Questions related to geometrical conditions Questions in Gujarati

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(-a, -b)$,$B(0, 0)$,$C(a, b)$ અને $D(a^2, ab)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક બિંદુઓ વચ્ચેના ઢાળ ચકાસી શકીએ છીએ.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{0 - (-b)}{0 - (-a)} = \frac{b}{a}$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{b - 0}{a - 0} = \frac{b}{a}$.
$AB$ નો ઢાળ અને $BC$ નો ઢાળ સમાન હોવાથી,બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ સમરેખ છે.
હવે,$CD$ નો ઢાળ $= \frac{ab - b}{a^2 - a} = \frac{b(a - 1)}{a(a - 1)} = \frac{b}{a}$ (ધારો કે $a \neq 1, 0$).
$AB, BC$ અને $CD$ ના ઢાળ સમાન હોવાથી,ચારેય બિંદુઓ એક જ રેખા પર આવેલા છે.
તેથી,બિંદુઓ સમરેખ છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(-2, 2), B(-2, -1), C(3, -1)$ અને $D(3, 2)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = 3$
$BC = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5$
$CD = \sqrt{(3 - 3)^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3$
$DA = \sqrt{(-2 - 3)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 0^2} = 5$
સામેની બાજુઓ સમાન હોવાથી ($AB = CD = 3$ અને $BC = DA = 5$) અને પાસપાસેની બાજુઓ લંબ હોવાથી,આ આકૃતિ લંબચોરસ છે.

(A) ચોરસના વિકર્ણો ઉગમબિંદુ પર $90^{\circ}$ ના ખૂણે એકબીજાને દુભાગે છે. ધારો કે શિરોબિંદુઓ અક્ષો પર છે. ઉગમબિંદુથી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર એ વિકર્ણની લંબાઈનું અડધું હોય છે.
બાજુની લંબાઈ $a$ હોવાથી,વિકર્ણની લંબાઈ $d = a\sqrt{2}$ થાય.
ઉગમબિંદુથી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર $\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ થાય.
આમ,ચોરસના શિરોબિંદુઓ $\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, 0\right)$,$\left(-\frac{a}{\sqrt{2}}, 0\right)$,$\left(0, \frac{a}{\sqrt{2}}\right)$ અને $\left(0, -\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$ છે.
આ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,બિંદુ $(a\sqrt{2}, 0)$ એ ચોરસનું શિરોબિંદુ નથી.

(D) ધારો કે બિંદુ $C$ ના યામ $(h, k)$ છે.
આપેલ છે કે $\angle A - \angle B = \theta$,તેથી $\tan(A - B) = \tan \theta$ .....$(i)$
કાટકોણ ત્રિકોણ $CDA$ માં,જ્યાં $D$ એ $x$-અક્ષ પર $C$ નો પ્રક્ષેપ છે,$\tan A = \frac{k}{a - h}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $CDB$ માં,$\tan B = \frac{k}{h - (-a)} = \frac{k}{h + a}$.
$(i)$ પરથી,$\frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} = \tan \theta$.
$\tan A$ અને $\tan B$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\frac{k}{a - h} - \frac{k}{a + h}}{1 + \frac{k^2}{a^2 - h^2}} = \tan \theta$
$\frac{2kh}{a^2 - h^2 + k^2} = \tan \theta$
$h^2 - k^2 + 2hk \cot \theta = a^2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ દ્વારા બદલતા,બિંદુપથ ${x^2} - {y^2} + 2xy \cot \theta = {a^2}$ મળે છે.

(B) ધ્રુવીય યામ $(r, \theta)$ ધરાવતા બિંદુના કાર્તેઝિયન યામ $(x, y)$ નીચે મુજબ મળે છે: $x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$.
અહીં $r = \sqrt{2}$ અને $\theta = -\frac{3\pi}{4}$ આપેલ છે.
$x = \sqrt{2} \cos\left( -\frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \cos\left( \frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = -1$.
$y = \sqrt{2} \sin\left( -\frac{3\pi}{4} \right) = -\sqrt{2} \sin\left( \frac{3\pi}{4} \right) = -\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = -1$.
આમ,કાર્તેઝિયન યામ $(-1, -1)$ થાય.

