Transformation of axes Questions in Gujarati

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે જો ઉગમબિંદુને $(h, k)$ પર ખસેડવામાં આવે,તો નવા યામ $(x', y')$ એ $(x - h, y - k)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ મૂળ બિંદુ $(x, y) = (4, 5)$ અને નવું ઉગમબિંદુ $(h, k) = (1, -2)$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x' = 4 - 1 = 3$
$y' = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7$
તેથી,નવા યામ $(3, 7)$ છે.

(B) મૂળ અક્ષોના સંદર્ભમાં રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
જ્યારે અક્ષોને $\alpha$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે યામોનું રૂપાંતર $x = x'\cos \alpha - y'\sin \alpha$ અને $y = x'\sin \alpha + y'\cos \alpha$ મુજબ થાય છે.
આ કિંમતો રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x'\cos \alpha - y'\sin \alpha}{a} + \frac{x'\sin \alpha + y'\cos \alpha}{b} = 1$
પદોને ગોઠવતા:
$x'\left(\frac{\cos \alpha}{a} + \frac{\sin \alpha}{b}\right) + y'\left(\frac{\cos \alpha}{b} - \frac{\sin \alpha}{a}\right) = 1$
આને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x'}{p} + \frac{y'}{q} = 1$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{1}{p} = \frac{\cos \alpha}{a} + \frac{\sin \alpha}{b}$ અને $\frac{1}{q} = \frac{\cos \alpha}{b} - \frac{\sin \alpha}{a}$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$\frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2} = \left(\frac{\cos \alpha}{a} + \frac{\sin \alpha}{b}\right)^2 + \left(\frac{\cos \alpha}{b} - \frac{\sin \alpha}{a}\right)^2$
$= \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ મળે છે.

(C) રેખાનું સમીકરણ $2x + y = 2$ છે,જેને અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં,મૂળ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a = 1$ અને $b = 2$ છે.
જ્યારે અક્ષોને ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $\alpha = 45^\circ$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવે,ત્યારે નવા અંતઃખંડો $p$ અને $q$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{p} = \frac{1}{a} \cos \alpha + \frac{1}{b} \sin \alpha$
$\frac{1}{q} = -\frac{1}{a} \sin \alpha + \frac{1}{b} \cos \alpha$
$a = 1$,$b = 2$,અને $\alpha = 45^\circ$ મૂકતા:
$\frac{1}{p} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$ $\Rightarrow p = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
$\frac{1}{q} = -\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$ $\Rightarrow q = -2\sqrt{2}$
આમ,અંતઃખંડો $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ અને $-2\sqrt{2}$ છે.

(C) ધારો કે મૂળ યામ $(x, y) = (4, -5)$ છે અને ઉગમબિંદુ $(h, k) = (-2, 1)$ પર ખસેડવામાં આવે છે.
નવા યામ $(x', y')$ માટેનું સૂત્ર:
$x' = x - h = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6$
$y' = y - k = -5 - 1 = -6$
આમ,નવા યામ $(6, -6)$ થાય.

(B) ધારો કે મૂળ યામ $(x, y) = (4, -2\sqrt{3})$ છે અને ભ્રમણનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.
નવા યામ $(X, Y)$ માટેના રૂપાંતરણ સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$X = x \cos\theta + y \sin\theta$
$Y = -x \sin\theta + y \cos\theta$
કિંમતો મૂકતા:
$X = 4 \cos(30^{\circ}) + (-2\sqrt{3}) \sin(30^{\circ}) = 4(\frac{\sqrt{3}}{2}) - 2\sqrt{3}(\frac{1}{2}) = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$
$Y = -4 \sin(30^{\circ}) + (-2\sqrt{3}) \cos(30^{\circ}) = -4(\frac{1}{2}) - 2\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 - 3 = -5$
આમ,નવા યામ $(\sqrt{3}, -5)$ છે.

(A) અક્ષોના સ્થાનાંતર હેઠળ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ અચળ રહે છે.
ધારો કે પ્રથમ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(20, 22), B(21, 24), C(22, 23)$ છે.
ઉદગમબિંદુને $(20, 22)$ પર સ્થાનાંતરિત કરવાથી,નવા યામો નીચે મુજબ મળે છે:
$A' = (20-20, 22-22) = (0, 0)$
$B' = (21-20, 24-22) = (1, 2)$
$C' = (22-20, 23-22) = (2, 1)$
સ્થાનાંતર હેઠળ ક્ષેત્રફળ અચળ રહેતું હોવાથી,$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\triangle A'B'C'$ ના ક્ષેત્રફળ જેટલું જ થાય,જે બિંદુઓ $P(0, 0), Q(1, 2)$ અને $R(2, 1)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણ સમાન છે.
આમ,વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવવા માટેના રૂપાંતરણ સમીકરણો:
$x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$
$y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$
અહીં $\theta = -30^{\circ}$ લેતા:
$x = x' \frac{\sqrt{3}}{2} + y' \frac{1}{2}$
$y = -x' \frac{1}{2} + y' \frac{\sqrt{3}}{2}$
$(x, y) = (2, 1)$ મુકતા:
$2 = x' \frac{\sqrt{3}}{2} + y' \frac{1}{2} \implies 4 = x'\sqrt{3} + y'$
$1 = -x' \frac{1}{2} + y' \frac{\sqrt{3}}{2} \implies 2 = -x' + y'\sqrt{3}$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $x' = \frac{2\sqrt{3} - 1}{2}$ અને $y' = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ મળે છે.

