Transformation of axes Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ એ પરિભ્રમણનો ખૂણો છે. તેથી $\cos \theta = \frac{4}{5}$ અને $\sin \theta = \frac{3}{5}$.
જ્યારે અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X \cos \theta - Y \sin \theta$ અને $y = X \sin \theta + Y \cos \theta$ છે.
$\sin \theta$ અને $\cos \theta$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $x = \frac{4X - 3Y}{5}$ અને $y = \frac{3X + 4Y}{5}$ મળે છે.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણ $x^2 + y^2 = 9$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{4X - 3Y}{5}\right)^2 + \left(\frac{3X + 4Y}{5}\right)^2 = 9$
$\frac{16X^2 + 9Y^2 - 24XY + 9X^2 + 16Y^2 + 24XY}{25} = 9$
$\frac{25X^2 + 25Y^2}{25} = 9$
$X^2 + Y^2 = 9$.
આમ,સમીકરણ બદલાતું નથી.

(C) દ્વિઘાતનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
$x^2 + 2xy - y^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$h = 1$,અને $b = -1$ મળે છે.
$xy$ પદ દૂર કરવા માટે જરૂરી પરિભ્રમણનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan(2\theta) = \frac{2h}{a-b}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan(2\theta) = \frac{2(1)}{1 - (-1)} = \frac{2}{2} = 1$.
તેથી,$2\theta = \frac{\pi}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{8}$.

(A) ધારો કે મૂળ યામ $(X, Y)$ છે અને નવા યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ પરિભ્રમણ ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$ છે.
રૂપાંતરિત સમીકરણ $x^2+y^2-6x+8y+21=0$ માં $x = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$ અને $y = \frac{-X+Y}{\sqrt{2}}$ મૂકતા,
સાદુરૂપ આપતા આપણને $X^2+Y^2 - 7\sqrt{2}X + \sqrt{2}Y + 21 = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે મૂળ યામ $(x, y)$ છે અને નવા યામ $(X, Y)$ છે. પરિભ્રમણ રૂપાંતરણ નીચે મુજબ છે:
$x = X \cos \frac{\pi}{6} - Y \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}X - Y}{2}$
$y = X \sin \frac{\pi}{6} + Y \cos \frac{\pi}{6} = \frac{X + \sqrt{3}Y}{2}$
આ કિંમતોને $\sqrt{3}x^2 - 4xy + \sqrt{3}y^2 = 0$ માં મૂકતા:
$\sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}X - Y}{2} \right)^2 - 4 \left( \frac{\sqrt{3}X - Y}{2} \right) \left( \frac{X + \sqrt{3}Y}{2} \right) + \sqrt{3} \left( \frac{X + \sqrt{3}Y}{2} \right)^2 = 0$
ગણતરી કરતા:
$0X^2 - 8XY + 8\sqrt{3}Y^2 = 0$
$-8$ વડે ભાગતા:
$XY - \sqrt{3}Y^2 = 0$
આમ,રૂપાંતરિત સમીકરણ $\sqrt{3}Y^2 - XY = 0$ છે.

(C) પગલું $1$: ઉગમબિંદુને $(1,2)$ પર સ્થળાંતરિત કરતા,જૂની સિસ્ટમનું બિંદુ $(7,5)$ નવી સિસ્ટમમાં $(7-1, 5-2) = (6,3)$ બને છે.
પગલું $2$: બિંદુ $(6,3)$ ને નવી $X$-અક્ષની ઋણ દિશામાં $2$ એકમ ખસેડતા $(6-2, 3) = (4,3)$ મળે છે.
પગલું $3$: બિંદુ $(4,3)$ ને નવી સિસ્ટમના ઉગમબિંદુની આસપાસ ઘડિયાળની દિશામાં $\theta = \frac{\pi}{4}$ ખૂણે ફેરવતા. ઘડિયાળની દિશામાં પરિભ્રમણનું સૂત્ર $(x', y') = (x \cos \theta + y \sin \theta, -x \sin \theta + y \cos \theta)$ છે.
$x=4, y=3, \theta = \frac{\pi}{4}$ મૂકતા:
$x' = 4 \cos \frac{\pi}{4} + 3 \sin \frac{\pi}{4} = \frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$
$y' = -4 \sin \frac{\pi}{4} + 3 \cos \frac{\pi}{4} = -\frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ,અંતિમ સ્થાન $\left(\frac{7}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2=r^2$ છે.
જ્યારે અક્ષોને $\theta = 36^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવે,ત્યારે રૂપાંતરણ સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
આ કિંમતો મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(X \cos \theta - Y \sin \theta)^2 + (X \sin \theta + Y \cos \theta)^2 = r^2$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(X^2 \cos^2 \theta + Y^2 \sin^2 \theta - 2XY \sin \theta \cos \theta) + (X^2 \sin^2 \theta + Y^2 \cos^2 \theta + 2XY \sin \theta \cos \theta) = r^2$
સાદુરૂપ આપતા:
$X^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + Y^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = r^2$
કારણ કે $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$X^2 + Y^2 = r^2$.

(D) ધારો કે મૂળ સિસ્ટમમાં યામ $(x, y)$ છે અને નવી સિસ્ટમમાં યામ $(x', y')$ છે,જ્યાં $\theta = 135^{\circ}$ છે.
રૂપાંતરણ સમીકરણો:
$x' = x \cos \theta + y \sin \theta$
$y' = -x \sin \theta + y \cos \theta$
આપેલ છે કે $(x', y') = (4, -3)$ અને $\theta = 135^{\circ}$,તેથી:
$4 = -\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}} \Rightarrow -x + y = 4\sqrt{2} \quad (i)$
$-3 = -\frac{x}{\sqrt{2}} - \frac{y}{\sqrt{2}} \Rightarrow x + y = 3\sqrt{2} \quad (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા $2y = 7\sqrt{2} \Rightarrow y = \frac{7}{\sqrt{2}}$ મળે.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા $2x = -\sqrt{2} \Rightarrow x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે.
આમ,મૂળ સિસ્ટમમાં યામ $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}})$ છે.

