Height and Distance Questions in Hindi

(C) माना मीनार की ऊँचाई $H = a + x$ है,जहाँ $x$ इमारत के स्तर से ऊपर मीनार की ऊँचाई है।
$\Delta ABC$ में,$\tan{30^\circ} = \frac{AC}{BC} = \frac{x}{BC}$. चूँकि $\tan{30^\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $BC = x\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$\Delta ADE$ में,$\tan{45^\circ} = \frac{AE}{DE} = \frac{a+x}{DE}$. चूँकि $\tan{45^\circ} = 1$ और $DE = BC = x\sqrt{3}$,इसलिए $1 = \frac{a+x}{x\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x\sqrt{3} = a + x$,जिसका अर्थ है $x(\sqrt{3}-1) = a$,इसलिए $x = \frac{a}{\sqrt{3}-1}$।
मीनार की कुल ऊँचाई $H = a + x = a + \frac{a}{\sqrt{3}-1} = a \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{3}-1} \right) = a \left( \frac{\sqrt{3}-1+1}{\sqrt{3}-1} \right) = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$।
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \frac{a(3+\sqrt{3})}{3-1} = \frac{a(3+\sqrt{3})}{2}$।

(A) माना दीवार $AB$ है और जमीन $BC$ है। सीढ़ी $AC = 5 \ m$ है। प्रारंभ में,$BC = 3 \ m$ है। $\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 + BC^2 = AC^2$,इसलिए $AB^2 + 3^2 = 5^2$,जिससे $AB^2 = 25 - 9 = 16$ प्राप्त होता है,अतः $AB = 4 \ m$ है।
अब,सीढ़ी के निचले सिरे को $1 \ m$ और दूर खींचा जाता है,इसलिए दीवार से नई दूरी $BC' = 3 + 1 = 4 \ m$ है। सीढ़ी की लंबाई $DC' = 5 \ m$ ही रहती है। $\triangle DBC'$ में,$BD^2 + BC'^2 = DC'^2$,इसलिए $BD^2 + 4^2 = 5^2$,जिससे $BD^2 = 25 - 16 = 9$ प्राप्त होता है,अतः $BD = 3 \ m$ है।
सीढ़ी का ऊपरी सिरा जितना नीचे खिसकता है,वह दूरी $AD = AB - BD = 4 - 3 = 1 \ m$ है।

(B) माना स्तंभ की ऊँचाई $PO = h$ है और $O$ स्तंभ का आधार है।
$\triangle POB$ में,$\tan 30^\circ = \frac{h}{OB} \implies OB = h \cot 30^\circ = h\sqrt{3}$.
$\triangle POA$ में,$\tan 15^\circ = \frac{h}{OA} \implies OA = h \cot 15^\circ$.
हम जानते हैं कि $\cot 15^\circ = 2 + \sqrt{3}$.
दिया गया है कि $AB = 40 \ m$,इसलिए $OA - OB = 40$.
$h(2 + \sqrt{3}) - h\sqrt{3} = 40$.
$h(2 + \sqrt{3} - \sqrt{3}) = 40$.
$2h = 40 \implies h = 20 \ m$.

(B) माना $AB$ इमारत की ऊँचाई $h$ है और $BP$ पहाड़ी है। पहाड़ी की कुल ऊँचाई $H = h + x$ है,जहाँ $x$ इमारत के स्तर से ऊपर पहाड़ी की ऊँचाई है।
आरेख से,$\triangle ADC$ में,$\tan p = \frac{x}{y} \Rightarrow y = x \cot p$.
$\triangle ABP$ में,$\tan q = \frac{h + x}{y} \Rightarrow y = (h + x) \cot q$.
$y$ के मानों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $x \cot p = (h + x) \cot q$.
$x \cot p = h \cot q + x \cot q$.
$x(\cot p - \cot q) = h \cot q \Rightarrow x = \frac{h \cot q}{\cot p - \cot q}$.
पहाड़ी की कुल ऊँचाई $H = h + x = h + \frac{h \cot q}{\cot p - \cot q} = \frac{h \cot p - h \cot q + h \cot q}{\cot p - \cot q} = \frac{h \cot p}{\cot p - \cot q}$.

(B) माना मीनार की ऊँचाई $h \, m$ है।
मीनार के पाद से दी गई दूरी $d = 500 \, m$ है।
उन्नयन कोण $\theta = 30^\circ$ है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\tan \theta = \frac{\text{ऊँचाई}}{\text{आधार}}$ का उपयोग करने पर:
$\tan 30^\circ = \frac{h}{500}$
चूंकि $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{500}$
$h = \frac{500}{\sqrt{3}} \, m$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना मंदिर की ऊँचाई $h$ है और मंदिर के आधार से व्यक्ति की प्रारंभिक दूरी $x$ है।
प्रथम स्थिति से,$\tan(60^\circ) = \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
उत्तर दिशा में $240 \ m$ चलने के बाद,व्यक्ति मंदिर के आधार से $d = \sqrt{x^2 + 240^2}$ की दूरी पर है।
दूसरी स्थिति से,$\tan(30^\circ) = \frac{h}{d} \implies d = h\sqrt{3}$.
दूरी के सूत्र में $d$ और $x$ का मान रखने पर: $(h\sqrt{3})^2 = (\frac{h}{\sqrt{3}})^2 + 240^2$.
$3h^2 = \frac{h^2}{3} + 57600$.
$3h^2 - \frac{h^2}{3} = 57600 \implies \frac{8h^2}{3} = 57600$.
$h^2 = \frac{57600 \times 3}{8} = 21600$.
$h = \sqrt{21600} = 60\sqrt{6} \ m$.

(B) माना खंभे का आधार $B$ है और जमीन पर स्थित बिंदु $A$ है। खंभे का शीर्ष $C$ है और ध्वजदंड का शीर्ष $D$ है। दिया गया है $AB = 50 \ m$,$BC = 80 \ m$,और $CD = 20 \ m$.
माना $\angle CAB = \beta$ है। $\triangle ABC$ में,$\tan \beta = \frac{BC}{AB} = \frac{80}{50} = \frac{8}{5}$.
$\triangle ABD$ में,कुल ऊँचाई $BD = BC + CD = 80 + 20 = 100 \ m$ है।
अतः $\tan(\alpha + \beta) = \frac{BD}{AB} = \frac{100}{50} = 2$.
सूत्र $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan \alpha + \frac{8}{5}}{1 - \tan \alpha \cdot \frac{8}{5}} = 2$
$\tan \alpha + \frac{8}{5} = 2 - \frac{16}{5} \tan \alpha$
$\tan \alpha + \frac{16}{5} \tan \alpha = 2 - \frac{8}{5}$
$\frac{21}{5} \tan \alpha = \frac{2}{5}$
$\tan \alpha = \frac{2}{21}$.

