Height and Distance Questions in Hindi

(C) माना दो खंभों की ऊँचाई $h_1 = 5 \, m$ और $h_2 = 10 \, m$ है। उनके बीच की दूरी $x$ है।
छोटे खंभे के शीर्ष से बड़े खंभे पर एक क्षैतिज रेखा खींचने पर,हमें एक समकोण त्रिभुज प्राप्त होता है जिसकी ऊर्ध्वाधर भुजा की लंबाई $h_2 - h_1 = 10 - 5 = 5 \, m$ है।
छोटे खंभे के शीर्ष से बड़े खंभे के शीर्ष का उन्नयन कोण $15^o$ है।
समकोण त्रिभुज में:
$\tan(15^o) = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{5}{x}$
चूँकि $\tan(15^o) = 2 - \sqrt{3}$,इसलिए:
$2 - \sqrt{3} = \frac{5}{x}$
$x = \frac{5}{2 - \sqrt{3}}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$x = \frac{5(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 5(2 + \sqrt{3}) \, m$.

(D) माना $P$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $\triangle ABC$ में,$AB=AC=100$ है। माना $AP = x$ है। चूँकि $P$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AP \perp BC$ है।
$\triangle ABP$ में,$BP^2 = AB^2 - AP^2 = 100^2 - x^2$ है। अतः $BP = \sqrt{10000 - x^2}$ है।
मीनार की ऊँचाई $PQ = h$ है।
$A$ पर उन्नयन कोण $\alpha = \cot^{-1}(3\sqrt{2})$ है,इसलिए $\cot \alpha = \frac{AP}{PQ} = \frac{x}{h} = 3\sqrt{2} \implies x = 3\sqrt{2}h$ है।
$B$ पर उन्नयन कोण $\beta = \csc^{-1}(2\sqrt{2})$ है,इसलिए $\csc \beta = \frac{BQ}{PQ} = \frac{\sqrt{BP^2 + h^2}}{h} = 2\sqrt{2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{BP^2 + h^2}{h^2} = 8 \implies BP^2 + h^2 = 8h^2 \implies BP^2 = 7h^2$ है।
$BP^2 = 100^2 - x^2$ रखने पर: $10000 - x^2 = 7h^2$ है।
$x = 3\sqrt{2}h$ रखने पर: $10000 - (3\sqrt{2}h)^2 = 7h^2 \implies 10000 - 18h^2 = 7h^2$ है।
$25h^2 = 10000 \implies h^2 = 400 \implies h = 20$ है।

(C) मान लीजिए $MN$ ऊंचाई $h$ का टॉवर है और $AN = x$ टॉवर के पाद से बिंदु $A$ की दूरी है।
$\Delta ANM$ में,$\tan(45^o) = \frac{MN}{AN} = \frac{h}{x} = 1 \Rightarrow h = x$.
बिंदु $B$,$A$ से $30 \, m$ ऊपर है,इसलिए $PB = AN = x$ और $PM = MN - NP = h - 30 = x - 30$.
$\Delta BPM$ में,$\tan(30^o) = \frac{PM}{PB} = \frac{x - 30}{x}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x - 30}{x} \Rightarrow x = \sqrt{3}x - 30\sqrt{3}$.
$x(\sqrt{3} - 1) = 30\sqrt{3} \Rightarrow x = \frac{30\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $x = \frac{30\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{30(3 + \sqrt{3})}{3 - 1} = \frac{30(3 + \sqrt{3})}{2} = 15(3 + \sqrt{3}) \, m$.

(A) माना $PA = x$ बिंदु $P$ से बादल $C$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा की क्षैतिज दूरी है।
$\Delta PAC$ में,$\tan(30^{\circ}) = \frac{AC}{PA} \Rightarrow AC = \frac{x}{\sqrt{3}}$.
झील की सतह से बादल की ऊँचाई $H = AC + 200 = \frac{x}{\sqrt{3}} + 200$ है।
प्रतिबिंब $C'$ सतह से $H$ गहराई पर है,इसलिए $BC' = \frac{x}{\sqrt{3}} + 200$.
$\Delta PBC'$ में,कुल ऊर्ध्वाधर दूरी $AC' = 200 + (\frac{x}{\sqrt{3}} + 200) = 400 + \frac{x}{\sqrt{3}}$.
अवनमन कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $\tan(60^{\circ}) = \frac{AC'}{PA} = \frac{400 + x/\sqrt{3}}{x}$.
$\sqrt{3}x = 400 + \frac{x}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow 3x = 400\sqrt{3} + x$ $\Rightarrow 2x = 400\sqrt{3}$ $\Rightarrow x = 200\sqrt{3}$.
$\Delta PAC$ में,$PC = \frac{PA}{\cos(30^{\circ})} = \frac{2x}{\sqrt{3}} = \frac{2(200\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = 400 \ m$.

(D) मान लीजिए कि खंभों के बीच की क्षैतिज दूरी $x$ है। मान लीजिए कि जमीन $AC$ के ऊपर प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ की ऊँचाई $h$ है।
मान लीजिए कि $P$ से $AC$ पर लंब का पाद $M$ है। मान लीजिए $AM = x_2$ और $MC = x_1$,इसलिए $x_1 + x_2 = x$.
$\triangle AMC$ और $\triangle BCD$ में,हमारे पास $\triangle PMC \sim \triangle ABC$ और $\triangle PMA \sim \triangle ADC$ है।
समरूपता से,$\frac{h}{15} = \frac{x_1}{x}$ और $\frac{h}{10} = \frac{x_2}{x}$।
इन दो समीकरणों को जोड़ने पर: $\frac{h}{15} + \frac{h}{10} = \frac{x_1 + x_2}{x} = \frac{x}{x} = 1$।
$\frac{2h + 3h}{30} = 1$ $\Rightarrow \frac{5h}{30} = 1$ $\Rightarrow \frac{h}{6} = 1$।
अतः,$h = 6 \ m$।