(D) અંતઃખંડો $a$ અને $b$ વાળી રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
જ્યારે અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે,ત્યારે નવા યામ $(x', y')$ અને જૂના યામ $(x, y)$ વચ્ચેનો સંબંધ $x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$ અને $y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$ છે.
આ કિંમતો રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x' \cos \theta - y' \sin \theta}{a} + \frac{x' \sin \theta + y' \cos \theta}{b} = 1$
$x' \left( \frac{\cos \theta}{a} + \frac{\sin \theta}{b} \right) + y' \left( \frac{\cos \theta}{b} - \frac{\sin \theta}{a} \right) = 1$.
નવી અક્ષોમાં રેખાના અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x'}{p} + \frac{y'}{q} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{p} = \frac{\cos \theta}{a} + \frac{\sin \theta}{b}$ અને $\frac{1}{q} = \frac{\cos \theta}{b} - \frac{\sin \theta}{a}$.
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$\frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2} = \left( \frac{\cos \theta}{a} + \frac{\sin \theta}{b} \right)^2 + \left( \frac{\cos \theta}{b} - \frac{\sin \theta}{a} \right)^2$
$= \frac{\cos^2 \theta}{a^2} + \frac{\sin^2 \theta}{b^2} + \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{ab} + \frac{\cos^2 \theta}{b^2} + \frac{\sin^2 \theta}{a^2} - \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{ab}$
$= \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{a^2} + \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{b^2}$
$= \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$.
આમ,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2}$.

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુ $(h, k)$ પર ખસેડવામાં આવે છે.
નવા યામ $(x', y')$ છે.
તેથી $x = x' + h$ અને $y = y' + k$.
આ કિંમતો સમીકરણ $9x^2 + 4y^2 + 10x + 12y + 1 = 0$ માં મૂકતા:
$9(x' + h)^2 + 4(y' + k)^2 + 10(x' + h) + 12(y' + k) + 1 = 0$
$x'$ અને $y'$ ના પદો દૂર કરવા માટે,તેમના સહગુણકોને શૂન્ય લેતા:
$18h + 10 = 0 \implies h = -\frac{5}{9}$
$8k + 12 = 0 \implies k = -\frac{3}{2}$
આમ,ઉગમબિંદુને $\left(-\frac{5}{9}, -\frac{3}{2}\right)$ પર ખસેડવું જોઈએ.

(C) આપેલ સમીકરણ $f(x, y) = 2x^2+3xy-2y^2-17x+6y+8=0$ છે.
ઉગમબિંદુને $(\alpha, \beta)$ પર ખસેડીને રેખીય પદો દૂર કરવા માટે,આપણે $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષ આંશિક વિકલન શૂન્ય લઈએ છીએ:
$f_x = 4x+3y-17 = 0$
$f_y = 3x-4y+6 = 0$
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$x = 2$ અને $y = 3$ મળે છે.
તેથી,નવું ઉગમબિંદુ $(\alpha, \beta) = (2, 3)$ છે.
રૂપાંતરિત સમીકરણમાં અચળ પદ $c = f(\alpha, \beta) = 0$ છે.
તેથી,$3\alpha+c = 3(2)+0 = 6$.
અહીં $2\beta = 2(3) = 6$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $2\beta$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^2-y^2+2x+4y=0$
ધારો કે નવા યામ $(X, Y)$ છે અને ઉગમબિંદુ $(-1, 2)$ પર ખસેડવામાં આવ્યું છે.
રૂપાંતરના સમીકરણો $x = X - 1$ અને $y = Y + 2$ છે.
આ કિંમતો મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(X-1)^2 - (Y+2)^2 + 2(X-1) + 4(Y+2) = 0$
$(X^2 - 2X + 1) - (Y^2 + 4Y + 4) + 2X - 2 + 4Y + 8 = 0$
$X^2 - Y^2 + 3 = 0$