(B) माना मीनार $ED$ है जिसकी ऊँचाई $h$ है और $D$ मीनार का आधार है। माना $CD = y$ है। $\triangle ECD$ में,$\tan 3\alpha = h/y$,इसलिए $y = h \cot 3\alpha$ है।
$\triangle EBD$ में,$\tan 2\alpha = h/(y+BC)$,इसलिए $y+BC = h \cot 2\alpha$,जिससे $BC = h(\cot 2\alpha - \cot 3\alpha) = \frac{h \sin \alpha}{\sin 2\alpha \sin 3\alpha}$ प्राप्त होता है।
$\triangle EAD$ में,$\tan \alpha = h/(y+BC+AB)$,इसलिए $y+BC+AB = h \cot \alpha$,जिससे $AB = h(\cot \alpha - \cot 2\alpha) = \frac{h}{\sin 2\alpha}$ प्राप्त होता है।
अतः,$AB/BC = \frac{h}{\sin 2\alpha} \times \frac{\sin 2\alpha \sin 3\alpha}{h \sin \alpha} = \frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} = 3 - 4\sin^2 \alpha = 1 + 2\cos 2\alpha$.

(A) माना प्रत्येक खंभे की ऊँचाई $h$ है और सड़क की चौड़ाई $60 \, m$ है। सड़क पर स्थित बिंदु एक खंभे से $x$ दूरी पर है,इसलिए दूसरे खंभे से दूरी $(60 - x)$ होगी।
पहले त्रिभुज में,$\tan 60^\circ = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow h = x\sqrt{3} \dots (i)$.
दूसरे त्रिभुज में,$\tan 30^\circ = \frac{h}{60 - x}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{60 - x}$ $\Rightarrow 60 - x = h\sqrt{3} \dots (ii)$.
समीकरण $(i)$ से $x = \frac{h}{\sqrt{3}}$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$60 - \frac{h}{\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$
$60 = h\sqrt{3} + \frac{h}{\sqrt{3}} = h \left( \frac{3+1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{4h}{\sqrt{3}}$
$h = \frac{60 \times \sqrt{3}}{4} = 15\sqrt{3} \, m$.

(A) माना सीढ़ी की लंबाई $l$ है।
प्रारंभिक स्थिति में,सीढ़ी क्षैतिज के साथ $\alpha$ कोण बनाती है। दीवार से क्षैतिज दूरी $PA = l \cos \alpha$ है और ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $AB = l \sin \alpha$ है।
अंतिम स्थिति में,सीढ़ी क्षैतिज के साथ $\beta$ कोण बनाती है। दीवार से क्षैतिज दूरी $QA = l \cos \beta$ है और ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $AC = l \sin \beta$ है।
सीढ़ी का निचला सिरा $x = QA - PA = l(\cos \beta - \cos \alpha)$ दूरी तक खींचा जाता है।
सीढ़ी $y = AB - AC = l(\sin \alpha - \sin \beta)$ दूरी नीचे फिसलती है।
अब,$\frac{y}{x}$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{y}{x} = \frac{l(\sin \alpha - \sin \beta)}{l(\cos \beta - \cos \alpha)} = \frac{2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}}{2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}}$
$\frac{y}{x} = \cot \frac{\alpha + \beta}{2}$
अतः,$x = y \tan \frac{\alpha + \beta}{2}$.

(D) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और जब सूर्य का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है तब छाया की लंबाई $x$ है।
$\triangle ABC$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\triangle ABD$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{x + 60} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x + 60} \implies x + 60 = h\sqrt{3}$.
$x = \frac{h}{\sqrt{3}}$ को समीकरण में रखने पर: $\frac{h}{\sqrt{3}} + 60 = h\sqrt{3}$.
$60 = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = h \left( \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{2h}{\sqrt{3}}$.
$h = \frac{60 \times \sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3} \approx 30 \times 1.732 = 51.96 \ m \approx 52 \ m$.

(A) माना $AE$ ऊँचाई $12\,m$ का एक ऊर्ध्वाधर लैंप पोस्ट है। $\triangle EAB$ में,$\angle EBA = 60^\circ$ और $\angle EAB = 90^\circ$ है। अतः,$\tan 60^\circ = \frac{AE}{AB} \implies \sqrt{3} = \frac{12}{AB} \implies AB = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\,m$.
$\triangle EAC$ में,$\angle ECA = 45^\circ$ और $\angle EAC = 90^\circ$ है। अतः,$\tan 45^\circ = \frac{AE}{AC} \implies 1 = \frac{12}{AC} \implies AC = 12\,m$.
आयताकार खेत $ABCD$ में,$\triangle ABC$ बिंदु $B$ पर एक समकोण त्रिभुज है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$BC^2 = AC^2 - AB^2 = 12^2 - (4\sqrt{3})^2 = 144 - 48 = 96$.
अतः,$BC = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}\,m$.
आयताकार खेत $ABCD$ का क्षेत्रफल $= AB \times BC = (4\sqrt{3}) \times (4\sqrt{6}) = 16\sqrt{18} = 16 \times 3\sqrt{2} = 48\sqrt{2}\,sq.\,m$.

