Mix Examples-Rectangular Cartesian Co-ordinates Questions in Gujarati

(C) ત્રિકોણ $OQ_1Q_2$ માં,કોસાઇન નિયમ લાગુ પાડતા:
$Q_1Q_2^2 = OQ_1^2 + OQ_2^2 - 2OQ_1 \cdot OQ_2 \cos \angle Q_1OQ_2$
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$Q_1Q_2^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2$,$OQ_1^2 = x_1^2 + y_1^2$,અને $OQ_2^2 = x_2^2 + y_2^2$.
આ કિંમતોને કોસાઇન નિયમમાં મૂકતા:
$(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 = (x_1^2 + y_1^2) + (x_2^2 + y_2^2) - 2OQ_1 \cdot OQ_2 \cos \angle Q_1OQ_2$
$x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 + y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2 = x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 - 2OQ_1 \cdot OQ_2 \cos \angle Q_1OQ_2$
$-2x_1x_2 - 2y_1y_2 = -2OQ_1 \cdot OQ_2 \cos \angle Q_1OQ_2$
$-2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$OQ_1 \cdot OQ_2 \cos \angle Q_1OQ_2 = x_1x_2 + y_1y_2$

(C) આપેલ સમીકરણ: $ax^2-2xy+by^2-2x+4y+1=0$.
ઉગમબિંદુને $(0, k)$ પર ખસેડતા,$x=X$ અને $y=Y+k$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $aX^2-2X(Y+k)+b(Y+k)^2-2X+4(Y+k)+1=0$.
વિસ્તરણ કરતા: $aX^2-2XY-2kX+bY^2+bk^2+2bkY-2X+4Y+4k+1=0$.
પદોને ગોઠવતા: $aX^2-2XY+bY^2-2X(k+1)+2Y(bk+2)+bk^2+4k+1=0$.
પ્રથમ ઘાતના પદો દૂર કરવા માટે,$X$ અને $Y$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ: $k+1=0 \Rightarrow k=-1$ અને $bk+2=0$ $\Rightarrow -b+2=0$ $\Rightarrow b=2$.
હવે,અક્ષોને $\theta = \frac{1}{2} \tan^{-1}(2)$ ખૂણે ફેરવતા,$\tan(2\theta) = 2$.
$xy$ પદ દૂર કરવા માટેની શરત: $\tan(2\theta) = \frac{2h}{a-b}$,જ્યાં $h=-1$.
તેથી,$\tan(2\theta) = \frac{2(-1)}{a-b} = \frac{2}{b-a} = 2 \Rightarrow b-a = 1$.
$b=2$ હોવાથી,$2-a=1 \Rightarrow a=1$.
તેથી,$a+b = 1+2 = 3$.

(B) આપેલ સમીકરણ $4x^2+2xy+y^2-8x-4y-12=0$ છે. પ્રથમ ઘાતના પદો દૂર કરવા માટે,આપણે ઉગમબિંદુને $P(a, b)$ પર ખસેડીએ છીએ.
$x=X+a$ અને $y=Y+b$ મૂકતા,આપણને $4(X+a)^2+2(X+a)(Y+b)+(Y+b)^2-8(X+a)-4(Y+b)-12=0$ મળે છે.
પદોને વિસ્તૃત કરતા,$X$ અને $Y$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$8a+2b-8=0 \Rightarrow 4a+b=4$
$2a+2b-4=0 \Rightarrow a+b=2$
આ ઉકેલતા,$a=2/3$ અને $b=4/3$ મળે છે. તેથી,$a+b=2$.
હવે,સમીકરણ $4X^2+2XY+Y^2+C=0$ બને છે. $XY$-પદ દૂર કરવા માટે,આપણે અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવીએ છીએ જ્યાં $\tan 2\theta = \frac{2h}{A-B}$,જ્યાં સમીકરણ $AX^2+2hXY+BY^2+C=0$ છે.
અહીં $A=4, B=1, h=1$. તેથી,$\tan 2\theta = \frac{2(1)}{4-1} = \frac{2}{3}$.
અંતે,$a+b+3 \tan 2\theta = 2 + 3 \left(\frac{2}{3}\right) = 2+2=4$.