(A) माना शिखर की ऊँचाई $h$ है। प्रारंभिक बिंदु से,$\tan 45^{\circ} = \frac{h}{d} \Rightarrow d = h$,जहाँ $d$ पर्वत के आधार तक की क्षैतिज दूरी है।
$30^{\circ}$ के कोण पर $1 \ km$ चढ़ने के बाद,नई स्थिति ऊँचाई $x = 1 \cdot \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \ km$ और प्रारंभिक बिंदु से क्षैतिज दूरी $z = 1 \cdot \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \ km$ पर है।
पर्वत तक की नई क्षैतिज दूरी $y = d - z = h - \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
वर्तमान स्थिति के सापेक्ष नई ऊँचाई $h - x = h - \frac{1}{2}$ है।
चूँकि नया उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $\tan 60^{\circ} = \frac{h - x}{y}$ होगा।
$\sqrt{3} = \frac{h - 1/2}{h - \sqrt{3}/2}$.
$\sqrt{3}(h - \frac{\sqrt{3}}{2}) = h - \frac{1}{2}$.
$\sqrt{3}h - \frac{3}{2} = h - \frac{1}{2}$.
$h(\sqrt{3} - 1) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$.
$h = \frac{1}{\sqrt{3} - 1}$.

(B) माना पहाड़ी की ऊँचाई $H$ है। प्रारंभिक बिंदु पहाड़ी के आधार से $H$ दूरी पर है क्योंकि उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है।
$30^{\circ}$ के ढलान पर $80 \ m$ चलने के बाद,नया स्थान प्रारंभिक बिंदु से $80 \cos 30^{\circ} = 40\sqrt{3} \ m$ की क्षैतिज दूरी पर और क्षैतिज तल से $80 \sin 30^{\circ} = 40 \ m$ की ऊँचाई पर है।
पहाड़ी के आधार तक शेष क्षैतिज दूरी $H - 40\sqrt{3}$ है।
वर्तमान स्थिति से नई ऊँचाई $H - 40$ है।
नया उन्नयन कोण $75^{\circ}$ होने के कारण,$\tan 75^{\circ} = \frac{H - 40}{H - 40\sqrt{3}}$.
चूँकि $\tan 75^{\circ} = 2 + \sqrt{3}$,इसलिए $2 + \sqrt{3} = \frac{H - 40}{H - 40\sqrt{3}}$.
$(2 + \sqrt{3})(H - 40\sqrt{3}) = H - 40$.
$2H - 80\sqrt{3} + \sqrt{3}H - 120 = H - 40$.
$H(1 + \sqrt{3}) = 80 + 80\sqrt{3} = 80(1 + \sqrt{3})$.
$H = 80 \ m$.

(B) मान लीजिए खंभे की ऊँचाई $h = PD$ है,जहाँ $P$ खंभे का शीर्ष है और $D$ जमीन पर खंभे का आधार है।
चूँकि पार्क के प्रत्येक कोने $A, B, C$ से खंभे के शीर्ष $P$ का उन्नयन कोण समान $(\frac{\pi}{3})$ है,इसलिए $D$ से प्रत्येक शीर्ष $A, B, C$ की दूरी समान होनी चाहिए।
अतः,$DA = DB = DC = R$,जहाँ $R$ $\Delta ABC$ की परिवृत्त त्रिज्या है।
दिया गया है कि $R = 2$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta PDA$ में,हमारे पास है:
$\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{PD}{DA} = \frac{h}{R}$
$h = R \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

(B) माना छोटे खंभे की ऊँचाई $h$ है और ऊँचे खंभे की ऊँचाई $3h$ है। खंभों के बीच की दूरी $150 \ m$ है। प्रेक्षक मध्य बिंदु पर है,इसलिए प्रेक्षक से प्रत्येक खंभे की दूरी $75 \ m$ है।
माना छोटे खंभे का उन्नयन कोण $\theta$ है। चूँकि कोण पूरक हैं,ऊँचे खंभे का उन्नयन कोण $90^\circ - \theta$ है।
छोटे खंभे के लिए: $\tan \theta = \frac{h}{75}$.
ऊँचे खंभे के लिए: $\tan(90^\circ - \theta) = \frac{3h}{75} \Rightarrow \cot \theta = \frac{3h}{75} = \frac{h}{25}$.
दोनों समीकरणों का गुणा करने पर: $\tan \theta \cdot \cot \theta = \left(\frac{h}{75}\right) \cdot \left(\frac{h}{25}\right)$.
$1 = \frac{h^2}{1875} \Rightarrow h^2 = 1875$.
$h = \sqrt{1875} = \sqrt{625 \times 3} = 25 \sqrt{3} \ m$.

(C) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और नाव की गति $v \text{ m/s}$ है।
माना $C$ मीनार का आधार है।
$\triangle ADC$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{AC} \implies AC = h \cot 30^{\circ} = h\sqrt{3}$.
$\triangle BDC$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{h}{BC} \implies BC = h \cot 45^{\circ} = h$.
दूरी $AB = AC - BC = h\sqrt{3} - h = h(\sqrt{3}-1)$.
नाव $AB$ दूरी को $20 \text{ सेकंड}$ में तय करती है,इसलिए गति $v = \frac{AB}{20} = \frac{h(\sqrt{3}-1)}{20}$.
$B$ से $C$ तक यात्रा करने में लगा समय $t = \frac{BC}{v} = \frac{h}{\frac{h(\sqrt{3}-1)}{20}} = \frac{20}{\sqrt{3}-1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $t = \frac{20(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{20(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{20(\sqrt{3}+1)}{2} = 10(\sqrt{3}+1) \text{ सेकंड}$.