(B) माना मीनार की ऊँचाई $H$ है और खंभे तथा मीनार के बीच की दूरी $d$ है।
खंभे के निचले सिरे से मीनार के शीर्ष के समकोण त्रिभुज से,$\tan\alpha = \frac{H}{d}$,जिसका अर्थ है $d = H\cot\alpha$.
खंभे के शीर्ष और मीनार के शीर्ष के समकोण त्रिभुज से,$\tan(\alpha - \beta) = \frac{H - h}{d}$,जिसका अर्थ है $d = (H - h)\cot(\alpha - \beta)$.
$d$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$H\cot\alpha = (H - h)\cot(\alpha - \beta)$
$H\cot\alpha = H\cot(\alpha - \beta) - h\cot(\alpha - \beta)$
$h\cot(\alpha - \beta) = H\cot(\alpha - \beta) - H\cot\alpha$
$h\cot(\alpha - \beta) = H(\cot(\alpha - \beta) - \cot\alpha)$
$H = \frac{h\cot(\alpha - \beta)}{\cot(\alpha - \beta) - \cot\alpha}$

(B) माना इमारत की ऊँचाई $h \, m$ है और इमारत को $PQ$ द्वारा दर्शाया गया है। व्यक्ति की प्रारंभिक स्थिति $R$ है और $2 \, hours$ बाद की स्थिति $S$ है।
तय की गई दूरी $RS = \text{गति} \times \text{समय} = 25(\sqrt{3} - 1) \times 2 = 50(\sqrt{3} - 1) \, m$.
$\Delta PQS$ में,$\tan(45^\circ) = \frac{PQ}{SQ} \implies 1 = \frac{h}{SQ} \implies SQ = h$.
$\Delta PQR$ में,$\tan(30^\circ) = \frac{PQ}{RQ} = \frac{PQ}{RS + SQ} = \frac{h}{50(\sqrt{3} - 1) + h}$.
चूँकि $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,हमारे पास $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{50(\sqrt{3} - 1) + h}$ है।
$\sqrt{3}h = 50(\sqrt{3} - 1) + h$.
$(\sqrt{3} - 1)h = 50(\sqrt{3} - 1)$.
$h = 50 \, m$.

(B) माना टॉवर की ऊँचाई $PQ = 100 \ m$ है। कार की प्रारंभिक स्थिति $R$ और अंतिम स्थिति $S$ है। कार द्वारा तय की गई दूरी $x = RS$ है।
$\triangle PQS$ में,$\tan{60^\circ} = \frac{PQ}{QS} \implies \sqrt{3} = \frac{100}{QS} \implies QS = \frac{100}{\sqrt{3}} \ m$.
$\triangle PQR$ में,$\tan{30^\circ} = \frac{PQ}{QR} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100}{QR} \implies QR = 100\sqrt{3} \ m$.
कार द्वारा तय की गई दूरी $x = QR - QS = 100\sqrt{3} - \frac{100}{\sqrt{3}} = \frac{300 - 100}{\sqrt{3}} = \frac{200}{\sqrt{3}} = \frac{200\sqrt{3}}{3} \ m$.

(A) माना $O$ वृत्ताकार पार्क का केंद्र है और $P$ मीनार का शीर्ष है। अतः,$OP$ मीनार की ऊँचाई है।
चूँकि $O$ केंद्र है,$OA = OB = R$ (पार्क की त्रिज्या)।
दिया गया है कि $\angle AOB = 60^{\circ}$ और $OA = OB$,इसलिए $\Delta AOB$ एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,$OA = OB = AB = a$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta AOP$ में,जहाँ $\angle OAP = 30^{\circ}$ उन्नयन कोण है:
$\tan 30^{\circ} = \frac{OP}{OA}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{OP}{a}$
$OP = \frac{a}{\sqrt{3}}$
अतः,मीनार की ऊँचाई $\frac{a}{\sqrt{3}}$ है।

(B) माना खंभे की ऊँचाई $AB = h$ है।
$\Delta ABC$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{BC}$ $\Rightarrow BC = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\Delta ABD$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{AB}{BD}$ $\Rightarrow 1 = \frac{h}{BD}$ $\Rightarrow BD = h$.
चूँकि $BD = BC + CD$,इसलिए $h = \frac{h}{\sqrt{3}} + 7$.
$h - \frac{h}{\sqrt{3}} = 7 \Rightarrow h\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right) = 7$.
$h = \frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $h = \frac{7\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{7\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{7\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3}+1) \ m$.

(B) माना पक्षी की प्रारंभिक स्थिति $P$ है,जो $PQ = 20 \ m$ ऊँचे खंभे के शीर्ष पर है। बिंदु $O$ से उन्नयन कोण $\angle POQ = 45^o$ है।
$\Delta POQ$ में,$\tan 45^o = \frac{PQ}{OQ}$ $\Rightarrow 1 = \frac{20}{OQ}$ $\Rightarrow OQ = 20 \ m$.
एक सेकंड के बाद,पक्षी $P'$ स्थिति पर पहुँचता है जहाँ $P'Q' = 20 \ m$ (क्योंकि यह क्षैतिज रूप से उड़ता है)। $O$ से उन्नयन कोण $\angle P'OQ' = 30^o$ है।
$\Delta P'OQ'$ में,$\tan 30^o = \frac{P'Q'}{OQ'}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{20}{OQ'}$ $\Rightarrow OQ' = 20\sqrt{3} \ m$.
पक्षी द्वारा एक सेकंड में तय की गई दूरी $QQ' = OQ' - OQ = 20\sqrt{3} - 20 = 20(\sqrt{3} - 1) \ m$ है।
चूँकि लिया गया समय $1 \ s$ है,इसलिए पक्षी की चाल $20(\sqrt{3} - 1) \ m/s$ होगी।

(B) माना मीनार की ऊँचाई $ED = h$ है।
$\triangle EDC$ में,$\tan(60^o) = \frac{ED}{CD} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{CD} \implies CD = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\triangle EDB$ में,$\tan(45^o) = \frac{ED}{BD} \implies 1 = \frac{h}{BD} \implies BD = h$.
$\triangle EDA$ में,$\tan(30^o) = \frac{ED}{AD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{AD} \implies AD = h\sqrt{3}$.
अब,$BC = BD - CD = h - \frac{h}{\sqrt{3}} = h\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right)$.
$AB = AD - BD = h\sqrt{3} - h = h(\sqrt{3}-1)$.
अतः,अनुपात $\frac{AB}{BC} = \frac{h(\sqrt{3}-1)}{h\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right)} = \sqrt{3} : 1$.

