Circle connected with triangle Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ એ $A$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જ્યાં $b = 6$ અને $c = 8$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,કર્ણ $a = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ મળે.
કાટકોણ ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા $R$ એ કર્ણના માપથી અડધી હોય છે.
$R = \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 13$,$b = 14$,અને $c = 15$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
$\Delta = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = 84$.
અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s}$.
$r = \frac{84}{21} = 4$.

(C) બાજુની લંબાઈ $a$ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,પરિત્રિજ્યા $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ છે.
અહીં $a = 2\sqrt{3} \text{ cm}$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$R = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \text{ cm}$.
આમ,પરિત્રિજ્યા $2 \text{ cm}$ છે.

(B) કોઈપણ ત્રિકોણ માટે,અંતઃત્રિજ્યા $r$ અને પરિત્રિજ્યા $R$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = 4R \sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2})$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,બધા ખૂણા $60^\circ$ હોય છે,તેથી $A = B = C = 60^\circ$.
આ કિંમતો મૂકતા,$r = 4R \sin(30^\circ) \sin(30^\circ) \sin(30^\circ)$.
કારણ કે $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$,તેથી $r = 4R \times (\frac{1}{2}) \times (\frac{1}{2}) \times (\frac{1}{2})$.
$r = 4R \times \frac{1}{8} = \frac{R}{2}$.

(B) આપેલ છે કે $a:b:c = 4:5:6$. ધારો કે $a = 4k, b = 5k, c = 6k$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15k}{2}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{15k^2\sqrt{7}}{4}$.
પરિવૃત્તની ત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{8k}{\sqrt{7}}$.
અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{k\sqrt{7}}{2}$.
ગુણોત્તર $\frac{R}{r} = \frac{8k/\sqrt{7}}{k\sqrt{7}/2} = \frac{16}{7}$.

(B) ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 3$,$b = 4$,અને $c = 5$ છે.
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.
તેથી,તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કર્ણ $c = 5$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,પરિ ત્રિજ્યા $R$ એ કર્ણની અડધી હોય છે.
$R = \frac{c}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ એકમ.

(C) ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{a}{\sin A} = 2R$,જેનો અર્થ છે કે $\sin A = \frac{a}{2R}$.
આ કિંમતને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta = \frac{1}{2}bc \left( \frac{a}{2R} \right) = \frac{abc}{4R}$.
$R$ માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને $R = \frac{abc}{4\Delta}$ મળે છે.

(C) ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 18$,$b = 24$ અને $c = 30$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{18 + 24 + 30}{2} = \frac{72}{2} = 36 \, cm$ ગણો.
અહીં $18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900 = 30^2$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 18 \times 24 = 216 \, cm^2$.
અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s}$ દ્વારા મળે છે.
$r = \frac{216}{36} = 6 \, cm$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 5K$,$b = 6K$,અને $c = 5K$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5K + 6K + 5K}{2} = \frac{16K}{2} = 8K$ છે.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta = \sqrt{8K(8K - 5K)(8K - 6K)(8K - 5K)} = \sqrt{8K \times 3K \times 2K \times 3K} = \sqrt{144K^4} = 12K^2$.
અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s}$ છે.
આપેલ છે કે $r = 6$,તેથી $6 = \frac{12K^2}{8K}$.
સાદુરૂપ આપતા: $6 = \frac{3K}{2}$.
તેથી,$3K = 12$,જેનો અર્થ છે કે $K = 4$.

(C) પરિવર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ શોધવાનું સૂત્ર $R = \frac{b}{2 \sin B}$ છે.
આપેલ છે કે $b = 2$ અને $B = 30^\circ$,તેથી $R = \frac{2}{2 \sin 30^\circ} = \frac{2}{2 \times (1/2)} = 2$.
પરિવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi R^2$ થાય.
$R = 2$ મૂકતા,$\text{Area} = \pi (2)^2 = 4\pi$ ચોરસ એકમ.

(B) સૌ પ્રથમ,નોંધો કે બાજુઓ $5, 12, 13$ પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
આમ,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કર્ણ $c = 13$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,પરિત્રિજ્યા $R$ એ કર્ણની અડધી હોય છે.
$R = \frac{\text{hypotenuse}}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$.
વૈકલ્પિક રીતે,$R = \frac{abc}{4\Delta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$s = \frac{5+12+13}{2} = 15$.
$\Delta = \sqrt{15(15-5)(15-12)(15-13)} = \sqrt{15 \times 10 \times 3 \times 2} = \sqrt{900} = 30$.
$R = \frac{13 \times 12 \times 5}{4 \times 30} = \frac{780}{120} = \frac{13}{2}$.