(B) ધારો કે નવા યામ $(x', y')$ છે. રૂપાંતરણના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$x = h + x' \cos \alpha - y' \sin \alpha$
$y = k + x' \sin \alpha + y' \cos \alpha$
અહીં $(x, y) = (1, 1)$,$(h, k) = (1, -2)$,અને $\alpha = 30^{\circ}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$1 = 1 + x' \cos 30^{\circ} - y' \sin 30^{\circ} \implies x' \sqrt{3} - y' = 0$ (સમીકરણ $1$)
$1 = -2 + x' \sin 30^{\circ} + y' \cos 30^{\circ} \implies x' + y' \sqrt{3} = 6$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ પરથી,$y' = x' \sqrt{3}$.
સમીકરણ $2$ માં કિંમત મૂકતા:
$x' + (x' \sqrt{3}) \sqrt{3} = 6$
$4x' = 6 \implies x' = \frac{3}{2}$.
તેથી $y' = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
આમ,નવા યામ $\left( \frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2} \right)$ છે.

(C) ધારો કે મૂળ યામ $(x, y)$ છે અને નવા યામ $(x', y') = (4, 2)$ છે. પરિભ્રમણનો ખૂણો $\theta = -\pi / 3 = -60^{\circ}$ છે.
અક્ષના પરિભ્રમણ માટેના રૂપાંતરણ સમીકરણો:
$x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$
$y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$
કિંમતો મૂકતા:
$x = 4 \cos(-60^{\circ}) - 2 \sin(-60^{\circ})$
$x = 4(1/2) - 2(-\sqrt{3}/2) = 2 + \sqrt{3}$
$y = 4 \sin(-60^{\circ}) + 2 \cos(-60^{\circ})$
$y = 4(-\sqrt{3}/2) + 2(1/2) = -2\sqrt{3} + 1$
આમ,મૂળ યામ $(2 + \sqrt{3}, -2\sqrt{3} + 1)$ છે.

(A) ધારો કે નવું ઉગમબિંદુ $(h, k)$ છે. રૂપાંતરણના સમીકરણો $x = X + h$ અને $y = Y + k$ છે.
આ કિંમતો આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $(X + h)^2 + (Y + k)^2 - 4(X + h) + 6(Y + k) - 7 = 0$.
વિસ્તરણ કરતા: $X^2 + 2hX + h^2 + Y^2 + 2kY + k^2 - 4X - 4h + 6Y + 6k - 7 = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $X^2 + Y^2 + X(2h - 4) + Y(2k + 6) + (h^2 + k^2 - 4h + 6k - 7) = 0$.
એકઘાતવાળા પદો દૂર કરવા માટે,$X$ અને $Y$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$2h - 4 = 0 \implies h = 2$.
$2k + 6 = 0 \implies k = -3$.
આમ,ઉગમબિંદુને $(2, -3)$ બિંદુએ સ્થાનાંતરિત કરવું જોઈએ.

(A) આપેલ બિંદુ $P(2, -1)$ છે.
$y$-અક્ષની સાપેક્ષે બિંદુ $P(2, -1)$ નું પરાવર્તન $P'(-2, -1)$ થાય.
જ્યારે યામાક્ષને $45^{\circ}$ ના ખૂણે ઋણ દિશામાં (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં) ફેરવવામાં આવે,ત્યારે $\theta = -45^{\circ}$ લેવાય.
પરિવર્તન માટેના સમીકરણો:
$X = x \cos \theta + y \sin \theta$
$Y = -x \sin \theta + y \cos \theta$
$x = -2, y = -1$ અને $\theta = -45^{\circ}$ મૂકતા:
$X = (-2) \cos(-45^{\circ}) + (-1) \sin(-45^{\circ}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$Y = -(-2) \sin(-45^{\circ}) + (-1) \cos(-45^{\circ}) = -\frac{3}{\sqrt{2}}$
તેથી,નવા યામ $\left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{3}{\sqrt{2}} \right)$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^2 - 3xy + 11x - 12y + 36 = 0$.
ધારો કે નવા યામ $(X, Y)$ છે,જ્યાં $x = X - 4$ અને $y = Y + 1$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$(X - 4)^2 - 3(X - 4)(Y + 1) + 11(X - 4) - 12(Y + 1) + 36 = 0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(X^2 - 8X + 16) - 3(XY + X - 4Y - 4) + 11X - 44 - 12Y - 12 + 36 = 0$.
$X^2 - 8X + 16 - 3XY - 3X + 12Y + 12 + 11X - 12Y - 20 = 0$.
સાદું રૂપ આપતા:
$X^2 - 3XY + 8 = 0$.
$8$ વડે ભાગતા:
$\frac{X^2}{8} - \frac{3}{8}XY + 1 = 0$.
$ax^2 + bxy + 1 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = \frac{1}{8}$ અને $b = -\frac{3}{8}$ મળે છે.
તેથી,$b^2 - a = (-\frac{3}{8})^2 - \frac{1}{8} = \frac{9}{64} - \frac{8}{64} = \frac{1}{64}$.

(C) ધારો કે મૂળ યામ $(x, y) = (-5, 3)$ છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $(h, k) = (2, -5)$ પર ખસેડવામાં આવે છે.
નવા યામ $(x', y')$ માટેના રૂપાંતરણ સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$x' = x - h$
$y' = y - k$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$x' = -5 - 2 = -7$
$y' = 3 - (-5) = 3 + 5 = 8$
આમ,નવા યામ $(-7, 8)$ છે.

