Finding unknown using limit Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $A = 1 + a$.
જ્યારે $a \rightarrow 0^{+}$,ત્યારે $A \rightarrow 1^{+}$.
આપેલ સમીકરણ $(A^{\frac{1}{3}}-1) x^2+(A^{\frac{1}{2}}-1) x+(A^{\frac{1}{6}}-1)=0$ છે.
સમીકરણને $(A-1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{A^{\frac{1}{3}}-1}{A-1} x^2 + \frac{A^{\frac{1}{2}}-1}{A-1} x + \frac{A^{\frac{1}{6}}-1}{A-1} = 0$.
$A \rightarrow 1$ માટે લક્ષ લેતા,પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{A \rightarrow 1} \frac{A^n-1}{A-1} = n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{3} x^2 + \frac{1}{2} x + \frac{1}{6} = 0$.
$6$ વડે ગુણતા:
$2 x^2 + 3 x + 1 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(2x + 1)(x + 1) = 0$.
તેથી,બીજ $x = -1$ અને $x = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$\lim _{a \rightarrow 0^{+}} \alpha(a) = -1$ અને $\lim _{a \rightarrow 0^{+}} \beta(a) = -\frac{1}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-2}{x^{2}-1} = \pi$.
જ્યારે $x \rightarrow 1$ થાય ત્યારે છેદ $x^2-1$ એ $0$ ને અનુલક્ષે છે,તેથી લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે અંશ $f(x)-2$ પણ $0$ ને અનુલક્ષવો જોઈએ.
તેથી,$\lim_{x \rightarrow 1} (f(x)-2) = 0$.
આમ,$\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = 2$.

(A) આપેલ લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos [x]-\cos (k x-[x])}{x^2}=5$ છે.
જ્યારે $x \rightarrow 0^{+}$,ત્યારે $[x] = 0$ થાય.
આ કિંમત પદમાં મૂકતા:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos(0) - \cos(kx - 0)}{x^2} = 5$
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1 - \cos(kx)}{x^2} = 5$
લક્ષના સૂત્ર $\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1 - \cos(kx)}{(kx)^2} \cdot k^2 = 5$
$\frac{1}{2} \cdot k^2 = 5$
$k^2 = 10$
$k = \sqrt{10}$.

(B) આપેલ છે,$f(x) = \begin{cases} 3ax - 2b, & x > 1 \\ ax + b + 1, & x < 1 \end{cases}$
કારણ કે $\lim_{x \rightarrow 1} f(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી ડાબી બાજુની લક્ષ અને જમણી બાજુની લક્ષ સમાન હોવી જોઈએ:
$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)$
આપેલ વિધેયો મૂકતા:
$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} (ax + b + 1) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} (3ax - 2b)$
$x = 1$ આગળ લક્ષની કિંમત શોધતા:
$a(1) + b + 1 = 3a(1) - 2b$
$a + b + 1 = 3a - 2b$
પદોને ગોઠવતા:
$1 = 3a - a - 2b - b$
$1 = 2a - 3b$
આમ,સંબંધ $2a - 3b = 1$ છે.

(C) કારણ કે $\lim_{x \rightarrow 1} f(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી $x = 1$ આગળ ડાબી બાજુની લક્ષ અને જમણી બાજુની લક્ષ સમાન હોવી જોઈએ.
$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)$
$1 + \frac{2(1)}{a} = a(1)$
$1 + \frac{2}{a} = a$
$a$ વડે ગુણતા ($a \neq 0$ ધારીને):
$a + 2 = a^2$
$a^2 - a - 2 = 0$
$(a - 2)(a + 1) = 0$
તેથી,$a$ ની શક્ય કિંમતો $a = 2$ અને $a = -1$ છે.
આ કિંમતોના ઘનનો સરવાળો $(2)^3 + (-1)^3 = 8 - 1 = 7$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{((a-n) n x-\tan x) \sin n x}{x^2}=0$.
આપણે લક્ષને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$\lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{(a-n) n x-\tan x}{x} \right] \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin n x}{x} = 0$.
કારણ કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin n x}{x} = n$,તેથી:
$n \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \left[ (a-n) n - \frac{\tan x}{x} \right] = 0$.
$n [ (a-n) n - 1 ] = 0$.
$n > 0$ હોવાથી,$(a-n) n - 1 = 0$ થવું જોઈએ.
$(a-n) n = 1 \implies a-n = \frac{1}{n} \implies a = n + \frac{1}{n}$.
$AM-GM$ અસમતા મુજબ,$n > 0$ માટે,$n + \frac{1}{n} \ge 2$.
તેથી $a$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે જ્યારે $n = 1$ હોય.