(B) माना $PQ$ खंभा है जिसकी ऊँचाई $h$ है।
$\Delta PAQ$ में,$\tan(30^o) = \frac{PQ}{AQ}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{AQ}$ $\Rightarrow AQ = h\sqrt{3}$।
$\Delta PQB$ में,$\tan(60^o) = \frac{PQ}{BQ}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{BQ}$ $\Rightarrow BQ = \frac{h}{\sqrt{3}}$।
$10 \text{ मिनट}$ में तय की गई दूरी $AB = AQ - BQ = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = \frac{3h - h}{\sqrt{3}} = \frac{2h}{\sqrt{3}}$ है।
चूँकि गति समान है,लिया गया समय तय की गई दूरी के समानुपाती होगा।
$AB$ दूरी तय करने में लगा समय $= 10 \text{ मिनट}$।
$BQ$ दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{BQ}{AB} \times 10 = \frac{h/\sqrt{3}}{2h/\sqrt{3}} \times 10 = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \text{ मिनट}$।

(D) मान लीजिए $\angle APC = \alpha$ है। $\triangle APC$ में,$\tan \alpha = \frac{AC}{AP}$ है।
चूंकि $C$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AC = \frac{1}{2} AB$ है। दिया गया है कि $AP = 2AB$ है,इसलिए $\tan \alpha = \frac{\frac{1}{2} AB}{2 AB} = \frac{1}{4}$ है।
अब,$\triangle ABP$ पर विचार करें। $\angle BAP = 90^{\circ}$ है। $\angle BPC = \beta$ और $\angle APC = \alpha$ है,इसलिए $\angle BAP = \alpha + \beta$ है।
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{AB}{AP} = \frac{AB}{2 AB} = \frac{1}{2}$ है।
सूत्र $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2} = \frac{\frac{1}{4} + \tan \beta}{1 - \frac{1}{4} \tan \beta}$ है।
दोनों पक्षों को $4(1 - \frac{1}{4} \tan \beta)$ से गुणा करने पर:
$2(1 - \frac{1}{4} \tan \beta) = 1 + 4 \tan \beta$
$2 - \frac{1}{2} \tan \beta = 1 + 4 \tan \beta$
$1 = 4.5 \tan \beta$
$1 = \frac{9}{2} \tan \beta$
$\tan \beta = \frac{2}{9}$।

(D) माना टावर की ऊँचाई $MN = h$ है।
$\Delta QMN$ में,$\tan 30^o = \frac{MN}{QM}$ है।
$\therefore QM = \frac{h}{\tan 30^o} = h\sqrt{3}$। चूँकि $M$,$QR$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $QM = MR = h\sqrt{3}$।
$\Delta MNP$ में,टावर के शीर्ष का $P$ पर उन्नयन कोण $45^o$ है,इसलिए $\tan 45^o = \frac{MN}{PM}$ है।
$\therefore PM = \frac{h}{\tan 45^o} = h$।
$\Delta PMQ$ में,चूँकि $PM \perp MQ$ है,इसलिए $PQ^2 = PM^2 + QM^2$ होगा।
मान रखने पर: $(200)^2 = h^2 + (h\sqrt{3})^2$।
$40000 = h^2 + 3h^2$।
$40000 = 4h^2$।
$h^2 = 10000$।
$h = 100 \ m$।

(B) माना खंभे की ऊँचाई $h$ है और खंभे का आधार $P$ है। पार्क के कोने $A, B,$ और $C$ हैं।
दिया गया है कि प्रत्येक कोने से खंभे के शीर्ष का उन्नयन कोण $\theta$ समान है।
खंभे और आधार $P$ से प्रत्येक कोने तक की दूरी द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुजों में,$\tan(\theta) = \frac{h}{PA} = \frac{h}{PB} = \frac{h}{PC}$ प्राप्त होता है।
अतः $PA = PB = PC$ है।
वह बिंदु जो त्रिभुज के तीनों शीर्षों से समान दूरी पर स्थित होता है,उसे त्रिभुज का परिकेंद्र कहते हैं।

(A) माना मीनारों के बीच की दूरी $d$ है।
मीनार $A$ पर $10\,m$ की ऊंचाई पर स्थित बिंदु $Q$ से मीनार $B$ पर $20\,m$ की ऊंचाई पर स्थित बिंदु $P$ का उन्नयन कोण $\theta$ है।
अतः,$\tan \theta = \frac{20 - 10}{d} = \frac{10}{d} \Rightarrow d = 10 \cot \theta$.
मीनार $B$ पर $20\,m$ की ऊंचाई पर स्थित बिंदु $P$ से मीनार $A$ पर $50\,m$ की ऊंचाई पर स्थित बिंदु $R$ का उन्नयन कोण $2\theta$ है।
अतः,$\tan 2\theta = \frac{50 - 20}{d} = \frac{30}{d} \Rightarrow d = 30 \cot 2\theta$.
$d$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$10 \cot \theta = 30 \cot 2\theta$
$\cot \theta = 3 \cot 2\theta$
$\cot \theta = 3 \left( \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta} \right)$
$2 \cot^2 \theta = 3 \cot^2 \theta - 3$
$\cot^2 \theta = 3 \Rightarrow \cot \theta = \sqrt{3}$
अतः,$\theta = 30^{\circ}$।

(A) मान लीजिए जमीन पर बिंदु $O$ है,इमारत का आधार $A$ है,इमारत का शीर्ष $B$ है और खंभे का शीर्ष $C$ है। दिया गया है $OA = 5$,$AB = H$,और $BC = h$.
$\triangle OAB$ में,$\tan \alpha = \frac{AB}{OA} = \frac{H}{5}$.
दिया गया है $2 \tan \beta \cot \alpha = 1$,इसलिए $2 \tan \beta = \tan \alpha = \frac{H}{5}$,जिसका अर्थ है $\tan \beta = \frac{H}{10}$.
$\triangle OAC$ में,खंभे के शीर्ष का उन्नयन कोण $\alpha + \beta$ है। अतः,$\tan(\alpha + \beta) = \frac{AC}{OA} = \frac{H+h}{5}$.
सूत्र $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{H}{5} + \frac{H}{10}}{1 - (\frac{H}{5})(\frac{H}{10})} = \frac{H+h}{5}$
$\frac{\frac{3H}{10}}{1 - \frac{H^2}{50}} = \frac{H+h}{5}$
$\frac{15H}{50 - H^2} = \frac{H+h}{5}$
$75H = (H+h)(50 - H^2)$
$75H = 50H - H^3 + 50h - hH^2$
$H^3 + hH^2 + 25H - 50h = 0$.

