सर्वसमिका $\tan 3\theta = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,हमें $f(\theta) = \tan 3\theta$ प्राप्त होता है।
$\tan x$ का आवर्तकाल $\pi$ होता है। इसलिए,$\tan 3\theta$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = e^{\log(\sin x)} + (\tan x)^3 - \operatorname{cosec}(3x - 5)$ है।
सबसे पहले,व्यंजक को सरल करने पर: $f(x) = \sin x + (\tan x)^3 - \operatorname{cosec}(3x - 5)$।
मान लीजिए $f_1(x) = \sin x$,$f_2(x) = (\tan x)^3$,और $f_3(x) = -\operatorname{cosec}(3x - 5)$।
$f_1(x) = \sin x$ का आवर्तकाल $T_1 = 2\pi$ है।
$f_2(x) = (\tan x)^3$ का आवर्तकाल $T_2 = \pi$ है।
$f_3(x) = -\operatorname{cosec}(3x - 5)$ का आवर्तकाल $T_3 = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$ है।
$f(x)$ का आवर्तकाल $(T_1, T_2, T_3)$ का $\text{LCM}$ है = $\text{LCM}(2\pi, \pi, \frac{2\pi}{3})$।
भिन्नों का $\text{LCM}$ ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{\text{अंश का LCM}}{\text{हर का HCF}}$ सूत्र का उपयोग करते हैं = $\frac{\text{LCM}(2\pi, \pi, 2\pi)}{\text{HCF}(1, 1, 3)} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \cos(3x + 5) + 7$ है।
हम जानते हैं कि फलन $\cos(ax + b) + c$ का आवर्तकाल ज्ञात करने का सूत्र $T = \frac{2 \pi}{|a|}$ है।
यहाँ दिए गए व्यंजक में,$a = 3$ है।
अतः,आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{|3|} = \frac{2 \pi}{3}$ होगा।
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(C) हमारे पास व्यंजक $\cos(x + 8x + 27x + \ldots + n^3x)$ है।
इसे $\cos\left(\sum_{k=1}^{n} k^3 x\right) = \cos\left(x \sum_{k=1}^{n} k^3\right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों के योग का सूत्र उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $\cos\left(\frac{n^2(n+1)^2}{4} x\right)$ हो जाता है।
$\cos(kx)$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{|k|}$ होता है।
यहाँ,$k = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ है।
इसलिए,आवर्तकाल $\frac{2\pi}{\frac{n^2(n+1)^2}{4}} = \frac{8\pi}{n^2(n+1)^2}$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \sin 5x \cos 3x$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करके,हम फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \frac{1}{2} [\sin(5x+3x) + \sin(5x-3x)] = \frac{1}{2} (\sin 8x + \sin 2x)$।
$\sin 8x$ का आवर्तनांक $T_1 = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$ है।
$\sin 2x$ का आवर्तनांक $T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$ है।
दो आवर्ती फलनों के योग का आवर्तनांक उनके व्यक्तिगत आवर्तनांकों का लघुत्तम समापवर्त्य ($L$.$C$.$M$.) होता है।
$\alpha = \text{L.C.M.}\left(\frac{\pi}{4}, \pi\right) = \frac{\text{L.C.M.}(\pi, \pi)}{\text{H.C.F.}(4, 1)} = \frac{\pi}{1} = \pi$।
अतः,$\alpha = \pi$।
अंत में,$\cos \alpha = \cos \pi = -1$।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \cos \left(\frac{x}{3}\right) + \sin \left(\frac{x}{2}\right)$ है।
हम जानते हैं कि $\cos(ax)$ का आवर्तकाल $\frac{2 \pi}{|a|}$ होता है और $\sin(bx)$ का आवर्तकाल $\frac{2 \pi}{|b|}$ होता है।
प्रथम पद $\cos \left(\frac{x}{3}\right)$ के लिए, आवर्तकाल $T_1 = \frac{2 \pi}{1/3} = 6 \pi$ है।
द्वितीय पद $\sin \left(\frac{x}{2}\right)$ के लिए, आवर्तकाल $T_2 = \frac{2 \pi}{1/2} = 4 \pi$ है।
दो आवर्ती फलनों के योग का आवर्तकाल उनके व्यक्तिगत आवर्तकालों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ होता है।
अतः, $f(x)$ का आवर्तकाल = $\text{LCM}(6 \pi, 4 \pi)$ होगा।
चूंकि $6 \pi = 2 \times 3 \pi$ और $4 \pi = 2 \times 2 \pi$, इसलिए $\text{LCM}(6 \pi, 4 \pi) = 12 \pi$ है।
अतः, $f(x)$ का आवर्तकाल $12 \pi$ है।

(D) फलन $f(x) = 7 + \cos(5x + 3)$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि फलन $\cos(ax + b)$ का मूल आवर्तनांक $\frac{2\pi}{|a|}$ होता है।
यहाँ,$a = 5$ है।
इसलिए,$\cos(5x + 3)$ का आवर्तनांक $\frac{2\pi}{|5|} = \frac{2\pi}{5}$ है।
चूंकि फलन में एक अचर $7$ जोड़ने से इसके आवर्तनांक में कोई परिवर्तन नहीं होता है,इसलिए $f(x)$ का आवर्तनांक $\frac{2\pi}{5}$ है।