(B) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\cos x-1)(\cos x-e^x)}{x^n}$ છે.
$x=0$ ની નજીક ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots$
કિંમતો મૂકતા:
$(\cos x - 1) = -\frac{x^2}{2} + O(x^4)$
$(\cos x - e^x) = -x - x^2 + O(x^3)$
અંશ $= (-\frac{x^2}{2} + O(x^4))(-x - x^2 + O(x^3)) = \frac{x^3}{2} + O(x^4)$.
લક્ષ શૂન્યતર અને વાસ્તવિક મળે તે માટે છેદમાં $x$ ની ઘાત $3$ હોવી જોઈએ.
તેથી,$n = 3$.

(D) આપેલ છે,$\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^n - 3^n}{x - 3} = 108$.
પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્ર $\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^n - a^n}{x - a} = n \cdot a^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
અહીં,$a = 3$ છે,તેથી $n \cdot 3^{n-1} = 108$.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા:
$n \cdot 3^n = 108 \times 3 = 324$.
$324$ ને $4 \times 81 = 4 \times 3^4$ તરીકે લખી શકાય.
$n \cdot 3^n = 4 \times 3^4$ ની સરખામણી કરતા,$n = 4$ મળે છે.
આમ,$n$ ની કિંમત $4$ છે.

(A) લક્ષ $\lim_{x \rightarrow 2} f(x)$ નું અસ્તિત્વ હોવા માટે,$x = 2$ આગળ ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ સમાન હોવા જોઈએ.
$LHL = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2} (4x - 5) = 4(2) - 5 = 3$.
$RHL = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2} (x - k) = 2 - k$.
$LHL$ અને $RHL$ ને સરખાવતા:
$3 = 2 - k$
$k = 2 - 3$
$k = -1$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow \infty}\left\{\frac{x^3+1}{x^2+1}-(\alpha x+\beta)\right\}=2$.
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^3+1-(\alpha x+\beta)(x^2+1)}{x^2+1} = 2$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^3+1-(\alpha x^3+\alpha x+\beta x^2+\beta)}{x^2+1} = 2$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(1-\alpha)x^3-\beta x^2-\alpha x+(1-\beta)}{x^2+1} = 2$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય અને તે શાંત હોય તે માટે $x^3$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ:
$1-\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 1$.
હવે લક્ષ આ મુજબ થશે:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-\beta x^2-x+(1-\beta)}{x^2+1} = 2$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-\beta - \frac{1}{x} + \frac{1-\beta}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 2$.
જેમ $x \rightarrow \infty$,તેમ $x$ વાળા પદો $0$ તરફ જાય છે:
$-\beta = 2 \Rightarrow \beta = -2$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડી $(\alpha, \beta) = (1, -2)$ છે.

(D) ધારો કે $L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{2 x+1}+\sqrt{2 x-1})^8+(\sqrt{2 x+1}-\sqrt{2 x-1})^8(P x^4-16)}{(x+\sqrt{x^2-2})^8+(x-\sqrt{x^2-2})^8} = 1$.
$x \rightarrow \infty$ માટે,$(\sqrt{2x+1} + \sqrt{2x-1})^8 \approx 256x^4$ અને $(x+\sqrt{x^2-2})^8 \approx 256x^8$.
આમ,પદાવલિ $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{256x^4 + \frac{1}{16x^4}(Px^4-16)}{256x^8} = 1$ બને છે.
ગણતરી કરતા $P = \frac{1}{16}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \sqrt{\frac{x}{1-x}} + \sqrt{\frac{1-x}{x}}$.
ધારો કે $t = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$. તો $f(x) = t + \frac{1}{t}$.
આપણને આપેલ છે કે $\lim_{x \rightarrow m} (t + \frac{1}{t}) = 5/2$.
આથી $t + \frac{1}{t} = 5/2$,જેનું સાદું રૂપ $2t^2 - 5t + 2 = 0$ થાય છે.
$t$ માટે ઉકેલતા: $(2t - 1)(t - 2) = 0$,તેથી $t = 1/2$ અથવા $t = 2$.
કિસ્સો $1$: $\sqrt{\frac{m}{1-m}} = 1/2$ $\Rightarrow \frac{m}{1-m} = 1/4$ $\Rightarrow 4m = 1 - m$ $\Rightarrow 5m = 1$ $\Rightarrow m = 1/5$.
કિસ્સો $2$: $\sqrt{\frac{m}{1-m}} = 2$ $\Rightarrow \frac{m}{1-m} = 4$ $\Rightarrow m = 4 - 4m$ $\Rightarrow 5m = 4$ $\Rightarrow m = 4/5$.
આમ,$m$ ની શક્ય કિંમતોનો ગણ $\{1/5, 4/5\}$ છે.

