Area of some geometrical figures Questions in Gujarati

(B) ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 4 \, cm, b = 5 \, cm, c = 6 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 6}{2} = \frac{15}{2} \, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{\frac{15}{2} \left( \frac{15}{2} - 4 \right) \left( \frac{15}{2} - 5 \right) \left( \frac{15}{2} - 6 \right)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{\frac{15}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{3}{2}}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{\frac{15 \times 7 \times 15}{16}} = \frac{15}{4} \sqrt{7} \, cm^2$.

(D) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ બિંદુઓ મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |a \cos \theta (b \cos \theta + b \sin \theta) - a \sin \theta (-2b \sin \theta) - a \cos \theta (b \sin \theta - b \cos \theta)|$
$= \frac{ab}{2} |2 \cos^2 \theta + 2 \sin^2 \theta|$
$= \frac{ab}{2} \times 2(1) = ab$.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ હોય તો તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આપેલ બિંદુઓ $(-4, 1), (1, 2), (4, -3)$ ની કિંમતો મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-4(2 - (-3)) + 1(-3 - 1) + 4(1 - 2)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-4(5) + 1(-4) + 4(-1)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-20 - 4 - 4|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-28| = 14$ ચોરસ એકમ.

(B) સામેની બાજુઓને સમાંતર રેખાઓ દોરીને બનતો ચતુષ્કોણ $PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
આ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\Delta PQR$ ના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું હોય છે.
$\Delta PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |2(-1 - 2) + 4(2 - 1) + 3(1 - (-1))|$
$= \frac{1}{2} |-6 + 4 + 6| = 2$
તેથી,$PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 2 = 4$.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(2, 1)$,$B(4, 3)$ અને $C(2, 5)$ છે.
મધ્યબિંદુઓ $D$,$E$ અને $F$ નીચે મુજબ છે:
$D = (3, 2)$
$E = (3, 4)$
$F = (2, 3)$
ત્રિકોણ $DEF$ નું ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |3(4 - 3) + 3(3 - 2) + 2(2 - 4)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |3 + 3 - 4| = 1$ ચોરસ એકમ.

(C) સમીકરણ $|x| + |y| = 1$ એ $(1, 0)$,$(0, 1)$,$(-1, 0)$,અને $(0, -1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ચોરસ દર્શાવે છે.
ક્રમિક શિરોબિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર (દા.ત.,$(1, 0)$ અને $(0, 1)$) એ બાજુની લંબાઈ $s = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $s^2$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $= (\sqrt{2})^2 = 2$ ચોરસ એકમ.
વૈકલ્પિક રીતે,$|x| + |y| = a$ દ્વારા બનતા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $2a^2$ છે. અહીં $a = 1$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $2(1)^2 = 2$ થાય.

(B) ધારો કે મધ્યબિંદુઓ $D(0, 0), E(1, 2)$ અને $F(-3, 4)$ છે.
ત્રિકોણ $DEF$ નું ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$\Delta DEF$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(2 - 4) + 1(4 - 0) + (-3)(0 - 2)|$
$= \frac{1}{2} |0 + 4 + 6| = \frac{1}{2} \times 10 = 5$.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ એ મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ કરતા $4$ ગણું હોય છે.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 4 \times \Delta DEF$ નું ક્ષેત્રફળ $= 4 \times 5 = 20$.

(B) ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1)|$.
આપેલ બિંદુઓ $(1, 1)$,$(3, 4)$,$(5, -2)$ અને $(4, -7)$ મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |(1 \times 4 + 3 \times -2 + 5 \times -7 + 4 \times 1) - (1 \times 3 + 4 \times 5 + -2 \times 4 + -7 \times 1)|$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} |(4 - 6 - 35 + 4) - (3 + 20 - 8 - 7)|$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} |(-33) - (8)|$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} |-41| = 20.5 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) ચોરસ $OPQR$ ના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$P(\alpha, 0)$,$Q(\alpha, \alpha)$,અને $R(0, \alpha)$ છે.
ચોરસ $OPQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \alpha^2$.
$M$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $M = (\alpha, \frac{\alpha}{2})$.
$N$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $N = (\frac{\alpha}{2}, \alpha)$.
$\triangle OMN$ ના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$M(\alpha, \frac{\alpha}{2})$,અને $N(\frac{\alpha}{2}, \alpha)$ છે.
$\triangle OMN$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$= \frac{1}{2} |\alpha^2 - \frac{\alpha^2}{4}| = \frac{3\alpha^2}{8}$.
ગુણોત્તર $= \frac{\alpha^2}{\frac{3\alpha^2}{8}} = \frac{8}{3} = 8 : 3$.

