Transformation of axes Questions in Gujarati

(B) રેખા $y=x$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $P(1,4)$ નું પરાવર્તન $A(4,1)$ છે.
હવે,$X$-અક્ષની ધન દિશામાં $1$ એકમ અંતરના સ્થાનાંતર પછી,બિંદુ $A(4,1)$ ના નવા યામ $B(5,1)$ મળે છે.
હવે,ઉગમબિંદુની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $\theta = \frac{\pi}{4}$ ખૂણે બિંદુ $B(5,1)$ ના પરિભ્રમણ પછી,નવા યામ $(x', y')$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x' = x \cos \theta - y \sin \theta = 5 \cos \frac{\pi}{4} - 1 \sin \frac{\pi}{4} = \frac{5}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.
$y' = x \sin \theta + y \cos \theta = 5 \sin \frac{\pi}{4} + 1 \cos \frac{\pi}{4} = \frac{5}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
આમ,$C$ ના યામ $(2\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) યામ અક્ષોને $\alpha$ ખૂણે ફેરવવા માટેના રૂપાંતરણ સમીકરણો:
$x' = x \cos \alpha + y \sin \alpha$
$y' = -x \sin \alpha + y \cos \alpha$
આપેલ છે $(x, y) = (1, 2)$ અને $(x', y') = \left(\frac{3 \sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}+3}{2 \sqrt{2}}\right)$:
$\frac{3 \sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}} = 1 \cos \alpha + 2 \sin \alpha$ $(1)$
$\frac{\sqrt{3}+3}{2 \sqrt{2}} = -1 \sin \alpha + 2 \cos \alpha$ $(2)$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $\alpha = 15^{\circ} = \frac{\pi}{12}$ મળે છે.

(B) પગલું $1$: રેખા $y=x$ વિશે બિંદુ $P(3,2)$ નું પરાવર્તન યામોને અદલાબદલી કરે છે,જે $(2,3)$ પરિણામ આપે છે.
પગલું $2$: $X$-અક્ષની ધન દિશામાં $(2,3)$ નું $3$ એકમનું સ્થાનાંતર $x$-યામમાં $3$ ઉમેરે છે,જે $(2+3, 3) = (5,3)$ પરિણામ આપે છે.
પગલું $3$: ઉગમબિંદુની આસપાસ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં $\theta = \frac{\pi}{4}$ ખૂણે $(x,y) = (5,3)$ બિંદુનું પરિભ્રમણ નીચે મુજબ છે:
$x' = x \cos \theta - y \sin \theta$
$y' = x \sin \theta + y \cos \theta$
$x=5, y=3, \theta = \frac{\pi}{4}$ મૂકતા:
$x' = 5 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - 3 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
$y' = 5 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 3 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$
આમ,અંતિમ સ્થાન $(\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુના નવા કોઓર્ડિનેટ્સ $(X, Y)$ છે.
આપેલ છે કે ઉગમબિંદુ $(h, k) = (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ પર ખસેડવામાં આવે છે અને અક્ષોને $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવવામાં આવે છે.
મૂળ કોઓર્ડિનેટ્સ $(x, y) = (1, -1)$ છે.
નવા કોઓર્ડિનેટ્સ $(X, Y)$ માટેના સૂત્રો:
$X = (x - h) \cos \theta + (y - k) \sin \theta$
$Y = -(x - h) \sin \theta + (y - k) \cos \theta$
કિંમતો મૂકતા:
$X = (1 + \sqrt{2}) \frac{1}{\sqrt{2}} + (-1 - \sqrt{2}) \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$
$Y = -(1 + \sqrt{2}) \frac{1}{\sqrt{2}} + (-1 - \sqrt{2}) \frac{1}{\sqrt{2}} = -2 - \sqrt{2}$
આમ,નવા કોઓર્ડિનેટ્સ $(0, -2-\sqrt{2})$ છે.