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^2-y^2+2x+4y=0$.
જ્યારે ઉગમબિંદુને $(h, k) = (-1, 2)$ પર ખસેડવામાં આવે,ત્યારે રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X - 1$ અને $y = Y + 2$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(X-1)^2 - (Y+2)^2 + 2(X-1) + 4(Y+2) = 0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(X^2 - 2X + 1) - (Y^2 + 4Y + 4) + 2X - 2 + 4Y + 8 = 0$.
સાદુરૂપ આપતા:
$X^2 - Y^2 + 3 = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2+2x+2y-5=0$ છે.
ધારો કે અક્ષોને $\alpha$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે. રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X \cos \alpha - Y \sin \alpha$ અને $y = X \sin \alpha + Y \cos \alpha$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$(X \cos \alpha - Y \sin \alpha)^2 + (X \sin \alpha + Y \cos \alpha)^2 + 2(X \cos \alpha - Y \sin \alpha) + 2(X \sin \alpha + Y \cos \alpha) - 5 = 0$.
દ્વિઘાત પદોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$X^2(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + Y^2(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = X^2 + Y^2$.
રેખીય પદોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$2X(\cos \alpha + \sin \alpha) + 2Y(\cos \alpha - \sin \alpha)$.
આમ,રૂપાંતરિત સમીકરણ $X^2 + Y^2 + 2X(\cos \alpha + \sin \alpha) + 2Y(\cos \alpha - \sin \alpha) - 5 = 0$ મળે છે.
સમીકરણમાં કોઈ રેખીય પદો ન હોય તે માટે,$X$ અને $Y$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$\cos \alpha + \sin \alpha = 0 \implies \tan \alpha = -1$
$\cos \alpha - \sin \alpha = 0 \implies \tan \alpha = 1$
કારણ કે $\tan \alpha$ એકસાથે $1$ અને $-1$ ન હોઈ શકે,તેથી $\alpha$ નું એવું કોઈ મૂલ્ય નથી જે બંને શરતોને સંતોષે.
તેથી,$\alpha$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) ધારો કે પરિભ્રમણનો ખૂણો $\theta = \operatorname{Tan}^{-1}(2)$ છે. તેથી $\tan \theta = 2$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
અક્ષોના પરિભ્રમણ માટેના રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X \cos \theta - Y \sin \theta$ અને $y = X \sin \theta + Y \cos \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x = \frac{X - 2Y}{\sqrt{5}}$ અને $y = \frac{2X + Y}{\sqrt{5}}$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણ $3x^2 - 4xy = r^2$ માં મૂકતા:
$3 \left( \frac{X - 2Y}{\sqrt{5}} \right)^2 - 4 \left( \frac{X - 2Y}{\sqrt{5}} \right) \left( \frac{2X + Y}{\sqrt{5}} \right) = r^2$.
ગણતરી કરતા,આપણને $4Y^2 - X^2 = r^2$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2+4xy+y^2=1$ છે.
અક્ષોના પરિભ્રમણ હેઠળ અચળાંકો $A+B$ અને $AB-H^2$ સમાન રહે છે.
અહીં $A+B = 2$ અને $AB-H^2 = -3$ છે.
નવા સમીકરણ માટે $\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = 2$ અને $-\frac{1}{a^2b^2} = -3$ મળે છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા $a^2 = 1/3$ અને $b^2 = 1$ મળે છે.
તેથી,$\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+3} = 2$.

(A) ધારો કે અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે. રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X \cos \theta - Y \sin \theta$ અને $y = X \sin \theta + Y \cos \theta$ છે.
$3x^2 + 2\sqrt{3}xy + y^2 = 0$ સમીકરણ માટે,$XY$ નો સહગુણક $2(A-B)\sin \theta \cos \theta + 2H(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)$ છે.
અહીં $A=3, H=\sqrt{3}, B=1$. નવા $XY$ સહગુણકને $0$ લેતા,આપણને $2\sin 2\theta + 2\sqrt{3}\cos 2\theta = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\tan 2\theta = -\sqrt{3}$,તેથી $2\theta = 120^{\circ}$ અથવા $\theta = 60^{\circ}$.
$x^2 + y^2 + 2xy = 2$ માં $\theta = 60^{\circ}$ મૂકતા,આપણને રૂપાંતરિત સમીકરણ $(2+\sqrt{3})X^2 + (2-\sqrt{3})Y^2 + 2XY = 4$ મળે છે.

(C) ધારો કે નવા યામ $(X, Y)$ છે જેથી $x = X+h$ અને $y = Y+k$.
સમીકરણ $x^2+2x+2y-7=0$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$(X+h)^2 + 2(X+h) + 2(Y+k) - 7 = 0$
$X^2 + 2hX + h^2 + 2X + 2h + 2Y + 2k - 7 = 0$
$X^2 + (2h+2)X + 2Y + (h^2+2h+2k-7) = 0$
$x$ પદ દૂર કરવા માટે,$X$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$2h+2 = 0 \Rightarrow h = -1$
અચળ પદ દૂર કરવા માટે,અચળ ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$h^2+2h+2k-7 = 0$
$h = -1$ મૂકતા:
$(-1)^2 + 2(-1) + 2k - 7 = 0$
$1 - 2 + 2k - 7 = 0$
$2k - 8 = 0 \Rightarrow k = 4$
તેથી,$2h+k = 2(-1) + 4 = -2 + 4 = 2$.

(C) ધારો કે મૂળ યામ $(x, y)$ છે અને નવા યામ $(X, Y)$ છે.
ભ્રમણ રૂપાંતરણ નીચે મુજબ છે:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
અહીં $\theta = \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$x = \frac{X - Y}{\sqrt{2}}$ અને $y = \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$.
રૂપાંતરિત સમીકરણ $9X^2 + 25Y^2 = 225$ છે.
મૂળ સમીકરણ મેળવવા માટે $X$ અને $Y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$9\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 25\left(\frac{-x+y}{\sqrt{2}}\right)^2 = 225$
$\frac{9}{2}(x^2 + y^2 + 2xy) + \frac{25}{2}(x^2 + y^2 - 2xy) = 225$
$9(x^2 + y^2 + 2xy) + 25(x^2 + y^2 - 2xy) = 450$
$34x^2 + 34y^2 - 32xy = 450$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $17x^2 - 16xy + 17y^2 = 225$ મળે છે.

(A) આપેલ પરિભ્રમણ ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે.
ધારો કે નવા યામ $(x', y')$ છે અને જૂના યામ $(x, y)$ છે.
રૂપાંતરણ સમીકરણો:
$x = x' \cos 45^{\circ} - y' \sin 45^{\circ} = \frac{x'-y'}{\sqrt{2}}$
$y = x' \sin 45^{\circ} + y' \cos 45^{\circ} = \frac{x'+y'}{\sqrt{2}}$
આ કિંમતોને $y^2 = 4ax$ માં મૂકતા:
$(\frac{x'+y'}{\sqrt{2}})^2 = 4a(\frac{x'-y'}{\sqrt{2}})$
$\frac{(x'+y')^2}{2} = \frac{4a(x'-y')}{\sqrt{2}}$
$(x'+y')^2 = 4\sqrt{2}a(x'-y')$
તેથી,રૂપાંતરિત સમીકરણ $(x+y)^2 = 4\sqrt{2}a(x-y)$ છે.

