Circle connected with triangle Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે,$r_1=36, r_2=18, r_3=12$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\triangle ABC$ માં,અંતઃત્રિજ્યા $r$ અને બહિરત્રિજ્યાઓ $r_1, r_2, r_3$ વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{r} = \frac{1}{36} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12} = \frac{1+2+3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
તેથી,$r=6$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $\Delta^2 = r \cdot r_1 \cdot r_2 \cdot r_3$.
$\Delta^2 = 6 \times 36 \times 18 \times 12 = 6^6$.
તેથી,$\Delta = 6^3 = 216$.
કારણ કે $r = \frac{\Delta}{s}$,તેથી $s = \frac{\Delta}{r} = \frac{216}{6} = 36$.

(D) આપેલ છે,$\frac{a}{4} = \frac{b}{5} = \frac{c}{6} = k$ (ધારો).
તેથી,$a = 4k, b = 5k, c = 6k$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15k}{2}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15k}{2} \cdot \frac{7k}{2} \cdot \frac{5k}{2} \cdot \frac{3k}{2}} = \frac{15\sqrt{7}k^2}{4}$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{15\sqrt{7}k^2 / 4}{15k / 2} = \frac{\sqrt{7}k}{2}$.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{(4k)(5k)(6k)}{4 \cdot (15\sqrt{7}k^2 / 4)} = \frac{120k^3}{15\sqrt{7}k^2} = \frac{8k}{\sqrt{7}}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{R}{r} = \frac{8k}{\sqrt{7}} \div \frac{\sqrt{7}k}{2} = \frac{8k}{\sqrt{7}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}k} = \frac{16}{7}$.

(B) કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં જ્યાં $\angle C = \frac{\pi}{2}$ છે,બાજુઓ $a$,$b$ અને $c$ (કર્ણ) છે.
અંતઃવર્તુળના ગુણધર્મો મુજબ,શિરોબિંદુ $C$ થી બાજુઓ $AC$ અને $BC$ પરના સ્પર્શબિંદુઓનું અંતર $r$ છે.
તેથી,બાજુઓને $b = x+r$ અને $a = y+r$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $x$ અને $y$ એ શિરોબિંદુઓ $A$ અને $B$ થી અંતઃવર્તુળ પરના સ્પર્શકોની લંબાઈ છે.
કર્ણ $c = x+y$ છે.
કારણ કે $c$ એ પરિવર્તુળનો વ્યાસ છે,$c = 2R$,તેથી $x+y = 2R$.
હવે,$a$ અને $b$ ના સરવાળા માટે:
$a+b = (y+r) + (x+r) = (x+y) + 2r = 2R + 2r$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$R+r = \frac{a+b}{2}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,જ્યાં $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ અને $s$ એ અર્ધ-પરિમિતિ છે.
તેથી,$ab - r_1 r_2 = ab - \frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)}$.
$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$ હોવાથી,$ab - r_1 r_2 = ab - s(s-c)$.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ મૂકતા,આપણને $ab - \frac{a+b+c}{2} \cdot \frac{a+b-c}{2} = ab - \frac{(a+b)^2 - c^2}{4} = \frac{4ab - (a^2 + 2ab + b^2) + c^2}{4} = \frac{c^2 - (a-b)^2}{4} = \frac{c-(a-b)}{2} \cdot \frac{c+(a-b)}{2} = (s-a)(s-b)$ મળે છે.
હવે,$\frac{ab - r_1 r_2}{r_3} = \frac{(s-a)(s-b)}{\frac{\Delta}{s-c}} = \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{\Delta} = \frac{\Delta^2}{s \Delta} = \frac{\Delta}{s} = r$.

(A) $\triangle ABC$ માટે,બહિરવૃતની ત્રિજ્યાઓ $r_1=\frac{\Delta}{s-a}, r_2=\frac{\Delta}{s-b}, r_3=\frac{\Delta}{s-c}$ છે અને અંતઃવૃતની ત્રિજ્યા $r=\frac{\Delta}{s}$ છે,જ્યાં $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે અને $s$ એ અર્ધ-પરિમિતિ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1+r_2+r_3 = 4R+r$.
તેથી,$r_1+r_2+r_3-r = 4R$.
આપેલ છે કે $r_1=2, r_2=3, r_3=6$,આપણે $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને $r$ શોધી શકીએ છીએ.
$\frac{1}{r} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1$,તેથી $r=1$.
કિંમતો મૂકતા,$r_1+r_2+r_3-r = 2+3+6-1 = 10$.
આમ,$r_1+r_2+r_3-r = 4R$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ માં,$r_1=2, r_2=3, r_3=6$.
બહિર્વૃતની ત્રિજ્યાના સૂત્રો: $r_1=\frac{\Delta}{s-a}, r_2=\frac{\Delta}{s-b}, r_3=\frac{\Delta}{s-c}$.
તેથી,$s-a=\frac{\Delta}{2}, s-b=\frac{\Delta}{3}, s-c=\frac{\Delta}{6}$.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(s-a)+(s-b)+(s-c) = \Delta(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})$.
$3s-(a+b+c) = \Delta(\frac{3+2+1}{6}) = \Delta$.
$a+b+c=2s$ હોવાથી,$3s-2s = \Delta$,એટલે કે $s=\Delta$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા: $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$s=\Delta$ અને $(s-a), (s-b), (s-c)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\Delta = \sqrt{\Delta \cdot \frac{\Delta}{2} \cdot \frac{\Delta}{3} \cdot \frac{\Delta}{6}} = \sqrt{\frac{\Delta^4}{36}} = \frac{\Delta^2}{6}$.
$\Delta \neq 0$ હોવાથી,$1 = \frac{\Delta}{6}$,એટલે કે $\Delta = 6$.
તેથી,$s = 6$.
હવે,$s-a = \frac{6}{2} = 3 \Rightarrow a = 6-3 = 3$.
$s-b = \frac{6}{3} = 2 \Rightarrow b = 6-2 = 4$.
$s-c = \frac{6}{6} = 1 \Rightarrow c = 6-1 = 5$.
તેથી,$(a, b, c) = (3, 4, 5)$.