(C) આપણે પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\lim _{x \rightarrow c} \frac{x^n - c^n}{x - c} = n c^{n-1}$.
આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow -a} \frac{x^7 - (-a)^7}{x - (-a)} = 7$.
$n = 7$ અને $c = -a$ લેતા:
$7(-a)^{7-1} = 7$
$7(-a)^6 = 7$
$(-a)^6 = 1$
ઘાત બેકી હોવાથી,$a^6 = 1$.
બંને બાજુ છઠ્ઠું મૂળ લેતા,$a = \pm 1$.

(B) $x=0$ આગળ લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ એ જમણી બાજુના લક્ષ $(RHL)$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$RHL = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{2x+1}{x-2} = \frac{2(0)+1}{0-2} = -\frac{1}{2}$.
$LHL = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{\sqrt{1+px} - \sqrt{1-px}}{x}$.
સંમેયીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$LHL = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{(\sqrt{1+px} - \sqrt{1-px})(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})}{x(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{(1+px) - (1-px)}{x(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2px}{x(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})} = \frac{2p}{1+1} = p$.
$LHL = RHL$ સરખાવતા,આપણને $p = -\frac{1}{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{((a-n) n x-\tan x) \sin n x}{x^2}=0, n \neq 0$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{(a-n) n x - \tan x}{x} \right) \left( \frac{\sin n x}{x} \right) = 0$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \left( (a-n)n - \frac{\tan x}{x} \right) \left( n \cdot \frac{\sin n x}{n x} \right) = 0$.
કારણ કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin n x}{n x} = 1$,તેથી:
$((a-n)n - 1) \cdot n = 0$.
$n \neq 0$ હોવાથી,$(a-n)n - 1 = 0$,જેનો અર્થ છે $an - n^2 = 1$,અથવા $a = n + \frac{1}{n}$.
સમાંતર મધ્યક-ગુણોત્તર મધ્યક અસમતા $(AM \geq GM)$ મુજબ,$n > 0$ માટે:
$\frac{n + \frac{1}{n}}{2} \geq \sqrt{n \cdot \frac{1}{n}} = 1$.
તેથી,$a \geq 2$.
$a$ ની ન્યૂનતમ શક્ય ધન કિંમત $2$ છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે,તેથી $ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta)$ લખી શકાય.
આપણે લક્ષ $L = \lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{1-\cos(a(x-\alpha)(x-\beta))}{(x-\alpha)^2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $1-\cos(\theta) = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{2\sin^2(\frac{a(x-\alpha)(x-\beta)}{2})}{(x-\alpha)^2}$.
$(\frac{a(x-\beta)}{2})^2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$L = \lim_{x}$ ${\rightarrow \alpha} 2 \left[ \frac{\sin(\frac{a(x-\alpha)(x-\beta)}{2})}{\frac{a(x-\alpha)(x-\beta)}{2}} \right]^2 \cdot \frac{a^2(x-\alpha)^2(x-\beta)^2}{4(x-\alpha)^2}$.
કારણ કે $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1$,તેથી:
$L = 2 \cdot 1^2 \cdot \frac{a^2(\alpha-\beta)^2}{4} = \frac{a^2(\alpha-\beta)^2}{2}$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે,તેથી આપણે $ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta)$ લખી શકીએ.
ધારો કે $f(x) = ax^2+bx+c$. જેમ $x \rightarrow \alpha$,તેમ $f(x) \rightarrow 0$.
લિમિટના સૂત્ર $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1-\cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{1-\cos(a(x-\alpha)(x-\beta))}{(x-\alpha)^2} = \lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{1-\cos(a(x-\alpha)(x-\beta))}{(a(x-\alpha)(x-\beta))^2} \times \frac{a^2(x-\alpha)^2(x-\beta)^2}{(x-\alpha)^2}$
$= \frac{1}{2} \times \lim_{x \rightarrow \alpha} a^2(x-\beta)^2$
$= \frac{1}{2} a^2(\alpha-\beta)^2$.