(C) ધારો કે $X = \frac{\sqrt{3}x - y}{2}$ અને $Y = \frac{x + \sqrt{3}y}{2}$.
આ રૂપાંતરણ યામ અક્ષોનું $\theta = 30^\circ$ (અથવા $\pi/6$ રેડિયન) ના ખૂણે પરિભ્રમણ દર્શાવે છે.
પરિભ્રમણ એ આઇસોમેટ્રી હોવાથી (તે અંતર અને ક્ષેત્રફળ જાળવી રાખે છે),નવી યામ પદ્ધતિ $(X, Y)$ માં વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ મૂળ યામ પદ્ધતિ $(x, y)$ માં $Y = X^2$ અને $X = Y^2$ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશના ક્ષેત્રફળ જેટલું જ હોય છે.
આપેલા સમીકરણો $\frac{x+\sqrt{3} y}{2}=\left(\frac{\sqrt{3} x-y}{2}\right)^2$ અને $\frac{\sqrt{3} x-y}{2}=\left(\frac{x+\sqrt{3} y}{2}\right)^2$ અનુક્રમે $Y = X^2$ અને $X = Y^2$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,આ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $y=x^2$ અને $x=y^2$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશના ક્ષેત્રફળ જેટલું જ એટલે કે $k$ થાય છે.

(A) ધારો કે મૂળ યામ $(x, y, z) = (3, -7, 5)$ છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુને $(h, k, l) = (-1, -1, -1)$ પર ખસેડવામાં આવે છે.
નવા યામ $(x', y', z')$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x' = x - h$
$y' = y - k$
$z' = z - l$
કિંમતો મૂકતા:
$x' = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4$
$y' = -7 - (-1) = -7 + 1 = -6$
$z' = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6$
તેથી,નવા યામ $(4, -6, 6)$ છે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક બિંદુ $P_0 = (\alpha, \beta)$ છે.
પગલું $1$: $x$-અક્ષની ધન દિશામાં $3$ એકમનું સ્થાનાંતર કરતા $P_1 = (\alpha + 3, \beta)$ મળે.
પગલું $2$: $y = -x$ ની સાપેક્ષે પરાવર્તન કરતા $(x, y)$ બિંદુ $(-y, -x)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે. તેથી,$P_2 = (-\beta, -(\alpha + 3)) = (-\beta, -\alpha - 3)$.
પગલું $3$: અક્ષોનું $\theta = \frac{\pi}{4}$ ના ખૂણે ધન દિશામાં પરિભ્રમણ. નવા યામ $(x', y')$ અને જૂના યામ $(x, y)$ વચ્ચેનો સંબંધ $x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$ અને $y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$ છે. આપેલ છે કે $(x', y') = (-4\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$,તેથી:
$x = (-4\sqrt{2}) \cos \frac{\pi}{4} - (-2\sqrt{2}) \sin \frac{\pi}{4} = -2$.
$y = (-4\sqrt{2}) \sin \frac{\pi}{4} + (-2\sqrt{2}) \cos \frac{\pi}{4} = -6$.
$P_2 = (x, y)$ ને સરખાવતા,$-\beta = -2 \implies \beta = 2$ અને $-\alpha - 3 = -6 \implies \alpha = 3$.
આમ,$\alpha + \beta = 3 + 2 = 5$.

(D) ધારો કે મૂળ યામ $(x, y)$ છે અને નવા યામ $(X, Y)$ છે.
ઉગમબિંદુને $(-1, 2)$ પર ખસેડતા $x = X - 1$ અને $y = Y + 2$ મળે.
આ કિંમતો $2x^2 - xy + y^2 - 3x + 4y - 5 = 0$ માં મૂકતા:
$2(X-1)^2 - (X-1)(Y+2) + (Y+2)^2 - 3(X-1) + 4(Y+2) - 5 = 0$
સાદુરૂપ આપતા $2X^2 - XY + Y^2 - 9X + 9Y + 14 = 0$ મળે.
સરખામણી કરતા $a = 2, h = -0.5, b = 1, g = -4.5, f = 4.5, c = 14$ મળે.
તેથી $2(f + g + h) = 2(4.5 - 4.5 - 0.5) = -1$.
વિકલ્પ $D$ એટલે કે $c - 5(a + b) = 14 - 5(3) = -1$ સાચો છે.

(C) પગલું $1$: અક્ષોનું સ્થળાંતર. મૂળ યામ $(x, y) = (2, 3)$ છે અને ઉગમબિંદુ $(h, k) = (3, 2)$ પર ખસેડવામાં આવે છે. નવા યામ $(a, b) = (x-h, y-k) = (2-3, 3-2) = (-1, 1)$ મળે છે.
પગલું $2$: અક્ષોનું પરિભ્રમણ. બિંદુ $(-1, 1)$ ને $\theta = \frac{\pi}{4}$ ખૂણે ફેરવતા,નવા યામ $(c, d)$ માટે $c = a \cos \theta + b \sin \theta$ અને $d = -a \sin \theta + b \cos \theta$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
પગલું $3$: $c$ અને $d$ ની ગણતરી. $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$c = (-1)(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (1)(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$ અને $d = -(-1)(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (1)(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}$ મળે છે.
પગલું $4$: $d - c = \sqrt{2} - 0 = \sqrt{2}$.