(D) माना जेट विमान की ऊँचाई $h \, m$ है। जमीन पर स्थित बिंदु $A$ है।
पहली स्थिति से, $\tan 60^{\circ} = \frac{h}{y}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{y}$ $\Rightarrow y = \frac{h}{\sqrt{3}} \quad \dots (1)$
$20 \, s$ के बाद, विमान $x$ दूरी तय करता है।
गति $= 432 \, km/h = 432 \times \frac{5}{18} \, m/s = 120 \, m/s$.
दूरी $x = \text{गति} \times \text{समय} = 120 \times 20 = 2400 \, m$.
दूसरी स्थिति से, $\tan 30^{\circ} = \frac{h}{x + y}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{2400 + y}$ $\Rightarrow 2400 + y = h\sqrt{3} \quad \dots (2)$
$(1)$ से $y$ का मान $(2)$ में रखने पर:
$2400 + \frac{h}{\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$
$2400 = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = h \left( \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{2h}{\sqrt{3}}$
$h = \frac{2400 \times \sqrt{3}}{2} = 1200 \sqrt{3} \, m$.

(C) माना $\angle ACB = \theta$ और $\angle BCD = \alpha$ है। आकृति से,$\tan \theta = \frac{1}{2}$ है।
$\triangle BCD$ में,$\tan(\theta + \alpha) = \frac{BD}{CD} = \frac{x}{a+b}$ है।
आकृति के अनुसार,$\tan(\theta + \alpha) = \frac{x}{a}$ प्राप्त होता है।
$\tan(\theta + \alpha) = \frac{\tan \theta + \tan \alpha}{1 - \tan \theta \tan \alpha} = \frac{x}{a}$ का उपयोग करने पर।
$\tan \theta = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$\frac{1/2 + x/(a+b)}{1 - (1/2)(x/(a+b))} = \frac{x}{a}$
सरल करने पर,$x^2 - 2ax + b(a+b) = 0$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $C$ है।

(B) माना खंभे की ऊँचाई $H = 10\ell$ है। खंभा $3\ell$ और $7\ell$ लंबाई के दो भागों में विभाजित है।
माना जमीन पर स्थित बिंदु $P$ है,जो खंभे के आधार से $18 \ m$ की दूरी पर है।
माना निचला भाग $P$ पर $\alpha$ कोण बनाता है। तब $\tan \alpha = \frac{3\ell}{18} = \frac{\ell}{6}$।
माना कुल ऊँचाई $P$ पर $2\alpha$ कोण बनाती है। तब $\tan 2\alpha = \frac{10\ell}{18} = \frac{5\ell}{9}$।
सूत्र $\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{5\ell}{9} = \frac{2(\ell/6)}{1 - (\ell/6)^2} = \frac{\ell/3}{1 - \ell^2/36} = \frac{12\ell}{36 - \ell^2}$।
चूँकि $\ell \neq 0$,हम $\ell$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\frac{5}{9} = \frac{12}{36 - \ell^2}$ $\Rightarrow 5(36 - \ell^2) = 108$ $\Rightarrow 180 - 5\ell^2 = 108$ $\Rightarrow 5\ell^2 = 72$ $\Rightarrow \ell^2 = \frac{72}{5}$।
अतः,$\ell = \sqrt{\frac{72}{5}} = \frac{6\sqrt{10}}{5}$।
खंभे की कुल ऊँचाई $10\ell = 10 \times \frac{6\sqrt{10}}{5} = 12\sqrt{10} \ m$ है।

(B) माना $O$ गोले का केंद्र है और $A$ पर्यवेक्षक की आँख है। त्रिज्या $r = 16 \ m$ है। $A$ से गोले पर स्पर्श रेखाएँ $P$ और $Q$ पर स्पर्श करती हैं। कोण $\angle PAQ = 60^{\circ}$ है,इसलिए $\angle OAP = 30^{\circ}$ है।
$\triangle OAP$ में,$\sin(30^{\circ}) = \frac{OP}{OA} \implies \frac{1}{2} = \frac{16}{OA} \implies OA = 32 \ m$.
$A$ से केंद्र $O$ का उन्नयन कोण $75^{\circ}$ है। माना $H$ पर्यवेक्षक की आँख के क्षैतिज स्तर से केंद्र $O$ की ऊँचाई है। तब $H = OA \sin(75^{\circ}) = 32 \sin(45^{\circ} + 30^{\circ}) = 32 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \right) = 32 \left( \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \right) = 8\sqrt{2}(\sqrt{3}+1) = 8(\sqrt{6}+\sqrt{2}) \ m$.
पर्यवेक्षक की आँख के स्तर से सबसे ऊपरी बिंदु $T$ की ऊँचाई $H + r = 8(\sqrt{6}+\sqrt{2}) + 16 = 8(\sqrt{6}+\sqrt{2}+2) \ m$ है।

(C) मान लीजिए $BC = CQ = x$,$AB = h$,और $PQ = 2h$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ और $\triangle PQC$ से:
$\tan \theta = \frac{AB}{BC} = \frac{h}{x}$
$\tan \left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{PQ}{CQ} = \frac{2h}{x}$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{\tan \theta}{\tan \left(\frac{\pi}{8}\right)} = \frac{h/x}{2h/x} = \frac{1}{2}$
अतः,$\tan \theta = \frac{1}{2} \tan \left(\frac{\pi}{8}\right)$ है।
हम जानते हैं कि $\tan \left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2} - 1$ होता है।
इसलिए,$\tan \theta = \frac{1}{2}(\sqrt{2} - 1)$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\tan^{2} \theta = \frac{1}{4}(\sqrt{2} - 1)^{2} = \frac{1}{4}(2 + 1 - 2\sqrt{2}) = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{4}$।

(D) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और खंभे तथा मीनार के बीच की दूरी $x$ है।
$\tan(60^{\circ}) = \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\tan(30^{\circ}) = \frac{x}{h - 20} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h - 20}{x} \implies x = \sqrt{3}(h - 20)$.
$\frac{h}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}(h - 20) \implies h = 3(h - 20) \implies h = 3h - 60 \implies 2h = 60 \implies h = 30$.