(D) $\triangle ABC$ માં,બહિર ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ છે.
$\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$,$\sin \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{ac}}$,અને $\cos \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}$ છે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \frac{16 R s \Delta}{s-c} \cdot \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}} \cdot \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{ac}} \cdot \sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}$
$E = \frac{16 R s \Delta}{s-c} \cdot \frac{(s-c) \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{abc}$
$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ અને $abc = 4R\Delta$ હોવાથી:
$E = \frac{16 R s \Delta}{s-c} \cdot \frac{(s-c) \Delta}{4R\Delta} = 4s\Delta$.
હવે,$r_1 r_2 r_3 = \frac{\Delta^3}{(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{\Delta^3}{\Delta^2/s} = s\Delta$.
તેથી,$4s\Delta = 4 r_1 r_2 r_3$.

(A) આપેલ છે $a: b: c = 4: 5: 6$. ધારો કે $a = 4k, b = 5k, c = 6k$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15k}{2}$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{15\sqrt{7}}{4} k^2$.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{8}{\sqrt{7}} k$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\sqrt{7}}{2} k$.
ગુણોત્તર $R: r = \frac{8}{\sqrt{7}} k : \frac{\sqrt{7}}{2} k = \frac{16}{7}$.

(C) $\triangle IBC$ માં,$\angle BIC = 90^\circ + \frac{A}{2}$. $\triangle IBC$ ની પરિત્રિજ્યા $P_1 = \frac{a}{2 \sin(\angle BIC)} = \frac{a}{2 \cos(A/2)}$ છે.
તે જ રીતે,$P_2 = \frac{b}{2 \cos(B/2)}$ અને $P_3 = \frac{c}{2 \cos(C/2)}$.
આમ,$P_1 P_2 P_3 = \frac{abc}{8 \cos(A/2) \cos(B/2) \cos(C/2)}$.
$a = 2R \sin A = 4R \sin(A/2) \cos(A/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$abc = 8R^3 \sin A \sin B \sin C = 8R^3 (8 \sin(A/2) \cos(A/2) \sin(B/2) \cos(B/2) \sin(C/2) \cos(C/2))$.
આ કિંમત મૂકતા,$P_1 P_2 P_3 = \frac{8R^3 (8 \sin(A/2) \cos(A/2) \sin(B/2) \cos(B/2) \sin(C/2) \cos(C/2))}{8 \cos(A/2) \cos(B/2) \cos(C/2)} = 8R^3 \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$.
$r = 4R \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$ હોવાથી,$\sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2) = \frac{r}{4R}$.
તેથી,$P_1 P_2 P_3 = 8R^3 \times \frac{r}{4R} = 2R^2r$.

(D) કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
કિંમતો મૂકતા: $a^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2(2)(\sqrt{3}) \cos 30^{\circ} = 4 + 3 - 4\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 7 - 6 = 1$.
તેથી,$a = 1$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} (2)(\sqrt{3}) \sin 30^{\circ} = \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{1+2+\sqrt{3}}{2} = \frac{3+\sqrt{3}}{2}$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\sqrt{3}/2}{(3+\sqrt{3})/2} = \frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $r = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{3\sqrt{3}-3}{9-3} = \frac{3(\sqrt{3}-1)}{6} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે બહિર ત્રિજ્યાઓ $r_1, r_2, r_3$ અને પરિત્રિજ્યા $R$ વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$ છે,જ્યાં $r$ એ અંતઃત્રિજ્યા છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{r r_1 r_2 r_3}$ છે.
આપેલ છે $r_1=3, r_2=10, r_3=15$.
$\frac{1}{r} = \frac{1}{3} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$r=2$.
હવે,$\Delta = \sqrt{2 \times 3 \times 10 \times 15} = 30$.
સૂત્ર $\Delta = rs$ નો ઉપયોગ કરતા,$30 = 2s \implies s = 15$.
બાજુઓ $a=5, b=12, c=13$ મળે છે.
આ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,પરિત્રિજ્યા $R = \frac{c}{2} = \frac{13}{2}$.