(D) આપેલ છે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-a-\log (1+x)}{\sin x}=0$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય અને તે શાંત હોય તે માટે,જ્યારે $x \rightarrow 0$ થાય ત્યારે અંશ $0$ થવો જોઈએ કારણ કે છેદ $\sin x \rightarrow 0$ થાય છે.
અંશમાં $x=0$ મૂકતા: $e^0 - a - \log(1+0) = 0$.
$1 - a - 0 = 0$.
તેથી,$a = 1$.
$a=1$ માટે ચકાસણી: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1-\log (1+x)}{\sin x}$.
એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x - \frac{1}{1+x}}{\cos x} = \frac{1-1}{1} = 0$.
આમ,$a=1$ માટે શરત સંતોષાય છે.

(A) આપેલ છે $\lim _{x \rightarrow 0}\left\{1+x \log \left(1+a^2\right)\right\}^{1 / x} = 2 a \sin ^2 \theta$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} (1+f(x))^{1/x} = e^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$e^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \log(1+a^2)}{x}} = e^{\log(1+a^2)} = 1+a^2$.
આને આપેલ પદ સાથે સરખાવતા:
$1+a^2 = 2a \sin^2 \theta$.
$a$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા:
$a^2 - (2 \sin^2 \theta)a + 1 = 0$.
$a$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,વિવેચક $D \ge 0$:
$D = (2 \sin^2 \theta)^2 - 4(1)(1) \ge 0$
$\Rightarrow 4 \sin^4 \theta - 4 \ge 0$
$\Rightarrow \sin^4 \theta \ge 1$.
બધી $\theta$ માટે $\sin^4 \theta \le 1$ હોવાથી,માત્ર શક્યતા $\sin^4 \theta = 1$ છે.
$\Rightarrow \sin^2 \theta = 1 = \sin^2 \frac{\pi}{2}$.
$\Rightarrow \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{2}, (n \in Z)$.

(D) આપેલ છે $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3 x^2-a x+5 b}{x-2}=17$.
સીમા અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને છેદ $x \rightarrow 2$ તરીકે $0$ થાય છે,તેથી અંશ પણ $x=2$ આગળ $0$ થવો જોઈએ.
$3(2)^2 - a(2) + 5b = 0$ $\Rightarrow 12 - 2a + 5b = 0$ $\Rightarrow 2a - 5b = 12$.
એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{d}{dx}(3x^2 - ax + 5b) / \frac{d}{dx}(x-2) = 17$.
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 2} (6x - a) = 17$ $\Rightarrow 6(2) - a = 17$ $\Rightarrow 12 - a = 17$ $\Rightarrow a = -5$.
$a = -5$ ને $2a - 5b = 12$ માં મૂકતા:
$2(-5) - 5b = 12$ $\Rightarrow -10 - 5b = 12$ $\Rightarrow -5b = 22$ $\Rightarrow b = -\frac{22}{5}$.
તેથી,$ab = (-5) \times (-\frac{22}{5}) = 22$.

(D) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow 4} \frac{2 x^2+(3+2 a) x+3 a}{x^3-2 x^2-23 x+60} = \frac{11}{9}$.
સીમા અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી $x=4$ આગળ અંશ $0$ હોવો જોઈએ: $2(16) + (3+2a)(4) + 3a = 0$.
$32 + 12 + 8a + 3a = 0 \Rightarrow 11a = -44 \Rightarrow a = -4$.
વૈકલ્પિક રીતે,$L$'Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\lim _{x \rightarrow 4} \frac{4x + 3 + 2a}{3x^2 - 4x - 23} = \frac{16 + 3 + 2a}{48 - 16 - 23} = \frac{19 + 2a}{9} = \frac{11}{9}$.
$19 + 2a = 11 \Rightarrow 2a = -8 \Rightarrow a = -4$.
હવે,$\lim _{x \rightarrow -4} \frac{x^2+9x+20}{x^2-x-20} = \lim _{x \rightarrow -4} \frac{(x+4)(x+5)}{(x+4)(x-5)} = \lim _{x \rightarrow -4} \frac{x+5}{x-5}$ ની કિંમત શોધો.
$x = -4$ મૂકતા: $\frac{-4+5}{-4-5} = \frac{1}{-9} = -\frac{1}{9}$.