(A) $1$. $P(1,3)$ નું $y=x$ ની સાપેક્ષમાં પરાવર્તન $Q(3,1)$ આપે છે.
$2$. $Q(3,1)$ નું $X$-અક્ષની ધન દિશામાં $3$ એકમ સ્થાનાંતર $R(6,1)$ આપે છે.
$3$. $R(6,1)$ નું ઉગમબિંદુની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) $\theta = -\frac{\pi}{6}$ ખૂણે પરિભ્રમણ:
$x' = 6 \cos(-\frac{\pi}{6}) - 1 \sin(-\frac{\pi}{6}) = \frac{6\sqrt{3}+1}{2}$
$y' = 6 \sin(-\frac{\pi}{6}) + 1 \cos(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}-6}{2}$
અંતિમ સ્થાન $\left(\frac{6 \sqrt{3}+1}{2}, \frac{\sqrt{3}-6}{2}\right)$ છે.

(B) અક્ષોને $45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવતા,આપણે $(x, y)$ ને $\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}, \frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)$ દ્વારા બદલીએ છીએ.
આ કિંમતોને $3x^2 + 3y^2 + 2xy = 2$ માં મૂકતા:
$3\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 3\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right) = 2$
$\frac{3}{2}(x^2 + y^2 - 2xy) + \frac{3}{2}(x^2 + y^2 + 2xy) + \frac{2}{2}(x^2 - y^2) = 2$
$\frac{3}{2}(2x^2 + 2y^2) + (x^2 - y^2) = 2$
$3x^2 + 3y^2 + x^2 - y^2 = 2$
$4x^2 + 2y^2 = 2$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $2x^2 + y^2 = 1$ મળે છે.

(A) ધારો કે જૂના યામ $(x, y)$ છે અને નવા યામ $(x', y')$ છે. અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવવા માટેના રૂપાંતરણ સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$
$y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$
આપેલ છે કે $\theta = 45^{\circ}$,$x' = \sqrt{2}$,અને $y' = 4$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$x = \sqrt{2} \cos 45^{\circ} - 4 \sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - 4 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1 - 2\sqrt{2}$
$y = \sqrt{2} \sin 45^{\circ} + 4 \cos 45^{\circ} = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + 4 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1 + 2\sqrt{2}$
આમ,જૂની પદ્ધતિમાં યામ $(1 - 2\sqrt{2}, 1 + 2\sqrt{2})$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $3x^2+4xy+y^2-8x-4y-4=0$ છે.
રેખીય પદોને દૂર કરવા માટે,આપણે ઉગમબિંદુને $(h, k)$ પર ખસેડીએ છીએ.
ધારો કે $x = X+h$ અને $y = Y+k$. આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(X+h)^2 + 4(X+h)(Y+k) + (Y+k)^2 - 8(X+h) - 4(Y+k) - 4 = 0$.
વિસ્તરણ કરતા:
$3X^2 + 4XY + Y^2 + X(6h+4k-8) + Y(4h+2k-4) + (3h^2+4hk+k^2-8h-4k-4) = 0$.
રેખીય પદો શૂન્ય કરવા માટે,$X$ અને $Y$ ના સહગુણકોને શૂન્ય લેતા:
$6h+4k-8 = 0 \Rightarrow 3h+2k=4$
$4h+2k-4 = 0 \Rightarrow 2h+k=2$
આ ઉકેલતા,આપણને $h=0$ અને $k=2$ મળે છે.
અચળ પદમાં $h=0, k=2$ મૂકતા:
$c = 3(0)^2 + 4(0)(2) + (2)^2 - 8(0) - 4(2) - 4 = 4 - 8 - 4 = -8$.
આમ,રૂપાંતરિત સમીકરણ $f(X, Y) = 3X^2 + 4XY + Y^2 - 8 = 0$ છે.
તેથી,$f(1,1) = 3(1)^2 + 4(1)(1) + (1)^2 - 8 = 3 + 4 + 1 - 8 = 0$.