(B) અક્ષોને $\theta = \frac{\pi}{4}$ ખૂણે ફેરવવા માટેના રૂપાંતરણ સમીકરણો છે:
$x = \frac{X-Y}{\sqrt{2}}$
$y = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$
આ કિંમતો $ax^2+2hxy+by^2=c$ માં મૂકતા:
$X^2(\frac{a+2h+b}{2}) + XY(b-a) + Y^2(\frac{a-2h+b}{2}) = c$
$25X^2+9Y^2=225$ સાથે સરખાવતા:
$a+2h+b = 50$
$c = 225 \implies \sqrt{c} = 15$
તેથી,$(a+2h+b-\sqrt{c})^2 = (50-15)^2 = 35^2 = 1225$.

(D) આપેલ છે કે ઉગમબિંદુ $(2, b)$ પર ખસેડવામાં આવે છે,તેથી રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X + 2$ અને $y = Y + b$ છે.
બિંદુ $(a, 4)$ એ $(6, 8)$ માં બદલાય છે,તેથી $a = 6 + 2 = 8$ અને $4 = 8 + b$,જે $b = -4$ આપે છે.
હવે,ઉગમબિંદુને $(a, b) = (8, -4)$ પર ખસેડવામાં આવે છે,તેથી રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X + 8$ અને $y = Y - 4$ છે.
આ કિંમતોને $x^2 + 4xy + y^2 = 0$ માં મૂકતા:
$(X + 8)^2 + 4(X + 8)(Y - 4) + (Y - 4)^2 = 0$
$(X^2 + 16X + 64) + 4(XY - 4X + 8Y - 32) + (Y^2 - 8Y + 16) = 0$
$X^2 + 16X + 64 + 4XY - 16X + 32Y - 128 + Y^2 - 8Y + 16 = 0$
$X^2 + 4XY + Y^2 + 24Y - 48 = 0$
આને $X^2 + 2HXY + Y^2 + 2GX + 2FY + C = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2H = 4 \Rightarrow H = 2$,$2G = 0 \Rightarrow G = 0$,$2F = 24 \Rightarrow F = 12$,અને $C = -48$ મળે છે.
અંતે,$2H(G + F) = 2(2)(0 + 12) = 4(12) = 48$.
કારણ કે $C = -48$,તેથી $48 = -C$.

(C) ધારો કે નવા યામ $(x', y')$ છે. રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = x' + \frac{3}{2}$ અને $y = y' - 2$ છે.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 4xy + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0$ માં મૂકતા:
$2(x' + \frac{3}{2})^2 + 4(x' + \frac{3}{2})(y' - 2) + (y' - 2)^2 + 2(x' + \frac{3}{2}) - 2(y' - 2) + 1 = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(x')^2 + 4x'y' + (y')^2 + \frac{9}{2} = 0$
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે $2$ વડે ગુણતા:
$4(x')^2 + 8x'y' + 2(y')^2 + 9 = 0$.
આમ,રૂપાંતરિત સમીકરણ $4x^2 + 8xy + 2y^2 + 9 = 0$ છે.

(B) ઉગમબિંદુને $(h, 5)$ પર ખસેડતા,સંબંધો $x = X + h$ અને $y = Y + 5$ મળે છે.
સમીકરણ $y = x^3 - 9x^2 + cx - d$ માં કિંમતો મૂકતા:
$Y + 5 = (X + h)^3 - 9(X + h)^2 + c(X + h) - d$
$Y = X^3 + (3h - 9)X^2 + (3h^2 - 18h + c)X + (h^3 - 9h^2 + ch - d - 5)$
$Y = X^3$ સાથે સરખાવતા:
$1) 3h - 9 = 0 \Rightarrow h = 3$
$2) 3h^2 - 18h + c = 0 \Rightarrow c = 27$
$3) h^3 - 9h^2 + ch - d - 5 = 0 \Rightarrow d = 22$
તેથી,$\left(d - \frac{c}{h}\right) = 22 - \frac{27}{3} = 13$.

(D) સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
અહીં,$a = \sqrt{3}$,$2h = \sqrt{3}-1$,અને $b = -1$.
$xy$ પદને દૂર કરવા માટે,અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવવી પડે જેનું સૂત્ર છે:
$\tan 2\theta = \frac{2h}{a-b}$
કિંમતો મૂકતા:
$\tan 2\theta = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-(-1)} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$
અંશ અને છેદને $(\sqrt{3}-1)$ વડે ગુણતા:
$\tan 2\theta = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1} = \frac{3+1-2\sqrt{3}}{2} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$.
તેથી,$\tan 2\theta = \tan 15^{\circ}$.
$2\theta = 15^{\circ} \implies \theta = 7.5^{\circ}$.

(D) ધારો કે ઉગમબિંદુ બિંદુ $P(h, k)$ પર ખસેડવામાં આવે છે.
રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X+h$ અને $y = Y+k$ છે.
આ કિંમતો $2x^2+y^2-4x+4y=0$ માં મૂકતા:
$2(X+h)^2 + (Y+k)^2 - 4(X+h) + 4(Y+k) = 0$
$2X^2 + Y^2 + (4h-4)X + (2k+4)Y + (2h^2+k^2-4h+4k) = 0$.
આ સમીકરણને $2X^2+Y^2-8X+8Y+18=0$ સાથે સરખાવતા:
$4h-4 = -8 \Rightarrow h = -1$.
$2k+4 = 8 \Rightarrow k = 2$.
આમ,ઉગમબિંદુ $P(-1, 2)$ પર ખસેડવામાં આવ્યું છે.
રેખા $x+2y+2=0$ માટે,નવા યામ $x = X-1$ અને $y = Y+2$ છે.
રેખાના સમીકરણમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$(X-1) + 2(Y+2) + 2 = 0$
$X+2Y+5 = 0$.