(A) ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ અનુક્રમે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ થી અંતઃવૃત્ત પરના સ્પર્શકોની લંબાઈ છે.
તેથી ત્રિકોણની બાજુઓ $a = \beta + \gamma$,$b = \alpha + \gamma$,અને $c = \alpha + \beta$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \alpha + \beta + \gamma$ છે.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha)(\beta)(\gamma)} = \sqrt{s \alpha \beta \gamma}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s}$ છે.
તેથી,$r^2 = \frac{\Delta^2}{s^2} = \frac{s \alpha \beta \gamma}{s^2} = \frac{\alpha \beta \gamma}{s}$.
$s = \alpha + \beta + \gamma$ મૂકતા,$r^2 = \frac{\alpha \beta \gamma}{\alpha + \beta + \gamma}$.
આમ,$\alpha + \beta + \gamma = \frac{\alpha \beta \gamma}{r^2}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$,$r_2 = 4R \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$,$r_3 = 4R \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$,અને $r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$.
આ કિંમતોને $r_1+r_2+r_3-r$ માં મૂકતા:
$= 4R [\sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} + \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} + \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} - \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}]$
$= 4R [\cos \frac{C}{2} (\sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} + \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}) + \sin \frac{C}{2} (\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} - \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2})]$
$= 4R [\cos \frac{C}{2} \sin (\frac{A+B}{2}) + \sin \frac{C}{2} \cos (\frac{A+B}{2})]$
કારણ કે $A+B+C = \pi$,તેથી $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.
$= 4R [\cos \frac{C}{2} \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) + \sin \frac{C}{2} \cos (\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2})]$
$= 4R [\cos \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2} + \sin \frac{C}{2} \sin \frac{C}{2}]$
$= 4R [\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}] = 4R(1) = 4R$.

(D) ધારો કે પરિવૃત્તની ત્રિજ્યા $R_c$ છે. આપેલ છે કે $R_c = PQ$. $\triangle PQR$ માં,$PQ = PR$,તેથી $\angle Q = \angle R$.
સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{PQ}{\sin R} = 2R_c$.
$R_c = PQ$ મૂકતા,આપણને $\frac{PQ}{\sin R} = 2PQ$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin R = \frac{1}{2}$,તેથી $R = 30^{\circ}$.
$\angle Q = \angle R$ હોવાથી,$\angle Q = 30^{\circ}$.
$\triangle PQR$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ છે,તેથી $\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$.
$\angle P + 30^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \angle P = 120^{\circ}$.

(D) આપેલ છે કે $r = \frac{\Delta}{s}$ અને $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$.
$rr_1 = \frac{\Delta^2}{s(s-a)} = \frac{s(s-a)(s-b)(s-c)}{s(s-a)} = (s-b)(s-c)$.
ત્રિકોણ $BC$ પાયા સાથે સમદ્વિબાજુ હોવાથી,$b = c$ મળે.
તેથી,$rr_1 = (s-b)^2$.
$2s = a+b+c = a+2b$ હોવાથી,$s-b = \frac{a+2b-2b}{2} = \frac{a}{2}$ મળે.
તેથી,$rr_1 = (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4}$.
સાઇન નિયમ મુજબ,$a = 2R \sin A$,તેથી $rr_1 = \frac{(2R \sin A)^2}{4} = \frac{4R^2 \sin^2 A}{4} = R^2 \sin^2 A$.

(A) આપેલ છે કે $r r_2 = r_1 r_3$.
સૂત્રો $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{\Delta}{s}\right) \left(\frac{\Delta}{s-b}\right) = \left(\frac{\Delta}{s-a}\right) \left(\frac{\Delta}{s-c}\right)$
$\Rightarrow s(s-b) = (s-a)(s-c)$
આ સમીકરણ ઉકેલતા આપણને $B = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\cos 2B = \cos \pi = -1$.

(A) બહિરવૃત્તોના વ્યાસ $d_1 = \frac{2\Delta}{s-a}$,$d_2 = \frac{2\Delta}{s-b}$,અને $d_3 = \frac{2\Delta}{s-c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $d_1 d_2 + d_2 d_3 + d_3 d_1 = \frac{4\Delta^2}{(s-a)(s-b)} + \frac{4\Delta^2}{(s-b)(s-c)} + \frac{4\Delta^2}{(s-c)(s-a)}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$4\Delta^2$ સામાન્ય લેતા,આપણને $4\Delta^2 \left[ \frac{(s-c) + (s-a) + (s-b)}{(s-a)(s-b)(s-c)} \right]$ મળે છે.
કારણ કે $a+b+c = 2s$,અંશ $3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$ થાય છે.
આમ,પદાવલિ $\frac{4\Delta^2 \cdot s}{(s-a)(s-b)(s-c)}$ બને છે.
હેરોનના સૂત્ર મુજબ,$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,તેથી $(s-a)(s-b)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s}$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{4\Delta^2 \cdot s}{\Delta^2 / s} = 4s^2 = (2s)^2 = (a+b+c)^2$ મળે છે.

(C) . $\because \tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} = \frac{(s-b)(s-c)}{\Delta}$.
વળી,$\frac{r}{s-a} = \frac{\Delta}{s(s-a)} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} = \frac{(s-b)(s-c)}{\Delta}$.
$\therefore \tan \frac{A}{2} = \frac{r}{s-a} = \frac{(s-b)(s-c)}{\Delta}$. તેથી,$A-V$.
$B$. આકૃતિ પરથી,$r = IF = (AI) \sin \frac{A}{2} = (AI) \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$. તેથી,$B-I$.
$C$. $SI$ એ પરિકેન્દ્ર અને અંતઃકેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર છે,જે $SI = \sqrt{R^2 - 2rR}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્ગ કરતા $(SI)^2 = R^2 - 2rR$ મળે,તેથી $(SI)^2 + 2Rr = R^2$. તેથી,$C-II$.
$D$. આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 + r_2 + r_3 = 4R + r$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = (4R + r)^2 - 2(r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1)$.
$r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1 = s^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = (4R + r)^2 - 2s^2 = (4R + r + \sqrt{2}s)(4R + r - \sqrt{2}s)$ મળે છે. તેથી,$D-III$.