(B) $a=5$ અને $b=7$ અંતઃખંડો ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{5} + \frac{y}{7} = 1$ છે,જે $7x + 5y = 35$ થાય છે.
જ્યારે અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે,ત્યારે નવા યામ $(x', y')$ માટે $x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$ અને $y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$ થાય.
આ કિંમતો રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $7(x' \cos \theta - y' \sin \theta) + 5(x' \sin \theta + y' \cos \theta) = 35$.
પદોને ગોઠવતા: $x'(7 \cos \theta + 5 \sin \theta) + y'(5 \cos \theta - 7 \sin \theta) = 35$.
નવી અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a' = \frac{35}{7 \cos \theta + 5 \sin \theta}$ અને $b' = \frac{35}{5 \cos \theta - 7 \sin \theta}$ છે.
અંતઃખંડો સમાન હોવાથી,$a' = b'$,તેથી $7 \cos \theta + 5 \sin \theta = 5 \cos \theta - 7 \sin \theta$.
$12 \sin \theta = -2 \cos \theta$.
$\tan \theta = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$.
તેથી,$|\tan \theta| = \frac{1}{6}$.

(B) પગલું $1$: $2x^2 - 3xy + 4y^2 + 5y - 6 = 0$ માંથી પ્રથમ-ઘાત વાળા પદો દૂર કરવા માટે ઉગમબિંદુને $(h, k)$ પર ખસેડો. $x = X + h$ અને $y = Y + k$ લેતા. સમીકરણમાં મૂકતા,$X$ અને $Y$ ના સહગુણકો શૂન્ય થવા જોઈએ.
$4h - 3k = 0$ અને $-3h + 8k + 5 = 0$.
ઉકેલતા,$h = -\frac{15}{23}$ અને $k = -\frac{20}{23}$ મળે છે.
તેથી બિંદુ $(a, b) = (-\frac{15}{23}, -\frac{20}{23})$ છે.
પગલું $2$: $a = -\frac{15}{23}$ અને $b = -\frac{20}{23}$ ને $ax^2 + 23abxy + by^2 = 0$ માં મૂકતા.
$-\frac{15}{23}x^2 + 23(-\frac{15}{23})(-\frac{20}{23})xy - \frac{20}{23}y^2 = 0$.
$-23$ વડે ગુણતા,$15x^2 - 300xy + 20y^2 = 0$,એટલે કે $3x^2 - 60xy + 4y^2 = 0$ મળે છે.
પગલું $3$: અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવીને $xy$-પદ દૂર કરવા માટે,સૂત્ર $\tan 2\theta = \frac{B}{A - C}$ છે,જ્યાં સમીકરણ $Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 0$ છે.
અહીં $A = 3, B = -60, C = 4$.
$\tan 2\theta = \frac{-60}{3 - 4} = \frac{-60}{-1} = 60$.

(B) સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$ માં $xy$ પદને દૂર કરવા માટે,અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવવી પડે જેથી $\tan 2\theta = \frac{b}{a-c}$ થાય.
$A_1$ માટે: $a=3, b=5, c=3$. $\tan 2\theta_1 = \frac{5}{3-3} = \infty$ $\Rightarrow 2\theta_1 = \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow \theta_1 = \frac{\pi}{4}$.
$A_2$ માટે: $a=5, b=2\sqrt{3}, c=3$. $\tan 2\theta_2 = \frac{2\sqrt{3}}{5-3} = \sqrt{3}$ $\Rightarrow 2\theta_2 = \frac{\pi}{3}$ $\Rightarrow \theta_2 = \frac{\pi}{6}$.
$A_3$ માટે: $a=4, b=\sqrt{3}, c=5$. $\tan 2\theta_3 = \frac{\sqrt{3}}{4-5} = -\sqrt{3}$ $\Rightarrow 2\theta_3 = \frac{2\pi}{3}$ $\Rightarrow \theta_3 = \frac{\pi}{3}$.
ખૂણાઓની સરખામણી કરતા: $\frac{\pi}{3} > \frac{\pi}{4} > \frac{\pi}{6}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta_3 > \theta_1 > \theta_2$.