(C) યામ અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવતા રૂપાંતરણ નીચે મુજબ છે:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
અહીં $\theta = \frac{\pi}{4} = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\cos \theta = \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$x = \frac{X-Y}{\sqrt{2}}$ અને $y = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$.
આ કિંમતોને $49x^2 + 25y^2 = 1225$ માં મૂકતા:
$49 \left( \frac{X-Y}{\sqrt{2}} \right)^2 + 25 \left( \frac{X+Y}{\sqrt{2}} \right)^2 = 1225$
$\frac{49}{2} (X^2 + Y^2 - 2XY) + \frac{25}{2} (X^2 + Y^2 + 2XY) = 1225$
$2$ વડે ગુણતા:
$49(X^2 + Y^2 - 2XY) + 25(X^2 + Y^2 + 2XY) = 2450$
$74X^2 - 48XY + 74Y^2 = 2450$
$2$ વડે ભાગતા:
$37X^2 - 24XY + 37Y^2 = 1225$
$px^2 + qxy + ry^2 = t$ સાથે સરખાવતા,$p=37, q=-24, r=37, t=1225$ મળે છે.
વિકલ્પ $C$ ચકાસતા: $(p+q+r-15)^2 = (37 - 24 + 37 - 15)^2 = (35)^2 = 1225 = t$.

(A) આપેલ સમીકરણ $y^2+4y+8x-2=0$ છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $(\alpha, \beta)$ પર ખસેડવામાં આવે છે.
તેથી,$x = X + \alpha$ અને $y = Y + \beta$.
મૂળ સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$(Y + \beta)^2 + 4(Y + \beta) + 8(X + \alpha) - 2 = 0$
$Y^2 + 2Y\beta + \beta^2 + 4Y + 4\beta + 8X + 8\alpha - 2 = 0$
$Y^2 + Y(2\beta + 4) + 8X + (\beta^2 + 4\beta + 8\alpha - 2) = 0$.
રૂપાંતરિત સમીકરણમાં $Y$ પદ અને અચળ પદ ન હોય તે માટે,તેમના સહગુણકો શૂન્ય લેતા:
$2\beta + 4 = 0 \Rightarrow \beta = -2$.
$\beta^2 + 4\beta + 8\alpha - 2 = 0$.
$\beta = -2$ મૂકતા:
$(-2)^2 + 4(-2) + 8\alpha - 2 = 0$
$4 - 8 + 8\alpha - 2 = 0$
$8\alpha - 6 = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{3}{4}$.
આમ,ઉગમબિંદુ $\left(\frac{3}{4}, -2\right)$ પર ખસેડવામાં આવે છે.

(A) ધારો કે નવા યામ $(X, Y)$ છે અને જૂના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે ઉગમબિંદુ $(h, k) = (-1, 2)$ પર ખસેડવામાં આવે છે.
રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X + h$ અને $y = Y + k$ છે.
તેથી,$x = X - 1$ અને $y = Y + 2$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2+2x-4y+1=0$ માં મૂકતા:
$(X-1)^2 + (Y+2)^2 + 2(X-1) - 4(Y+2) + 1 = 0$
$(X^2 - 2X + 1) + (Y^2 + 4Y + 4) + 2X - 2 - 4Y - 8 + 1 = 0$
$X^2 + Y^2 + (-2X + 2X) + (4Y - 4Y) + (1 + 4 - 2 - 8 + 1) = 0$
$X^2 + Y^2 - 4 = 0$
$X^2 + Y^2 = 4$

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2+4xy-y^2=0$ છે.
સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2+Bxy+Cy^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A=1, B=4, C=-1$ મળે છે.
$XY$ પદ દૂર કરવા માટે,અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવવા પડે જેથી $\cot(2\theta) = \frac{A-C}{B}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\cot(2\theta) = \frac{1-(-1)}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\tan(2\theta) = 2$,જેનો અર્થ છે કે $2\theta = \tan^{-1}(2)$.
આમ,$\theta = \frac{1}{2} \tan^{-1}(2)$.

(A) યામ અક્ષોને $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવતા,આપણે $(x, y)$ ને $(x \cos 45^{\circ} - y \sin 45^{\circ}, x \sin 45^{\circ} + y \cos 45^{\circ})$ દ્વારા બદલીએ છીએ.
આ કિંમત $\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}, \frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)$ થાય છે.
આ કિંમતોને $3x^2 + 3y^2 + 2xy - 2 = 0$ માં મૂકતા:
$3\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 3\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right) - 2 = 0$
$\Rightarrow \frac{3}{2}(x^2 + y^2 - 2xy) + \frac{3}{2}(x^2 + y^2 + 2xy) + (x^2 - y^2) - 2 = 0$
$\Rightarrow \frac{3}{2}(2x^2 + 2y^2) + x^2 - y^2 - 2 = 0$
$\Rightarrow 3x^2 + 3y^2 + x^2 - y^2 - 2 = 0$
$\Rightarrow 4x^2 + 2y^2 = 2$
$\Rightarrow 2x^2 + y^2 = 1$.

