यदि किसी श्रेणी का r-वाँ पद (2r + 1)2^{-r} है | vedclass

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Question

(C) यहाँ $r$-वाँ पद $T_r = (2r + 1)2^{-r} = \frac{2r + 1}{2^r}$ है।अनंत पदों का योग $S_{\infty} = \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2r + 1}{2^r} = \sum_{r=1}^

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$5$

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(C) यहाँ $r$-वाँ पद $T_r = (2r + 1)2^{-r} = \frac{2r + 1}{2^r}$ है।अनंत पदों का योग $S_{\infty} = \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2r + 1}{2^r} = \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2r}{2^r} + \sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{2^r}$ है।माना $S = \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2r + 1}{2^r} = \frac{3}{2} + \frac{5}{4} + \frac{7}{8} + \frac{9}{16} + \dots$यह एक समांतर-गुणोत्तर श्रेणी है। इसे $\frac{1}{2}$ से गुणा करने पर:$\frac{1}{2}S = \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \frac{7}{16} + \dots$दोनों समीकरणों को घटाने पर:$S - \frac{1}{2}S = \frac{3}{2} + (\frac{5}{4} - \frac{3}{4}) + (\frac{7}{8} - \frac{5}{8}) + \dots$$\frac{1}{2}S = \frac{3}{2} + \frac{2}{4} + \frac{2}{8} + \frac{2}{16} + \dots$$\frac{1}{2}S = \frac{3}{2} + 2(\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots)$कोष्ठक में दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a = \frac{1}{4}$ और $r = \frac{1}{2}$ है,इसलिए इसका योग $\frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$ है।$\frac{1}{2}S = \frac{3}{2} + 2(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$.अतः,$S = 5$।

यदि किसी श्रेणी का $r$-वाँ पद $(2r + 1)2^{-r}$ है,तो उसके अनंत पदों का योग क्या होगा?

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मान लीजिए $S = 2 + \frac{6}{7} + \frac{12}{7^{2}} + \frac{20}{7^{3}} + \frac{30}{7^{4}} + \ldots$. तो $4S$ का मान ज्ञात कीजिए।

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