(A) माना $AQ = d$ है। $\triangle AQR$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{QR}{AQ} = \frac{15}{d}$ है।
अतः,$d = \frac{15}{\tan 60^{\circ}} = \frac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3} \, m$ है।
$\triangle AQP$ में,$P$ का उन्नयन कोण $60^{\circ} + 15^{\circ} = 75^{\circ}$ है।
अतः,$\tan 75^{\circ} = \frac{PQ}{AQ} = \frac{15 + x}{5\sqrt{3}}$,जहाँ $x = PR$ है।
चूँकि $\tan 75^{\circ} = 2 + \sqrt{3}$ है,
$15 + x = 5\sqrt{3}(2 + \sqrt{3}) = 10\sqrt{3} + 15$ प्राप्त होता है।
इससे $x = 10\sqrt{3} \, m$ मिलता है।
मीनार की कुल ऊँचाई $PQ = QR + PR = 15 + 10\sqrt{3} = 5(3 + 2\sqrt{3}) \, m$ है।

(A) $\triangle PQA$ में,$\angle PAQ = 45^{\circ}$ और $PQ = 10$,इसलिए $QA = \frac{PQ}{\tan 45^{\circ}} = 10$.
$\triangle BRA$ में,$RA = d \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}d}{2}$ और $BR = d \sin 30^{\circ} = \frac{d}{2}$.
चूंकि $R$,$AQ$ पर स्थित है,$QR = QA - RA = 10 - \frac{\sqrt{3}d}{2}$.
$\triangle PRB$ में,$B$ से $P$ का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $\tan 60^{\circ} = \frac{PQ - BR}{QR} = \frac{10 - d/2}{10 - \sqrt{3}d/2}$.
$\sqrt{3} = \frac{20 - d}{20 - \sqrt{3}d} \implies 20\sqrt{3} - 3d = 20 - d \implies 2d = 20(\sqrt{3} - 1) \implies d = 10(\sqrt{3} - 1)$.
समलंब $PQRB$ का क्षेत्रफल $\alpha = \frac{1}{2}(PQ + BR) \cdot QR = \frac{1}{2}(10 + d/2)(10 - \sqrt{3}d/2)$.
$d = 10(\sqrt{3} - 1)$ रखने पर,$BR = 5(\sqrt{3} - 1)$ और $QR = 10 - 5\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1) = 10 - 15 + 5\sqrt{3} = 5\sqrt{3} - 5$ प्राप्त होता है।
$\alpha = \frac{1}{2}(10 + 5\sqrt{3} - 5)(5\sqrt{3} - 5) = \frac{1}{2}(5\sqrt{3} + 5)(5\sqrt{3} - 5) = \frac{1}{2}(75 - 25) = 25$.
अतः,$(d, \alpha) = (10(\sqrt{3} - 1), 25)$.

(C) मान लीजिए $A$ टॉवर का आधार है और $B$ शीर्ष है। टॉवर की ऊँचाई $AB = 2h$ है। मान लीजिए $C$ टॉवर पर एक ऐसा बिंदु है कि $AC = h$ है।
जमीन पर बिंदु $P$ से $C$ का उन्नयन कोण $2\alpha$ है। मान लीजिए $AP = x$ है। $\triangle PAC$ में,$\tan 2\alpha = \frac{AC}{AP} = \frac{h}{x}$। अतः,$x = h \cot 2\alpha$।
जब व्यक्ति टॉवर की ओर $d = \sqrt{7}h$ दूरी चलकर बिंदु $H$ पर पहुँचता है,तो दूरी $AH = x + \sqrt{7}h$ हो जाती है। शीर्ष $B$ का उन्नयन कोण $\alpha$ है। $\triangle HAB$ में,$\tan \alpha = \frac{AB}{AH} = \frac{2h}{x + \sqrt{7}h}$।
$x = h \cot 2\alpha$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $\tan \alpha = \frac{2h}{h \cot 2\alpha + \sqrt{7}h} = \frac{2}{\cot 2\alpha + \sqrt{7}}$।
चूँकि $\cot 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{2 \tan \alpha}$,इसलिए $\tan \alpha = \frac{2}{\frac{1 - \tan^2 \alpha}{2 \tan \alpha} + \sqrt{7}}$।
मान लीजिए $t = \tan \alpha$ है। तो $t = \frac{4t}{1 - t^2 + 2\sqrt{7}t}$।
चूँकि $t \neq 0$,इसलिए $1 = \frac{4}{1 - t^2 + 2\sqrt{7}t}$,जिसका अर्थ है $1 - t^2 + 2\sqrt{7}t = 4$।
$t^2 - 2\sqrt{7}t + 3 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$t = \frac{2\sqrt{7} \pm \sqrt{(2\sqrt{7})^2 - 4(1)(3)}}{2} = \frac{2\sqrt{7} \pm \sqrt{28 - 12}}{2} = \frac{2\sqrt{7} \pm 4}{2} = \sqrt{7} \pm 2$।
चूँकि $\alpha$ एक उन्नयन कोण है,$\tan \alpha$ धनात्मक होना चाहिए। साथ ही,$\tan 2\alpha$ को परिभाषित और धनात्मक होने के लिए,$2\alpha < 90^\circ$,इसलिए $\alpha < 45^\circ$,जिसका अर्थ है $\tan \alpha < 1$। चूँकि $\sqrt{7} + 2 > 1$,हम $\tan \alpha = \sqrt{7} - 2$ लेते हैं।

(B) माना $OP = h$ है। चूंकि $OP$ ऊर्ध्वाधर है,$\triangle OPA$,$\triangle OPB$,और $\triangle OPC$ बिंदु $O$ पर समकोण बनाते हैं।
$AB = 16$ और $C$ मध्यबिंदु है,इसलिए $AC = CB = 8$ है।
$\triangle OPA$ में,$\tan 15^{\circ} = \frac{OP}{OA} \Rightarrow OA = h \cot 15^{\circ}$ है।
$\triangle OPC$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{OP}{OC} \Rightarrow OC = h$ है।
$\triangle OAC$ में,$\angle OCA = 90^{\circ}$ है,इसलिए $OA^{2} = OC^{2} + AC^{2}$ है।
मान रखने पर: $(h \cot 15^{\circ})^{2} = h^{2} + 8^{2}$ है।
$h^{2} (\cot^{2} 15^{\circ} - 1) = 64$ है।
$\cot 15^{\circ} = 2 + \sqrt{3}$ का उपयोग करने पर,$\cot^{2} 15^{\circ} = 7 + 4\sqrt{3}$ है।
$h^{2} (6 + 4\sqrt{3}) = 64 \Rightarrow h^{2} = \frac{32}{3 + 2\sqrt{3}}$ है।
हर का परिमेयकरण करने पर: $h^{2} = \frac{32}{\sqrt{3}}(2 - \sqrt{3})$ प्राप्त होता है।