(C) પગલું $1$: રેખા $y = x$ ની સાપેક્ષે $(4, 1)$ નું પરાવર્તન $(1, 4)$ બિંદુ આપે છે.
પગલું $2$: $x$-અક્ષની ધન દિશામાં $2$ એકમ દ્વારા $(1, 4)$ નું સ્થાનાંતર $(1 + 2, 4) = (3, 4)$ આપે છે.
પગલું $3$: ઉગમબિંદુની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $\theta = \pi/4$ ખૂણે $(3, 4)$ નું પરિભ્રમણ નીચે મુજબના રૂપાંતરણ દ્વારા મળે છે:
$x' = x \cos \theta - y \sin \theta = 3 \cos(\pi/4) - 4 \sin(\pi/4) = 3(1/\sqrt{2}) - 4(1/\sqrt{2}) = -1/\sqrt{2}$
$y' = x \sin \theta + y \cos \theta = 3 \sin(\pi/4) + 4 \cos(\pi/4) = 3(1/\sqrt{2}) + 4(1/\sqrt{2}) = 7/\sqrt{2}$
આમ,અંતિમ સ્થાન $\left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}} \right)$ છે.

(D) ધારો કે $(x', y')$ એ નવા અક્ષો પરના યામ છે. રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$ અને $y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$ છે.
આ કિંમતોને સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + by^2 + 2hxy + 2fy + 2gx + c = 0$ માં મૂકતા,મિશ્ર પદ દૂર કરવા માટે $x'y'$ નો સહગુણક શૂન્ય થવો જોઈએ.
$x'y'$ નો સહગુણક $2(b - a) \sin \theta \cos \theta + 2h(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 0$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $-(a - b) \sin 2\theta + 2h \cos 2\theta = 0$ મળે છે.
તેથી,$\tan 2\theta = \frac{2h}{a - b}$.

(A) જ્યારે અક્ષોને ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં $\theta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે,ત્યારે બિંદુ $(x, y)$ ના નવા યામ $(x', y')$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x' = x \cos \theta + y \sin \theta$
$y' = -x \sin \theta + y \cos \theta$
અહીં $x = 4$,$y = 2$,અને $\theta = \frac{\pi}{3}$ છે,તેથી $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ અને $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$x' = 4 \left(\frac{1}{2}\right) + 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2 + \sqrt{3}$
$y' = -4 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2 \left(\frac{1}{2}\right) = -2\sqrt{3} + 1$
આમ,નવા યામ $(2 + \sqrt{3}, -2\sqrt{3} + 1)$ છે.

(D) ધારો કે મૂળ એકમ સદિશો $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ છે. જ્યારે યામ પદ્ધતિને $z-$અક્ષની આસપાસ $\pi / 2$ જેટલી ફેરવવામાં આવે છે જેથી $x-$અક્ષ $y-$અક્ષ પર જાય,ત્યારે નવા એકમ સદિશો $\hat{i}'$ અને $\hat{j}'$ જૂના સદિશો સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$\hat{i}' = \hat{j}$
$\hat{j}' = -\hat{i}$
$\hat{k}' = \hat{k}$
આપેલ છે કે $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}$.
આપણે $\hat{i} = -\hat{j}'$ અને $\hat{j} = \hat{i}'$ લખી શકીએ.
આ કિંમતોને $\vec{a}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{a} = 2(-\hat{j}') + 3(\hat{i}') + 7\hat{k}'$
$\vec{a} = 3\hat{i}' - 2\hat{j}' + 7\hat{k}'$
આમ,નવા ઘટકો $(3, -2, 7)$ છે.

(D) કોઓર્ડિનેટ અક્ષોના પરિભ્રમણ હેઠળ સદિશનું માન અપરિવર્તિત રહે છે.
આપેલ છે કે $\vec{a}_{Old} = (3p, 1)$ અને $\vec{a}_{New} = (p+1, \sqrt{10})$.
માનના વર્ગને સરખાવતા:
$|\vec{a}_{Old}|^2 = |\vec{a}_{New}|^2$
$(3p)^2 + 1^2 = (p+1)^2 + (\sqrt{10})^2$
$9p^2 + 1 = p^2 + 2p + 1 + 10$
$8p^2 - 2p - 10 = 0$
$4p^2 - p - 5 = 0$
$(4p - 5)(p + 1) = 0$
આમ,$p = \frac{5}{4}$ અથવા $p = -1$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચી કિંમત $-1$ છે.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુ $(\alpha, \beta)$ પર ખસેડવામાં આવ્યું છે. રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X + \alpha$ અને $y = Y + \beta$ છે.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણ $3x^2 + 4y^2 - xy - 5x - 7y + 2 = 0$ માં મૂકતા:
$3(X + \alpha)^2 + 4(Y + \beta)^2 - (X + \alpha)(Y + \beta) - 5(X + \alpha) - 7(Y + \beta) + 2 = 0$
આનું વિસ્તરણ કરતા,$X$ અને $Y$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ જેથી સમીકરણ $3X^2 + 4Y^2 - XY + k = 0$ ના સ્વરૂપમાં આવે.
$X$ નો સહગુણક $6\alpha - \beta - 5 = 0$ છે.
$Y$ નો સહગુણક $8\beta - \alpha - 7 = 0$ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $\alpha = 1, \beta = 1$.
$\alpha = 1, \beta = 1$ ને અચળ પદમાં મૂકતા:
$k = 3(1)^2 + 4(1)^2 - (1)(1) - 5(1) - 7(1) + 2 = 3 + 4 - 1 - 5 - 7 + 2 = -4$.
આમ,$\alpha + \beta - k = 1 + 1 - (-4) = 6$.