(D) આપેલ છે,ઉગમબિંદુ $(h, k) = (1, -2)$ પર ખસેડવામાં આવ્યું છે.
ધારો કે મૂળ કોઓર્ડિનેટ્સ $(x, y) = (3, -2)$ છે.
સ્થાનાંતર પછીના નવા કોઓર્ડિનેટ્સ $(\alpha, \beta)$ એ $\alpha = x - h$ અને $\beta = y - k$ દ્વારા મળે છે.
$\alpha = 3 - 1 = 2$ અને $\beta = -2 - (-2) = 0$.
તેથી,$(\alpha, \beta) = (2, 0)$.
હવે,અક્ષોને ઉગમબિંદુની આસપાસ $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે.
ભ્રમણ પછીના નવા કોઓર્ડિનેટ્સ $(x', y')$ નીચે મુજબ છે:
$x' = \alpha \cos \theta + \beta \sin \theta = 2 \cos 45^{\circ} + 0 \sin 45^{\circ} = \sqrt{2}$.
$y' = -\alpha \sin \theta + \beta \cos \theta = -2 \sin 45^{\circ} + 0 \cos 45^{\circ} = -\sqrt{2}$.
આમ,રૂપાંતરિત કોઓર્ડિનેટ્સ $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ છે.

(A) આપેલ છે કે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી $(h, k) = (-1, 2)$ પર સ્થળાંતરિત થાય છે.
આપણે રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X + h$ અને $y = Y + k$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x = X - 1$ અને $y = Y + 2$ મળે છે.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણ $2x^2 + y^2 - 3x + 5y - 8 = 0$ માં મૂકતા:
$2(X - 1)^2 + (Y + 2)^2 - 3(X - 1) + 5(Y + 2) - 8 = 0$
$2(X^2 - 2X + 1) + (Y^2 + 4Y + 4) - 3X + 3 + 5Y + 10 - 8 = 0$
$2X^2 - 4X + 2 + Y^2 + 4Y + 4 - 3X + 5Y + 5 = 0$
સમાન પદોને ભેગા કરતા: $2X^2 + Y^2 - 7X + 9Y + 11 = 0$.
$(X, Y)$ ને $(x, y)$ દ્વારા બદલતા,રૂપાંતરિત સમીકરણ $2x^2 + y^2 - 7x + 9y + 11 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2+6xy+8y^2=10$ $\dots$ $(i)$ છે.
અક્ષોને $\theta = \frac{\pi}{4}$ ખૂણે ફેરવતા,રૂપાંતરિત સમીકરણો:
$x = \frac{x_1-y_1}{\sqrt{2}}$ અને $y = \frac{x_1+y_1}{\sqrt{2}}$
આ કિંમતો $(i)$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{x_1-y_1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 6\left(\frac{x_1-y_1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x_1+y_1}{\sqrt{2}}\right) + 8\left(\frac{x_1+y_1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 10$
સાદુરૂપ આપતા:
$\frac{x_1^2+y_1^2-2x_1y_1 + 6x_1^2-6y_1^2 + 8x_1^2+8y_1^2+16x_1y_1}{2} = 10$
$15x_1^2 + 3y_1^2 + 14x_1y_1 = 20$
આમ,રૂપાંતરિત સમીકરણ $15x^2+14xy+3y^2=20$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $S \equiv 2x^2 - xy - y^2 - 3x + 3y = 0$.
પ્રથમ ઘાતના પદો દૂર કરવા માટે,આપણે $\frac{\partial S}{\partial x} = 0$ અને $\frac{\partial S}{\partial y} = 0$ ઉકેલીને નવું ઉગમબિંદુ $(h, k)$ શોધીએ છીએ.
$\frac{\partial S}{\partial x} = 4x - y - 3 = 0$ અને $\frac{\partial S}{\partial y} = -x - 2y + 3 = 0$.
આને ઉકેલતા,આપણને $x = 1, y = 1$ મળે છે,તેથી $(h, k) = (1, 1)$.
ભ્રમણ દ્વારા $xy$-પદ દૂર કરવા માટે,આપણે $\tan 2\theta = \frac{B}{A - C}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં સમીકરણ $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ છે.
અહીં $A = 2, B = -1, C = -1$.
તેથી,$\tan 2\theta = \frac{-1}{2 - (-1)} = \frac{-1}{3}$.
કારણ કે $h = 1$ અને $k = 1$,આપણી પાસે $h = k$ છે,તેથી $\tan 2\theta = -\frac{h}{3k} = -\frac{1}{3}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે મૂળ સમીકરણ $f(x, y) = 2x^2+xy-6y^2-13x+9y+15=0$ છે.
જ્યારે ઉગમબિંદુને $(a, b)$ પર ખસેડવામાં આવે,ત્યારે આપણે $x = X+a$ અને $y = Y+b$ મૂકીએ છીએ.
કેન્દ્ર $(a, b)$ શોધવા માટે,$\frac{\partial f}{\partial x} = 4x+y-13 = 0$ અને $\frac{\partial f}{\partial y} = x-12y+9 = 0$ લેતા,આપણને $a=3$ અને $b=1$ મળે છે.
મૂળ સમીકરણમાં $x=X+3$ અને $y=Y+1$ મૂકતા,અચળ પદ $k$ ની કિંમત $0$ મળે છે.