(A) माना मीनार $OP$ है,जहाँ $O$ मीनार का आधार है। बिंदु $A$,$O$ के उत्तर में है,इसलिए $\triangle OAP$ एक समकोण त्रिभुज है जहाँ $\angle OAP = \alpha$ है।
दिया है $AB = 9$ इकाई,जहाँ $B$,$A$ के पश्चिम में है। चूँकि $A$,$O$ के उत्तर में है,इसलिए $OA \perp AB$ है।
$\triangle OAB$ में,$\angle OAB = 90^\circ$ है। $OB = 15$ दिया है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OA^2 + AB^2 = OB^2 \implies OA^2 + 9^2 = 15^2 \implies OA^2 = 225 - 81 = 144 \implies OA = 12$ है।
माना $\beta = \cos^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)$ बिंदु $B$ से उन्नयन कोण है। अतः $\cos \beta = \frac{3}{\sqrt{13}}$ है।
$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ से,$\sin \beta = \sqrt{1 - \frac{9}{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$ है।
अतः,$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{2}{3}$ है।
$\triangle OBP$ में,$\tan \beta = \frac{OP}{OB} = \frac{h}{15}$ है।
अतः,$\frac{h}{15} = \frac{2}{3} \implies h = 10$ है।
$\triangle OAP$ में,$\tan \alpha = \frac{OP}{OA} = \frac{h}{OA} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ है।
इसलिए,$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{6}{5}$ है।

(C) माना मीनार की ऊँचाई $H$ है और इमारत तथा मीनार के बीच की दूरी $x$ है।
इमारत की छत से (ऊँचाई $h = 60\sqrt{3}$ फीट),मीनार की चोटी का उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है। अतः,$\tan 45^{\circ} = \frac{H - h}{x} \implies 1 = \frac{H - 60\sqrt{3}}{x} \implies x = H - 60\sqrt{3}$.
इमारत के आधार से,मीनार की चोटी का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है। अतः,$\tan 60^{\circ} = \frac{H}{x} \implies \sqrt{3} = \frac{H}{x} \implies x = \frac{H}{\sqrt{3}}$.
$x$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $H - 60\sqrt{3} = \frac{H}{\sqrt{3}}$.
$\sqrt{3}$ से गुणा करने पर: $\sqrt{3}H - 60(3) = H \implies \sqrt{3}H - H = 180 \implies H(\sqrt{3} - 1) = 180$.
$H = \frac{180}{\sqrt{3} - 1} = \frac{180(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{180(\sqrt{3} + 1)}{2} = 90(\sqrt{3} + 1)$ फीट।

(C) माना खंभे की ऊँचाई $h$ है और गोले की त्रिज्या $r$ है। बिंदु $P$ गोले का निचला हिस्सा है,इसलिए जमीन से $P$ की ऊँचाई $h$ है। बिंदु $Q$ केंद्र $O$ के स्तर पर है,इसलिए जमीन से $Q$ की ऊँचाई $h+r$ है। प्रेक्षक $B$ से खंभे की क्षैतिज दूरी $AB = 50 \ m$ है।
$\triangle APB$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{AP}{AB} = \frac{h}{50}$.
$\Rightarrow h = 50 \tan 30^{\circ} = \frac{50}{\sqrt{3}}$.
प्रेक्षक,बिंदु $Q$ और बिंदु $R$ (जहाँ $R$ जमीन पर $Q$ का प्रक्षेप है) द्वारा निर्मित त्रिभुज में,क्षैतिज दूरी $BR = AB - r = 50 - r$ है और ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $RQ = h+r$ है।
$\tan 60^{\circ} = \frac{RQ}{BR} = \frac{h+r}{50-r}$.
$\Rightarrow \sqrt{3}(50-r) = h+r$.
$h = \frac{50}{\sqrt{3}}$ रखने पर:
$\sqrt{3}(50-r) = \frac{50}{\sqrt{3}} + r$.
$50\sqrt{3} - r\sqrt{3} = \frac{50}{\sqrt{3}} + r$.
$50\sqrt{3} - \frac{50}{\sqrt{3}} = r(1+\sqrt{3})$.
$50 \left( \frac{3-1}{\sqrt{3}} \right) = r(1+\sqrt{3})$.
$r = \frac{50 \times 2}{\sqrt{3}(1+\sqrt{3})} = 50 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$.

(A) माना $AB = 30 \ m$ और $BQ = x$ है। $\triangle ABQ$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BQ} = \frac{30}{x}$ है।
अतः,$x = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \ m$ है। इस प्रकार,$BQ = 10\sqrt{3} \ m$ है।
चूँकि $BCPQ$ एक आयत है,$CP = BQ = 10\sqrt{3} \ m$ और $PQ = BC$ है।
$\triangle ACP$ में,$P$ का अवनमन कोण $15^{\circ}$ है,इसलिए $\tan 15^{\circ} = \frac{AC}{CP} = \frac{AC}{10\sqrt{3}}$ है।
चूँकि $\tan 15^{\circ} = 2 - \sqrt{3}$ है,इसलिए $AC = 10\sqrt{3}(2 - \sqrt{3}) = 20\sqrt{3} - 30$ है।
तब $BC = AB - AC = 30 - (20\sqrt{3} - 30) = 60 - 20\sqrt{3}$ है।
आयत $BCPQ$ का क्षेत्रफल $= BQ \times BC = (10\sqrt{3})(60 - 20\sqrt{3}) = 600\sqrt{3} - 600 = 600(\sqrt{3} - 1) \ m^2$ है।