(D) આપણને $2R + r = r_2$ સંબંધ આપેલ છે.
પરિ ત્રિજ્યા $R$,અંતઃ ત્રિજ્યા $r$ અને બહિઃ ત્રિજ્યા $r_2$ ના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$r_2 - r = 4R \sin \frac{B}{2} \cos \frac{A}{2} \cos \frac{C}{2} - 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
$r_2 - r = 4R \sin \frac{B}{2} [\cos \frac{A}{2} \cos \frac{C}{2} - \sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2}]$
$r_2 - r = 4R \sin \frac{B}{2} \cos(\frac{A+C}{2})$
કારણ કે $A+B+C = \pi$,તેથી $\frac{A+C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B}{2}$,એટલે કે $\cos(\frac{A+C}{2}) = \sin \frac{B}{2}$.
આમ,$r_2 - r = 4R \sin^2 \frac{B}{2}$.
આપેલ છે કે $2R = r_2 - r$,તેથી $2R = 4R \sin^2 \frac{B}{2}$.
$2R$ વડે ભાગતા,$1 = 2 \sin^2 \frac{B}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin^2 \frac{B}{2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\sin \frac{B}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin \frac{\pi}{4}$.
આથી $\frac{B}{2} = \frac{\pi}{4}$,એટલે કે $B = \frac{\pi}{2}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1}{r^2} + \frac{1}{r_1^2} + \frac{1}{r_2^2} + \frac{1}{r_3^2} = \frac{s^2}{\Delta^2} + \frac{(s-a)^2}{\Delta^2} + \frac{(s-b)^2}{\Delta^2} + \frac{(s-c)^2}{\Delta^2}$
$= \frac{s^2 + (s-a)^2 + (s-b)^2 + (s-c)^2}{\Delta^2}$
$= \frac{s^2 + (s^2 - 2as + a^2) + (s^2 - 2bs + b^2) + (s^2 - 2cs + c^2)}{\Delta^2}$
$= \frac{4s^2 - 2s(a+b+c) + a^2+b^2+c^2}{\Delta^2}$
કારણ કે $a+b+c = 2s$,તેથી:
$= \frac{4s^2 - 2s(2s) + a^2+b^2+c^2}{\Delta^2}$
$= \frac{4s^2 - 4s^2 + a^2+b^2+c^2}{\Delta^2}$
$= \frac{a^2+b^2+c^2}{\Delta^2}$

(A) ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં,નીચેના પ્રમાણિત નિત્યસમ સાચા છે:
$1$. અંતઃત્રિજ્યા $r$ અને બહિરત્રિજ્યાઓ $r_1, r_2, r_3$ નો ગુણાકાર $r r_1 r_2 r_3 = \Delta^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે.
$2$. બહિરત્રિજ્યાઓના બે-બેના ગુણાકારનો સરવાળો $r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_3 r_1 = s^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $s$ એ ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ છે.
આથી,બંને વિધાનો $(I)$ અને $(II)$ સાચા છે.

(D) $I$. આપણે જાણીએ છીએ કે $r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ એ ત્રિકોણની અંતઃત્રિજ્યા માટેનું પ્રમાણિત સૂત્ર છે.
$II$. આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = (s-a) \tan \frac{A}{2}$ એ શિરોબિંદુ $A$ ની સામેની બહિઃત્રિજ્યા $r_1$ માટેનું પ્રમાણિત સૂત્ર છે.
$III$. આપણે જાણીએ છીએ કે $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ એ શિરોબિંદુ $C$ ની સામેની બહિઃત્રિજ્યા $r_3$ માટેનું પ્રમાણિત સૂત્ર છે.
આમ,ત્રણેય વિધાનો સાચા છે.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ માં,બહિઃત્રિજ્યાઓ $r_1 = s \tan(A/2)$,$r_2 = s \tan(B/2)$,અને $r_3 = s \tan(C/2)$ છે,અને અંતઃત્રિજ્યા $r = (s-a) \tan(A/2)$ છે.
આપેલ છે કે $\angle A = 90^{\circ}$,તેથી $A/2 = 45^{\circ}$.
આથી,$r_1 = s \tan(45^{\circ}) = s$.
તેમજ,$r = (s-a) \tan(45^{\circ}) = s-a$.
તેથી,$r_1 - r = s - (s-a) = a$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ $a = 2R$,જ્યાં $R$ એ પરિત્રિજ્યા છે.
આમ,$r_2+r_3 = r_1-r$ થાય છે.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ માં,બહિર ત્રિજ્યાઓ $r_2 = s \tan \left(\frac{B}{2}\right)$ અને $r_3 = s \tan \left(\frac{C}{2}\right)$ છે.
$r_2 + r_3 = a \cot \left(\frac{A}{2}\right)$ થાય છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$a = 4R \sin \left(\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{A}{2}\right)$ છે.
તેથી,$(r_2 + r_3) \operatorname{cosec}^2 \left(\frac{A}{2}\right) = 4R \sin \left(\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{A}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin^2 \left(\frac{A}{2}\right)} = 4R \cot \left(\frac{A}{2}\right)$.