(A) મૂળ સમીકરણ $x^2+y^2=4$ છે.
અક્ષોનું પરિભ્રમણ સમીકરણના સ્વરૂપને બદલતું નથી કારણ કે ઉગમબિંદુથી અંતર અચળ રહે છે.
પરિભ્રમણ પછીના યામ $(x', y')$ હોય,તો $x'^2+y'^2=4$.
ત્યારબાદ,અક્ષોને નવા ઉગમબિંદુ $(h, k) = (2, -2)$ પર સ્થળાંતરિત કરવામાં આવે છે.
રૂપાંતરણ સમીકરણો $x' = X + 2$ અને $y' = Y - 2$ છે.
આ કિંમતો $x'^2+y'^2=4$ માં મૂકતા:
$(X+2)^2 + (Y-2)^2 = 4$
$X^2 + 4X + 4 + Y^2 - 4Y + 4 = 4$
$X^2 + Y^2 + 4X - 4Y + 4 = 0$.
$X^2+Y^2+aX+bY+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=4$,$b=-4$,અને $c=4$ મળે છે.
તેથી,$a+b+c = 4 - 4 + 4 = 4$.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક યામ $(x, y) = (4, 1)$ છે.
$(i)$ ઉગમબિંદુને $(1, 6)$ પર ખસેડ્યા પછી,નવા યામ $(x', y')$ એ $x' = x - 1 = 4 - 1 = 3$ અને $y' = y - 6 = 1 - 6 = -5$ દ્વારા મળે છે. તેથી,$P' = (3, -5)$.
(ii) $X$-અક્ષની ધન દિશામાં $2$ એકમ સ્થળાંતર પછી,નવા યામ $(x'', y'')$ એ $x'' = x' + 2 = 3 + 2 = 5$ અને $y'' = y' = -5$ થાય છે. તેથી,$P'' = (5, -5)$.
(iii) અક્ષોને ધન દિશામાં $90^{\circ}$ ફેરવ્યા પછી,નવા યામ $(X, Y)$ એ $X = x'' \cos(90^{\circ}) + y'' \sin(90^{\circ}) = 5(0) + (-5)(1) = -5$ અને $Y = -x'' \sin(90^{\circ}) + y'' \cos(90^{\circ}) = -5(1) + (-5)(0) = -5$ દ્વારા મળે છે.
આમ,અંતિમ યામ $(-5, -5)$ છે.

(A) ધારો કે મૂળ યામ $(x, y)$ છે અને નવા યામ $(X, Y)$ છે.
રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X + 2$ અને $y = Y + 3$ છે.
આ કિંમતો મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(X+2)^2 + 3(X+2)(Y+3) - 2(Y+3)^2 + 4(X+2) - (Y+3) - 20 = 0$
સાદુરૂપ આપતા:
$X^2 + 3XY - 2Y^2 + 17X - 7Y - 11 = 0$
અહીં $D = 17$,$E = -7$,અને $F = -11$ મળે છે.
તેથી,$D + E + F = 17 - 7 - 11 = -1$.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(7,5), B(-5,-7), C(7,-7)$ છે.
$AC$ શિરોલંબ $(x=7)$ અને $BC$ સમક્ષિતિજ $(y=-7)$ હોવાથી,ત્રિકોણ $C(7,-7)$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર $H$ એ કાટખૂણો બનાવતું શિરોબિંદુ હોય છે,તેથી $H = (7,-7)$.
અક્ષોને $(7,-7)$ પર સ્થળાંતરિત કરવામાં આવે છે,તેથી નવા યામ $(X, Y)$ અને જૂના યામ $(x, y)$ વચ્ચેનો સંબંધ $X = x - 7$ અને $Y = y + 7$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ $a = BC = 12$,$b = AC = 12$,અને $c = AB = 12\sqrt{2}$ છે.
અંતઃકેન્દ્ર $I(x_i, y_i)$ નું સૂત્ર $(\frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}, \frac{ay_A + by_B + cy_C}{a+b+c})$ છે.
$x_i = \frac{12(7) + 12(-5) + 12\sqrt{2}(7)}{12 + 12 + 12\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} - 5$.
$y_i = \frac{12(5) + 12(-7) + 12\sqrt{2}(-7)}{12 + 12 + 12\sqrt{2}} = 5 - 6\sqrt{2}$.
નવી પદ્ધતિમાં,$X_i = x_i - 7 = 6\sqrt{2} - 12$ અને $Y_i = y_i + 7 = 12 - 6\sqrt{2}$.

(A) ધારો કે મૂળ યામ $(x, y)$ છે અને નવા યામ $(x', y')$ છે. પરિભ્રમણ રૂપાંતરણ નીચે મુજબ છે:
$x = x' \cos 60^{\circ} - y' \sin 60^{\circ} = \frac{x'}{2} - \frac{\sqrt{3}y'}{2}$
$y = x' \sin 60^{\circ} + y' \cos 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}x'}{2} + \frac{y'}{2}$
આ કિંમતોને $x+y=1$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{x'}{2} - \frac{\sqrt{3}y'}{2}) + (\frac{\sqrt{3}x'}{2} + \frac{y'}{2}) = 1$
$x'(\frac{1+\sqrt{3}}{2}) + y'(\frac{1-\sqrt{3}}{2}) = 1$
આ $\frac{x'}{a} + \frac{y'}{b} = 1$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = \frac{2}{1+\sqrt{3}}$ અને $b = \frac{2}{1-\sqrt{3}}$.
તેથી $\frac{1}{a} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$ અને $\frac{1}{b} = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$.
$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = (\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1-\sqrt{3}}{2})^2$
$= \frac{1+3+2\sqrt{3}}{4} + \frac{1+3-2\sqrt{3}}{4} = \frac{4+2\sqrt{3} + 4-2\sqrt{3}}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