(B) माना $AB$ मीनार की ऊँचाई $(1+\sqrt{3}) \text{ m}$ है। माना सूर्य का उन्नयन कोण क्रमशः $30^{\circ}$ और $\alpha$ होने पर छाया $BC$ और $BD$ है,जहाँ $CD = 2 \text{ m}$ है।
$\triangle ABC$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BC} \implies BC = \frac{1+\sqrt{3}}{\tan 30^{\circ}} = (1+\sqrt{3})\sqrt{3} = \sqrt{3}+3$.
चूँकि $BC = BD + CD$,इसलिए $BD = BC - CD = (\sqrt{3}+3) - 2 = \sqrt{3}+1$.
$\triangle ABD$ में,$\tan \alpha = \frac{AB}{BD} = \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} = 1$.
अतः,$\alpha = 45^{\circ}$.

(B) माना टॉवर की ऊँचाई $AB = h$ है। $A$ टॉवर का आधार है।
$\Delta PAB$ में,$\cot \alpha = \frac{PA}{h} \implies PA = h \cot \alpha$.
$\Delta QAB$ में,$\cot \beta = \frac{QA}{h} \implies QA = h \cot \beta$.
$\Delta RAB$ में,$\cot \gamma = \frac{RA}{h} \implies RA = h \cot \gamma$.
दिया है $\alpha : \beta : \gamma = 1 : 2 : 3$,माना $\alpha = \theta, \beta = 2\theta, \gamma = 3\theta$.
$PQ = PA - QA = h(\cot \theta - \cot 2\theta) = l$.
$l = h \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta} \right) = h \left( \frac{\sin 2\theta \cos \theta - \cos 2\theta \sin \theta}{\sin \theta \sin 2\theta} \right) = h \frac{\sin(2\theta - \theta)}{\sin \theta \sin 2\theta} = h \frac{\sin \theta}{\sin \theta \sin 2\theta} = \frac{h}{\sin 2\theta}$.
अतः,$h = l \sin 2\theta = l \sin \beta$.

(B) माना मीनार $AB$ है,जहाँ $A$ मीनार का पाद है। दिया है $AP = 3 \ m$ और $P$ से उन्नयन कोण $30^\circ$ है।
$\triangle ABP$ में,$\tan 30^\circ = \frac{AB}{AP}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{3}$ $\Rightarrow AB = \sqrt{3} \ m$.
बिंदु $Q$,$P$ के पूर्व में है ताकि $PQ = 3 \ m$ हो। $\triangle APQ$ में,$\angle APQ = 90^\circ$ है।
$AQ = \sqrt{AP^2 + PQ^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2} \ m$.
$\triangle ABQ$ में,$\tan \theta = \frac{AB}{AQ} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.
विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\cot^{-1} 2$ है।

(B) माना टॉवर की ऊँचाई $h$ है और जब उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है तब परछाई की लंबाई $x$ है।
$45^{\circ}$ कोण वाले समकोण त्रिभुज में,$\tan 45^{\circ} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow 1 = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow x = h$.
$30^{\circ}$ कोण वाले समकोण त्रिभुज में,कुल परछाई की लंबाई $100 + x$ है।
$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{100 + x} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{100 + h}$.
$100 + h = h\sqrt{3}$.
$100 = h(\sqrt{3} - 1)$.
$h = \frac{100}{\sqrt{3} - 1} = \frac{100(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{100(\sqrt{3} + 1)}{2} = 50(\sqrt{3} + 1)$.

(D) माना बाज की ऊँचाई $h = 100 \ m$ है। माना शिकार से प्रारंभिक क्षैतिज दूरी $d_1$ और अंतिम क्षैतिज दूरी $d_2$ है।
पहली स्थिति से,$\tan(30^\circ) = \frac{h}{d_1}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100}{d_1}$ $\Rightarrow d_1 = 100\sqrt{3} \ m$.
दूसरी स्थिति से,$\tan(45^\circ) = \frac{h}{d_2}$ $\Rightarrow 1 = \frac{100}{d_2}$ $\Rightarrow d_2 = 100 \ m$.
तय की गई दूरी $x = d_1 - d_2 = 100\sqrt{3} - 100 \ m$.

(C) माना पहाड़ की ऊँचाई $h$ है और जमीन पर बिंदु से पहाड़ के आधार की दूरी $d$ है।
पहाड़ द्वारा बने त्रिभुज से,$\tan(60^o) = \frac{h}{d}$,इसलिए $d = \frac{h}{\tan(60^o)} = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
टावर और पहाड़ द्वारा बने त्रिभुज के लिए,कुल ऊँचाई $h + 50$ है और उन्नयन कोण $75^o$ है।
अतः,$\tan(75^o) = \frac{h + 50}{d}$.
हम जानते हैं कि $\tan(75^o) = 2 + \sqrt{3}$.
समीकरण में $d = \frac{h}{\sqrt{3}}$ रखने पर: $2 + \sqrt{3} = \frac{h + 50}{h/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(h + 50)}{h}$.
$h(2 + \sqrt{3}) = \sqrt{3}h + 50\sqrt{3}$.
$2h + \sqrt{3}h = \sqrt{3}h + 50\sqrt{3}$.
$2h = 50\sqrt{3} \Rightarrow h = 25\sqrt{3} \ m$.