(A) ધારો કે દરેક સિક્કાની ત્રિજ્યા $r = 1$ છે. ત્રણ સિક્કાઓના કેન્દ્રો $2r = 2$ બાજુ લંબાઈ ધરાવતો સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.
મોટા સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે અને સિક્કાઓના કેન્દ્રો $C_1, C_2, C_3$ છે.
કોઈપણ શિરોબિંદુ (દા.ત. $B$) થી નજીકના સિક્કાના કેન્દ્રના $BC$ બાજુ પરના પ્રક્ષેપણ $(M)$ સુધીનું અંતર $BM = r \cot(30^\circ) = 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$ છે.
બે પાયાના સિક્કાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $MN = 2r = 2$ છે.
સમપ્રમાણતા દ્વારા,મોટા સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $s = BM + MN + NC = \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} = 2 + 2\sqrt{3} = 2(1 + \sqrt{3})$ છે.
$s$ બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} [2(1 + \sqrt{3})]^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4(1 + \sqrt{3})^2 = \sqrt{3}(1 + 3 + 2\sqrt{3}) = \sqrt{3}(4 + 2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} + 6 \; \text{sq. units}$.

(D) બાજુઓની લંબાઈ નીચે મુજબ છે:
$a = BC = \sqrt{(-6-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$b = CA = \sqrt{(1-0)^2 + (1+6)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$c = AB = \sqrt{(0+6)^2 + (-6-0)^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
શિરોબિંદુ $A(x_1, y_1)$ ની સામેના બહિષ્કેન્દ્ર $I_A$ ના યામ:
$x = \frac{-ax_1 + bx_2 + cx_3}{-a + b + c} = \frac{-5\sqrt{2}(0) + 5\sqrt{2}(-6) + 6\sqrt{2}(1)}{-5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} + 6\sqrt{2}} = \frac{-24\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = -4$
$y = \frac{-ay_1 + by_2 + cy_3}{-a + b + c} = \frac{-5\sqrt{2}(-6) + 5\sqrt{2}(0) + 6\sqrt{2}(1)}{-5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} + 6\sqrt{2}} = \frac{36\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = 6$
આમ,બહિષ્કેન્દ્રના યામ $(-4, 6)$ છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2, -2)$,$B(8, -2)$ અને $C(8, 6)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ:
$c = AB = 6$,$a = BC = 8$,$b = AC = 10$.
આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જ્યાં ખૂણો $B$ કાટખૂણો છે.
શિરોબિંદુ $A(x_1, y_1)$ ની સામેનું બહિકેન્દ્ર $I_A$ નું સૂત્ર:
$I_A = (\frac{-ax_1 + bx_2 + cx_3}{-a + b + c}, \frac{-ay_1 + by_2 + cy_3}{-a + b + c})$.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{-8(2) + 10(8) + 6(8)}{-8 + 10 + 6} = \frac{112}{8} = 14$.
$y = \frac{-8(-2) + 10(-2) + 6(6)}{-8 + 10 + 6} = \frac{32}{8} = 4$.
તેથી,બહિકેન્દ્ર $(14, 4)$ છે.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $P(0, 0)$,$Q(3, 0)$ અને $R(0, 4)$ છે.
આ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કાટખૂણો $P(0, 0)$ આગળ છે.
બાજુઓની લંબાઈ:
$PQ = 3$
$PR = 4$
$QR = 5$
કાટકોણ ત્રિકોણના અંત:વૃતની ત્રિજ્યા $r = \frac{a + b - c}{2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $a$ અને $b$ કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓ છે અને $c$ કર્ણ છે.
અહીં,$a = 3$,$b = 4$,અને $c = 5$.
$r = \frac{3 + 4 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

(D) $a, b, c$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણની પરિવૃતની ત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4K}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે.
જો ત્રિકોણ $PRS$ એ $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત હોય,તો પરિવૃતની ત્રિજ્યા બાજુઓના માપ પરથી ગણવામાં આવે છે.
જો બાજુઓ $a=6, b=6, c=6$ (સમબાજુ ત્રિકોણ) હોય,તો $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) $\Delta DEF$ એ $\Delta ABC$ નો લંબપાદ ત્રિકોણ છે. લંબપાદ ત્રિકોણની બાજુઓ $a \cos A, b \cos B, c \cos C$ છે.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = 2R \sin A, b = 2R \sin B, c = 2R \sin C$.
$\Delta DEF$ ની પરિમિતિ $P_{DEF} = R(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C) = 4R \sin A \sin B \sin C$ થાય.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $P_{ABC} = a + b + c = 2R(\sin A + \sin B + \sin C) = 8R \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ થાય.
અંતઃત્રિજ્યા $r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ છે.
ગુણોત્તર $= \frac{4R \sin A \sin B \sin C}{2R(\sin A + \sin B + \sin C)} = \frac{r}{R}$.