(C) પગલું $1$: અક્ષોનું સ્થળાંતર.
આપેલ મૂળ બિંદુ $(x, y) = (-1, 2)$ અને નવું ઉગમબિંદુ $(h, k) = (2, -1)$.
નવા યામ $(a, b) = (x - h, y - k) = (-1 - 2, 2 - (-1)) = (-3, 3)$.
પગલું $2$: અક્ષોનું પરિભ્રમણ.
અક્ષોને $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવતા,નવા યામ $(c, d)$:
$c = a \cos 45^{\circ} + b \sin 45^{\circ} = -3(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 3(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$.
$d = -a \sin 45^{\circ} + b \cos 45^{\circ} = 3(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 3(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 3\sqrt{2}$.
તેથી,$(c, d) = (0, 3\sqrt{2})$.
પગલું $3$: $y = x$ પર પ્રતિબિંબ.
બિંદુ $(x, y)$ નું $y = x$ પર પ્રતિબિંબ $(y, x)$ થાય છે.
તેથી,$(0, 3\sqrt{2})$ નું પ્રતિબિંબ $(3\sqrt{2}, 0)$ થાય.
આમ,$(e, f) = (3\sqrt{2}, 0)$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^2-y^2+2y-1=0$.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0, k)$ પર સ્થાનાંતરિત થાય છે જેથી $x=X$ અને $y=Y+k$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$X^2-(Y+k)^2+2(Y+k)-1=0$
$X^2-(Y^2+2kY+k^2)+2Y+2k-1=0$
$X^2-Y^2+Y(2-2k)-k^2+2k-1=0$.
$Y$-પદ દૂર કરવા માટે,$Y$ નો સહગુણક શૂન્ય લેતા:
$2-2k=0 \Rightarrow k=1$.
$k=1$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$X^2-Y^2-(1)^2+2(1)-1=0$
$X^2-Y^2-1+2-1=0$
$X^2-Y^2=0$.
આમ,રૂપાંતરિત સમીકરણ $x^2-y^2=0$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2x^2 - 3y^2 + 4xy + 4x + 4y - 14 = 0$.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $(h, k)$ પર સ્થાનાંતરિત થાય છે,તેથી $x = X + h$ અને $y = Y + k$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $2(X+h)^2 - 3(Y+k)^2 + 4(X+h)(Y+k) + 4(X+h) + 4(Y+k) - 14 = 0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $2X^2 - 3Y^2 + 4XY + (4h + 4k + 4)X + (4h - 6k + 4)Y + (2h^2 - 3k^2 + 4hk + 4h + 4k - 14) = 0$.
પ્રથમ ઘાતના પદો દૂર કરવા માટે,$X$ અને $Y$ ના સહગુણકોને શૂન્ય લેતા:
$4h + 4k + 4 = 0 \Rightarrow h + k = -1$
$4h - 6k + 4 = 0 \Rightarrow 2h - 3k = -2$
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $h = -1, k = 0$.
આમ,રૂપાંતરણ $x = X - 1$ અને $y = Y$ છે.
હવે,આ કિંમતો $x^2 + y^2 - 3xy + 4y + 3 = 0$ માં મૂકતા:
$(X - 1)^2 + Y^2 - 3(X - 1)Y + 4Y + 3 = 0$
$X^2 - 2X + 1 + Y^2 - 3XY + 3Y + 4Y + 3 = 0$
$X^2 + Y^2 - 3XY - 2X + 7Y + 4 = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $3x^2+2xy+3y^2-18x-22y+50=0$.
ઉગમબિંદુને $(2,3)$ પર ખસેડતા,$x=X+2, y=Y+3$ મૂકતા:
$3(X+2)^2+2(X+2)(Y+3)+3(Y+3)^2-18(X+2)-22(Y+3)+50=0$.
સાદુરૂપ આપતા,$3X^2+2XY+3Y^2-1=0$ મળે છે.
હવે,અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવતા,$X=x'\cos\theta-y'\sin\theta$ અને $Y=x'\sin\theta+y'\cos\theta$ મૂકતા:
$(3+\sin 2\theta)x'^2 + (3-\sin 2\theta)y'^2 + (2\cos 2\theta)x'y' - 1 = 0$.
$4x^2+2y^2-1=0$ સાથે સરખાવતા,$x'y'$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ:
$2\cos 2\theta = 0$ $\Rightarrow 2\theta = \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$.

(B) જ્યારે યામ અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે બિંદુ $(x, y)$ ના નવા યામ $(x', y')$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x' = x \cos \theta + y \sin \theta$
$y' = -x \sin \theta + y \cos \theta$
આપેલ છે કે $(x, y) = (2 \sqrt{2}, -3 \sqrt{2})$ અને $\theta = 45^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા:
$x' = (2 \sqrt{2}) \cos 45^{\circ} + (-3 \sqrt{2}) \sin 45^{\circ}$
$x' = (2 \sqrt{2}) \times \frac{1}{\sqrt{2}} - (3 \sqrt{2}) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 - 3 = -1$
$y' = -(2 \sqrt{2}) \sin 45^{\circ} + (-3 \sqrt{2}) \cos 45^{\circ}$
$y' = -(2 \sqrt{2}) \times \frac{1}{\sqrt{2}} - (3 \sqrt{2}) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = -2 - 3 = -5$
આમ,નવા યામ $(-1, -5)$ છે.

(B) ધારો કે મૂળ યામ $(x, y)$ છે અને $\theta = 135^{\circ}$ ના પરિભ્રમણ પછી નવા યામ $(x', y') = (4, -3)$ છે.
અક્ષોના પરિભ્રમણ માટેના રૂપાંતરણ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$
$y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$
અહીં $\cos 135^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin 135^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = 4 \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - (-3) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$y = 4 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + (-3) \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$
આમ,મૂળ યામ $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}}\right)$ છે.