(D) આગળ કાટખૂણો ધરાવતા ત્રિકોણ $ABC$ માં,બાજુઓ $a$ ($A$ ની સામે),$c$ ($C$ ની સામે),અને $b$ (કર્ણ,$B$ ની સામે) છે.
આપેલ છે કે $a = 13$ અને $c = 84$.
કર્ણ $b = \sqrt{a^2 + c^2} = \sqrt{13^2 + 84^2} = \sqrt{169 + 7056} = \sqrt{7225} = 85$.
કાટકોણ ત્રિકોણની અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{a + c - b}{2} = \frac{13 + 84 - 85}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
કાટકોણ ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા $R = \frac{b}{2} = \frac{85}{2} = 42.5$.
તેથી,$r + R = 6 + 42.5 = 48.5$.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ માં,$AD$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક છે.
સમાન વૃત્તખંડના ખૂણાઓ સમાન હોવાથી,$\triangle ABD \sim \triangle AEC$ થાય છે.
આથી,$\frac{AD}{AE} = \frac{c}{b}$ મળે છે.
$DE = AE - AD$ હોવાથી,સાદુરૂપ આપતા $DE \cos \frac{A}{2} = \frac{a^2}{2(b+c)}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$.
સૂત્ર $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan^2 \frac{C}{2} = \frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)} = \frac{7}{9}$.
અહીં $a=5, b=4$ છે,તેથી $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{9+c}{2}$.
તેથી $s-a = \frac{c-1}{2}$ અને $s-b = \frac{c+1}{2}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{(\frac{c-1}{2})(\frac{c+1}{2})}{s(s-c)} = \frac{c^2-1}{4s(s-c)} = \frac{7}{9}$.
ક્ષેત્રફળના સૂત્ર $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ પરથી,$r = \frac{\Delta}{s} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$.
$\tan \frac{C}{2} = \frac{r}{s-c}$ પરથી,$r = (s-c) \tan \frac{C}{2}$.
ગણતરી કરતા $c=6$ મળે છે. તેથી $s = \frac{5+4+6}{2} = 7.5$.
$r = (s-c) \tan \frac{C}{2} = (7.5 - 6) \times \frac{\sqrt{7}}{3} = 1.5 \times \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^3-11x^2+36x-36=0$ છે.
ઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા,$(x-2)(x-3)(x-6)=0$ મળે છે.
આમ,બહિઃત્રિજ્યાઓ $r_1=2, r_2=3, r_3=6$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1$.
$r = \frac{\Delta}{s} = 1$ હોવાથી,$\Delta = s$ મળે.
$r_1 = \frac{s}{s-a} = 2$ નો ઉપયોગ કરતા,$s = 2s - 2a$,તેથી $2a = s$.
$r_2 = \frac{s}{s-b} = 3$ નો ઉપયોગ કરતા,$s = 3s - 3b$,તેથી $3b = 2s$.
$r_3 = \frac{s}{s-c} = 6$ નો ઉપયોગ કરતા,$s = 6s - 6c$,તેથી $6c = 5s$.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ હોવાથી,$2s = a+b+c$.
$a = \frac{s}{2}, b = \frac{2s}{3}, c = \frac{5s}{6}$ ને $a+b+c = 2s$ માં મૂકતા:
$\frac{s}{2} + \frac{2s}{3} + \frac{5s}{6} = \frac{3s+4s+5s}{6} = \frac{12s}{6} = 2s$.
આ કોઈપણ $s$ માટે સાચું છે. પરિમિતિ $2s$ શોધવા માટે,$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = s$ નો ઉપયોગ કરીએ.
$\sqrt{s(s-\frac{s}{2})(s-\frac{2s}{3})(s-\frac{5s}{6})} = s$ $\Rightarrow \sqrt{s(\frac{s}{2})(\frac{s}{3})(\frac{s}{6})} = s$ $\Rightarrow \sqrt{\frac{s^4}{36}} = s$ $\Rightarrow \frac{s^2}{6} = s$.
$s \neq 0$ હોવાથી,$s = 6$.
તેથી,પરિમિતિ $2s = 2(6) = 12$ થાય.

(B) આપેલ છે $a=7, b=8, c=9$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+8+9}{2} = 12$.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
તેથી,$\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}+\frac{1}{r_3^2} = \frac{(s-a)^2+(s-b)^2+(s-c)^2}{\Delta^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{(12-7)^2+(12-8)^2+(12-9)^2}{720} = \frac{5^2+4^2+3^2}{720} = \frac{25+16+9}{720} = \frac{50}{720} = \frac{5}{72}$.

(D) આપેલ છે $b=6, c=7$ અને $\tan \frac{A}{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}$.
સૂત્ર $\cos A = \frac{1-\tan^2(A/2)}{1+\tan^2(A/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A = \frac{1-1/6}{1+1/6} = \frac{5/6}{7/6} = \frac{5}{7}$.
કોસાઇન નિયમ $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{5}{7} = \frac{6^2+7^2-a^2}{2 \times 6 \times 7} = \frac{36+49-a^2}{84}$.
$60 = 85 - a^2$ $\Rightarrow a^2 = 25$ $\Rightarrow a=5$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+6+7}{2} = 9$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = (s-a) \tan \frac{A}{2}$.
$r = (9-5) \times \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{6}}{6} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$.