(C) माना $AB = x$. चित्र से,$AC = x \tan \theta_1$ और $CD = x$. साथ ही,$BD = AC = x \tan \theta_1$ और $DE = CD \tan \theta_2 = x \tan \theta_2$.
दिया है $\sqrt{3}(BE) = 4(AB)$,इसलिए $\sqrt{3}(BD + DE) = 4x$.
$\sqrt{3}(x \tan \theta_1 + x \tan \theta_2) = 4x \implies \sqrt{3}(\tan \theta_1 + \cot \theta_1) = 4$ (चूंकि $\theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{2}, \tan \theta_2 = \cot \theta_1$).
$\sqrt{3}(\tan \theta_1 + \frac{1}{\tan \theta_1}) = 4 \implies 3 \tan^2 \theta_1 - 4\sqrt{3} \tan \theta_1 + 3 = 0$.
$\tan \theta_1$ के लिए हल करने पर,हमें $\tan \theta_1 = \sqrt{3}$ या $\tan \theta_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
यदि $\tan \theta_1 = \sqrt{3}$,तो $\theta_1 = \frac{\pi}{3}$ और $\theta_2 = \frac{\pi}{6}$. तब $\frac{\theta_2}{\theta_1} = \frac{1}{2}$.
यदि $\tan \theta_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$,तो $\theta_1 = \frac{\pi}{6}$ और $\theta_2 = \frac{\pi}{3}$. तब $\frac{\theta_2}{\theta_1} = 2$.
चूंकि $\frac{\theta_2}{\theta_1}$ अधिकतम है,हम $\theta_1 = \frac{\pi}{6}$ लेते हैं।
$\triangle CAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times x \times (x \tan \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} x^2 \frac{1}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}-3$.
$x^2 = 2\sqrt{3}(2\sqrt{3}-3) = 12 - 6\sqrt{3} = (3-\sqrt{3})^2 \implies x = 3-\sqrt{3}$.
$\triangle CED$ का परिमाप $= CD + DE + CE = x + x \tan \theta_2 + \sqrt{x^2 + (x \tan \theta_2)^2} = x(1 + \tan \frac{\pi}{3} + \sec \frac{\pi}{3}) = x(1 + \sqrt{3} + 2) = x(3+\sqrt{3})$.
परिमाप $= (3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3}) = 9 - 3 = 6$.

(A) माना मीनार की ऊँचाई $h = 5 \text{ m}$ है। मीनार का आधार $O$ है। पहले व्यक्ति की स्थिति $A$ (दक्षिण) और दूसरे व्यक्ति की स्थिति $B$ (पश्चिम) है।
$\triangle POA$ में,$\tan(45^{\circ}) = \frac{PO}{OA} \implies 1 = \frac{5}{OA} \implies OA = 5 \text{ m}$.
$\triangle POB$ में,$\tan(30^{\circ}) = \frac{PO}{OB} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5}{OB} \implies OB = 5\sqrt{3} \text{ m}$.
चूँकि दक्षिण और पश्चिम दिशाएँ परस्पर लंबवत हैं,$\triangle AOB$ बिंदु $O$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
दोनों व्यक्तियों के बीच की दूरी $AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{5^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{25 + 75} = \sqrt{100} = 10 \text{ m}$ है।

(A) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और मीनार का पाद $P$ है। माना $CP = x$,$BC = y$,और $AB = z$ है।
$\triangle QCP$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x} \Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\triangle QBP$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{h}{x+y}$ $\Rightarrow x+y = h$ $\Rightarrow y = h - \frac{h}{\sqrt{3}} = h\left(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = h\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right)$.
$\triangle QAP$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{x+y+z}$ $\Rightarrow x+y+z = h\sqrt{3}$ $\Rightarrow z = h\sqrt{3} - (x+y) = h\sqrt{3} - h = h(\sqrt{3}-1)$.
अब,अनुपात $\frac{AB}{BC} = \frac{z}{y} = \frac{h(\sqrt{3}-1)}{h\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right)} = \sqrt{3}$.
अतः,$AB: BC = \sqrt{3}: 1$.

(C) माना $ED = h$ टावर की ऊँचाई है। बिंदु $A, B, C, D$ एक ही रेखा पर हैं जहाँ $D$ टावर का आधार है।
$\triangle ADE$ में,$\angle EAD = \alpha$,$\angle EBD = 2\alpha$,$\angle ECD = 3\alpha$.
$\triangle ABE$ में,$\angle EAB = \alpha$ और $\angle EBA = 180^{\circ} - 2\alpha$.
अतः,$\angle AEB = 180^{\circ} - (\alpha + 180^{\circ} - 2\alpha) = \alpha$.
चूँकि $\angle EAB = \angle AEB = \alpha$,इसलिए $\triangle ABE$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है,जिसमें $BE = AB = a$.
$\triangle BCE$ में,ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{BE}{\sin 3\alpha} = \frac{CE}{\sin(180^{\circ} - 2\alpha)}$
$\frac{a}{\sin 3\alpha} = \frac{CE}{\sin 2\alpha} \Rightarrow CE = \frac{a \sin 2\alpha}{\sin 3\alpha}$.
$\triangle CDE$ में,$\sin 3\alpha = \frac{h}{CE}$.
$h = CE \sin 3\alpha = \left(\frac{a \sin 2\alpha}{\sin 3\alpha}\right) \sin 3\alpha = a \sin 2\alpha$.