(B) ધારો કે મૂળ યામ $(x, y)$ છે અને $\theta = 45^{\circ}$ ના પરિભ્રમણ પછી નવા યામ $(X, Y) = (1, -1)$ છે.
પરિવર્તન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$x = (1) \cos 45^{\circ} - (-1) \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
$y = (1) \sin 45^{\circ} + (-1) \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$
તેથી,મૂળભૂત પ્રણાલીમાં $P$ ના યામ $(\sqrt{2}, 0)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $3x^2 + 3y^2 + 2xy = 2 \dots (i)$ છે.
જ્યારે કોઓર્ડિનેટ અક્ષોને $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવે,ત્યારે રૂપાંતરણ સમીકરણો:
$x = \frac{X - Y}{\sqrt{2}}$ અને $y = \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$
આ કિંમતો સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$3\left(\frac{X - Y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 3\left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2\left(\frac{X - Y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}}\right) = 2$
$\frac{3}{2}(X^2 - 2XY + Y^2) + \frac{3}{2}(X^2 + 2XY + Y^2) + (X^2 - Y^2) = 2$
$3X^2 + 3Y^2 + X^2 - Y^2 = 2$
$4X^2 + 2Y^2 = 2$
$2$ વડે ભાગતા,$2X^2 + Y^2 = 1$ મળે છે.
આમ,રૂપાંતરિત સમીકરણ $2x^2 + y^2 = 1$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2+2 \sqrt{3} xy - y^2 = 8$ છે.
જ્યારે અક્ષોને $\theta = \frac{\pi}{3}$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે,ત્યારે $(x, y)$ ને $(X, Y)$ દ્વારા બદલવામાં આવે છે જ્યાં:
$x = \frac{X - \sqrt{3}Y}{2}$
$y = \frac{\sqrt{3}X + Y}{2}$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(\frac{X - \sqrt{3}Y}{2}\right)^2 + 2 \sqrt{3} \left(\frac{X - \sqrt{3}Y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}X + Y}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}X + Y}{2}\right)^2 = 8$
સાદુરૂપ આપતા:
$X^2 - 2\sqrt{3}XY - Y^2 = 8$
આમ,રૂપાંતરિત સમીકરણ $x^2 - 2\sqrt{3}xy - y^2 = 8$ છે.

(B) જ્યારે ઉગમબિંદુને $(-1, 1)$ બિંદુ પર સ્થળાંતરિત કરવામાં આવે,ત્યારે નવા યામ $(X, Y)$ અને જૂના યામ $(x, y)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$x = X - 1$
$y = Y + 1$
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણ $3x^2 + y^2 + 2x + 4y + 15 = 0$ માં મૂકતા:
$3(X - 1)^2 + (Y + 1)^2 + 2(X - 1) + 4(Y + 1) + 15 = 0$
$3(X^2 - 2X + 1) + (Y^2 + 2Y + 1) + 2X - 2 + 4Y + 4 + 15 = 0$
$3X^2 - 6X + 3 + Y^2 + 2Y + 1 + 2X - 2 + 4Y + 4 + 15 = 0$
$3X^2 + Y^2 - 4X + 6Y + 21 = 0$
આમ,રૂપાંતરિત સમીકરણ $3x^2 + y^2 - 4x + 6y + 21 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $x \cos \theta + y \sin \theta = p$ છે ...$(i)$
જ્યારે અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે રૂપાંતરણ સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(X \cos \theta - Y \sin \theta) \cos \theta + (X \sin \theta + Y \cos \theta) \sin \theta = p$
$X \cos^2 \theta - Y \sin \theta \cos \theta + X \sin^2 \theta + Y \sin \theta \cos \theta = p$
$X (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = p$
કારણ કે $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$X = p$

(B) ધારો કે $(x, y)$ એ જૂની અક્ષોના યામ છે અને $(X, Y)$ એ $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવ્યા પછીની નવી અક્ષોના યામ છે.
રૂપાંતરણ સમીકરણો:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
અહીં $x = 4 \sqrt{2}$,$y = -6 \sqrt{2}$,અને $\theta = 45^{\circ}$ છે,તેથી $\cos 45^{\circ} = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$4 \sqrt{2} = X \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - Y \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \Rightarrow X - Y = 8$
$-6 \sqrt{2} = X \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + Y \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \Rightarrow X + Y = -12$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2X = -4 \Rightarrow X = -2$.
બીજામાંથી પહેલું સમીકરણ બાદ કરતા: $2Y = -20 \Rightarrow Y = -10$.
આમ,નવા યામ $(-2, -10)$ છે.