(C) બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |(x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) + (x_3y_4 - y_3x_4) + (x_4y_5 - y_4x_5) + (x_5y_1 - y_5x_1)|$. \\ આપેલ બિંદુઓ $A(1, 1), B(7, 21), C(7, -3), D(12, 2), E(0, -3)$ મૂકતા: \\ $\text{Area} = \frac{1}{2} |(1 \times 21 - 1 \times 7) + (7 \times -3 - 21 \times 7) + (7 \times 2 - (-3) \times 12) + (12 \times -3 - 2 \times 0) + (0 \times 1 - (-3) \times 1)|$ \\ $\text{Area} = \frac{1}{2} |(21 - 7) + (-21 - 147) + (14 + 36) + (-36 - 0) + (0 + 3)|$ \\ $\text{Area} = \frac{1}{2} |14 - 168 + 50 - 36 + 3| = \frac{1}{2} |-137| = \frac{137}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના ચોથા ભાગનું હોય છે.
પ્રથમ,$A(5, -1), B(-7, 6)$ અને $C(1, 3)$ યામોનો ઉપયોગ કરીને $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$= \frac{1}{2} |5(6 - 3) + (-7)(3 - (-1)) + 1(-1 - 6)|$
$= \frac{1}{2} |5(3) - 7(4) + 1(-7)|$
$= \frac{1}{2} |15 - 28 - 7|$
$= \frac{1}{2} |-20| = 10 \text{ ચોરસ એકમ}$.
$\Delta DEF$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \times \Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ હોવાથી,
$\Delta DEF$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \times 10 = 2.5 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) ધારો કે મધ્યબિંદુઓ $M_1(1, 2)$,$M_2(-1, 1)$ અને $M_3(0, 3)$ છે.
ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના ચોથા ભાગનું હોય છે.
મધ્યબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |1(1 - 3) + (-1)(3 - 2) + 0(2 - 1)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |1(-2) - 1(1) + 0| = \frac{1}{2} |-2 - 1| = \frac{1}{2} |-3| = 1.5 \text{ ચોરસ એકમ}$.
મૂળ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= 4 \times (\text{મધ્યબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ}) = 4 \times 1.5 = 6 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $|x + y| + |x - y| = 11$ છે.
ધારો કે $u = x + y$ અને $v = x - y$. સમીકરણ $|u| + |v| = 11$ બને છે.
આ $uv$-સમતલમાં એક ચોરસ દર્શાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ $(11, 0), (0, 11), (-11, 0), (0, -11)$ છે.
$uv$-સમતલમાં આ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $2 \times (11)^2 = 242$ છે.
$(x, y)$ થી $(u, v)$ માં રૂપાંતરણ $u = x + y$ અને $v = x - y$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ રૂપાંતરણનો જેકોબિયન $J = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2$ છે.
$xy$-સમતલમાં ક્ષેત્રફળ $\text{Area}_{xy} = \frac{\text{Area}_{uv}}{|J|} = \frac{242}{|-2|} = 121$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સમીકરણ $|x + y| + |x - y| = a$ એ $(\pm a/2, \pm a/2)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ચોરસ દર્શાવે છે. અહીં $a = 11$ છે,તેથી શિરોબિંદુઓ $(\pm 5.5, \pm 5.5)$ છે.
આ ચોરસની બાજુની લંબાઈ $11$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $11^2 = 121$ છે.

(C) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. શિરોબિંદુઓ $O, P, Q, R$ ના યામ $(0,0), (a, 0), (a, a), (0, a)$ છે.
ચોરસ $OPQR$ નું ક્ષેત્રફળ $a^2$ છે.
$M$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી તેના યામ $\left(a, \frac{a}{2}\right)$ છે.
$N$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી તેના યામ $\left(\frac{a}{2}, a\right)$ છે.
$\Delta OMN$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(\frac{a}{2} - a) + a(a - 0) + \frac{a}{2}(0 - \frac{a}{2})| = \frac{3a^2}{8}$.
ચોરસ અને $\Delta OMN$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $a^2 : \frac{3a^2}{8} = 8 : 3$ છે.

(A) ધારો કે $ABCD$ એ આપેલ ચતુષ્કોણ છે જેના શિરોબિંદુઓ $A(-4, 5), B(0, 7), C(5, -5)$ અને $D(-4, -2)$ છે.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે વિકર્ણ $AC$ દોરીને તેને બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરીએ છીએ.
ક્ષેત્રફળ $(ABCD) = \text{ક્ષેત્રફળ}(\Delta ABC) + \text{ક્ષેત્રફળ}(\Delta ACD).$
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ જેનાં શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય તેનું સૂત્ર $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ છે.
$\Delta ABC$ માટે જેના શિરોબિંદુઓ $A(-4, 5), B(0, 7), C(5, -5)$ છે:
ક્ષેત્રફળ $(\Delta ABC) = \frac{1}{2} |-4(7 - (-5)) + 0(-5 - 5) + 5(5 - 7)| = 29 \text{ એકમ}^2.$
$\Delta ACD$ માટે જેના શિરોબિંદુઓ $A(-4, 5), C(5, -5), D(-4, -2)$ છે:
ક્ષેત્રફળ $(\Delta ACD) = \frac{1}{2} |-4(-5 - (-2)) + 5(-2 - 5) + (-4)(5 - (-5))| = 31.5 \text{ એકમ}^2.$
કુલ ક્ષેત્રફળ $(ABCD) = 29 + 31.5 = 60.5 = \frac{121}{2} \text{ એકમ}^2.$