(A) $n$ બાજુઓ અને $a$ લંબાઈ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણ માટે,પરિવર્તની ત્રિજ્યા $R$ અને અંતઃવર્તની ત્રિજ્યા $r$ નીચે મુજબ છે:
$R = \frac{a}{2} \csc\left( \frac{\pi}{n} \right)$ અને $r = \frac{a}{2} \cot\left( \frac{\pi}{n} \right)$.
અહીં $a = 2 \, cm$ અને $n = 10$ છે:
$R = \csc\left( \frac{\pi}{10} \right)$ અને $r = \cot\left( \frac{\pi}{10} \right)$.
ક્ષેત્રફળનો તફાવત $\pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2)$ થાય.
નિત્યસમ $\csc^2 \theta - \cot^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\pi (\csc^2(\frac{\pi}{10}) - \cot^2(\frac{\pi}{10})) = \pi (1) = \pi \, cm^2$.

(A) ધારો કે સમદ્વિબાટુ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ $a, a,$ અને $a\sqrt{2}$ છે.
ત્રિકોણની અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\text{Area}}{\text{semi-perimeter}} = \frac{\Delta}{s}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\Delta = \frac{1}{2} a^2$ અને $s = \frac{a + a + a\sqrt{2}}{2} = \frac{a(2 + \sqrt{2})}{2}$.
આપેલ છે કે $r = 1$,તેથી $1 = \frac{\frac{1}{2} a^2}{\frac{a(2 + \sqrt{2})}{2}} = \frac{a}{2 + \sqrt{2}}$.
આમ,$a = 2 + \sqrt{2}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} (2 + \sqrt{2})^2$.
$\Delta = \frac{1}{2} (4 + 2 + 4\sqrt{2}) = \frac{1}{2} (6 + 4\sqrt{2}) = 3 + 2\sqrt{2}$ ચોરસ એકમ.

(D) ધારો કે $\alpha$ એ ખૂણા $\angle A$ નું અડધું માપ છે. ધારો કે $C_1$ અને $C_2$ એ વર્તુળો $P_2$ અને $P_1$ ના કેન્દ્રો છે,જેમની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે $r_1 = 1$ અને $r_2 = 2$ છે.
કેન્દ્ર $C_1$,શિરોબિંદુ $A$,અને $AB$ પરના સ્પર્શબિંદુ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,આપણી પાસે $\sin \alpha = \frac{r_1}{AC_1} = \frac{1}{AC_1}$ છે.
વર્તુળો એકબીજાને સ્પર્શતા હોવાથી,$AC_2 = AC_1 + r_1 + r_2 = AC_1 + 1 + 2 = AC_1 + 3$.
વળી,$\sin \alpha = \frac{r_2}{AC_2} = \frac{2}{AC_2}$.
$\sin \alpha$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{1}{AC_1} = \frac{2}{AC_1 + 3} \implies AC_1 + 3 = 2AC_1 \implies AC_1 = 3$.
આમ,$\sin \alpha = \frac{1}{3}$.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $AD = AC_2 + r_2 = (AC_1 + 3) + 2 = 6 + 2 = 8$.
$\Delta ABD$ માં,$\tan \alpha = \frac{BD}{AD} = \frac{BD}{8}$.
કારણ કે $\sin \alpha = \frac{1}{3}$,તેથી $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
તેથી $\tan \alpha = \frac{1/3}{2\sqrt{2}/3} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
તેથી,$BD = 8 \times \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.
પાયો $BC = 2 \times BD = 4\sqrt{2}$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 8 = 16\sqrt{2}$.

(A) ધારો કે $a = 4K, b = 5K, c = 6K$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15K}{2}$.
પરિવૃત્તની ત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta}$ અને અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{R}{r} = \frac{abcs}{4\Delta^2}$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$.
$\frac{R}{r} = \frac{abc}{4(s-a)(s-b)(s-c)}$.
કિંમતો મૂકતા:
$s-a = \frac{7K}{2}, s-b = \frac{5K}{2}, s-c = \frac{3K}{2}$.
$\frac{R}{r} = \frac{(4K)(5K)(6K)}{4(\frac{7K}{2})(\frac{5K}{2})(\frac{3K}{2})} = \frac{16}{7}$.

(D) $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = 30 \, cm^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 \cdot \sin A = 30$ $\Rightarrow 30 \sin A = 30$ $\Rightarrow \sin A = 1.$
આમ,$A = 90^{\circ},$ જેનો અર્થ છે કે $\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કર્ણ $BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા $R$ એ કર્ણની અડધી હોય છે,તેથી $R = \frac{BC}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \, cm.$
અંતઃત્રિજ્યા $r$ એ $r = \frac{\Delta}{s}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $s$ એ અર્ધ-પરિમિતિ છે.
$s = \frac{5 + 12 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15 \, cm.$
તેથી,$r = \frac{30}{15} = 2 \, cm.$
$2R + r = 2(6.5) + 2 = 13 + 2 = 15 \, cm$ નું મૂલ્ય.

