Height and Distance Questions in Hindi

(B) माना वस्तु की ऊँचाई $h$ है और दूसरे अवलोकन बिंदु से पहाड़ी के आधार तक की दूरी $x$ है।
$\triangle BCD$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\triangle ACD$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{120 + x}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{120 + x}$ $\Rightarrow 120 + x = h\sqrt{3}$.
$x = \frac{h}{\sqrt{3}}$ को समीकरण में रखने पर:
$120 + \frac{h}{\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$
$120 = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = h \left( \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{2h}{\sqrt{3}}$
$h = \frac{120 \times \sqrt{3}}{2} = 60\sqrt{3} \ m$.

(B) माना $BC$ टॉवर की ऊँचाई है और $CD$ ध्वजदंड की ऊँचाई है,जहाँ $BC = x$ और $CD = h$ है।
माना बिंदु $A$ टॉवर के आधार $B$ से $y$ मीटर की दूरी पर है।
दिया गया है कि टॉवर और ध्वजदंड बिंदु $A$ पर समान कोण $\theta$ अंतरित करते हैं।
$\triangle ABC$ में,$\tan \theta = \frac{BC}{AB} = \frac{x}{y}$ है।
$\triangle ABD$ में,कुल कोण $2\theta$ है और कुल ऊँचाई $BD = BC + CD = x + h$ है।
अतः,$\tan 2\theta = \frac{BD}{AB} = \frac{x+h}{y}$ है।
सूत्र $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2(x/y)}{1-(x/y)^2} = \frac{x+h}{y}$
$\frac{2xy}{y^2-x^2} = \frac{x+h}{y}$
$h = \frac{2xy^2}{y^2-x^2} - x = \frac{x(x^2+y^2)}{y^2-x^2}$.

(C) मान लीजिए प्रेक्षक का स्थान $A$ है। हवाई जहाज की ऊंचाई $h = 1 \ km$ है। प्रारंभिक स्थिति $D$ और अंतिम स्थिति $E$ है।
$\Delta DAP$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{DP}{AP}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{1}{AP}$ $\Rightarrow AP = \frac{1}{\sqrt{3}} \ km$.
$\Delta EAQ$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{EQ}{AQ} = \frac{1}{AP + PQ} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}} + PQ}$.
$PQ$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{\sqrt{3}} + PQ = \sqrt{3}$ $\Rightarrow PQ = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3-1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \ km$.
विमान द्वारा तय की गई दूरी $PQ = \frac{2}{\sqrt{3}} \ km$ है,जो $10 \ s$ में तय की गई है।
गति $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{2/\sqrt{3} \ km}{10 \ s} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{10} \ km/s$.
$km/h$ में बदलने पर: $\text{गति} = \frac{2}{10\sqrt{3}} \times 3600 \ km/h = \frac{7200}{10\sqrt{3}} = \frac{720}{\sqrt{3}} = 240\sqrt{3} \ km/h$.

(B) $\triangle ECD$ में,$\tan 3 \alpha = \frac{h}{CD} \Rightarrow CD = h \cot 3 \alpha \quad \dots(i)$
$\triangle EBD$ में,$\tan 2 \alpha = \frac{h}{BD} \Rightarrow BD = h \cot 2 \alpha \quad \dots(ii)$
$\triangle EAD$ में,$\tan \alpha = \frac{h}{AD} \Rightarrow AD = h \cot \alpha \quad \dots(iii)$
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ से,$AB = AD - BD = h(\cot \alpha - \cot 2 \alpha) \quad \dots(iv)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,$BC = BD - CD = h(\cot 2 \alpha - \cot 3 \alpha) \quad \dots(v)$
$(iv)$ को $(v)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{AB}{BC} = \frac{\cot \alpha - \cot 2 \alpha}{\cot 2 \alpha - \cot 3 \alpha} = \frac{\sin 3 \alpha}{\sin \alpha} = \frac{3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha}{\sin \alpha} = 3 - 4 \sin^2 \alpha = 1 + 2 \cos 2 \alpha$.

(B) माना खंभे की ऊँचाई $h$ है और दूसरे बिंदु से खंभे के आधार की दूरी $x$ है।
$\triangle BDA$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow 1 = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow h = x$.
$\triangle BCA$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{20+x}$.
समीकरण में $x = h$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{20+h}$
$20+h = \sqrt{3}h$
$20 = h(\sqrt{3}-1)$
$h = \frac{20}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$
$h = \frac{20(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{20(\sqrt{3}+1)}{2} = 10(\sqrt{3}+1) \ m$.