(B) યામ અક્ષોના $\theta = \frac{\pi}{4}$ ના ખૂણે પરિભ્રમણ માટેના રૂપાંતરણ સમીકરણો છે:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta = \frac{X-Y}{\sqrt{2}}$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$
આ કિંમતોને $X^2+Y^2-6X+8Y+21=0$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{X-Y}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}\right)^2 - 6\left(\frac{X-Y}{\sqrt{2}}\right) + 8\left(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}\right) + 21 = 0$
$\frac{X^2+Y^2-2XY}{2} + \frac{X^2+Y^2+2XY}{2} - 3\sqrt{2}(X-Y) + 4\sqrt{2}(X+Y) + 21 = 0$
$X^2 + Y^2 - 3\sqrt{2}X + 3\sqrt{2}Y + 4\sqrt{2}X + 4\sqrt{2}Y + 21 = 0$
$X^2 + Y^2 + \sqrt{2}X + 7\sqrt{2}Y + 21 = 0$
$ax^2+by^2+cx+dy+e=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, b=1, c=\sqrt{2}, d=7\sqrt{2}, e=21$ મળે છે.
હવે,$(a+b+c^2+d^2-5e)^2$ ની ગણતરી કરતા:
$(1+1+(\sqrt{2})^2+(7\sqrt{2})^2-5(21))^2$
$= (2 + 2 + 98 - 105)^2$
$= (102 - 105)^2 = (-3)^2 = 9$.

(C) આપેલ છે $\theta = \tan^{-1}(2)$,તેથી $\tan \theta = 2$.
$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
અક્ષોના પરિભ્રમણ માટેના રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X \cos \theta - Y \sin \theta$ અને $y = X \sin \theta + Y \cos \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{X - 2Y}{\sqrt{5}}$ અને $y = \frac{2X + Y}{\sqrt{5}}$.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણ $3x^2 - 4xy = r^2$ માં મૂકતા:
ગણતરી કરતા પરિણામ $4Y^2 - X^2 = r^2$ મળે છે.

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુ $(h, k) = (2, 3)$ પર સ્થાનાંતરિત થાય છે. રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X \cos \theta - Y \sin \theta + 2$ અને $y = X \sin \theta + Y \cos \theta + 3$ છે.
આ કિંમતોને $3x^2 + 2xy + 3y^2 - 18x - 22y + 50 = 0$ માં મૂકતા,રૂપાંતરિત સમીકરણ $4X^2 + 2Y^2 - 1 = 0$ માં $XY$ પદ શૂન્ય થવું જોઈએ.
સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ માં $\theta$ ખૂણે પરિભ્રમણ પછી $XY$ નો સહગુણક $2h' = (b - a) \sin 2\theta + 2h \cos 2\theta$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 3, b = 3, h = 1$.
$2h' = 0$ લેતા,આપણને $(3 - 3) \sin 2\theta + 2(1) \cos 2\theta = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \cos 2\theta = 0$,તેથી $\cos 2\theta = 0$.
આમ,$2\theta = \frac{\pi}{2}$,જે $\theta = \frac{\pi}{4}$ આપે છે.

(D) સમીકરણ $32 x^2+8 x y+32 y^2-108 x-108 y+99=0$ માં $x=X+\frac{3}{2}$ અને $y=Y+\frac{3}{2}$ મૂકતા:
$32(X+\frac{3}{2})^2 + 8(X+\frac{3}{2})(Y+\frac{3}{2}) + 32(Y+\frac{3}{2})^2 - 108(X+\frac{3}{2}) - 108(Y+\frac{3}{2}) + 99 = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$32(X^2 + 3X + \frac{9}{4}) + 8(XY + \frac{3}{2}X + \frac{3}{2}Y + \frac{9}{4}) + 32(Y^2 + 3Y + \frac{9}{4}) - 108X - 162 - 108Y - 162 + 99 = 0$
$32X^2 + 96X + 72 + 8XY + 12X + 12Y + 18 + 32Y^2 + 96Y + 72 - 108X - 108Y - 162 - 162 + 99 = 0$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$32X^2 + 32Y^2 + 8XY + (96+12-108)X + (96+12-108)Y + (72+18+72-162-162+99) = 0$
$32X^2 + 8XY + 32Y^2 - 63 = 0$

(C) જ્યારે યામ અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવવામાં આવે,ત્યારે રૂપાંતરણ નીચે મુજબ છે:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
આ કિંમતોને $x^2+y^2+2xy+2x+6y+1=0$ માં મૂકતા:
$(X \cos \theta - Y \sin \theta)^2 + (X \sin \theta + Y \cos \theta)^2 + 2(X \cos \theta - Y \sin \theta)(X \sin \theta + Y \cos \theta) + 2(X \cos \theta - Y \sin \theta) + 6(X \sin \theta + Y \cos \theta) + 1 = 0$
સહગુણકોનું સાદું રૂપ આપતા:
$X^2(1 + \sin 2\theta) + 2XY(\cos 2\theta) + Y^2(1 - \sin 2\theta) + X(2 \cos \theta + 6 \sin \theta) + Y(6 \cos \theta - 2 \sin \theta) + 1 = 0$
તેને $(2+\sqrt{3})X^2 + 2XY + (2-\sqrt{3})Y^2 + aX + bY + 2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
નોંધ: આપેલ સમીકરણમાં અચળ પદ $2$ છે,તેથી મેળવેલા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા:
$2(1 + \sin 2\theta) = 2 + \sqrt{3}$ $\Rightarrow \sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow 2\theta = 60^\circ$ $\Rightarrow \theta = 30^\circ$
તેથી $a = 2(2 \cos 30^\circ + 6 \sin 30^\circ) = 2(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 6 \cdot \frac{1}{2}) = 2(\sqrt{3} + 3) = 6 + 2\sqrt{3}$
$b = 2(6 \cos 30^\circ - 2 \sin 30^\circ) = 2(6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2}) = 2(3\sqrt{3} - 1) = 6\sqrt{3} - 2$
$3a - b = 3(6 + 2\sqrt{3}) - (6\sqrt{3} - 2) = 18 + 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 2 = 20$