(D) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ $a, b, c$ છે,જ્યાં $c$ કર્ણ છે. કાટકોણ ત્રિકોણની અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{a+b-c}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે એક બાજુ $12$ છે. ધારો કે $a = 12$.
તેથી $r = \frac{12+b-c}{2}$ $\Rightarrow 2r = 12+b-c$ $\Rightarrow c-b = 12-2r$.
વળી,$a^2 = c^2-b^2 = (c-b)(c+b)$.
$144 = (12-2r)(c+b) \Rightarrow c+b = \frac{144}{2(6-r)} = \frac{72}{6-r}$.
$c+b$ અને $c-b$ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ,તેથી $6-r$ એ $72$ નો ભાજક હોવો જોઈએ.
$r$ મહત્તમ મેળવવા માટે,આપણે શક્ય કિંમતો ચકાસીએ.
જો $a=12$ એ કર્ણ હોય,તો $12^2 = b^2+c^2$. શૂન્યતર બાજુઓ માટે આ શક્ય નથી.
જો $a=12$ એ એક બાજુ હોય,તો $r = \frac{12+b-c}{2}$.
પૂર્ણાંક બાજુઓ $(12, 35, 37)$ માટે $r = \frac{12+35-37}{2} = 5$.
પૂર્ણાંક બાજુઓ $(12, 16, 20)$ માટે $r = \frac{12+16-20}{2} = 4$.
પૂર્ણાંક બાજુઓ $(12, 9, 15)$ માટે $r = \frac{12+9-15}{2} = 3$.
આમ,મહત્તમ ત્રિજ્યા $5$ છે.

(C) લંબાઈની બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ માટે,ધારો કે $R$ એ પરિવૃતની ત્રિજ્યા અને $r$ એ અંતઃવૃતની ત્રિજ્યા છે.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,પરિવૃતની ત્રિજ્યા $R = \frac{a}{2 \sin 60^{\circ}} = \frac{a}{2(\sqrt{3}/2)} = \frac{a}{\sqrt{3}}$ દ્વારા મળે છે.
અંતઃવૃતની ત્રિજ્યા $r = \frac{a}{2 \tan 60^{\circ}} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{R}{r} = \frac{a/\sqrt{3}}{a/(2\sqrt{3})} = \frac{a}{\sqrt{3}} \times \frac{2\sqrt{3}}{a} = 2$.
આ ગુણોત્તર $2$ છે,જે $a$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી તે અચળ રહે છે.

(D) ધારો કે અંતઃવૃત્તનું કેન્દ્ર $O$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે. અંતઃવૃત્ત $AC$ ને $D$ પર,$BC$ ને $E$ પર અને $AB$ ને $F$ પર સ્પર્શે છે.
$O$ કેન્દ્ર હોવાથી અને $OE \perp BC$,$OF \perp AB$,તથા $OE=OF=r$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ $O E B F$ એ $r$ બાજુવાળો ચોરસ છે.
તેથી,$BE = BF = r$.
બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોવાથી:
$AF = AD = 10$
$CE = CD = 3$
તેથી,કાટકોણ $\triangle ABC$ ની બાજુઓ નીચે મુજબ છે:
$AB = AF + BF = 10 + r$
$BC = CE + BE = 3 + r$
$AC = AD + DC = 10 + 3 = 13$
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 + BC^2 = AC^2$:
$(10 + r)^2 + (3 + r)^2 = 13^2$
$100 + 20r + r^2 + 9 + 6r + r^2 = 169$
$2r^2 + 26r + 109 = 169$
$2r^2 + 26r - 60 = 0$
$r^2 + 13r - 30 = 0$
$(r + 15)(r - 2) = 0$
$r > 0$ હોવાથી,$r = 2$ મળે.
આમ,અંતઃત્રિજ્યા $2$ છે.