(A) माना $AB$ दोनों घरों के बीच की दूरी है,$AB = 6 \ m$। माना $D$ दूसरे घर की खिड़की की स्थिति है,और $BC$ पहले घर की ऊँचाई है,$BC = h$।
दिया गया है कि पहले घर के निचले हिस्से $B$ से खिड़की $D$ का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है,इसलिए $\angle DBA = 30^{\circ}$।
$\Delta ABD$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{AD}{AB} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AD}{6} \implies AD = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \ m$।
साथ ही,$\cos 30^{\circ} = \frac{AB}{BD} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{BD} \implies BD = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \ m$।
घर खिड़की पर समकोण बनाता है,इसलिए $\angle BDC = 90^{\circ}$।
$\Delta BDC$ में,$\angle DBC = 60^{\circ}$ (चूंकि $\angle ABC = 90^{\circ}$ और $\angle ABD = 30^{\circ}$,$\angle DBC = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$)।
तब $\cos 60^{\circ} = \frac{BD}{BC} \implies \frac{1}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{h}$।
अतः,$h = 8\sqrt{3} \ m$।

(C) माना खंभे की कुल ऊँचाई $H$ है। निचला भाग $\frac{H}{3}$ है और ऊपरी भाग $\frac{2H}{3}$ है।
प्रेक्षक खंभे के आधार से $10 \ m$ की दूरी पर है।
निचले भाग द्वारा अंतरित कोण $\alpha$ है और ऊपरी भाग द्वारा अंतरित कोण भी $\alpha$ है।
ज्यामिति के अनुसार,$\tan \alpha = \frac{H/3}{10} = \frac{H}{30}$।
पूरे खंभे द्वारा अंतरित कुल कोण $2\alpha$ है।
अतः,$\tan(2\alpha) = \frac{H}{10}$।
सूत्र $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{H}{10} = \frac{2(H/30)}{1 - (H/30)^2}$
$1 = \frac{2/3}{1 - H^2/900}$
$1 - \frac{H^2}{900} = \frac{2}{3}$
$\frac{H^2}{900} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
$H^2 = 300$
$H = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \ m$।

(C) माना लाइटहाउस की ऊँचाई $h = 30 \ m$ है और लाइटहाउस के पाद से नाव की दूरी $d$ है।
समकोण त्रिभुज में,नाव से लाइटहाउस के शीर्ष का उन्नयन कोण अवनमन कोण के बराबर यानी $15^\circ$ होगा।
अतः,$\tan 15^\circ = \frac{30}{d}$.
इसलिए,$d = \frac{30}{\tan 15^\circ} = 30 \cot 15^\circ$.
चूँकि $\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$,इसलिए $d = \frac{30}{2 - \sqrt{3}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर,$d = 30(2 + \sqrt{3})$.
विकल्प $C$ में,$30 \left( \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \right) = 30 \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{3 - 1} = 30 \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 30(2 + \sqrt{3})$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) माना प्रेक्षक $30 \ m$ की ऊँचाई पर बिंदु $O$ पर है। इमारत की ऊँचाई $25 \ m$ है और ध्वजदंड की ऊँचाई $5 \ m$ है,अतः इमारत और ध्वजदंड की कुल ऊँचाई $30 \ m$ है। माना प्रेक्षक और इमारत के बीच की क्षैतिज दूरी $x$ है।
प्रेक्षक पर ध्वजदंड द्वारा अंतरित कोण $\alpha$ है और इमारत द्वारा अंतरित कोण भी $\alpha$ है। अतः इमारत और ध्वजदंड द्वारा कुल अंतरित कोण $2\alpha$ है।
समकोण त्रिभुज में,$\tan \alpha = \frac{5}{x}$।
इमारत के आधार के साथ समकोण त्रिभुज में,$\tan 2\alpha = \frac{30}{x}$।
$\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$ सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{30}{x} = \frac{10x}{x^2 - 25}$ प्राप्त होता है।
अतः $30(x^2 - 25) = 10x^2 \implies 3x^2 - 75 = x^2 \implies 2x^2 = 75 \implies x = 5\sqrt{\frac{3}{2}}$।
प्रेक्षक से ध्वजदंड के शीर्ष की दूरी $\sqrt{x^2 + 5^2} = 5\sqrt{\frac{5}{2}}$ है। जो दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $(D)$ है।

(A) माना टॉवर की ऊँचाई $h = 100 \ m$ है।
माना कार द्वारा तय की गई दूरी $x$ है और टॉवर के आधार से कार की अंतिम स्थिति तक की दूरी $y$ है।
$60^{\circ}$ कोण वाले समकोण त्रिभुज में:
$\tan 60^{\circ} = \frac{100}{y}$
$\sqrt{3} = \frac{100}{y} \implies y = \frac{100}{\sqrt{3}} \ m$ ........$(i)$
$30^{\circ}$ कोण वाले समकोण त्रिभुज में:
$\tan 30^{\circ} = \frac{100}{x+y}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100}{x+y} \implies x+y = 100\sqrt{3} \ m$ .....$(ii)$
$(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = 100\sqrt{3} - \frac{100}{\sqrt{3}}$
$x = \frac{100(3) - 100}{\sqrt{3}} = \frac{200}{\sqrt{3}} = \frac{200\sqrt{3}}{3} \ m$

(A) माना $OP$ मीनार की ऊँचाई $h \ m$ है और $PQ$ ध्वजदंड की ऊँचाई $6 \ m$ है।
माना सूर्य जमीन के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
माना $OA = x$ मीनार की छाया है और $AB = 2 \sqrt{3} \ m$ ध्वजदंड की छाया है।
$\Delta OAP$ से,$\tan \theta = \frac{h}{x}$।
साथ ही,$\Delta OBQ$ से,$\tan \theta = \frac{h+6}{x+2 \sqrt{3}}$।
$\tan \theta$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{h}{x} = \frac{h+6}{x+2 \sqrt{3}}$
$h(x+2 \sqrt{3}) = x(h+6)$
$hx + 2 \sqrt{3} h = hx + 6x$
$2 \sqrt{3} h = 6x$
$\frac{h}{x} = \frac{6}{2 \sqrt{3}} = \sqrt{3}$
चूँकि $\tan \theta = \sqrt{3}$,इसलिए $\theta = 60^{\circ}$।

(D) माना मीनार $OP$ है जहाँ $O$ जमीन पर मीनार का आधार है और $P$ शीर्ष है। माना मीनार की ऊँचाई $h$ है,इसलिए $OP = h$ है।
चूँकि बिंदुओं $A, B, C$ से शीर्ष $P$ का उन्नयन कोण समान कोण $\alpha$ है,इसलिए हमारे पास $\angle PAO = \angle PBO = \angle PCO = \alpha$ है।
समकोण त्रिभुजों $\Delta POA, \Delta POB, \Delta POC$ में,हमारे पास $OA = OB = OC = h \cot \alpha$ है।
यह दर्शाता है कि $O$,$\Delta ABC$ का परिकेंद्र है और $O$ से शीर्षों $A, B, C$ की दूरी परिवृत्त त्रिज्या $R$ है।
इसलिए,$R = h \cot \alpha$ है।
अतः,मीनार की ऊँचाई $h = R \tan \alpha$ है।