(A) આપેલ છે $a : b : c = 4 : 5 : 6$. ધારો કે $a = 4k, b = 5k, c = 6k$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15k}{2}$.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15k}{2}(\frac{7k}{2})(\frac{5k}{2})(\frac{3k}{2})} = \frac{15\sqrt{7}k^2}{4}$.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{120k^3}{4 \times \frac{15\sqrt{7}k^2}{4}} = \frac{8k}{\sqrt{7}}$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{15\sqrt{7}k^2}{4} \times \frac{2}{15k} = \frac{\sqrt{7}k}{2}$.
ગુણોત્તર $\frac{R}{r} = \frac{8k}{\sqrt{7}} \times \frac{2}{\sqrt{7}k} = \frac{16}{7}$.

(D) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ બહિર્વર્તુળોના ક્ષેત્રફળ $A_1, A_2, A_3$ અનુક્રમે $4, 9, 16$ છે,તેથી:
$\pi r_1^2 = 4 \Rightarrow r_1 = \frac{2}{\sqrt{\pi}}$
$\pi r_2^2 = 9 \Rightarrow r_2 = \frac{3}{\sqrt{\pi}}$
$\pi r_3^2 = 16 \Rightarrow r_3 = \frac{4}{\sqrt{\pi}}$
અંતઃત્રિજ્યા $r$ અને બહિર્ત્રિજ્યાઓ $r_1, r_2, r_3$ વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{r} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} + \frac{\sqrt{\pi}}{3} + \frac{\sqrt{\pi}}{4} = \sqrt{\pi} \left( \frac{6+4+3}{12} \right) = \frac{13\sqrt{\pi}}{12}$.
તેથી,$r = \frac{12}{13\sqrt{\pi}}$.
અંતઃવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{12}{13\sqrt{\pi}} \right)^2 = \pi \left( \frac{144}{169\pi} \right) = \frac{144}{169}$.

(D) પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $S$ ની ગણતરી કરો:
$S = \frac{7+10+11}{2} = 14$
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ક્ષેત્રફળ $\Delta$ શોધો:
$\Delta = \sqrt{14(14-7)(14-10)(14-11)} = \sqrt{14 \times 7 \times 4 \times 3} = 14\sqrt{6}$
આપણી પાસે સૂત્રો છે $R = \frac{abc}{4\Delta}$ અને $r = \frac{\Delta}{S}$.
તેથી,$\frac{R}{r} = \frac{abc \times S}{4\Delta^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{R}{r} = \frac{7 \times 10 \times 11 \times 14}{4 \times 1176} = \frac{55}{24}$.

(B) આપેલ ત્રિકોણની બાજુઓ $a=12, b=16, c=20$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{12+16+20}{2} = 24$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{24(12)(8)(4)} = 96$.
બહિઃત્રિજ્યાઓ $r_A = \frac{\Delta}{s-a}, r_B = \frac{\Delta}{s-b}, r_C = \frac{\Delta}{s-c}$ છે.
$r_C = \frac{96}{4} = 24, r_B = \frac{96}{8} = 12, r_A = \frac{96}{12} = 8$.
ગુણોત્તર $r_C : r_B : r_A = 24 : 12 : 8 = 6 : 3 : 2$.

(A) આપેલ છે,$a:b:c = 4:5:6$. ધારો કે $a=4x, b=5x, c=6x$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{4x+5x+6x}{2} = \frac{15x}{2}$.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15x}{2} \cdot \frac{7x}{2} \cdot \frac{5x}{2} \cdot \frac{3x}{2}} = \frac{15x^2\sqrt{7}}{4}$.
પરિવૃત ત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{4x \cdot 5x \cdot 6x}{4 \cdot \frac{15x^2\sqrt{7}}{4}} = \frac{8x}{\sqrt{7}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1+r_2+r_3 = 4R+r$. વળી,$r = \frac{\Delta}{s} = \frac{15x^2\sqrt{7}/4}{15x/2} = \frac{\sqrt{7}x}{2}$.
તેથી,$r_1+r_2+r_3 = 4R + \frac{\sqrt{7}x}{2} = 4(\frac{8x}{\sqrt{7}}) + \frac{\sqrt{7}x}{2} = \frac{32x}{\sqrt{7}} + \frac{\sqrt{7}x}{2} = \frac{64x+7x}{2\sqrt{7}} = \frac{71x}{2\sqrt{7}}$.
અંતે,$\frac{1}{4R}[r_1+r_2+r_3] = \frac{1}{4(8x/\sqrt{7})} \cdot \frac{71x}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{32x} \cdot \frac{71x}{2\sqrt{7}} = \frac{71}{64}$.

