श्रेणी 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + dots का n पदों | vedclass

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Question

(A) माना $S_n$ दी गई श्रेणी का $n$ पदों तक योग है:$S_n = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots + nx^{n - 1}$ $(i)$$x$ से गुणा करने पर:$xS_n = x + 2x^2 + 3x^3 +

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$\frac{1 - (n + 1)x^n + nx^{n + 1}}{(1 - x)^2}$

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(A) माना $S_n$ दी गई श्रेणी का $n$ पदों तक योग है:$S_n = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots + nx^{n - 1}$ $(i)$$x$ से गुणा करने पर:$xS_n = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + (n - 1)x^{n - 1} + nx^n$ $(ii)$$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:$(1 - x)S_n = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^{n - 1} - nx^n$गुणोत्तर श्रेणी के $n$ पदों के योग के सूत्र का उपयोग करने पर:$(1 - x)S_n = \frac{1 - x^n}{1 - x} - nx^n$$(1 - x)S_n = \frac{1 - x^n - nx^n(1 - x)}{1 - x}$$(1 - x)S_n = \frac{1 - x^n - nx^n + nx^{n + 1}}{1 - x}$$(1 - x)S_n = \frac{1 - (n + 1)x^n + nx^{n + 1}}{1 - x}$अतः,$S_n = \frac{1 - (n + 1)x^n + nx^{n + 1}}{(1 - x)^2}$.

श्रेणी $1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots$ का $n$ पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए।

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