(D) આકૃતિ પરથી,લંબચોરસના પરિમાણો $12 \times 9$ છે. લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $12 \times 9 = 108 \text{ ચોરસ એકમ}$ છે.
લંબચોરસમાંથી કાપેલા ત્રિકોણાકાર ખૂણાની બાજુઓની લંબાઈ $3$ અને $4$ છે,અને કર્ણની લંબાઈ $5$ છે.
આ કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \text{ ચોરસ એકમ}$ છે.
પરિણામી પંચકોણનું ક્ષેત્રફળ એ લંબચોરસના ક્ષેત્રફળમાંથી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરતાં મળે છે: $108 - 6 = 102 \text{ ચોરસ એકમ}$.
પંચકોણના ક્ષેત્રફળનો લંબચોરસના ક્ષેત્રફળ સાથેનો ગુણોત્તર $\frac{102}{108}$ છે.
અંશ અને છેદ બંનેને $6$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{17}{18}$ મળે છે.

(D) ધારો કે સ્તંભોની પહોળાઈ $x_1, x_2, x_3, x_4$ છે અને હરોળની ઊંચાઈ $y_1, y_2, y_3, y_4$ છે.
આપેલ ક્ષેત્રફળો પરથી,આપણી પાસે છે:
$x_1 y_1 = 10$,$x_2 y_1 = 4$,$x_3 y_2 = 12$,$x_4 y_2 = 15$,$x_4 y_3 = 25$.
આપણે લંબચોરસ $KLMN$ નું ક્ષેત્રફળ શોધવું છે,જે $x_1 y_3$ છે.
સંબંધો પરથી:
$x_1 = \frac{10}{y_1}$,$x_2 = \frac{4}{y_1}$,$x_3 = \frac{12}{y_2}$,$x_4 = \frac{15}{y_2}$,$y_3 = \frac{25}{x_4} = \frac{25}{15/y_2} = \frac{25 y_2}{15} = \frac{5}{3} y_2$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $KLMN = x_1 y_3 = \left(\frac{10}{y_1}\right) \left(\frac{5}{3} y_2\right) = \frac{50}{3} \frac{y_2}{y_1}$.
ગ્રીડને જોતા,લંબચોરસ $KLMN$ નું ક્ષેત્રફળ $50$ મળે છે.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડી $xy=0$ એ યામ અક્ષો દર્શાવે છે,એટલે કે $x=0$ અને $y=0$.
અન્ય રેખાઓ $x-4=0$ (જે $x=4$ છે) અને $y+5=0$ (જે $y=-5$ છે) છે.
આ ચાર રેખાઓ $x=0, x=4, y=0$ અને $y=-5$ કાર્ટેઝિયન સમતલમાં એક લંબચોરસ પ્રદેશ બનાવે છે.
આ લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(0, 0), (4, 0), (4, -5)$ અને $(0, -5)$ છે.
લંબચોરસની લંબાઈ એ $x=0$ અને $x=4$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $|4-0| = 4 \text{ એકમ}$ છે.
લંબચોરસની પહોળાઈ એ $y=0$ અને $y=-5$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $|0-(-5)| = 5 \text{ એકમ}$ છે.
તેથી,લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 4 \times 5 = 20 \text{ ચોરસ એકમ}$ થાય.

(B) ધ્રુવીય યામ $(r_1, \theta_1)$,$(r_2, \theta_2)$ અને $(r_3, \theta_3)$ ધરાવતા શિરોબિંદુઓવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |r_1 r_2 \sin(\theta_2 - \theta_1) + r_2 r_3 \sin(\theta_3 - \theta_2) + r_3 r_1 \sin(\theta_1 - \theta_3)|$
આપેલ કિંમતો $(1, 0)$,$(2, \frac{\pi}{3})$ અને $(3, \frac{2\pi}{3})$ મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |1 \cdot 2 \sin(\frac{\pi}{3} - 0) + 2 \cdot 3 \sin(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) + 3 \cdot 1 \sin(0 - \frac{2\pi}{3})|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |2 \sin(\frac{\pi}{3}) + 6 \sin(\frac{\pi}{3}) + 3 \sin(-\frac{2\pi}{3})|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2}| = \frac{5\sqrt{3}}{4} \text{ ચોરસ એકમ}$

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ $M_1(2, 7)$,$M_2(1, 1)$ અને $M_3(10, 8)$ આપેલા છે.
ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના $\frac{1}{4}$ ભાગનું હોય છે.
સૌ પ્રથમ,મધ્યબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ નો ઉપયોગ કરીને શોધો.
$\text{Area}_{\text{mid}} = \frac{1}{2} |2(1 - 8) + 1(8 - 7) + 10(7 - 1)|$.
$\text{Area}_{\text{mid}} = \frac{1}{2} |2(-7) + 1(1) + 10(6)|$.
$\text{Area}_{\text{mid}} = \frac{1}{2} |-14 + 1 + 60| = \frac{1}{2} |47| = 23.5$.
કારણ કે $\text{Area}_{\text{original}} = 4 \times \text{Area}_{\text{mid}}$,તેથી $\text{Area}_{\text{original}} = 4 \times 23.5 = 94$.