(B) આપેલ છે: $r_1=12, r_2=6, r_3=4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
તેથી,$s-a = \frac{\Delta}{12}, s-b = \frac{\Delta}{6}, s-c = \frac{\Delta}{4}$.
આનો સરવાળો કરતા,$(s-a)+(s-b)+(s-c) = 3s-(a+b+c) = s = \Delta(\frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4}) = \Delta(\frac{1+2+3}{12}) = \frac{6\Delta}{12} = \frac{\Delta}{2}$.
તેથી,$\Delta = 2s$.
હવે,$s-a = \frac{2s}{12} = \frac{s}{6} \Rightarrow a = s - \frac{s}{6} = \frac{5s}{6}$.
$s-b = \frac{2s}{6} = \frac{s}{3} \Rightarrow b = s - \frac{s}{3} = \frac{2s}{3}$.
$s-c = \frac{2s}{4} = \frac{s}{2} \Rightarrow c = s - \frac{s}{2} = \frac{s}{2}$.
$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$ નો ઉપયોગ કરતા,$(2s)^2 = s(\frac{s}{6})(\frac{s}{3})(\frac{s}{2})$.
$4s^2 = \frac{s^4}{36}$ $\Rightarrow s^2 = 144$ $\Rightarrow s = 12$.
તેથી $a = \frac{5 \times 12}{6} = 10, b = \frac{2 \times 12}{3} = 8, c = \frac{12}{2} = 6$.
તેથી,$a+2b+3c = 10 + 2(8) + 3(6) = 10 + 16 + 18 = 44$.

(A) સમબાજુ ત્રિકોણમાં,ધારો કે બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
તેથી,અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{3a}{2}$ અને ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
બહિર ત્રિજ્યા $r_1 = \frac{\Delta}{s-a} = \frac{\sqrt{3}}{2} a$.
હવે,ગુણોત્તર $r : R : r_1 = \frac{a}{2\sqrt{3}} : \frac{a}{\sqrt{3}} : \frac{\sqrt{3}a}{2} = 1 : 2 : 3$.

(C) ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા એ ત્રિકોણના તમામ શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ ત્રિકોણની બાજુઓ $3$,$4$ અને $5$ છે.
અહીં $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,પરિત્રિજ્યા $R$ એ કર્ણની અડધી હોય છે.
અહીં કર્ણ સૌથી મોટી બાજુ $5$ છે.
તેથી,પરિત્રિજ્યા $R = \frac{\text{કર્ણ}}{2} = \frac{5}{2}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ છે.
તેથી,$\frac{1}{p_1} = \frac{a}{2\Delta}$,$\frac{1}{p_2} = \frac{b}{2\Delta}$,અને $\frac{1}{p_3} = \frac{c}{2\Delta}$ થાય.
તેથી,$\left(\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_3}\right) = \frac{a+b+c}{2\Delta} = \frac{2s}{2\Delta} = \frac{s}{\Delta} = \frac{1}{r}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\left(\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_3}\right)^2 = \frac{1}{r^2}$ મળે છે.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{r^2} = \frac{1}{r} \left(\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}\right)$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે $a=4k, b=5k, c=6k$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15k}{2}$.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15k}{2} \times \frac{7k}{2} \times \frac{5k}{2} \times \frac{3k}{2}} = \frac{15k^2\sqrt{7}}{4}$.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{4k \times 5k \times 6k}{4 \times \frac{15k^2\sqrt{7}}{4}} = \frac{120k^3}{15k^2\sqrt{7}} = \frac{8k}{\sqrt{7}}$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{15k^2\sqrt{7}}{4} \times \frac{2}{15k} = \frac{k\sqrt{7}}{2}$.
ગુણોત્તર $\frac{R}{r} = \frac{8k}{\sqrt{7}} \times \frac{2}{k\sqrt{7}} = \frac{16}{7}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,અને $r = \frac{\Delta}{s}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta^2}{a^2+b^2+c^2}\left(\frac{(s-a)^2}{\Delta^2}+\frac{(s-b)^2}{\Delta^2}+\frac{(s-c)^2}{\Delta^2}+\frac{s^2}{\Delta^2}\right)$
$= \frac{1}{a^2+b^2+c^2}\left[(s-a)^2+(s-b)^2+(s-c)^2+s^2\right]$
$s = \frac{a+b+c}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{a^2+b^2+c^2}\left[\left(\frac{b+c-a}{2}\right)^2+\left(\frac{a+c-b}{2}\right)^2+\left(\frac{a+b-c}{2}\right)^2+\left(\frac{a+b+c}{2}\right)^2\right]$
$= \frac{1}{a^2+b^2+c^2} \cdot \frac{1}{4} \left[(b+c-a)^2 + (a+c-b)^2 + (a+b-c)^2 + (a+b+c)^2\right]$
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા,બધા વધારાના પદો ઉડી જશે:
$= \frac{1}{4(a^2+b^2+c^2)} \left[4(a^2+b^2+c^2)\right] = 1$.