(D) माना $f(x) = \sin ^4 x + \cos ^4 x$.
हम जानते हैं कि $\sin ^4 x + \cos ^4 x = (\sin ^2 x + \cos ^2 x)^2 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x$.
चूँकि $\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1$,इसलिए $f(x) = 1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x$.
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $2 \sin ^2 x \cos ^2 x = \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x)^2 = \frac{1}{2} \sin ^2 2x$.
अतः,$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \sin ^2 2x$.
सर्वसमिका $\sin ^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $f(x) = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} \right) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{\cos 4x}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x$.
$\cos(kx)$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{|k|}$ होता है।
इसलिए,$f(x) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।

(B) एक फलन $f(x)$ आवर्ती होता है यदि एक धनात्मक स्थिरांक $T$ का अस्तित्व हो ताकि डोमेन के सभी $x$ के लिए $f(x+T) = f(x)$ हो।
$f(x) = x + \sin 2x$ के लिए:
जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$,क्योंकि $x$ एक निरंतर वर्धमान फलन है और $\sin 2x$ का मान $-1$ और $1$ के बीच सीमित है। अतः,किसी भी $T > 0$ के लिए $f(x+T) = x + T + \sin(2(x+T)) = x + \sin 2x$ संभव नहीं है। इसलिए,$x + \sin 2x$ एक आवर्ती फलन नहीं है।
$g(x) = \cos (\sqrt{x}+1)$ के लिए:
जैसे $x$ बढ़ता है,तर्क $\sqrt{x}+1$ बढ़ता है,लेकिन तर्क के परिवर्तन की दर घटती है। किसी फलन के आवर्ती होने के लिए,मानों को नियमित अंतराल पर दोहराया जाना चाहिए। चूँकि $\cos (\sqrt{x}+1)$ के क्रमिक शून्यकों के बीच की दूरी स्थिर नहीं है,इसलिए यह एक आवर्ती फलन नहीं है।
अतः,कथन $B$ और $D$ दोनों सही हैं।

(D) एक फलन $f$ को $T$ आवर्तकाल वाला आवर्ती फलन कहा जाता है यदि सभी $x$ के लिए $f(x+T) = f(x)$ हो।
योगफल $f+g$ के आवर्ती होने के लिए,एक ऐसा स्थिरांक $T > 0$ होना चाहिए कि $(f+g)(x+T) = (f+g)(x)$ हो।
इसका अर्थ है $f(x+T) + g(x+T) = f(x) + g(x)$।
यदि $\frac{T_{1}}{T_{2}}$ एक परिमेय संख्या है,मान लीजिए $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{p}{q}$ जहाँ $p, q \in \mathbb{Z}^{+}$,तो $qT_{1} = pT_{2} = T$ होगा।
इस स्थिति में,$f(x+T) = f(x)$ और $g(x+T) = g(x)$ है,इसलिए $(f+g)(x+T) = f(x) + g(x)$ होता है।
अतः,यदि उनके आवर्तकालों का अनुपात एक परिमेय संख्या है तो $f+g$ एक आवर्ती फलन है।

(C) एक फलन $f(x) = \sin(px) + \cos(qx)$ आवर्ती तभी होता है जब उसके दो घटकों के आवर्तकाल का अनुपात एक परिमेय संख्या हो।
$\sin x$ का आवर्तकाल $T_1 = 2\pi$ है।
$\cos(ax)$ का आवर्तकाल $T_2 = \frac{2\pi}{|a|}$ है (जहाँ $a \neq 0$)।
योग के आवर्ती होने के लिए,अनुपात $\frac{T_1}{T_2}$ एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi}{2\pi / |a|} = |a|$।
अतः,$|a|$ एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।
इसलिए,$a$ एक परिमेय संख्या है।

(C) हमारे पास फलन $f(x) = \cos(x^2)$ है।
किसी फलन के $T > 0$ आवर्तकाल का होने के लिए,उसे अपने डोमेन के सभी $x$ के लिए $f(x+T) = f(x)$ को संतुष्ट करना चाहिए।
फलन को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos((x+T)^2) = \cos(x^2)$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि किसी पूर्णांक $n$ के लिए $(x+T)^2 = x^2 + 2n\pi$ या $(x+T)^2 = -(x^2) + 2n\pi$ होगा।
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर,$x^2 + 2xT + T^2 = x^2 + 2n\pi$,जो सरल होकर $2xT + T^2 = 2n\pi$ हो जाता है।
सभी $x$ के लिए इसे सत्य होने हेतु $x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है $T=0$। लेकिन आवर्तकाल $T$ एक धनात्मक स्थिरांक होना चाहिए।
चूंकि ऐसा कोई $T > 0$ मौजूद नहीं है,इसलिए फलन $f(x) = \cos(x^2)$ आवर्ती फलन नहीं है।

(A) $\cos(ax)$ का आवर्तनांक $\frac{2\pi}{|a|}$ होता है। अतः,$\cos 4x$ का आवर्तनांक $T_1 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
$\tan(bx)$ का आवर्तनांक $\frac{\pi}{|b|}$ होता है। अतः,$\tan 3x$ का आवर्तनांक $T_2 = \frac{\pi}{3}$ है।
दो आवर्ती फलनों के योग का आवर्तनांक उनके व्यक्तिगत आवर्तनांकों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ होता है।
हमें $\text{LCM}\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}\right)$ ज्ञात करना है।
भिन्नों $\frac{a}{b}$ और $\frac{c}{d}$ का $LCM$ ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{\text{LCM}(a, c)}{\text{HCF}(b, d)}$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$\text{LCM}(\pi, \pi) = \pi$ और $\text{HCF}(2, 3) = 1$ है।
अतः,आवर्तनांक $\frac{\pi}{1} = \pi$ है।