(C) જો $B, I, O, C$ એકવર્તુળીય હોય,તો $\angle BIC = \angle BOC$ (સમાન વૃત્તખંડના ખૂણા).
આપણે જાણીએ છીએ કે $\angle BIC = 90^{\circ} + \frac{A}{2}$ અને $\angle BOC = 2A$.
આ બંનેને સરખાવતા,$90^{\circ} + \frac{A}{2} = 2A$.
$\frac{3A}{2} = 90^{\circ} \implies A = 60^{\circ}$.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$\angle B + \angle C = 180^{\circ} - A = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

(D) આપેલ છે કે $\frac{s-x}{4} = \frac{s-y}{3} = \frac{s-z}{2} = k$.
તેથી $s-x = 4k, s-y = 3k, s-z = 2k$.
આનો સરવાળો કરતા: $3s - (x+y+z) = 9k \Rightarrow 3s - 2s = 9k \Rightarrow s = 9k$.
આમ,$x = 5k, y = 6k, z = 7k$.
અંતઃવૃતનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \frac{8\pi}{3} \Rightarrow r^2 = \frac{8}{3} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{8}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$.
$\Delta = rs = \sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $r^2 s^2 = s(4k)(3k)(2k) = s(24k^3)$.
કારણ કે $s=9k$,$r^2 s^2 = 9k(24k^3) = 216k^4$. તેમજ $r^2 s^2 = \frac{8}{3} (81k^2) = 216k^2$.
તેથી $216k^4 = 216k^2 \Rightarrow k^2 = 1 \Rightarrow k = 1$.
આમ $s = 9, x = 5, y = 6, z = 7$.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = rs = \sqrt{\frac{8}{3}} \times 9 = 3\sqrt{8} \times 3 = 6\sqrt{6}$. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
પરિવૃતની ત્રિજ્યા $R = \frac{xyz}{4\Delta} = \frac{5 \times 6 \times 7}{4 \times 6\sqrt{6}} = \frac{35}{4\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24}$. (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
$\sin \frac{X}{2} \sin \frac{Y}{2} \sin \frac{Z}{2} = \frac{r}{4R} = \frac{\sqrt{8/3}}{4 \times (35\sqrt{6}/24)} = \frac{2\sqrt{2}/\sqrt{3}}{35\sqrt{6}/6} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \frac{6}{35\sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{2}}{35\sqrt{18}} = \frac{12\sqrt{2}}{35 \times 3\sqrt{2}} = \frac{4}{35}$. (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
$\sin^2 \left(\frac{X+Y}{2}\right) = \cos^2 \frac{Z}{2} = \frac{1+\cos Z}{2}$. $\cos Z = \frac{x^2+y^2-z^2}{2xy} = \frac{25+36-49}{2 \times 5 \times 6} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી $\sin^2 \left(\frac{X+Y}{2}\right) = \frac{1+1/5}{2} = \frac{6/5}{2} = \frac{3}{5}$. (વિકલ્પ $D$ સાચો છે).

(D) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 10$,$b = 8$ અને $c = 6$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ તપાસો: $a^2 = b^2 + c^2$.
$10^2 = 100$ અને $8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
આમ,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કર્ણ $a = 10$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા $R$ એ કર્ણની અડધી હોય છે.
$R = \frac{10}{2} = 5 \ units$.

(A) $\triangle ABC$ માં,$\angle A=30^{\circ}$ અને $BC=10 \text{ cm}$ છે.
ધારો કે $R$ એ $\triangle ABC$ ની પરિત્રિજ્યા છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{BC}{\sin A} = 2R$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{10}{\sin 30^{\circ}} = 2R$.
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\frac{10}{1/2} = 2R$,જેનો અર્થ છે કે $20 = 2R$,તેથી $R = 10 \text{ cm}$.
પરિવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi R^2$ દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \pi (10)^2 = 100 \pi \text{ cm}^2$.

(B) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જ્યાં $\angle C = 90^{\circ}$ છે.
તેથી,$AC = BC$. ધારો કે $AC = BC = a$.
$\triangle ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
$c = a\sqrt{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s}$ અને બહિઃત્રિજ્યા $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ છે.
તેથી,$\frac{r}{r_3} = \frac{s-c}{s} = \frac{a+b-c}{a+b+c} = \frac{a+a-a\sqrt{2}}{a+a+a\sqrt{2}} = \frac{2a-a\sqrt{2}}{2a+a\sqrt{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$
આમ,$r : r_3 = (\sqrt{2}-1) : (\sqrt{2}+1)$.