(C) माना मीनार की ऊंचाई $H$ है और इमारत की ऊंचाई $h$ है। क्षैतिज दूरी $d = 10 \sqrt{3}$ है।
मीनार के शीर्ष से इमारत के पाद का अवनमन कोण $60^{\circ}$ है। अतः,$\tan(60^{\circ}) = \frac{H}{d}$।
$H = d \times \tan(60^{\circ}) = 10 \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 10 \times 3 = 30$ इकाई।
मीनार के पाद से इमारत के शीर्ष का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है। अतः,$\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{d}$।
$h = d \times \tan(30^{\circ}) = 10 \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 10$ इकाई।
ऊंचाइयों का योग $H + h = 30 + 10 = 40$ इकाई है।

(B) माना विमान की ऊँचाई $h = 5 \text{ km}$ है।
विमान की स्थितियाँ $A$ और $B$ हैं जहाँ कोण क्रमशः $15^{\circ}$ और $30^{\circ}$ हैं।
जमीन पर पर्यवेक्षक को $O$ मानें।
$\triangle ODA$ में,$\tan(15^{\circ}) = \frac{h}{OD} \implies OD = 5 \cot(15^{\circ}) = 10 + 5\sqrt{3} \text{ km}$.
$\triangle OEB$ में,$\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{OE} \implies OE = 5\sqrt{3} \text{ km}$.
तय की गई दूरी $d = OD - OE = 10 \text{ km}$.
समय $t = 50 \text{ सेकंड} = \frac{1}{72} \text{ घंटा}$.
गति $v = \frac{d}{t} = 720 \text{ kmph}$.

(C) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और आधार $P$ है। दो बिंदु $C$ और $B$ इस प्रकार हैं कि $PC = a$ और $PB = b$ है। उन्नयन कोण $\angle ACP = \theta$ और $\angle ABP = \phi$ हैं। दिया गया है कि $\theta + \phi = 90^{\circ}$ है।
$\triangle ACP$ में,$\tan \theta = \frac{h}{a}$ है।
$\triangle ABP$ में,$\tan \phi = \frac{h}{b}$ है।
चूँकि $\theta + \phi = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\phi = 90^{\circ} - \theta$,जिसका अर्थ है $\tan \phi = \tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ है।
मान रखने पर,$\frac{h}{b} = \frac{1}{h/a} = \frac{a}{h}$ प्राप्त होता है।
अतः,$h^2 = ab$,जिससे $h = \sqrt{ab}$ प्राप्त होता है।

(D) माना टॉवर की ऊँचाई $h$ है और जब सूर्य का उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है,तब छाया की लंबाई $x$ है।
$\triangle BAD$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow 1 = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow x = h$.
जब सूर्य का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ होता है,तो छाया की लंबाई $x + 60$ हो जाती है।
$\triangle BAC$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{x+60} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{h+60}$.
$\Rightarrow h + 60 = h\sqrt{3}$
$\Rightarrow h(\sqrt{3} - 1) = 60$
$\Rightarrow h = \frac{60}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$
$\Rightarrow h = \frac{60(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{60(\sqrt{3}+1)}{2} = 30(\sqrt{3}+1) \ m$.

(A) माना $AB$ ऊँची इमारत है जिसकी ऊँचाई $H$ है और $CQ$ छोटी इमारत है जिसकी ऊँचाई $h$ है। माना $A$ ऊँची इमारत का आधार है और $C$ छोटी इमारत का आधार है।
$\triangle ABC$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{AC} = \frac{H}{AC}$. अतः,$AC = \frac{H}{\sqrt{3}}$.
चूँकि $AC = QP$,इसलिए $QP = \frac{H}{\sqrt{3}}$.
$\triangle BQP$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{BP}{QP} = \frac{H-h}{QP}$.
$QP = \frac{H}{\sqrt{3}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{H-h}{H/\sqrt{3}}$.
इसे सरल करने पर $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{(H-h)\sqrt{3}}{H}$.
$H = 3(H-h)$ $\Rightarrow H = 3H - 3h$ $\Rightarrow 2H = 3h$.
अतः,छोटी इमारत और ऊँची इमारत की ऊंचाइयों का अनुपात $\frac{h}{H} = \frac{2}{3}$ या $2:3$ है।

(D) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और मीनार के आधार $(B)$ से बिंदु $A$ की दूरी $x$ है।
$\triangle ABD$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
अब,व्यक्ति $AB$ के लंबवत $60 \ m$ चलकर बिंदु $C$ पर पहुँचता है। अतः,$AC = 60 \ m$ और $\triangle ABC$,$A$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
बिंदु $C$ से आधार $B$ की दूरी $BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{60^2 + x^2} = \sqrt{3600 + x^2}$ है।
$\triangle CBD$ में,उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = \frac{h}{BC} \Rightarrow 1 = \frac{h}{\sqrt{3600 + x^2}}$.
अतः,$h^2 = 3600 + x^2$.
समीकरण में $x^2 = \frac{h^2}{3}$ रखने पर: $h^2 = 3600 + \frac{h^2}{3}$.
$h^2 - \frac{h^2}{3} = 3600 \Rightarrow \frac{2h^2}{3} = 3600$.
$h^2 = 1800 \times 3 = 5400$.
$h = \sqrt{5400} = \sqrt{900 \times 6} = 30 \sqrt{6} \ m$.

(C) माना खंभे की ऊँचाई $2h$ है,जहाँ $B$ मध्य बिंदु है ताकि $AB = BC = h$ हो। माना $PA = x$ है। पूरे खंभे द्वारा बनाया गया कोण $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ है,इसलिए $\tan \theta = \frac{2h}{x} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $x = 4h$।
अब,$\tan \beta = \frac{h}{x} = \frac{h}{4h} = \frac{1}{4}$।
दिया है कि $\theta = \alpha + \beta$,इसलिए $\alpha = \theta - \beta$।
सूत्र $\tan \alpha = \tan(\theta - \beta) = \frac{\tan \theta - \tan \beta}{1 + \tan \theta \tan \beta} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}}{1 + (\frac{1}{2})(\frac{1}{4})} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{8}} = \frac{2}{9}$।
अतः,$(\tan \alpha, \tan \beta) = \left(\frac{2}{9}, \frac{1}{4}\right)$।