(A) माना दो खंभों की ऊँचाई $H_1 = 20 \ m$ और $H_2 = 14 \ m$ है।
दोनों खंभों के बीच ऊँचाई का अंतर $H_1 - H_2 = 20 \ m - 14 \ m = 6 \ m$ है।
माना $\ell$ खंभों के शीर्षों को जोड़ने वाले तार की लंबाई है।
तार क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाता है।
तार,क्षैतिज दूरी और ऊँचाई के अंतर से बने समकोण त्रिभुज में:
$\sin 30^{\circ} = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}} = \frac{6}{\ell}$
चूँकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\frac{1}{2} = \frac{6}{\ell}$
$\ell = 6 \times 2 = 12 \ m$.
अतः,तार की लंबाई $12 \ m$ है।

(A) माना टॉवर की ऊँचाई $AB = 1 \ m$ और झंडे की ऊँचाई $BC = x \ m$ है। टॉवर के आधार से $2 \ m$ की दूरी पर बिंदु $D$ है।
माना $\angle BDA = \alpha$ और $\angle CDA = 2\alpha$.
$\triangle ABD$ में,$\tan \alpha = \frac{AB}{AD} = \frac{1}{2}$.
$\triangle ACD$ में,$\tan 2\alpha = \frac{AC}{AD} = \frac{1+x}{2}$.
सूत्र $\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1+x}{2} = \frac{2(1/2)}{1 - (1/2)^2} = \frac{4}{3}$.
अतः,$1+x = \frac{8}{3} \Rightarrow x = \frac{5}{3} \ m$.

(A) माना $A$ पर लैंप पोस्ट की ऊँचाई $AE = 12 \ m$ है। चूँकि पोस्ट ऊर्ध्वाधर है,$AE \perp AB$ और $AE \perp AD$ है।
$\Delta ABE$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{AE}{AB}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{12}{AB}$ $\Rightarrow AB = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \ m$.
$\Delta ACE$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{AE}{AC}$ $\Rightarrow 1 = \frac{12}{AC}$ $\Rightarrow AC = 12 \ m$.
समकोण $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$BC^2 = AC^2 - AB^2 = 12^2 - (4\sqrt{3})^2 = 144 - 48 = 96$.
$BC = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} \ m$.
आयताकार खेत $ABCD$ का क्षेत्रफल $= AB \times BC = (4\sqrt{3}) \times (4\sqrt{6}) = 16\sqrt{18} = 16 \times 3\sqrt{2} = 48\sqrt{2} \ m^2$.

(D) माना हवाई जहाज की ऊँचाई $h = \sqrt{3} \ km$ है। माना $O$ जमीन पर प्रेक्षण बिंदु है।
माना $A$ हवाई जहाज की पहली स्थिति है और $B$ $5 \ \text{सेकंड}$ के बाद दूसरी स्थिति है।
$\Delta OA A_1$ में,जहाँ $A A_1 = \sqrt{3} \ km$ और $\angle A O A_1 = 60^\circ$ है:
$O A_1 = \frac{A A_1}{\tan 60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1 \ km$.
$\Delta OB B_1$ में,जहाँ $B B_1 = \sqrt{3} \ km$ और $\angle B O B_1 = 30^\circ$ है:
$O B_1 = \frac{B B_1}{\tan 30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 3 \ km$.
हवाई जहाज द्वारा तय की गई दूरी $AB = A_1 B_1 = O B_1 - O A_1 = 3 - 1 = 2 \ km$ है।
लिया गया समय $5 \ \text{सेकंड }= \frac{5}{3600} \ \text{घंटे}$ है।
गति = $\frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{2}{5/3600} = \frac{2 \times 3600}{5} = 1440 \ km/hr$.

(D) माना $T_1$ और $T_2$ के बीच की दूरी $x$ है।
आकृति से,$EA = 60 \, m$ $(T_1)$ और $DB = 80 \, m$ $(T_2)$।
माना $C$,$T_2$ पर एक बिंदु है ताकि $EC$ क्षैतिज हो। अतः $EC = AB = x$।
$DC = DB - CB = 80 - 60 = 20 \, m$।
दिया है कि $\angle DEC = \theta$ ($T_2$ के शीर्ष का उन्नयन कोण) और $\angle BEC = 2\theta$ ($T_2$ के पाद का अवनमन कोण)।
$\Delta DEC$ में,$\tan \theta = \frac{DC}{EC} = \frac{20}{x}$।
$\Delta BEC$ में,$\tan 2\theta = \frac{BC}{EC} = \frac{60}{x}$।
सर्वसमिका $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{60}{x} = \frac{2(\frac{20}{x})}{1 - (\frac{20}{x})^2}$।
$\frac{60}{x} = \frac{40/x}{1 - 400/x^2} = \frac{40x}{x^2 - 400}$।
$60(x^2 - 400) = 40x^2$।
$60x^2 - 24000 = 40x^2$।
$20x^2 = 24000$।
$x^2 = 1200$।
$x = \sqrt{1200} = 20\sqrt{3} \, m$।

(A) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और मीनार का आधार $D$ है। कार की स्थितियाँ $B$ और $A$ हैं जहाँ अवनमन कोण क्रमशः $30^\circ$ और $45^\circ$ हैं।
$\Delta ODA$ में,$\angle OAD = 45^\circ$। अतः,$\tan(45^\circ) = \frac{h}{DA} \Rightarrow DA = h$।
$\Delta ODB$ में,$\angle OBD = 30^\circ$। अतः,$\tan(30^\circ) = \frac{h}{DB} \Rightarrow DB = h\sqrt{3}$।
$18 \text{ min}$ में कार द्वारा तय की गई दूरी $BA = DB - DA = h(\sqrt{3} - 1)$ है।
कार की गति $v = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{h(\sqrt{3} - 1)}{18}$।
$DA$ दूरी तय करने में लगा समय $t = \frac{DA}{v} = \frac{h}{h(\sqrt{3} - 1) / 18} = \frac{18}{\sqrt{3} - 1}$।
हर का परिमेयकरण करने पर: $t = \frac{18(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{18(\sqrt{3} + 1)}{2} = 9(\sqrt{3} + 1) \text{ min}$।