(D) ધારો કે $\triangle ABC$ ની બાજુઓની લંબાઈ $a, b,$ અને $c$ છે. અર્ધ-પરિમિતિ $s$ એ $s = \frac{a+b+c}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ પરથી,$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\triangle IBC, \triangle ICA,$ અને $\triangle IAB$ ના ક્ષેત્રફળોના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $I$ એ અંતઃકેન્દ્ર છે:
$\Delta = \text{Area}(\triangle IBC) + \text{Area}(\triangle ICA) + \text{Area}(\triangle IAB)$
$\Delta = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr$
$\Delta = r \left( \frac{a+b+c}{2} \right)$
કારણ કે $s = \frac{a+b+c}{2}$,તેથી $\Delta = rs$.
આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(A) $\triangle ABC$ માં,જે વર્તુળ બાજુ $BC$ ને અંદરની તરફ અને બાકીની બે બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ને બહારની તરફ સ્પર્શે છે તેને ખૂણા $A$ ની સામેનું બહિરવૃત (Ex-circle) કહેવામાં આવે છે. આ વર્તુળનું કેન્દ્ર બહિરકેન્દ્ર $E_A$ છે. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે કે $2A + C = 300^{\circ}$ અને $A + B + C = 180^{\circ}$.
બાદબાકી કરતા: $(2A + C) - (A + B + C) = 300^{\circ} - 180^{\circ} \implies A - B = 120^{\circ}$.
વળી,$R = 8r$. અંતઃત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ છે.
$R = 8r$ મૂકતા,$r = 4(8r) \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \implies 32 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} = 1$.
$2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} = \cos \frac{A-B}{2} - \cos \frac{A+B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$16 (\cos 60^{\circ} - \cos \frac{A+B}{2}) \sin \frac{C}{2} = 1$.
$A+B = 180^{\circ} - C$ હોવાથી,$\cos \frac{A+B}{2} = \sin \frac{C}{2}$.
$16 (\frac{1}{2} - \sin \frac{C}{2}) \sin \frac{C}{2} = 1 \implies 8 \sin \frac{C}{2} - 16 \sin^2 \frac{C}{2} = 1$.
$16 \sin^2 \frac{C}{2} - 8 \sin \frac{C}{2} + 1 = 0 \implies (4 \sin \frac{C}{2} - 1)^2 = 0$.
તેથી,$\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{4}$.

(C) આપેલ છે: ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ $a = 15$,$b = 20$,અને $c = 25$ એકમ છે.
પ્રથમ,નોંધો કે $15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$.
$a^2 + b^2 = c^2$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કર્ણ $c = 25$ એકમ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,પરિત્રિજ્યા $R$ એ કર્ણની અડધી હોય છે.
$R = \frac{c}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$ એકમ.

(D) અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = 21 \text{ cm}$ છે.
હેરોનના સૂત્ર મુજબ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = 84 \text{ cm}^2$ છે.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$R = \frac{13 \times 14 \times 15}{4 \times 84} = \frac{65}{8} \text{ cm}$.

(D) ધારો કે $s$ એ $\triangle ABC$ ની અર્ધ-પરિમિતિ છે. શિરોબિંદુઓથી અંતઃવૃત્ત પરના સ્પર્શકોની લંબાઈ $\alpha = s-a, \beta = s-b, \gamma = s-c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેમનો સરવાળો કરતા,$\alpha+\beta+\gamma = 3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$ મળે છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $S$ હેરોનના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{s \alpha \beta \gamma}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $S = rs$,જ્યાં $r$ એ અંતઃત્રિજ્યા છે.
તેથી,$r^2 s^2 = s \alpha \beta \gamma$,જેનું સાદું રૂપ $r^2 s = \alpha \beta \gamma$ થાય છે.
$s = \alpha+\beta+\gamma$ મૂકતા,આપણને $r^2 = \frac{\alpha \beta \gamma}{\alpha+\beta+\gamma}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે બહિઃત્રિજ્યાઓ $r_1 = 8, r_2 = 12, r_3 = 24$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$,જ્યાં $r$ એ અંતઃત્રિજ્યા છે.
$\frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{3+2+1}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$,તેથી $r = 4$.
વળી,$\Delta = \sqrt{r r_1 r_2 r_3} = \sqrt{4 \times 8 \times 12 \times 24} = \sqrt{9216} = 96$.
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$8 = \frac{96}{s-a} \Rightarrow s-a = 12$.
$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$ નો ઉપયોગ કરતા,$12 = \frac{96}{s-b} \Rightarrow s-b = 8$.
$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ નો ઉપયોગ કરતા,$24 = \frac{96}{s-c} \Rightarrow s-c = 4$.
આનો સરવાળો કરતા: $3s - (a+b+c) = 24$ $\Rightarrow 3s - 2s = 24$ $\Rightarrow s = 24$.
તેથી $a = s-12 = 12$,$b = s-8 = 16$,અને $c = s-4 = 20$.
આમ,ક્રમિક ત્રિપુટી $(a, b, c) = (12, 16, 20)$ છે.