(D) ધારો કે $f(x) = px^2 + qx + r$. $a$ અને $b$ એ બીજ હોવાથી,$f(x) = p(x - a)(x - b)$ થાય.
આપણે $L = \lim_{x \rightarrow b} \frac{1 - \cos 2(f(x))}{2(px - pb)^2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 - \cos 2(f(x)) = 2 \sin^2(f(x))$ મળે.
તેથી,$L = \lim_{x \rightarrow b} \frac{2 \sin^2(f(x))}{2 p^2(x - b)^2} = \frac{1}{p^2} \lim_{x \rightarrow b} \left( \frac{\sin(f(x))}{x - b} \right)^2$.
$f(x) = p(x - a)(x - b)$ હોવાથી,$\frac{f(x)}{x - b} = p(x - a)$ થાય.
જ્યારે $x \rightarrow b$,ત્યારે $p(x - a) \rightarrow p(b - a)$ થાય.
આમ,$L = \frac{1}{p^2} \lim_{x \rightarrow b} \left( \frac{\sin(p(x - a)(x - b))}{p(x - a)(x - b)} \cdot p(x - a) \right)^2$.
$\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ હોવાથી,$L = \frac{1}{p^2} \cdot (p(b - a))^2 = \frac{p^2(b - a)^2}{p^2} = (b - a)^2$ મળે.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પોમાં ભૂલ જણાય છે. $(b - a)^2$ એ $a^2 - 2ab + b^2$ ની બરાબર છે,જે વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \cos 4x + a \cos 2x + b$. લક્ષ સીમિત હોવા માટે,અંશ $x \rightarrow 0$ થાય ત્યારે $0$ થવો જોઈએ.
ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા: $\cos \theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \dots$
$\cos 4x = 1 - 8x^2 + \frac{32}{3}x^4 - \dots$
$a \cos 2x = a - 2ax^2 + \frac{2a}{3}x^4 - \dots$
$f(x) = (1 + a + b) - (8 + 2a)x^2 + (\frac{32}{3} + \frac{2a}{3})x^4 + \dots$
લક્ષ સીમિત રહેવા માટે,$x^0$ અને $x^2$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
$1 + a + b = 0$ અને $8 + 2a = 0$.
$8 + 2a = 0$ પરથી $a = -4$.
$1 - 4 + b = 0$ પરથી $b = 3$.
આમ,$a = -4$ અને $b = 3$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે,તેથી $ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ લખી શકાય.
આપણે લક્ષ $L = \lim_{x \rightarrow \beta} \frac{1 - \cos(a(x - \alpha)(x - \beta))}{(x - \beta)^2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $1 - \cos(\theta) = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim_{x \rightarrow \beta} \frac{2 \sin^2(\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2})}{(x - \beta)^2}$.
$(\frac{a(x - \alpha)}{2})^2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$L = \lim_{x}$ ${\rightarrow \beta} 2 \left[ \frac{\sin(\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2})}{\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2}} \right]^2 \times \frac{a^2(x - \alpha)^2}{4}$.
જેમ $x \rightarrow \beta$,તેમ કૌંસમાં રહેલું પદ $1$ ને અનુલક્ષે છે.
તેથી,$L = 2 \times 1^2 \times \frac{a^2(\beta - \alpha)^2}{4} = \frac{a^2(\alpha - \beta)^2}{2}$.

(B) આપેલ છે $\lim _{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x^2+1}{x+1}-ax-b\right) = 0$.
સામાન્ય છેદ લેતા:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+1-ax(x+1)-b(x+1)}{x+1} = 0$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+1-ax^2-ax-bx-b}{x+1} = 0$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(1-a)x^2 - (a+b)x + (1-b)}{x+1} = 0$
લક્ષનું મૂલ્ય $0$ થવા માટે,અંશમાં $x$ ની મહત્તમ ઘાતનો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$1-a = 0 \implies a = 1$.
$a=1$ મૂકતા: $-(a+b) = 0 \implies -(1+b) = 0 \implies b = -1$.
તેથી,$a=1$ અને $b=-1$.