(D) माना मीनार की ऊँचाई $H$ है और मीनार का आधार $P$ है।
बिंदु $A$ से,जो मीनार के पूर्व में है,उन्नयन कोण $45^\circ$ है। अतः,$AP = H \cot 45^\circ = H$.
बिंदु $B$ से,जो $A$ के दक्षिण में है,उन्नयन कोण $30^\circ$ है। अतः,$BP = H \cot 30^\circ = H\sqrt{3}$.
चूँकि $A$ पूर्व में है और $B$,$A$ के दक्षिण में है,$\triangle PAB$ बिंदु $A$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$AB^2 + AP^2 = BP^2$
$(54\sqrt{2})^2 + H^2 = (H\sqrt{3})^2$
$5832 + H^2 = 3H^2$
$2H^2 = 5832$
$H^2 = 2916$
$H = 54 \, \text{m}$.

(A) मान लीजिए खंभे $A_1, A_2, ..., A_{10}$ स्थितियों पर हैं और उनकी ऊंचाइयां $h_1, h_2, ..., h_{10}$ हैं।
चूंकि सभी खंभे $O$ पर समान कोण $\alpha$ बनाते हैं,इसलिए सभी $n = 1, 2, ..., 10$ के लिए $\frac{h_n}{OA_n} = \tan \alpha$ है।
दिया गया है कि $OA_1 = a$ और $h_{10} = h$ है।
मान लीजिए $d$ दो लगातार खंभों के बीच की दूरी है। तब $OA_{10} = OA_1 + 9d = a + 9d$ होगा।
संबंध $\frac{h_{10}}{OA_{10}} = \tan \alpha$ से,हमें मिलता है $\frac{h}{a + 9d} = \tan \alpha$।
$d$ के लिए हल करने पर:
$a + 9d = \frac{h}{\tan \alpha} = h \cot \alpha$
$9d = h \cot \alpha - a$
$9d = \frac{h \cos \alpha}{\sin \alpha} - a = \frac{h \cos \alpha - a \sin \alpha}{\sin \alpha}$
$d = \frac{h \cos \alpha - a \sin \alpha}{9 \sin \alpha}$।

(A) माना मीनार की ऊँचाई $AB = h$ और दूरी $BC = x$ है।
$\Delta ABC$ में,$\tan \beta = \frac{AB}{BC} = \frac{h}{x} \Rightarrow x = h \cot \beta$.
$\Delta ABP$ में,$\tan \alpha = \frac{AB}{PB} = \frac{h}{x + 2}$.
$x = h \cot \beta$ रखने पर,$\tan \alpha = \frac{h}{h \cot \beta + 2}$.
$\Rightarrow h \cot \beta + 2 = h \cot \alpha$.
$\Rightarrow 2 = h(\cot \alpha - \cot \beta) = h \left( \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\sin \alpha \sin \beta} \right)$.
$\Rightarrow h = \frac{2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin(\beta - \alpha)}$.

(B) ,$AC$ का मध्य बिंदु है। $BD$ भुजा $AC$ की माध्यिका है।
माध्यिका की लंबाई के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2(AB^2 + BC^2) - AC^2}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2(7^2 + 5^2) - 6^2}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2(49 + 25) - 36}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2(74) - 36} = \frac{1}{2} \sqrt{148 - 36} = \frac{1}{2} \sqrt{112}$
$BD = \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{7} = 2 \sqrt{7} \ m$.
माना $D$ पर लैंप-पोस्ट की ऊँचाई $h$ है। लैंप-पोस्ट $B$ पर $30^o$ का कोण बनाता है,इसलिए लैंप-पोस्ट और रेखाखंड $BD$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में:
$\tan 30^o = \frac{h}{BD}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{2 \sqrt{7}}$
$h = \frac{2 \sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{21}}{3} \ m$.

(B) माना झील की सतह से बादल की ऊँचाई $h$ है। बिंदु $P$ झील की सतह से $25 \, m$ ऊपर है।
माना बादल बिंदु $P$ के स्तर से $x$ ऊँचाई पर है,इसलिए $h = x + 25$ है।
झील की सतह के नीचे बादल के प्रतिबिंब की दूरी $h = x + 25$ है।
$P$ से प्रतिबिंब तक की कुल ऊर्ध्वाधर दूरी $(x + 25) + 25 = x + 50$ है।
माना $P$ से बादल की ऊर्ध्वाधर रेखा तक की क्षैतिज दूरी $y$ है।
उन्नयन कोण से: $\tan(30^o) = \frac{x}{y} \Rightarrow y = \frac{x}{\tan(30^o)} = x\sqrt{3}$ है।
अवनमन कोण से: $\tan(60^o) = \frac{x + 50}{y} \Rightarrow y = \frac{x + 50}{\sqrt{3}}$ है।
$y$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $x\sqrt{3} = \frac{x + 50}{\sqrt{3}}$ है।
$3x = x + 50$ $\Rightarrow 2x = 50$ $\Rightarrow x = 25 \, m$ है।
सतह से बादल की कुल ऊँचाई $h = x + 25 = 25 + 25 = 50 \, m$ है।

(C) माना दो खंभे $AB = 20 \ m$ और $CD = 80 \ m$ हैं जो एक क्षैतिज तल पर $x$ दूरी पर स्थित हैं।
माना दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ है और इसकी जमीन से ऊँचाई $h$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म का उपयोग करते हुए:
$\frac{h}{y} = \frac{20}{x}$ और $\frac{h}{x-y} = \frac{80}{x}$.
इन समीकरणों से,$\frac{y}{h} = \frac{x}{20}$ और $\frac{x-y}{h} = \frac{x}{80}$.
दोनों को जोड़ने पर: $\frac{y + x - y}{h} = \frac{x}{20} + \frac{x}{80}$.
$\frac{x}{h} = x \left( \frac{1}{20} + \frac{1}{80} \right) \implies \frac{1}{h} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16}$.
अतः,$h = 16 \ m$.