(A) ત્રિકોણની અંતઃત્રિજ્યા $(r)$ નું સૂત્ર $r = \frac{\Delta}{s}$ છે,જ્યાં $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે અને $s$ એ અર્ધ-પરિમિતિ છે.
આપેલ છે,પરિમિતિ $P = 36 \text{ cm}$,તેથી અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{P}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ cm}$.
આપેલ છે,અંતઃત્રિજ્યા $r = 8 \text{ cm}$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $\Delta = r \times s = 8 \times 18 = 144 \text{ cm}^2$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 6$,$b = 5$ અને $c = 9$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+5+9}{2} = \frac{20}{2} = 10$ છે.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ મળે છે.
$\Delta = \sqrt{10(10-6)(10-5)(10-9)} = \sqrt{10 \times 4 \times 5 \times 1} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s}$ દ્વારા મળે છે.
$r = \frac{10\sqrt{2}}{10} = \sqrt{2}$.

(D) આપેલ છે,$\frac{2 r_2 r_3}{r_2-r_1} = r_3-r_1$.
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$2 \cdot \frac{\Delta}{s-b} \cdot \frac{\Delta}{s-c} = \left(\frac{\Delta}{s-b} - \frac{\Delta}{s-a}\right) \left(\frac{\Delta}{s-c} - \frac{\Delta}{s-a}\right)$
$\frac{2}{(s-b)(s-c)} = \frac{(s-a)-(s-b)}{(s-b)(s-a)} \cdot \frac{(s-a)-(s-c)}{(s-c)(s-a)}$
$2(s-a)^2 = (b-a)(c-a)$
$2(\frac{b+c-a}{2})^2 = (b-a)(c-a)$
$\frac{(b+c-a)^2}{2} = (b-a)(c-a)$
$b^2+c^2+a^2+2bc-2ab-2ac = 2(bc-ab-ac+a^2)$
$b^2+c^2+a^2+2bc-2ab-2ac = 2bc-2ab-2ac+2a^2$
$b^2+c^2 = a^2$.
હવે,$\sqrt{r_1 r_2+r_2 r_3+r_3 r_1} = \sqrt{\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)} + \frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)} + \frac{\Delta^2}{(s-c)(s-a)}} = \sqrt{\frac{\Delta^2(s-c+s-a+s-b)}{(s-a)(s-b)(s-c)}} = \sqrt{\frac{\Delta^2(3s-2s)}{\frac{\Delta^2}{s}}} = s$.
આમ,$\frac{r_1(r_2+r_3)}{s} = \frac{\frac{\Delta}{s-a}(\frac{\Delta}{s-b} + \frac{\Delta}{s-c})}{s} = \frac{\Delta^2(2s-b-c)}{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{\Delta^2(a)}{\Delta^2} = a = 2R$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,અને $r = \frac{\Delta}{s}$.
તેથી,$\frac{1}{r_1} = \frac{s-a}{\Delta}$,$\frac{1}{r_2} = \frac{s-b}{\Delta}$,$\frac{1}{r_3} = \frac{s-c}{\Delta}$,અને $\frac{1}{r} = \frac{s}{\Delta}$.
હવે,$\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}+\frac{1}{r_3^2}+\frac{1}{r^2} = \frac{(s-a)^2}{\Delta^2} + \frac{(s-b)^2}{\Delta^2} + \frac{(s-c)^2}{\Delta^2} + \frac{s^2}{\Delta^2}$.
$= \frac{(s^2+a^2-2as) + (s^2+b^2-2sb) + (s^2+c^2-2sc) + s^2}{\Delta^2}$.
$= \frac{4s^2 + a^2+b^2+c^2 - 2s(a+b+c)}{\Delta^2}$.
કારણ કે $a+b+c = 2s$,તેથી $2s(a+b+c) = 2s(2s) = 4s^2$.
$= \frac{4s^2 + a^2+b^2+c^2 - 4s^2}{\Delta^2} = \frac{a^2+b^2+c^2}{\Delta^2}$.

(C) વિધાન $I$: આપણે જાણીએ છીએ કે $r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$. આ ત્રિકોણ માટેનું પ્રમાણિત નિત્યસમ છે. તેથી,$I$ સાચું છે.
વિધાન $II$: આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = s \tan \frac{A}{2}$. આપેલ સૂત્ર $r_1 = (s-a) \tan \frac{A}{2}$ ખોટું છે. તેથી,$II$ ખોટું છે.
વિધાન $III$: આપણે જાણીએ છીએ કે $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$. આ બહિર ત્રિજ્યા $r_3$ માટેનું પ્રમાણિત સૂત્ર છે. તેથી,$III$ સાચું છે.
તેથી,વિધાન $I$ અને $III$ સાચા છે.