(C) माना $h = 2500 \ m$ झील के ऊपर अवलोकन बिंदु की ऊँचाई है। माना $H$ झील के ऊपर बादल की ऊँचाई है। अवलोकन बिंदु से बादल की दूरी $H-h$ है। अवलोकन बिंदु से बादल के प्रतिबिंब की दूरी $H+h$ है।
माना अवलोकन बिंदु से बादल की क्षैतिज दूरी $x$ है।
अवलोकन बिंदु,बादल और क्षैतिज रेखा द्वारा निर्मित त्रिभुज में,$\cot 15^{\circ} = \frac{x}{H-h} \Rightarrow x = (H-h)(2+\sqrt{3}) \quad (i)$
अवलोकन बिंदु,बादल के प्रतिबिंब और क्षैतिज रेखा द्वारा निर्मित त्रिभुज में,$\cot 45^{\circ} = \frac{x}{H+h} \Rightarrow x = H+h \quad (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$(H-h)(2+\sqrt{3}) = H+h$
$H(2+\sqrt{3}) - h(2+\sqrt{3}) = H+h$
$H(2+\sqrt{3}-1) = h(2+\sqrt{3}+1)$
$H(1+\sqrt{3}) = h(3+\sqrt{3})$
$H = h \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}+1} = h\sqrt{3}$
यहाँ $h = 2500 \ m$ दिया गया है,इसलिए $H = 2500\sqrt{3} \ m$.

(C) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और बिंदु $C$ और $B$ आधार $P$ से क्रमशः $a$ और $b$ दूरी पर हैं।
$\triangle ACP$ में,$\tan \theta = \frac{h}{a} \implies \theta = \arctan(\frac{h}{a})$.
$\triangle ABP$ में,$\tan \phi = \frac{h}{b} \implies \phi = \arctan(\frac{h}{b})$.
दिया गया है कि $\theta + \phi = 90^{\circ}$,इसलिए $\theta = 90^{\circ} - \phi$.
दोनों तरफ टैन लेने पर,$\tan \theta = \tan(90^{\circ} - \phi) = \cot \phi = \frac{1}{\tan \phi}$.
मान रखने पर,$\frac{h}{a} = \frac{1}{h/b} = \frac{b}{h}$.
अतः,$h^2 = ab$,जिससे $h = \sqrt{ab}$ प्राप्त होता है।

(C) माना दो खंभे $AD$ और $BC$ हैं जिनकी ऊँचाई क्रमशः $a$ और $b$ है,जो एक क्षैतिज रेखा $AB$ पर स्थित हैं।
$P$,$AB$ पर एक बिंदु है ताकि $\angle DPA = 45^{\circ}$ और $\angle CPB = 45^{\circ}$ हो।
$\triangle APD$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{AD}{AP} = \frac{a}{AP} \Rightarrow AP = a$।
$\triangle BPC$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{BC}{BP} = \frac{b}{BP} \Rightarrow BP = b$।
खंभों के बीच की क्षैतिज दूरी $AB = AP + PB = a + b$ है।
$AB$ के समानांतर एक रेखा $DE$ खींचें ताकि $E$,$BC$ पर स्थित हो। तब $DE = AB = a + b$ और $CE = BC - BE = BC - AD = b - a$ होगा।
समकोण त्रिभुज $\triangle DEC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$DC^2 = DE^2 + CE^2$
$DC^2 = (a + b)^2 + (b - a)^2$
$DC^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (b^2 - 2ab + a^2)$
$DC^2 = 2(a^2 + b^2)$।

(A) माना $AB$ ऊँचाई $h$ की एक पहाड़ी है और $CD$ ऊँचाई $h^{\prime}$ का एक स्तंभ है।
माना $E$,$AB$ पर एक बिंदु है ताकि $ED$ क्षैतिज हो।
$\triangle EBD$ में,$\tan \alpha = \frac{BE}{ED} = \frac{h-h^{\prime}}{ED}$,इसलिए $ED = \frac{h-h^{\prime}}{\tan \alpha}$।
$\triangle ABC$ में,$\tan \beta = \frac{AB}{AC} = \frac{h}{ED}$,इसलिए $ED = \frac{h}{\tan \beta}$।
$ED$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{h-h^{\prime}}{\tan \alpha} = \frac{h}{\tan \beta}$
$h-h^{\prime} = \frac{h \tan \alpha}{\tan \beta}$
$h^{\prime} = h - \frac{h \tan \alpha}{\tan \beta} = h \left(1 - \frac{\tan \alpha}{\tan \beta}\right) = \frac{h(\tan \beta - \tan \alpha)}{\tan \beta}$।

(D) माना वस्तु की ऊँचाई $h$ है। माना $B$ जमीन पर वह बिंदु है जो वस्तु $A$ के ठीक नीचे है,और $C$ तथा $D$ जमीन पर दो बिंदु इस प्रकार हैं कि $CD = d$ और $BD = x$ है।
$\triangle ABC$ में,$\tan \alpha = \frac{h}{x+d} \Rightarrow x+d = h \cot \alpha$ $(i)$
$\triangle ABD$ में,$\tan \beta = \frac{h}{x} \Rightarrow x = h \cot \beta$ (ii)
(ii) से $x$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$h \cot \beta + d = h \cot \alpha$
$d = h \cot \alpha - h \cot \beta$
$d = h(\cot \alpha - \cot \beta)$
$h = \frac{d}{\cot \alpha - \cot \beta}$

(B) माना वस्तु की ऊँचाई $h$ है और दूसरे अवलोकन बिंदु से पहाड़ी के आधार तक की दूरी $x$ है।
$\triangle BCD$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\triangle ACD$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{120 + x}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{120 + x}$ $\Rightarrow 120 + x = h\sqrt{3}$.
$x = \frac{h}{\sqrt{3}}$ को समीकरण में रखने पर:
$120 + \frac{h}{\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$
$120 = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = h \left( \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{2h}{\sqrt{3}}$
$h = \frac{120 \times \sqrt{3}}{2} = 60\sqrt{3} \ m$.