(A) મૂળ સમીકરણ $2x^2 - xy + y^2 + 2x + 3y + 1 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુને $(h, k)$ પર ખસેડવા માટે,આપણે $x = X + h$ અને $y = Y + k$ મૂકીએ છીએ.
નવું સમીકરણ $2(X+h)^2 - (X+h)(Y+k) + (Y+k)^2 + 2(X+h) + 3(Y+k) + 1 = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$X$ અને $Y$ ના સુરેખ પદો $(4h - k + 2)X + (-h + 2k + 3)Y = 0$ મળે છે.
નવું ઉગમબિંદુ કેન્દ્ર હોવા માટે,આ સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$4h - k = -2$ અને $-h + 2k = -3$.
આ ઉકેલતા,$h = -1$ અને $k = -2$ મળે છે.
તેથી,$h + k = -3$.
સમીકરણ $2X^2 - XY + Y^2 + C' = 0$ બને છે.
ભ્રમણ દ્વારા $XY$ પદ દૂર કરવા માટે,આપણે $\tan 2\theta = \frac{2H}{A-B}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં સમીકરણ $AX^2 + 2HXY + BY^2 = 0$ છે.
અહીં $A = 2, H = -1/2, B = 1$.
તેથી,$\tan 2\theta = \frac{2(-1/2)}{2 - 1} = -1$.
તેથી,$h + k + \tan 2\theta = -3 + (-1) = -4$.

(B) અક્ષોને $\theta = 30^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવતા રૂપાંતરણ નીચે મુજબ છે:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta = X \frac{\sqrt{3}}{2} - Y \frac{1}{2}$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta = X \frac{1}{2} + Y \frac{\sqrt{3}}{2}$
આ કિંમતોને $4x^2+12xy+9y^2+6x+9y+2=0$ માં મૂકતા:
$4x^2+12xy+9y^2 = (2x+3y)^2$
$2x+3y = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}X - \frac{1}{2}Y) + 3(\frac{1}{2}X + \frac{\sqrt{3}}{2}Y) = X(\sqrt{3} + \frac{3}{2}) + Y(\frac{3\sqrt{3}-2}{2})$
રેખીય પદ $6x+9y = 6(\frac{\sqrt{3}}{2}X - \frac{1}{2}Y) + 9(\frac{1}{2}X + \frac{\sqrt{3}}{2}Y) = X(3\sqrt{3} + \frac{9}{2}) + Y(\frac{9\sqrt{3}-6}{2})$
આમ,$2g = \frac{6\sqrt{3}+9}{2}$ અને $2f = \frac{9\sqrt{3}-6}{2}$
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{g}{f} = \frac{6\sqrt{3}+9}{9\sqrt{3}-6} = \frac{3+2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-2}$
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપેલ સમીકરણને $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=4, h=4, b=10, g=-4, f=-22$ અને $c=14$ મળે છે.
પ્રથમ ઘાતના પદો દૂર કરવા માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ને $(h_0, k_0)$ પર ખસેડવું પડે,જ્યાં $h_0 = \frac{bg-fh}{h^2-ab}$ અને $k_0 = \frac{af-gh}{h^2-ab}$ છે.
છેદની ગણતરી: $h^2-ab = 4^2 - (4)(10) = 16 - 40 = -24$.
$h_0$ ની ગણતરી: $h_0 = \frac{(10)(-4) - (-22)(4)}{-24} = \frac{-40 + 88}{-24} = \frac{48}{-24} = -2$.
$k_0$ ની ગણતરી: $k_0 = \frac{(4)(-22) - (-4)(4)}{-24} = \frac{-88 + 16}{-24} = \frac{-72}{-24} = 3$.
આમ,ઉગમબિંદુને $(-2, 3)$ પર ખસેડવું જોઈએ.