(A) આપણે ત્રિકોણની બહિર્રિજ્યાઓ માટેના સૂત્રો જાણીએ છીએ: $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
આપેલ છે $r_1=3, r_2=4, r_3=6$.
વ્યસ્ત લેતા: $\frac{1}{r_1} = \frac{s-a}{\Delta}, \frac{1}{r_2} = \frac{s-b}{\Delta}, \frac{1}{r_3} = \frac{s-c}{\Delta}$.
સરવાળો કરતા: $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{3s-(a+b+c)}{\Delta} = \frac{s}{\Delta} = \frac{1}{r}$.
$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = \frac{1}{r} \implies r = \frac{4}{3}$.
વળી,$\Delta^2 = r r_1 r_2 r_3 = \frac{4}{3} \times 3 \times 4 \times 6 = 96 \implies \Delta = 4\sqrt{6}$.
$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$ હોવાથી,$4 = \frac{4\sqrt{6}}{s-b} \implies s-b = \sqrt{6}$.
વળી $s = \frac{\Delta}{r} = 3\sqrt{6}$.
તેથી,$b = s - (s-b) = 3\sqrt{6} - \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$.

(A) આપેલ છે $a=6, b=8, c=10$. $6^2 + 8^2 = 10^2$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{6+8+10}{2} = 12$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$.
બહિઃત્રિજ્યાઓ $r_1 = 4, r_2 = 6, r_3 = 12$ અને અંતઃત્રિજ્યા $r = 2$ મળે છે.
$\frac{2 r_2 r_3}{r r_1} = \frac{2 \times 6 \times 12}{2 \times 4} = 18$.
વિકલ્પ $b+c = 8+10 = 18$ થાય છે.

(B) આપેલ બાજુઓ $a=8, b=10, c=12$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{8+10+12}{2} = 15$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{15(15-8)(15-10)(15-12)} = \sqrt{15 \times 7 \times 5 \times 3} = 15\sqrt{7}$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{15\sqrt{7}}{15} = \sqrt{7}$.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{8 \times 10 \times 12}{4 \times 15\sqrt{7}} = \frac{16}{\sqrt{7}}$.
તેથી,$\frac{r}{R} = \frac{\sqrt{7}}{16/\sqrt{7}} = \frac{7}{16}$.

(B) ત્રિકોણની બાજુઓ $a=13, b=14, c=15$ આપેલ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$.
ત્યારબાદ,હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta$ શોધો:
$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84$.
બહિર ત્રિજ્યા $r_1$ માટેનું સૂત્ર $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$ છે:
$r_1 = \frac{84}{21-13} = \frac{84}{8} = \frac{21}{2}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{r_1-r}{a} + \frac{r_2-r}{b} = \frac{\frac{\Delta}{s-a} - \frac{\Delta}{s}}{a} + \frac{\frac{\Delta}{s-b} - \frac{\Delta}{s}}{b}$
$= \frac{\Delta}{a} \left( \frac{s - (s-a)}{s(s-a)} \right) + \frac{\Delta}{b} \left( \frac{s - (s-b)}{s(s-b)} \right)$
$= \frac{\Delta}{s(s-a)} + \frac{\Delta}{s(s-b)} = \frac{\Delta}{s} \left( \frac{s-b+s-a}{(s-a)(s-b)} \right)$
$= \frac{\Delta}{s} \left( \frac{c}{(s-a)(s-b)} \right) = \frac{c}{r_3}$.

(C) આપેલ છે,$\triangle ABC$ માં,$r=1$,$R=4$,અને $\Delta=8$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r = \frac{\Delta}{s}$,જ્યાં $s$ એ અર્ધ-પરિમિતિ છે.
$1 = \frac{8}{s} \implies s = 8$.
કારણ કે $s = \frac{a+b+c}{2}$,તેથી $a+b+c = 2s = 16$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $abc = 4R\Delta$.
$abc = 4 \times 4 \times 8 = 128$.
હવે,આપણે $\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} = \frac{c+a+b}{abc} = \frac{a+b+c}{abc}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{16}{128} = \frac{1}{8}$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2C = 2 \sin C \cos C$ અને $\sin 2B = 2 \sin B \cos B$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1}{4}[b^2(2 \sin C \cos C) + c^2(2 \sin B \cos B)] = \frac{1}{2}[b^2 \sin C \cos C + c^2 \sin B \cos B]$.
પ્રક્ષેપ સૂત્ર $a = b \cos C + c \cos B$ અને $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}[b^2 \cos C \frac{2\Delta}{ab} + c^2 \cos B \frac{2\Delta}{ac}] = \frac{\Delta}{a}[b \cos C + c \cos B] = \frac{\Delta}{a}(a) = \Delta$.
હવે,$rr_1 \cot \frac{A}{2}$ પદ તપાસતા:
$r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,અને $\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$.
તેથી,$rr_1 \cot \frac{A}{2} = \frac{\Delta}{s} \cdot \frac{\Delta}{s-a} \cdot \frac{s(s-a)}{\Delta} = \Delta$.
આમ,$\frac{1}{4}[b^2 \sin 2C + c^2 \sin 2B] = rr_1 \cot \frac{A}{2}$.