(B) જ્યારે ઉગમબિંદુને $(h, k) = (2, 3)$ પર સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,ત્યારે જૂના યામ $(X, Y)$ અને નવા યામ $(x, y)$ વચ્ચેનો સંબંધ $X = x + 2$ અને $Y = y + 3$ છે.
મૂળ સમીકરણ મેળવવા માટે,આપેલ રૂપાંતરિત સમીકરણમાં $x$ ની જગ્યાએ $(X-2)$ અને $y$ ની જગ્યાએ $(Y-3)$ મૂકતા:
$(X-2)^2 + 3(X-2)(Y-3) - 2(Y-3)^2 + 17(X-2) - 7(Y-3) - 11 = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(X^2 - 4X + 4) + 3(XY - 3X - 2Y + 6) - 2(Y^2 - 6Y + 9) + 17X - 34 - 7Y + 21 - 11 = 0$
$X^2 + 3XY - 2Y^2 + 4X - Y - 20 = 0$
આમ,મૂળ સમીકરણ $x^2+3xy-2y^2+4x-y-20=0$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $y^2-6y-4x+13=0$ છે.
$y$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(y^2-6y+9)-9-4x+13=0$
$(y-3)^2-4x+4=0$
$(y-3)^2-4(x-1)=0$.
ધારો કે નવું ઉગમબિંદુ $(h,k)$ છે. આપણે $y = Y+k$ અને $x = X+h$ મૂકીએ છીએ.
સમીકરણને $Y^2+AX=0$ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે $k=3$ અને $h=1$ લઈએ છીએ.
આમ,ઉગમબિંદુને $(1,3)$ પર ખસેડવું જોઈએ.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) ધારો કે મૂળ યામ $(x, y)$ છે અને નવા યામ $(x', y') = (4, -3)$ છે. પરિભ્રમણ કોણ $\theta = 135^{\circ}$ છે.
અક્ષોના પરિભ્રમણ માટેના રૂપાંતરણ સૂત્રો:
$x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$
$y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$
$\cos 135^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin 135^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ કિંમતો મૂકતા:
$x = 4 \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - (-3) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$y = 4 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + (-3) \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{7}{\sqrt{2}}$
આમ,મૂળ યામ $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}}\right)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $y^2-6y-4x+13=0$ છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $(h, k)$ પર સ્થળાંતરિત થાય છે.
તેથી $y$ એ $y+k$ બને છે અને $x$ એ $x+h$ બને છે.
સમીકરણમાં આ કિંમતો મૂકતા: $(y+k)^2 - 6(y+k) - 4(x+h) + 13 = 0$.
વિસ્તરણ કરતા: $y^2 + 2ky + k^2 - 6y - 6k - 4x - 4h + 13 = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $y^2 + (2k-6)y - 4x + (k^2 - 6k - 4h + 13) = 0$.
સમીકરણમાં $y$ વાળું પદ ન હોય તે માટે,$y$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $2k - 6 = 0 \implies k = 3$.
અચળ પદ ન હોય તે માટે,અચળ ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ: $k^2 - 6k - 4h + 13 = 0$.
$k = 3$ મૂકતા: $(3)^2 - 6(3) - 4h + 13 = 0$.
$9 - 18 - 4h + 13 = 0$.
$-9 - 4h + 13 = 0$.
$4 - 4h = 0 \implies h = 1$.
આમ,ઉગમબિંદુને $(1, 3)$ પર સ્થળાંતરિત કરવું જોઈએ.

(C) $1$) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ તેના શિરોબિંદુઓના યામ પર આધાર રાખે છે. અક્ષોના સ્થાનાંતર દરમિયાન ઉગમબિંદુ બદલાય છે પરંતુ અક્ષો સમાંતર રહે છે,તેથી ક્ષેત્રફળ અપરિવર્તિત રહે છે. આ વિધાન સાચું છે.
$2$) રેખાનો ઢાળ $y$ માં થતા ફેરફાર અને $x$ માં થતા ફેરફારના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. સ્થાનાંતર હેઠળ,$x = X + h$ અને $y = Y + k$ હોવાથી,$dx = dX$ અને $dy = dY$ થાય છે. તેથી ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX}$ અપરિવર્તિત રહે છે. આ વિધાન સાચું છે.
$3$) વ્યાખ્યા મુજબ,અક્ષોનું સ્થાનાંતર એટલે અક્ષોની દિશા બદલ્યા વિના ઉગમબિંદુને નવા બિંદુ $(h, k)$ પર ખસેડવું. જો અક્ષોની દિશા બદલાય,તો તેને અક્ષોનું પરિભ્રમણ કહેવાય છે. તેથી,આ વિધાન ખોટું છે.
$4$) જો ઉગમબિંદુ $(h, k)$ પર ખસેડવામાં આવે,તો નવા યામ $(X, Y)$ અને જૂના યામ $(x, y)$ વચ્ચેનો સંબંધ $x = X + h$ અને $y = Y + k$ છે. આ વિધાનમાં આપેલ તર્ક ઉલટો છે. આ વિધાન ખોટું છે.

(B) જ્યારે યામ અક્ષોને ધન દિશામાં $\theta = \frac{\pi}{4}$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે,ત્યારે રૂપાંતરણ સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta = \frac{X-Y}{\sqrt{2}}$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$
આ કિંમતોને $25x^2 + 9y^2 = 225$ માં મૂકતા:
$25 \left( \frac{X-Y}{\sqrt{2}} \right)^2 + 9 \left( \frac{X+Y}{\sqrt{2}} \right)^2 = 225$
$\frac{25}{2} (X^2 + Y^2 - 2XY) + \frac{9}{2} (X^2 + Y^2 + 2XY) = 225$
$\frac{34X^2 + 34Y^2 - 32XY}{2} = 225$
$17X^2 - 16XY + 17Y^2 = 225$
$\alpha x^2 + \beta xy + \gamma y^2 = \delta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 17$,$\beta = -16$,$\gamma = 17$,અને $\delta = 225$ મળે છે.
હવે,$(\alpha + \beta + \gamma - \sqrt{\delta})^2$ ની ગણતરી કરતા:
$(17 - 16 + 17 - \sqrt{225})^2 = (18 - 15)^2 = 3^2 = 9$.

(B) આપેલ સમીકરણ $2 x^2+2 y^2-8 x-12 y+18=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$2(x^2-4x+4) + 2(y^2-6y+9) = -18 + 8 + 18$
$2(x-2)^2 + 2(y-3)^2 = 8$
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 4$.
જ્યારે ઉગમબિંદુને $(2,3)$ પર ખસેડવામાં આવે,ત્યારે સમીકરણ $X^2 + Y^2 = 4$ બને છે,જ્યાં $X = x-2$ અને $Y = y-3$ છે.
અક્ષોને $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવાથી વર્તુળ $X^2 + Y^2 = r^2$ નું સ્વરૂપ બદલાતું નથી,કારણ કે $X^2 + Y^2 = (X' \cos \theta - Y' \sin \theta)^2 + (X' \sin \theta + Y' \cos \theta)^2 = X'^2 + Y'^2$.
તેથી,રૂપાંતરિત સમીકરણ $x^2+y^2=4$ જ રહેશે.