(B) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 a \sin x-\sin 2 x}{\tan ^{3} x} = 1$.
$\sin x$ અને $\sin 2x$ ના ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 a(x - \frac{x^3}{6}) - (2x - \frac{8x^3}{6})}{x^3} = 1$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2a - 2)x + (\frac{8}{6} - \frac{2a}{6})x^3}{x^3} = 1$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,$x$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $2a - 2 = 0$,જે $a = 1$ આપે છે.
આમ,$a$ ની કિંમત $1$ છે.

(C) $x \rightarrow 0$ માટે ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા:
અંશમાં $x^0$ અને $x^1$ ના સહગુણકો $0$ હોવા જોઈએ.
અચળ પદ: $1 + 2 + c - 2 = c + 1 = 0 \Rightarrow c = -1$
$x$ નો સહગુણક: $(a-1) - (c-2) = a - c + 1 = 0 \Rightarrow a = -2$
$x^2$ નો સહગુણક: $\frac{(a-1)^2}{2} - b^2 + \frac{c-2}{2} = 1$
$\frac{9}{2} - b^2 - \frac{3}{2} = 1 \Rightarrow b^2 = 2$
તેથી,$a^2 + b^2 + c^2 = (-2)^2 + 2 + (-1)^2 = 7$.

(C) ધારો કે $L = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(\alpha x) \cos((\alpha+1)x) \cos((\alpha+2)x)}{\sin^2((\alpha+1)x)}$.
જ્યારે $x \to 0$ હોય ત્યારે $\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ અને $\sin \theta \approx \theta$ ના અંદાજનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 - \frac{\alpha^2 x^2}{2})(1 - \frac{(\alpha+1)^2 x^2}{2})(1 - \frac{(\alpha+2)^2 x^2}{2})}{((\alpha+1)x)^2}$.
$x^4$ અને તેનાથી ઉપરના પદોને અવગણતા,અંશ નીચે મુજબ મળે છે:
$1 - (1 - \frac{x^2}{2}(\alpha^2 + (\alpha+1)^2 + (\alpha+2)^2)) = \frac{x^2}{2}(3\alpha^2 + 6\alpha + 5)$.
આમ,$L = \frac{3\alpha^2 + 6\alpha + 5}{2(\alpha+1)^2} = 2$.
$3\alpha^2 + 6\alpha + 5 = 4(\alpha^2 + 2\alpha + 1) = 4\alpha^2 + 8\alpha + 4$.
સાદુરૂપ આપતા $\alpha^2 + 2\alpha - 1 = 0$ મળે છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1$ થાય છે.

(B) લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,જ્યારે $x \to 2$ થાય ત્યારે અંશ $0$ ને અનુલક્ષવો જોઈએ. તેથી,$8 - 20 + 2a + b = 0 \Rightarrow 2a + b = 12$.
ધારો કે $t = x-2$,તેથી $x = t+2$. જેમ $x \to 2$ તેમ $t \to 0$.
છેદ $(\sqrt{t+1}-1)\log_e(t+1) \approx (t/2)(t) = t^2/2$ થાય છે.
અંશ $\sin((t+2)^3 - 5(t+2)^2 + a(t+2) + b) = \sin(t^3 + 6t^2 + 12t + 8 - 5t^2 - 20t - 20 + at + 2a + b) = \sin(t^3 + t^2 + (a-8)t + (2a+b-12))$ થાય છે.
$2a+b=12$ હોવાથી,પદાવલિ $\sin(t^3 + t^2 + (a-8)t)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
લક્ષનું અસ્તિત્વ અને તે શાંત હોવા માટે,$t$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $a-8=0 \Rightarrow a=8$.
$a=8$ ને $2a+b=12$ માં મૂકતા,$16+b=12 \Rightarrow b=-4$ મળે છે.
હવે અંશ $\sin(t^3+t^2) \approx t^2$ થાય છે જ્યારે $t \to 0$.
લક્ષ $\lim_{t \to 0} \frac{t^2}{t^2/2} = 2$ છે,તેથી $m=2$.
અંતે,$a+b+m = 8 - 4 + 2 = 6$.