(C) જીવડાનું પ્રારંભિક સ્થાન $A(3, 2)$ છે.
પશ્ચિમ દિશામાં (ઋણ $x$-દિશા) $4 \ units$ ગતિ કરતા $x$-યામ બદલાય છે: $3 - 4 = -1$. સ્થાન $(-1, 2)$ થાય છે.
દક્ષિણ દિશામાં (ઋણ $y$-દિશા) $3 \ units$ ગતિ કરતા $y$-યામ બદલાય છે: $2 - 3 = -1$. અંતિમ બિંદુ $B(-1, -1)$ મળે છે.
બિંદુ $B(-1, -1)$ માટે ધ્રુવીય યામ $(r, \theta)$ શોધવા માટે:
$r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
બિંદુ $(-1, -1)$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,ખૂણો $\theta = -\pi + \tan^{-1}\left(\frac{-1}{-1}\right) = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$ થશે.
આમ,ધ્રુવીય યામ $\left( \sqrt{2}, -\frac{3\pi}{4} \right)$ છે.

(B) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A$,$B$,અને $C$ છે. બાજુ $OA$ એ ધન $x-$અક્ષ સાથે $30^o$ નો ખૂણો બનાવે છે. બાજુની લંબાઈ $2$ હોવાથી,$A$ ના યામ $(2 \cos 30^o, 2 \sin 30^o) = (\sqrt{3}, 1)$ થશે.
બાજુ $OC$ એ $OA$ ને લંબ છે અને ધન $x-$અક્ષ સાથે $30^o + 90^o = 120^o$ નો ખૂણો બનાવે છે. $C$ ના યામ $(2 \cos 120^o, 2 \sin 120^o) = (-1, \sqrt{3})$ થશે.
શિરોબિંદુ $B$ એ સદિશ $\vec{OA}$ અને $\vec{OC}$ નો સરવાળો છે,તેથી $B = (\sqrt{3} - 1, 1 + \sqrt{3})$.
શિરોબિંદુઓના $x-$યામ $0$,$\sqrt{3}$,$-1$,અને $\sqrt{3} - 1$ છે.
$x-$યામનો સરવાળો $0 + \sqrt{3} - 1 + \sqrt{3} - 1 = 2\sqrt{3} - 2$ થાય.

(B) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ ની બાજુની લંબાઈ $x$ છે. ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $x^2$ છે.
વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને $M$ બિંદુએ કાટખૂણે દુભાગે છે,તેથી $AM = BM = \frac{x}{\sqrt{2}}$.
$E, A, C$ સમરેખ હોવાથી,$EA$ એ વિકર્ણ $AC$ પર છે. $\triangle EBD$ માં,$EB = ED = \sqrt{130}$ અને $EM \perp BD$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$EM^2 + BM^2 = EB^2$ $\Rightarrow EM^2 + \frac{x^2}{2} = 130$ $\Rightarrow EM = \sqrt{130 - \frac{x^2}{2}}$.
$\triangle EAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times EA \times \sin(135^\circ) = \frac{ax}{2}$ (જ્યાં $EA=a$).
આપેલ છે કે $\frac{ax}{2} = x^2 \Rightarrow a = 2x$.
$EB^2 = (x+a)^2 + a^2 = 130$ $\Rightarrow (3x)^2 + (2x)^2 = 130$ $\Rightarrow 13x^2 = 130$ $\Rightarrow x^2 = 10$.
તેથી,ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $10$ છે.

(C) આપેલ કાર્ટેઝિયન યામ $(x, y) = \left(-\frac{5 \sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2}\right)$ છે.
$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{\left(-\frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{75}{4} + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{100}{4}} = 5$.
બિંદુ બીજા ચરણમાં હોવાથી $(x < 0, y > 0)$,ધ્રુવીય ખૂણો $\theta = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|$ દ્વારા મળે છે.
$\theta = \pi - \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5 \pi}{6}$.
તેથી,ધ્રુવીય યામ $(r, \theta) = \left(5, \frac{5 \pi}{6}\right)$ છે.

(D) આપેલ ધ્રુવીય યામ $P(r, \theta) = \left(\frac{1}{2}, 120^{\circ}\right)$ છે,જ્યાં $r = \frac{1}{2}$ અને $\theta = 120^{\circ}$ છે.
આપણે રૂપાંતરણ સૂત્રો $x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$x$ માટે: $x = \frac{1}{2} \cos 120^{\circ} = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4}$.
$y$ માટે: $y = \frac{1}{2} \sin 120^{\circ} = \frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
તેથી,કાર્તેઝિયન યામ $\left(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$ છે.