(A-II, B-III, C-I) $\triangle ABC$ માં,આપણે બહિર ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ અને અંતઃ ત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s}$ માટેના પ્રમાણિત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$(A)$ આપેલ છે $rr_2 = r_1r_3$:
$\frac{\Delta}{s} \cdot \frac{\Delta}{s-b} = \frac{\Delta}{s-a} \cdot \frac{\Delta}{s-c}$
$\Rightarrow (s-a)(s-c) = s(s-b)$
$\Rightarrow s^2 - s(a+c) + ac = s^2 - sb$
કારણ કે $a+c = 2s-b$,તેથી $s^2 - s(2s-b) + ac = s^2 - sb$
$\Rightarrow -s^2 + 2sb + ac = 0$. આ $b^2 = a^2 + c^2$ માં પરિણમે છે,જેનો અર્થ છે $\angle B = 90^{\circ}$. આમ,$(A)$ $\rightarrow$ $(II)$.
$(B)$ આપેલ છે $r_1 + r_2 = r_3 - r$:
$\frac{\Delta}{s-a} + \frac{\Delta}{s-b} = \frac{\Delta}{s-c} - \frac{\Delta}{s}$
$\frac{s-b+s-a}{(s-a)(s-b)} = \frac{s-(s-c)}{s(s-c)}$
$\frac{c}{(s-a)(s-b)} = \frac{c}{s(s-c)}$
$\Rightarrow s(s-c) = (s-a)(s-b)$
$\Rightarrow s^2 - sc = s^2 - s(a+b) + ab$
$\Rightarrow s(a+b-c) = ab$
કારણ કે $a+b-c = 2(s-c)$,આ $\angle C = 90^{\circ}$ તરફ દોરી જાય છે. આમ,$(B)$ $\rightarrow$ $(III)$.
$(C)$ આપેલ છે $r_1 = r + 2R$:
$r_1 - r = 4R \sin^2(A/2)$ અને $r_1+r_2+r_3-r = 4R$ નો ઉપયોગ કરીને,આ વિશિષ્ટ નિત્યસમ $r_1 = r + 2R$ એ $\angle A = 90^{\circ}$ ને અનુરૂપ છે તેમ જાણીતું છે. આમ,$(C)$ $\rightarrow$ $(I)$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણની બહિર ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેમનો સરવાળો કરતા,$r_1+r_2+r_3 = \Delta \left( \frac{1}{s-a} + \frac{1}{s-b} + \frac{1}{s-c} \right)$ મળે છે.
ગુણધર્મ $r_1+r_2+r_3 = 4R+r$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $R$ એ પરિત્રિજ્યા છે અને $r$ એ અંતઃત્રિજ્યા છે,પરિણામ $4R+r$ મળે છે.

(A) આપેલ છે $a: b: c = 4: 5: 6$. ધારો કે $a = 4x, b = 5x, c = 6x$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15x}{2}$.
પરિવૃત્તની ત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta}$ અને અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s}$,જ્યાં $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
ગુણોત્તર $\frac{R}{r} = \frac{abc}{4(s-a)(s-b)(s-c)}$.
કિંમતો મૂકતા:
$(s-a) = \frac{7x}{2}, (s-b) = \frac{5x}{2}, (s-c) = \frac{3x}{2}$.
$\frac{R}{r} = \frac{(4x)(5x)(6x)}{4(\frac{7x}{2})(\frac{5x}{2})(\frac{3x}{2})} = \frac{120x^3}{\frac{105x^3}{2}} = \frac{16}{7}$.
આમ,ગુણોત્તર $R: r = 16: 7$ છે.

(A) ધારો કે $\triangle DEF$ ની પરિત્રિજ્યા $R'$ છે.
$\triangle ABC$ માં,પેડલ ત્રિકોણ $\triangle DEF$ ના ખૂણાઓ $\angle FDE = 180^{\circ} - 2A$,$\angle DEF = 180^{\circ} - 2B$ અને $\angle EFD = 180^{\circ} - 2C$ છે.
પેડલ ત્રિકોણની બાજુ $EF$ ની લંબાઈ $EF = R \sin 2A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\triangle DEF$ માં સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$2R' = \frac{EF}{\sin(\angle FDE)}$.
કિંમતો મૂકતા,$2R' = \frac{R \sin 2A}{\sin(180^{\circ} - 2A)} = \frac{R \sin 2A}{\sin 2A} = R$.
તેથી,$R' = \frac{R}{2}$.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle C = 90^{\circ}$ છે,અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{a+b-c}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\angle C = 90^{\circ}$ છે,કર્ણ $c$ એ પરિવર્તુળનો વ્યાસ છે,તેથી પરિત્રિજ્યા $R = \frac{c}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $2R = c$.
હવે,પદ $2(r+R) = 2r + 2R$ ધ્યાનમાં લો.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $2(\frac{a+b-c}{2}) + c$.
$= (a+b-c) + c = a+b$.
તેથી,$2(r+R) = a+b$.

(B) સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ માં $AB = AC = 15$ અને $BC = 10$ છે,જ્યાં $P$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$AP$ એ પાયા $BC$ પરનો વેધ હોવાથી,$BP = PC = 5$ થાય.
$\Delta ABP$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AP = \sqrt{AB^2 - BP^2} = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{225 - 25} = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} \times BC \times AP = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 \sqrt{2} = 50 \sqrt{2}$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{15 + 15 + 10}{2} = 20$.
ત્રિકોણની અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{50 \sqrt{2}}{20} = \frac{5 \sqrt{2}}{2} = \frac{5}{\sqrt{2}}$.
$O$ એ અંતઃવૃતનું કેન્દ્ર હોવાથી અને $P$ એ $BC$ પરનું સ્પર્શબિંદુ હોવાથી,$OP$ નું અંતર અંતઃત્રિજ્યા $r$ જેટલું થાય.
તેથી,$OP = \frac{5}{\sqrt{2}}$ એકમ.