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુ $P(h, k)$ પર ખસેડવામાં આવે છે. રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = x' + h$ અને $y = y' + k$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ $3x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$3(x' + h)^2 + (y' + k)^2 - 6(x' + h) + 4(y' + k) + 4 = 0$
$3(x'^2 + 2hx' + h^2) + (y'^2 + 2ky' + k^2) - 6x' - 6h + 4y' + 4k + 4 = 0$
$3x'^2 + y'^2 + (6h - 6)x' + (2k + 4)y' + (3h^2 + k^2 - 6h + 4k + 4) = 0$.
પ્રથમ ઘાતના પદો દૂર કરવા માટે,$x'$ અને $y'$ ના સહગુણકોને શૂન્ય લેતા:
$6h - 6 = 0 \Rightarrow h = 1$
$2k + 4 = 0 \Rightarrow k = -2$.
તેથી,ઉગમબિંદુ $P(1, -2)$ પર ખસેડવામાં આવે છે.
હવે,બીજા સમીકરણ $2x^2 + 3xy - 5y^2 + 2x - 23y - 24 = 0$ માં $x = x' + 1$ અને $y = y' - 2$ મૂકતા:
$2(x' + 1)^2 + 3(x' + 1)(y' - 2) - 5(y' - 2)^2 + 2(x' + 1) - 23(y' - 2) - 24 = 0$
ગણતરી કરતા આપણને મળે છે:
$2x'^2 + 3x'y' - 5y'^2 = 0$.
આમ,રૂપાંતરિત સમીકરણ $2x^2 + 3xy - 5y^2 = 0$ છે.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુને $(p, q)$ પર સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે જેથી નવી અક્ષો મૂળ અક્ષોને સમાંતર રહે. રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = x' + p$ અને $y = y' + q$ છે.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 3xy + 4y^2 + x + 18y + 25 = 0$ માં મૂકતા:
$2(x' + p)^2 + 3(x' + p)(y' + q) + 4(y' + q)^2 + (x' + p) + 18(y' + q) + 25 = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(x'^2 + 2px' + p^2) + 3(x'y' + qx' + py' + pq) + 4(y'^2 + 2qy' + q^2) + x' + p + 18y' + 18q + 25 = 0$
$x'$,$y'$ અને અચળ પદોને જૂથબદ્ધ કરતા:
$2x'^2 + 3x'y' + 4y'^2 + (4p + 3q + 1)x' + (3p + 8q + 18)y' + (2p^2 + 3pq + 4q^2 + p + 18q + 25) = 0$
આને આપેલ રૂપાંતરિત સમીકરણ $2x^2 + 3xy + 4y^2 = 1$ સાથે સરખાવતા,$x'$ અને $y'$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$4p + 3q + 1 = 0$ ... $(i)$
$3p + 8q + 18 = 0$ ... (ii)
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$(i)$ પરથી,$p = 2$ અને $q = -3$ મળે છે.

(B) ધારો કે નવા યામ $(x', y')$ છે. રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = x' + 2$ અને $y = y' + 3$ છે.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણ $x^{2} + y^{2} - 4x - 6y + 9 = 0$ માં મૂકતા:
$(x' + 2)^{2} + (y' + 3)^{2} - 4(x' + 2) - 6(y' + 3) + 9 = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x'^{2} + 4x' + 4) + (y'^{2} + 6y' + 9) - 4x' - 8 - 6y' - 18 + 9 = 0$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$x'^{2} + y'^{2} + (4x' - 4x') + (6y' - 6y') + (4 + 9 - 8 - 18 + 9) = 0$
$x'^{2} + y'^{2} - 4 = 0$
તેથી,નવું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} = 4$ છે.