(B) આપેલ કાર્તેઝિયન યામ $(x, y) = (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ છે.
ધ્રુવીય યામ $(r, \theta)$ શોધવા માટે:
$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$.
$x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ હોવાથી:
$\cos \theta = \frac{-\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\cos \theta < 0$ અને $\sin \theta > 0$ હોવાથી,બિંદુ બીજા ચરણમાં છે.
$\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$.
તેથી,ધ્રુવીય યામ $\left(2, \frac{3 \pi}{4}\right)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 - 8x + 36y + 4 = 0$ છે.
$x$ અને $y$ ના પ્રથમ ઘાતના પદોને દૂર કરવા માટે,આપણે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીએ:
$4(x^2 - 2x) + 9(y^2 + 4y) + 4 = 0$
$4(x^2 - 2x + 1 - 1) + 9(y^2 + 4y + 4 - 4) + 4 = 0$
$4(x - 1)^2 - 4 + 9(y + 2)^2 - 36 + 4 = 0$
$4(x - 1)^2 + 9(y + 2)^2 = 36$
ધારો કે નવા યામ $X = x - 1$ અને $Y = y + 2$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x = X + 1$ અને $y = Y - 2$.
આમ,$x$ અને $y$ ના પદોને દૂર કરવા માટે ઉગમબિંદુને $(1, -2)$ બિંદુ પર ખસેડવું જોઈએ.

(A) આપેલ સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 - 8x + 36y + 4 = 0$ છે.
$x$ અને $y$ પદો દૂર કરવા માટે,આપણે ઉગમબિંદુને $(h, k)$ પર ખસેડીએ છીએ.
ધારો કે $x = X + h$ અને $y = Y + k$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $4(X+h)^2 + 9(Y+k)^2 - 8(X+h) + 36(Y+k) + 4 = 0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $4(X^2 + 2hX + h^2) + 9(Y^2 + 2kY + k^2) - 8X - 8h + 36Y + 36k + 4 = 0$.
રેખીય પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $(8h - 8)X + (18k + 36)Y + (4h^2 + 9k^2 - 8h + 36k + 4) = 0$.
$X$ અને $Y$ પદો દૂર કરવા માટે,તેમના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$8h - 8 = 0 \implies h = 1$.
$18k + 36 = 0 \implies k = -2$.
આમ,ઉગમબિંદુને $(1, -2)$ પર ખસેડવામાં આવે છે.

(D) આપેલ છે,ચોરસ $ABCD$ જેના શિરોબિંદુઓ $A(0,0), B(2,0), C(2,2), D(0,2)$ છે.
$f_1(x, y) \longrightarrow (y, x)$ લાગુ પાડતા:
$A(0,0)$ $\longrightarrow A'(0,0), B(2,0)$ $\longrightarrow B'(0,2), C(2,2)$ $\longrightarrow C'(2,2), D(0,2)$ $\longrightarrow D'(2,0)$.
$f_2(x, y) \longrightarrow (x+3y, y)$ લાગુ પાડતા:
$A'(0,0)$ $\longrightarrow A''(0,0), B'(0,2)$ $\longrightarrow B''(6,2), C'(2,2)$ $\longrightarrow C''(8,2), D'(2,0)$ $\longrightarrow D''(2,0)$.
$f_3(x, y) \longrightarrow \left(\frac{x-y}{2}, \frac{x+y}{2}\right)$ લાગુ પાડતા:
$A''(0,0)$ $\longrightarrow A'''(0,0), B''(6,2)$ $\longrightarrow B'''(2,4), C''(8,2)$ $\longrightarrow C'''(3,5), D''(2,0)$ $\longrightarrow D'''(1,1)$.
અંતિમ શિરોબિંદુઓ: $A(0,0), B(2,4), C(3,5), D(1,1)$.
બાજુઓની લંબાઈ ગણતા:
$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$BC = \sqrt{(3-2)^2 + (5-4)^2} = \sqrt{2}$.
$CD = \sqrt{(1-3)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$DA = \sqrt{(0-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2}$.
સામેની બાજુઓ સમાન હોવાથી ($AB=CD$ અને $BC=DA$) અને પાસપાસેની બાજુઓ સમાન ન હોવાથી,આ આકૃતિ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.