(C) ધારો કે $(x, y)$ એ મૂળ યામ છે અને $(X, Y)$ એ અક્ષોને $\theta = 135^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવ્યા પછીના નવા યામ છે.
રૂપાંતરણ સમીકરણો:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
આપેલ છે $(X, Y) = (2, -6)$ અને $\theta = 135^{\circ}$:
$x = 2 \cos 135^{\circ} - (-6) \sin 135^{\circ}$
$y = 2 \sin 135^{\circ} + (-6) \cos 135^{\circ}$
$\cos 135^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin 135^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી:
$x = 2 \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 6 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}$
$y = 2 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - 6 \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2}$
આમ,મૂળ યામ $(2 \sqrt{2}, 4 \sqrt{2})$ છે.

(B) પગલું $1$: ઉગમબિંદુને $(2,3)$ પર સ્થાનાંતરિત કરો. સમીકરણ $3x^2+2xy+3y^2-18x-22y+50=0$ માં $x = X+2$ અને $y = Y+3$ મૂકો.
$3(X+2)^2+2(X+2)(Y+3)+3(Y+3)^2-18(X+2)-22(Y+3)+50=0$
સાદુરૂપ આપતા,આપણને $3X^2+2XY+3Y^2-1=0$ મળે છે.
પગલું $2$: અક્ષોને $\theta = \frac{\pi}{3}$ ખૂણે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવો. રૂપાંતરણ સમીકરણો:
$X = \frac{x' - \sqrt{3}y'}{2}$,$Y = \frac{\sqrt{3}x' + y'}{2}$
આ કિંમતોને $3X^2+2XY+3Y^2-1=0$ માં મૂકતા:
$3(\frac{x'-\sqrt{3}y'}{2})^2 + 2(\frac{x'-\sqrt{3}y'}{2})(\frac{\sqrt{3}x'+y'}{2}) + 3(\frac{\sqrt{3}x'+y'}{2})^2 - 1 = 0$
$4$ વડે ગુણતા:
$3(x'^2+3y'^2-2\sqrt{3}x'y') + 2(\sqrt{3}x'^2-2x'y'-\sqrt{3}y'^2) + 3(3x'^2+y'^2+2\sqrt{3}x'y') - 4 = 0$
$(12+2\sqrt{3})x'^2 - 4x'y' + (12-2\sqrt{3})y'^2 - 4 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$(6+\sqrt{3})x^2 - 2xy + (6-\sqrt{3})y^2 - 2 = 0$.

(B) ધારો કે મૂળ યામ $(x', y')$ છે અને નવા યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ પરિભ્રમણ ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$ માટે,રૂપાંતરણ સમીકરણો:
$x' = \frac{x - y}{\sqrt{2}}$
$y' = \frac{x + y}{\sqrt{2}}$
આ કિંમતોને $3(x')^2 - 6x'y' + 8(y')^2 = 8$ માં મૂકતા:
$3\left(\frac{x - y}{\sqrt{2}}\right)^2 - 6\left(\frac{x - y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x + y}{\sqrt{2}}\right) + 8\left(\frac{x + y}{\sqrt{2}}\right)^2 = 8$
સાદુરૂપ આપતા:
$5x^2 + 10xy + 17y^2 - 16 = 0$

(D) જ્યારે અક્ષોને ધન દિશામાં $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X \cos \theta - Y \sin \theta$ અને $y = X \sin \theta + Y \cos \theta$ છે.
$\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $x = \frac{X-Y}{\sqrt{2}}$ અને $y = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
આપેલ રૂપાંતરિત સમીકરણ $17x^2 - 16xy + 17y^2 = 225$ માં $x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$17\left(\frac{X-Y}{\sqrt{2}}\right)^2 - 16\left(\frac{X-Y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}\right) + 17\left(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}\right)^2 = 225$
ગણતરી કરતા,આપણને $9X^2 + 25Y^2 = 225$ મળે છે.
તેથી,મૂળ સમીકરણ $9x^2 + 25y^2 = 225$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 2xy + y^2 - 1 = 0$ છે,જેને $(x + y)^2 = 1$ તરીકે લખી શકાય.
ઉગમબિંદુને $(1, 1)$ પર ખસેડ્યા પછી અને અક્ષોને $\theta = 45^{\circ}$ ખૂણે ફેરવ્યા પછી નવા યામ $(X, Y)$ છે.
રૂપાંતરણ સમીકરણો:
$x = 1 + X \cos 45^{\circ} - Y \sin 45^{\circ} = 1 + \frac{X - Y}{\sqrt{2}}$
$y = 1 + X \sin 45^{\circ} + Y \cos 45^{\circ} = 1 + \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$
આ કિંમતો $(x + y)^2 = 1$ માં મૂકતા:
$(1 + \frac{X - Y}{\sqrt{2}} + 1 + \frac{X + Y}{\sqrt{2}})^2 = 1$
$(2 + \frac{2X}{\sqrt{2}})^2 = 1$
$(2 + X\sqrt{2})^2 = 1$
$4 + 4\sqrt{2}X + 2X^2 = 1$
$2X^2 + 4\sqrt{2}X + 3 = 0$.
આમ,રૂપાંતરિત સમીકરણ $2x^2 + 4\sqrt{2}x + 3 = 0$ છે.