(D) અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવવા માટેના રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X \cos \theta - Y \sin \theta$ અને $y = X \sin \theta + Y \cos \theta$ છે.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણ $x^2 + 2\sqrt{3}xy - y^2 = 4a^2$ માં મૂકતા:
$(X \cos \theta - Y \sin \theta)^2 + 2\sqrt{3}(X \cos \theta - Y \sin \theta)(X \sin \theta + Y \cos \theta) - (X \sin \theta + Y \cos \theta)^2 = 4a^2$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા,સમીકરણ $X^2 - Y^2 = 2a^2$ ના સ્વરૂપમાં આવવા માટે $XY$ પદનો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$XY$ પદનો સહગુણક $-2 \sin \theta \cos \theta + 2\sqrt{3}(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) - 2 \sin \theta \cos \theta = 0$ થાય છે.
આનું સાદું રૂપ $-4 \sin \theta \cos \theta + 2\sqrt{3} \cos 2\theta = 0$ એટલે કે $-2 \sin 2\theta + 2\sqrt{3} \cos 2\theta = 0$ થાય છે.
તેથી,$\tan 2\theta = \sqrt{3}$,જેનો અર્થ છે કે $2\theta = 60^{\circ}$,તેથી $\theta = 30^{\circ}$.

(C) $a \alpha^2+b \beta^2+c \alpha \beta+d=0$ એ $4 x^2+\sqrt{3} x y+5 y^2-4=0$ નું રૂપાંતરિત સમીકરણ છે.
આપેલ રૂપાંતરણ સમીકરણો:
$\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2} x+\frac{y}{2}$ અને $\beta=-\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} y$.
$\alpha$ અને $\beta$ ના સંદર્ભમાં $x$ અને $y$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$x=\frac{\sqrt{3}}{2} \alpha-\frac{1}{2} \beta$ અને $y=\frac{1}{2} \alpha+\frac{\sqrt{3}}{2} \beta$.
$4 x^2+\sqrt{3} x y+5 y^2-4=0$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$4(\frac{\sqrt{3}}{2} \alpha-\frac{1}{2} \beta)^2+\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2} \alpha-\frac{1}{2} \beta)(\frac{1}{2} \alpha+\frac{\sqrt{3}}{2} \beta)+5(\frac{1}{2} \alpha+\frac{\sqrt{3}}{2} \beta)^2-4=0$.
વિસ્તરણ અને સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે:
$5 \alpha^2+4 \beta^2+\sqrt{3} \alpha \beta-4=0$.
આને $a \alpha^2+b \beta^2+c \alpha \beta+d=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=5, b=4, c=\sqrt{3}, d=-4$ મળે છે.
તેથી,$c(a+b+d)=\sqrt{3}(5+4-4)=5 \sqrt{3}$.

(C) અને $b$ અંતઃખંડો ધરાવતી રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર $d = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{d^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ મળે છે.
જ્યારે અક્ષોને ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ઉગમબિંદુ સ્થિર રહે છે,તેથી રેખા $L$ નું ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર $d$ બદલાતું નથી.
નવી યામ પદ્ધતિમાં,રેખા $L$ ના અંતઃખંડો $p$ અને $q$ છે,તેથી તેનું સમીકરણ $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$ છે.
આ નવી રેખાનું ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર $d = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2}}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{d^2} = \frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2}$.
આમ,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2}$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 2\sqrt{3}xy - y^2 = 2a^2$ છે.
અક્ષોને $\theta = 30^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવતા,રૂપાંતરણ સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$x = X \cos 30^{\circ} - Y \sin 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}X - Y}{2}$
$y = X \sin 30^{\circ} + Y \cos 30^{\circ} = \frac{X + \sqrt{3}Y}{2}$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(\frac{\sqrt{3}X - Y}{2}\right)^2 + 2\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}X - Y}{2}\right)\left(\frac{X + \sqrt{3}Y}{2}\right) - \left(\frac{X + \sqrt{3}Y}{2}\right)^2 = 2a^2$
$4$ વડે ગુણતા:
$(\sqrt{3}X - Y)^2 + 2\sqrt{3}(\sqrt{3}X^2 + 2XY - \sqrt{3}Y^2) - (X + \sqrt{3}Y)^2 = 8a^2$
સાદુરૂપ આપતા:
$8X^2 - 8Y^2 = 8a^2$
$X^2 - Y^2 = a^2$

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુ $(h, k)$ પર ખસેડવામાં આવે છે. રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = x' + h$ અને $y = y' + k$ છે. આપેલ સમીકરણ $x^2 + 5xy + 2y^2 + 5x + 6y + 7 = 0$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$(x' + h)^2 + 5(x' + h)(y' + k) + 2(y' + k)^2 + 5(x' + h) + 6(y' + k) + 7 = 0$.
વિસ્તરણ કરતા,$x'$ અને $y'$ ના પ્રથમ ઘાતના પદો:
$(2h + 5k + 5)x' + (5h + 4k + 6)y'$.
સમીકરણ પ્રથમ ક્રમના પદોથી મુક્ત હોવા માટે,આ સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$2h + 5k + 5 = 0$ $(i)$
$5h + 4k + 6 = 0$ (ii)
$(i)$ ને $4$ વડે અને (ii) ને $5$ વડે ગુણતા:
$8h + 20k + 20 = 0$
$25h + 20k + 30 = 0$
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ બાદ કરતા: $17h + 10 = 0 \implies h = -\frac{10}{17}$.
$h$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $2(-\frac{10}{17}) + 5k + 5 = 0 \implies -\frac{20}{17} + 5k + 5 = 0 \implies 5k = -\frac{65}{17} \implies k = -\frac{13}{17}$.
આમ,$h = -\frac{10}{17}$ અને $k = -\frac{13}{17}$.